量子逻辑和概率论（二）

e（f，ω）=

σ

x∈e

f（x）ω（x）。

3.2测试空间

概括离散的经典概率理论的非常自然的方向是允许多个结果集，每个结果集合不同的“实验”。 要进行正式化，请同意测试空间是非空集E，F，...的非空集合A，每个都被解释为与经典概率理论中的离散结果集。 每个设置的e∈a称为测试。 属于a的所有测试的所有结果的集合x =∪a称为A的结果空间。注意，我们允许不同的测试重叠，即常见的结果。[10]

如果A是具有结果空间x的测试空间，则A上的状态是映射ω：x→[0,1]，使得每个测试e∈a的σx∈eω（x）= 1。 因此，状态是每个测试一致的概率权重的一致分配，其中两个不同的测试共享共同结果，所以状态分配结果与一个测试或另一个测试是相同的概率。 （这可以被视为关于A的结构中隐含的结果标识的规范性要求：如果两个测试的结果在所有状态下都没有设备，则不识别出来。）A在A上的所有状态的集合由ω表示（a）。 这是一个凸面集，但与离散古典概率理论的情况相比，它通常不是单纯形。

随机变量的概念承认了对测试空间设置的几个概括。 让我们同意测试空间A上的简单（实值）随机变量是映射f：e→r，其中e是A的测试。我们以明显的方式在状态ωνω（a）中定义f的预期值，即，作为f的预期值关于通过限制ω至e而获得的概率重量（当然，当然，存在这种预期值）。 可以通过采用合适的限制来继续定义更多一般的随机变量（有关详细信息，请参阅Younce [1987]）。

在古典概率论中（尤其是古典统计）通常侧重于，而不是在所有可能的概率权重的集合上，而是在这些（例如，那些属于给定的分布族的那些）的某些指定的子集上。 因此，通过概率模型，I指由A上由测试空间A和指定的状态组ΔΣΩ（a）组成的对（a，δ）。我将参考作为测试空间并作为模型的状态空间。

现在我将指出该框架如何适应全吹古典概率理论的常规测量 - 理论和量子概率理论的希尔伯特空间形式主义。

3.3 Kolmogorovian概率理论

让我们是一个集合，理解作为物理系统的状态空间，并让σ是S的子集的Σ-algeBRA。我们可以将S的每个分区E视为代表一个代表一个“粗粒”近似到想象的完美实验，揭示了系统的状态。 让aς成为由所有此类分区组成的测试空间。 注意，A1的结果设置为S的非空Σ-可测量子集的设置X =σ{∅}显然，A 1上的概率权重正常对应于σ上的可选附加概率测量。

3.4量子概率理论

让H表示一个复杂的Hilbert空间，让啊表示H的收集（无序）正交基座的收集，因此α的结果 - 空间X将是H的单位球体。如果您是H和e∈ah的任何单位向量，则为任何单位向量我们有正常的基础

σ

x∈e

|⟨u，x⟩| 2 = || u || 2 = 1

因此，H的每个单位向量载体on ah确定概率重量。 Quantum Mechanics要求我们遵守这一事实：任何“最大”离散量子 - 机械可观察可通过单位向量和任何纯的量子机械状态建模，通过单位向量以这种方式载体。 相反，每个正交基础和每个单元向量都被理解为对应于这种测量和这种状态。

现在可以调用Gleason的定理以识别AH上的统一仪器上的ω（ah）ω（ah）ω（ah），对应于H，ω（x）的每个单位载体x，ω（x）=⟨wx相应。，x⟩= tr（wpx），px是与x相关联的一维投影。 相反，当然，每个这样的密度操作员通过上面的公式定义一个独特的状态。 我们还可以在理论上代表简单的实值随机变量运算符。 每个有界简单的随机变量F会产生有界自相伴随操作员A =σx∈ef（x）px。 光谱定理告诉我们，通过采用这种形式的运营商的适当限制，可以获得H上的每个自伴随操作员。

