量子逻辑和概率论（一）

在数学上，量子力学可以被视为基于非古典命题逻辑的非古典概率模沟。 更具体地，在量子力学中，形式的概率承载的命题“范围B中的物理量A的值”由贝尔伯特空间H上的投影算子表示。这些形成非布尔 - 特别是非分配 - 晶格状的晶格。 量子 - 机械状态完全对应于该晶格上的概率措施（适当定义）。

我们要做什么？ 有些人认为量子力学的经验成功呼吁在逻辑本身的革命中。 该视图与对量子力学的现实解释的需求相关联，即，在任何原始测量概念中未接地的一个。 反对这一点，在操作上解释量子力学的漫长传统，即恰恰是测量理论。 在后一个视图上，测量结果的“逻辑”，在并非所有测量都兼容的情况下，这并不令人惊讶的是，应该证明是不是布尔值。 相反，神秘是为什么它应该具有它在量子力学中的特定非布尔结构。 在理想的是，通过从管理广义概率理论的更多原始和合理的公理来实现这一结构的一些独立动机的计划，这是一个大量的文献。

量子力学作为概率微积分

1.1简壳的量子概率

1.2投影的“逻辑”

1.3概率措施和格里森的定理

1.4重建QM

2.对量子逻辑的解释

2.1现实主义量子逻辑

2.2运行量子逻辑

3.广义概率理论

3.1离散古典概率理论

3.2测试空间

3.3 Kolmogorovian概率理论

3.4量子概率理论

4.与概率模型相关的逻辑

4.1运行逻辑

4.2正方形

4.3物业的格子

5. Piron的定理

5.1条件和涵盖法律

6.古典表征

6.1古典嵌入

6.2上下文隐藏变量

7.复合系统

7.1 Foulis-Randall示例

7.2 AERTS的定理

7.3后果

8.效果代数

8.1量子效应和Naimark的定理

8.2顺序效果代数

参考书目

学术工具

其他互联网资源

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量子力学作为概率微积分

这是无诉的（尽管是显着的），所以量子力学的形式装置整齐地减少了经典概率的概括，其中由后者的事件中的浊音代数所扮演的作用被投影的“量子逻辑”接管在希尔伯特空间上的运营商。[1] 此外，量子力学的通常统计解释要求我们对此广泛的量子概率理论非常字面 - 也不仅仅是其经典同行的正式类似物，而是作为真正的机会学说。 在本节中，我调查了这种量子概率理论及其支持量子逻辑。[2]

[在Hilbert Spaces上进一步的背景，请参阅量子力学的条目。 有关订购集和格子的进一步背景，请参阅补充文件：订购关系的基本理论。 概念和结果解释了这些补充剂将在下面进行自由使用。]

1.1简壳的量子概率

由von Neumann显影的量子概率形式主义假设每个物理系统与（可分离的）希尔伯特空间H相关联，该单元向量对应于系统的可能的物理状态。 每个“可观察”的实值随机量由自伴随操作员A on h表示，其频谱是A的可能值的一组。如果你是表示状态的域中的单位向量，那么该观察到的观察者的预期值国家由内部产品⟨au，uù给出。 由两个运算符A和B表示的可观察到IFF A和B通勤，即AB = BA。 （有关进一步讨论，请参阅量子力学的条目。）

1.2投影的“逻辑”

正如Von Neumann强调的那样，{0,1} {0,1}的可观察可被视为关于 - 或者使用他的措辞，使用其措辞的编码命题。 难以表明具有在两点集{0,1}中包含的频谱的自伴随操作员P必须是投影; 即，p2 = p。 这种运营商与H的封闭子空间一对一的对应关系。实际上，如果P是投影，则其范围已关闭，并且任何封闭的子空间都是唯一投影的范围。 如果U是任何单位向量，则⟨pu，u⟩= || PU || 2是U表示的状态相应观察到的预期值。 由于这种可观察到的是{0,1} {0,1}，我们可以将该预期值解释为可观察到的测量的概率将产生“肯定”答案1.特别地，肯定答案将具有概率1，如果且仅当pu = u; 也就是说，你在于P.Von Neumann的得分范围

...一方面，物理系统的特性与另一方面的预测之间的关系使得具有这些的一种逻辑微积分。 然而，与普通逻辑的概念相反，该系统由“同步可解辨率”的概念延伸，这是量子力学的特征。 （1932：253）

让我们来看看预测的“逻辑微积分”。 通过设定控格命令，H的封闭子空间形成一个完整的格子，其中一组子空间的满足（最大下限）是它们的交叉路口，而他们的连接（最不上限）是其联盟的封闭跨度。 由于典型的封闭子空间具有无限的互补封闭子空间，因此该格子不是分配的; 但是，它是由映射正交的