4.与概率模型相关的逻辑

与任何概率模型（A，Δ）相关联的几个部分有序的集合，每个集合具有一些关于与模型相关联的“经验逻辑”的状态的要求。 在本节中，我将讨论两个：所谓的操作逻辑π（a）和属性晶格L（a，δ）。 在A的相对良性条件下，前者是一个正常的布拉。 后者始终是一个完整的格子，在合理的进一步假设下，原子。 此外，存在从π到L的自然序列。这不是一般性同构，但是当它是，我们获得完整的正交晶格，因此越远越近于希尔伯特空间的投影晶格的步骤。

4.1运行逻辑

如果a是测试空间，则a-event是一组包含在某些测试中的结果。 换句话说，一个事件只是一个属于A的测试的经典意义的事件。现在，如果A和B是两个事件，我们说A和B是正交的，并且写一个Aïb，如果它们是不相交的，并且他们的联盟再次是一个事件。 我们说，如果他们的联盟是一个测试，两个正交事件是彼此的补充。 我们说，如果他们共享任何常见补充，则事件A和B是透视的，并写一个〜3。 （请注意，任何两个测试E和F都是透视，因为它们都与空事件互补。）

4.1定义：

如果对于A，B，C的所有事件A，A -Ba~b⊥c，则据说测试空间A是代数A，A〜a~b⊥c意味着a⊥c。

虽然可以构建不可能代数的测试空间的完全合理的卓越的例子，但许多测试空间在自然中遇到的许多测试空间确实享受这个属性。 特别地，前一节中描述的BOREL和量子测试空间是代数。 更重要的一点是，作为公理，代数相对良性，从此意义上，许多测试空间可以“完成”变成代数。 特别地，如果每个结果具有至少一个状态的概率大于1/2，则A包含在具有相同结果的代数试验空间B中，与其相同的状态（参见Gudder [1989]详细信息）。

它可以显示[11]该测试空间A如果才能满足条件，则是代数

对于A，B的所有事件A，B，如果A〜3，则B的任何补充是A的补充。

由此，对于代数测试空间A，不难看出，透视的关系〜透视的关系〜对当时的一组事件相对关系。 超过这一点，如果a是代数，那么〜是形成正交事件的成果的部分二进制操作的一致性：换句话说，对于所有事件A，B和C，A〜B和b⊥c暗示a⊥c和a∪c~b∪ca∪c~b∪c。

让π（a）是透视中的A-eview的等同类等量，并表示P（a）的事件a的等同类; 然后我们在正交事件A和B的P（a）⊕p（b）= p（a∪b）定义的π（a）上具有自然部分二进制操作A和B.设置0：= P（∅）和1：= P（e），E任何成员，我们获得偏见结构（π（a），⊕，0,1），称为A的逻辑。这满足以下条件：

⊕是关联和换向的：

如果定义了a∈（b⊕c），所以是（a⊕b）⊕c，两者是相等的

如果定义了a⊕b，则b⊕a也是如此等于。

0⊕a= a，每个a∈L

对于每个ALL，存在一个唯一的a'əl与a⊕a'= 1

a⊕a仅存在= 0时

我们现在可以定义：

4.2定义：

满足上述条件（A） - （D）的结构（L，Ⅳ，0,1）称为正常果实。

因此，代数试验空间的逻辑是正常的。 人们可以表明，相反，每个正交地面都是作为代数试验空间A的逻辑π（a）（Golfin [1988]）。 请注意，非同义测试空间可以具有相位逻辑。

4.2正方形

对于一些c⊥a，任何正交伽埃布拉L由关系A≤biffb =a⊕c部分排序。 相对于这个排序，映射→a'是一个正交组和a⊥biffa≤b'。 可以表明，A 1B始终是A和B的最小上限，但它通常不是最不束缚。 实际上，我们有以下（Foulis，Greechie和Ruttimann [1992]，定理2.12）：

4.3 LEMMA：

对于正常级布拉（L，⊕，0,1），以下是等同的：

a⊕b=a∨b，所有a，b in l

如果Aïb，b⊕c和c⊕a都存在，那么a⊕b⊕c也是如此

正交（L，≤，'）是正交的，即，对于所有A，b∈l，如果≤b然后（b∧a'）∨a存在并且等于b。

据说令人满意的条件（b）的正向布拉是正面的。 换句话说：如果只有在L的有限成两组相当的子集共同可相同的情况下，才是Orthoalgebra是正交的。 lemma告诉我们，每一个正畸的正畸常见都是矫形术姿势。 相反，正交构造的POSET是正交的IFF A1B =a∨b为所有具有≤b'定义的，并且所得到的部分二进制操作是关联的 - 在这种情况下，得到的结构（L，⊕，0,1）是一个正畸的正常雄性地板，目的顺序与L上的给定的订单同意。因此，正交专业专业专业包（Mackey逻辑版本的框架）相当于正交的Orthoalgebras。

与之相关但比正交的病症是任何成对兼容的命题应该共同兼容。 这有时被称为规律性。 最自然的正交矫正格和存档是常规的。 特别是，HARDING（1996,1998）表明，可以以天然的方式组织任何代数，关系或拓扑结构的直接产品分解成常规矫正姿势。[12]

麦克斯和许多继任者作为公理的一些版本的Orthocoveherence或规律性。 （以无限形式出现Orthocoherence，作为Mackey的Axiom V;规律性出现在Kochen和Specker（1965）工作中部分布尔代数的定义中。）但是，建设简单的模型测试是非常容易的空间，具有完全直截了当的 - 甚至经典解释，其逻辑不是正交的。 从未有过任何令人信服的令人信服的原因，作为所有合理物理模型的基本特征。 此外，某种明显非常激励的结构，即人们想要与测试空间进行倾向于摧毁正牙线（见第7节）。

4.3物业的格子

在我们对物理系统的描述中接受测量和其结果的决定并不意味着我们必须进行谈论这种系统的物理性质。 实际上，这种谈话很容易容纳在现在的形式主义中。[13] 在我们已经追求的方法中，物理系统由概率模型（A，δ）表示，并且系统的状态以Δ中的概率权重识别。 经典地，状态空间δ的任何子集γ对应于系统的分类属性。 然而，在量子力学中，并且实际上甚至经典地，并非每种此类财产都将是可测试的（或“物理”）。 在量子力学中，只有与Hilbert空间的封闭子空间对应的状态空间的子集是可测试的; 在经典力学中，一个通常只需要，例如，Borel集合对应于可测试性质：不同之处在于后一种情况下的可测试性能仍然是形成一个布尔代数，在前一种情况下，他们没有。

框架这个区别的一种方法如下。 一组状态的支持γίδ是集合

s（γ）= {x∈x|∃ω∈γω（x）＞0}

当属性γ获得时可能的结果。 如果它们具有相同的支持，则有一个有意义的是经验难以区分：我们不能通过单一执行单一测试来区分它们。 因此，我们可能希望识别与物理上无法区分的类别的物理属性，或者等效地识别与其相关的支持等级。 但是，如果我们希望遵守状态属性作为子集的物理属性（而不是作为子集的等同类），我们可以这样做，如下所示。 定义映射F：℘（x）→℘（Δ）由f（j）= {ωνδ|s（ω）⊆j}。 映射γ→f（s（γ））然后是℘（δ）的闭合操作员，并且闭合组的集合（即f）是一个完整的集合格子，在任意交叉点下关闭。[14] 显然，Δ-具有相同的支持IFF的典型属性 - 具有相同的支持IFF，因此我们可以识别具有状态空间的封闭子集的物理属性：

4.4定义：

模型（A，δ）的属性晶格是形式F（j），j的δ的所有子集的完整晶格l = l（a，δ），J），J.15]

我们现在有两个不同的“逻辑”与具有代数的概率模型（A，δ）相关的两个不同的“逻辑”：一个是实验命题的“逻辑”π（a），其是正常的，但通常不是格子，而不是“逻辑”“L（a，δ）是完整的格子的性质，但是以任何自然方式（Randall和foulis [1983]）很少地正交。 这两个通过自然映射连接[]：π→l，由p→[p] = f（jp）给出，其中每个p∈π，jp = {x∈x|p|p（x）≰p'}。 也就是说，JP是与P一致的一组结果，[P]是如果测试，可以确认的最大（即，最弱）物理性质。