是→m⊥= {v∈h|∀u∈m（⟨v，u⟩= 0）}。

鉴于封闭子空间和投影之间的上述一对应的对应关系，我们可能会施加设置L（h）完整的正交晶格的结构，定义p≤q，其中ran（p）⊆ran（q）和p'= 1-p（因此ran（p'）= ran（p）⊥）。 在PQ = QP = P的情况下，P≤Q很简单。 更一般地，如果pq = qp，则pq =p∧q，l（h）中的p和q的满足; 同样在这种情况下，它们的连接由p∨q= P + Q-PQ给出。

1.1 LEMMA：

让P和Q是Hilbert Space H上的投影运算符。以下是等同的：

pq = qp

由p，q，p'和q'生成的l（h）的子图示是boolean

p，q位于L（h）的公共布尔次右底。

遵守通勤可观察到的想法 - 特别是预测 - 同时可测量，我们得出结论，L（H）的布尔亚右底的成员同时可测试。 这表明我们可以维护适用于通勤预测的符合，加入和正交的经典逻辑解释。

1.3概率措施和格里森的定理

上述讨论激励以下内容。 呼叫投影p和q正交，写入p⊥qp≤q'。 请注意，p⊥qiff pq = qp = 0。 如果p和q是正交的投影，那么他们的加入就是他们的总和; 传统上，这是表示p⊕q。 我们表示H到1的身份映射。

1.2定义：

L（h）上的（可上添加剂）概率测量是映射μ：l→[0,1]，使得μ（1）= 1，并且对于任何一对配对正交投影Pi，i = 1,2，..

μ（⊕ipi）=

σ

一世

μ（PI的）

以下是我们可以在L（H）上制造概率测量的一种方式。 让你成为H的单位向量，并设置μu（p）=⟨pu，u⟩。 这使得通常的量子机械配方对于P将在状态下具有值1的概率。 注意，我们还可以表达μu为μu（p）= tr（ppu），其中pu是与单元向量U，i.，pu（x）=⟨x，u⟩u为所有x∈U的一维投影。

更一般地，如果μi，i = 1,2，......是l（h）的概率测量，那么它是任何“混合物”，或凸形组合μ=σitiμi，其中0≤ti≤1和σiti= 1。 给定单位向量的任何序列U1，U2，......，让μi=μUI并让PI = PUI。 形成操作员

w = t1p1 + t2p2 + ...，

一个人看到了

μ（p）= t1tr（pp1）+ t2tr（pp2）+ ... = tr（wp）

以这种方式表示的操作员，作为一维投影的凸起组合称为密度操作员。 密度操作员是一般（纯或“混合”）量子机械状态的标准数学表示。 我们刚刚看到，每个密度操作员W都会产生L（H）上的可相连的概率测量。 由于A. GLEASON [1957]，以下引人注目的逆转表明，L（h）上的概率措施理论与H上的（混合）量子机械状态的理论共同广泛：

1.3 Gleason的定理：

让H有维度＞2。 然后L（h）上的每种可相反的概率测量值具有μ（p）= tr（wp），用于密度操作员w在h上。

Gleason的定理的重要结果是L（h）不承认只有值0和1的任何概率措施。要注意，对于任何密度操作员W，映射U→⟨wu，u⟩在H的单位球体上是连续的。但是后者连接，它没有连续函数，它可以只采用两个值0和1.此结果通常会采取，排除“隐藏变量”的可能性 - 在第6节中更详细地播放的问题。

1.4重建QM

根据与物理系统相关联的“实验命题”的单个前提是通过以上所示的方式编码的“实验命题”，可以重建量子力学的其余装置。 当然，第一步是Gleason的定理，这告诉我们L（h）上的概率措施对应于密度运营商。 仍有待恢复，例如，通过伴随运营商和动态（酉演进）表示“可观察到”的代表。 借助于群体的群体的深层定理，可以在光谱定理和后者的帮助下恢复前者。 另见R. Wright [1980]。 该重建的详细概要（涉及一些明显的非琐碎的数学）可以在Varadarajan的书中找到[1985]。 要记住的点是，一旦量子逻辑骨架L（h）就位，一旦到位，剩余的量子力学统计和动态设备基本上是固定的。 从这个意义上讲，随后，量子力学 - 或者以任何速率，其数学框架 - 减少量子逻辑及其伴随概率理论。

2.对量子逻辑的解释

基于L（h）的概率理论对QM的减少是数学上引人注目的，但它告诉我们关于QM-or，假设QM是一个正确和完整的物理理论，关于世界的正确和完整的物理理论？ 换句话说，我们如何解释量子逻辑L（h）？ 答案将打开我们如何解压缩短语，自由地使用以上，

（*）可观察到的A的值在于B的范围内。

一种可能的（*）的读数是可操作的：“可观察到的测量A将产生（或将产生或产生或产生）集合中的值”。 在此视图上，投影表示有关测量结果结果的陈述。 这与某种条纹的现实主义者严重坐落于某种条纹，世卫组织，避避到“测量”，更倾向于理解（*）作为属性归属：

该系统具有一定的分类属性，其对应于可观察到的A具有独立于任何测量的A，该数据具有设定B中的值。

（然而，人们必须小心，但是

2.1现实主义量子逻辑

投影运算符作为代表物理系统的属性的解释已经在von neumann的grundlagen中显而易熟。但是，讨论的逻辑运算仅适用于通勤预测，其被同时可解除的命题识别。 1936年，Birkhoff和Von Neumann进一步迈出了一步，提出解释格子理论符合和加入预测作为它们的联合和分离，无论是否通勤。 立即该提议面临着晶格L（H）不是分配的问题，使得不可能给予这些“量子”连接真实功能解释。 难以宣传的，冯·诺伊曼和Birkhoff建议量子力学作为物理框架的经验成功旨在怀疑命题逻辑分配法的普遍效力。 他们的措辞仍然谨慎：

而逻辑学通常认为否定的属性是最不可能承受关键分析的属性，而力学的研究指向分配身份......作为逻辑代数中最薄弱的联系。 （1936：837）

在20世纪60年代和20世纪70年代初，这篇论文通过一些作者更加进入了一些作者，包括特别是大卫Finkelstein和Hilary Putnam，他认为量子力学需要革命我们对逻辑本身的理解。 根据Putnam的说法，“逻辑与几何形状一样经验。 ......我们生活在一个具有非古典逻辑的世界“（[1968] 1979：184）。

对于Putnam，L（h）的元素代表物体具有所拥有的分类属性，或者独立于我们是否看起来。 因为通过量子力学的经验成功确认了这种物理性质的图片，我们必须在这个视图上接受物理属性实际挂起的方式不是布尔。 由于逻辑是，对于Putnam来说，非常研究物理性质如何实际挂在一起，他得出结论，古典逻辑被误认为是错误的：分配法没有普遍有效。

经典上，如果s是物理系统的一组状态，则每个s子集对应于系统的分类属性，反之亦然。 在量子力学中，状态空间是（投影）单位球体S = S（H）的希尔伯特空间。 然而，不是S的所有子集对应于系统的量子力学性能。 后者仅对应于特殊形式s∩m的子集，对于H的闭合线性子空间，特别是此表单的子集是分配的概率。 这让我们有两个选择。 一个是将这些特殊属性仅作为“真实”（或“物理”，或“有意义的”），关于■的更多常见子集，对应于没有真正的基本属性。 另一种是将“量子”属性视为所有物理（或以任何速率，以任何速率，形而上学）合理的小子集，但不一定是可观察的，系统的性质。 在后一个视图中，物理系统的所有属性集合在其逻辑结构中完全经典，但我们拒绝将概率分配给不可观察性质。[3]

第二个位置，虽然肯定不会与现实主义的现实主义不一致，但是在涉及“观察”，“测量”，“测试”的概念的区别时，这是现实主义者往往避免与基本物理理论有关的概念的概念。 当然，诸如量子力学等统计物理理论的任何现实认证账户最终将不得不呈现出对应对测量的一些解释。 也就是说，它必须给出一个帐户，其中“对象”和“探测”系统之间的物理交互作为测量，以及这些交互如何导致探测系统进化到对应于 - 并具有与结果相同的概率相同的“结果状态”由理论预测。 这是臭名昭着的测量问题。

事实上，Putnam通过了普通的测量问题提供了（激进）溶解的量子逻辑现实主义的推进：根据Putnam，测量问题（以及确实通过分配法的不当应用而产生的测量问题（以及每个其他量子机械“悖论”）因此，一旦识别出来就消失了。 然而，这一提议被广泛认为是错误的。[4]

如上所述，量子力学的真实性解释必须小心它们如何解释短语“可观察到的具有集合中的值”。 最简单和最传统的提议 - 经常被称为“egenstate-eigenvalue link”（Fine [1973]） - 是（*）且仅当且仅在确定B的测量时且仅在确定性中产生值，即，即，具有（量子 - 机械！）概率1.虽然这肯定给出了（*），[5]的实体解释，但它不提供测量问题的解决方案。 实际上，我们可以使用它来提供对该问题的急剧制定：即使A肯定在测量时肯定会在B中产生值，除非量子状态是测量可观察到的特征符，否则系统不具有对应于该组中具有特定值的任何分类属性B. Putnam似乎假设（*）的真实主义解释应包括在B内的一些未知值组成，其中量子力学产生非琐碎的概率。 但是，尝试为所有观察到同时制定这些作业，对Glason的定理进行了原因。[6]

2.2运行量子逻辑

如果我们在物理理论中撇开了关于“测量”的原始术语，并且接受“可测试”和不可测试的属性之间的原则区分，那么L（H）不是布尔的事实是不起眼的，并且对逻辑本身没有含义。。 在这种观点上，量子力学是关于某些测量结果的可能统计分布的理论，其非古典“逻辑”只是反映了不能同时观察到所有可观察到的现象的事实。 因此，概率承载事件（或命题）的集合比在经典概率理论中的富于富于诸如经典概率理论，因此可能的统计分布相应地严格受到限制。 这一理论允许的一些“非古典”概率分布实际上表现为自然中可能令人惊讶，但绝不需要任何深刻的转变我们对逻辑的理解，或者对于此事项的概率。

然而，这几乎不是最后一句话。 接受上述所有内容，仍然存在逻辑测量结果的逻辑应该具有非常特殊的形式L（h），而且从来没有更大的问题。[7] 这个问题娱乐旨在通过少量合理假设的量子力学的正式结构，其中可能在观察到的现象中的某些明显规律中唯一确定。 这种可能性已经预期在冯·诺尤曼的格朗根（以及他后来在连续几何形状的工作中），但首先成为乔治麦基工作的明确和编程[1957,1963]。 Mackey呈现了一系列六个公理，绘制了一个非常保守的广义概率理论，该理论承担了实验命题的“逻辑”的构建，或者在他的术语“问题”，具有Sigma-矫正结构的结构部分有序集（参见第4节和补充文档是关于这些术语定义的定义的有序关系的基本理论）。 对于Mackey来说，突出的问题是解释为什么这个专家应该是L（h）的同性：

几乎所有现代量子力学都是隐含的或明确地基于以下假设，我们将成为公理：

Axiom VII：量子力学中的所有问题的部分有序集合是可分离，无限维的所有封闭子空间的部分有序集的同构。

该公理具有来自Axioms I通过VI的不同性格。 这些都有一定程度的身体自然和合理性。 Axiom VII似乎完全是临时。 我们为什么要做？ 我们能证明它吗？ ...理想地，人们希望有一个物理合理的假设列表，其中一个人可以推断axiom vii。 这一点缺乏一个列表，其中一个列表可以向结构推断出一组可能性......所有这些都可以被证明与适当计划的实验不一致。 [Mackey 1963：71-72]

由于Mackey的写作，在努力提供缺失的假设的努力中，探索了他的公理框架的广泛技术文献。 本文的其余部分提出了对该项目当前状态的简要调查。

3.广义概率理论

由于D. J.Foulis和C. H. H. Randall的普遍概率理论，而不是重新重述麦克斯的公理理论，而不是退回Mackey的Axioms，而不是逐字逐字逐字释放它们。简单和灵活性。 本节的参考是Foulis，Greechie和Rüttimann[1992]; 费罗斯，Piron和Randall [1983]; Randall和Foulis [1983]; 另见Gudder [1989]; Wilce [2000b]和Wilce [2009]进行调查。

3.1离散古典概率理论

从审查古典概率理论开始就会有所帮助。 在其最简单的配方中，经典概率理论与一些测量，实验等的相互排斥的结果的概率涉及（离散）设置e，以及可以在其上定义的各种概率权重 - 即，具有映射ω：e→[0,1]求和为1 e. [9]

请注意，E上所有概率权重的集合Δ（e）是凸的，从而给定任何序列ω1，ω2，......概率权重以及非负实数字的任何序列T1，t2，...汇总到一个，凸和或“混合”T1ω1+T2ω2+ ...（逐点拍摄）再次是概率重量。 该凸集的极端点正是与结果XEE相关的“点质量”Δ（x）：

Δ（x）（y）= 1如果x = y，并且否则为0。

因此，Δ（e）是单纯形：每个点ωνδ（e）以独特的方式表示为极端点的凸组合，即：

ω=σω（x）δ（x）

我们还需要回忆一下随机变量的概念。 如果e是结果集和v，则某些集合“值”（实数，指针读取，或者什么），V值随机变量只是映射f：e→v。 启发式（但只需要采取）是，通过“执行”由e表示的实验“来测量”随机变量f，并且在获得结果xx∈e时，将f（x）记录为测量值。 注意，如果V是一组实数，或者更一般地，矢量空间的子集，我们可以在状态ωνδ（e）中定义F的预期值：

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