映射P→[p]是按顺序保留。 对于上面考虑的经典和量子机械模型，实际上是一种订单同构。 无论何时都是这种情况，Π将继承从完整格子的结构，然后通过引理4.3自动正向正向正常。 换句话说，在这种情况下，我们只有一个逻辑，这是一个完整的正交晶格。 虽然期望[]肯定是一个令人难以想象的物理系统的命令同构 - 但是，我们可以轻松地构建玩具例子，相反 - 这种情况在其含义中至少是合理的透明。

5. Piron的定理

假设模型的逻辑和属性格子是同构的，因此命题/属性的逻辑是一个完整的正交晶格。 那么问题是出现的：这使我们带来了Quantum Mechanics的关注 - 也就是说，它是一个Hilbert空间的投影格子L（H）？

答案是：没有额外的假设，不是很好。 格子L（h）有几个相当特殊的订单理论特征。 首先，它是原子的 - 每个元素是最小非零元素的连接（即，一维子空间）。 其次，它是不可减少的 - 它不能表示为简单的OML的非琐碎直接产品。[16] 最后，最显着的是，它满足所谓的原子覆盖法：如果p∈l（h）是原子和p≰q，则p∨q盖q（L（h）的没有元素严格在p∨q和q之间严格而言）。

这些属性仍不相当足以捕获l（h），但他们做得到我们到正确的球场。 设v是涉及分割环D上的任何内部产品空间。 通过设定包含命令，V的所有闭合子空间的集合L（v）形成完整的原子晶格，由映射M→m⊥划分。 Amemiya和Araaki（1966）的定理表明，具有L（v）正交的真实，复杂或四元的内部产品空间V必须完整。 因此，如果⊥闭子空间的晶片（v）是逆正常的，则涉及分割环上的内部产品空间V被称为广义的Hilbert空间。 以下表示定理是由于C. Piron [1964]：

5.1定理：

让L是一个完整的原子，不可挽回的矫形矫形器，满足原子覆盖法。 如果L包含至少4个正交的原子，则存在涉及的分割环D和过度的涉及的Hilbert Space V，使得L对L（v）具有同性。

应该指出的是，广义的希尔伯特空间已经在相当异质的分区环上构建。[17] 因此，虽然它给我们带来了Tantalizingly关闭时，Piron的定理并不完全让我们一路回到正统量子力学。

5.1条件和涵盖法律

让我们召唤一个完整的正交晶格，满足Piron的定理假设Piron格子。 我们可以给出任何一般性原因，假设物理系统的逻辑/财产格（这些是同性恋的一个）是Piron格子？ 或者，失败了，我们可以至少将一些明确的身体内容归类为这些假设吗？ 如果我们假设每个纯粹状态代表“物理性质”，则L的原子性跟随。 这是一个强烈的假设，但其内容似乎足够清晰。 不可制造通常被认为是良性的假设，因为还原系统可以分解成其不可约的部分，每个部分都适用于Piron的定理。

涵盖法律呈现出更细致的问题。 虽然可能是安全的，但是没有出于假设其一般有效性，Piron [1964,1976]和其他人（例如，Beltrametti and Cassinelli [1981]和Guz [1978]）从关于测量结果向最终状态的初始状态推断出来的方式，从假设中衍生出涵盖法律。 这是一个简短的草图，这个论点是如何发展的。 假设有一些合理的方法来定义由逻辑/属性格子L的原子表示的系统的初始状态q，最终状态φp（q）-e到另一个原子，或者在命题p上的情况下确认。 可以引用各种论点，表明这种映射的唯一合理的候选者是Sasaki投影φp：l→l，由

φp（q）=（q∨p'）∧p。[18]

可以表明，在Sasaki突起再次采取原子的情况下，原子oml满足原子覆盖法，或者是覆盖法的另一个有趣的视图由Cohen和Svetlichny开发[1987]。

6.古典表征

衡量量子力学的常年问题是，即使原则上，对于量子力学现象，是否可以提供基本上是经典的解释。 Quantum Logic在整形（和澄清）这种讨论中发挥了很大的作用，特别是通过允许我们通过经典解释的意思非常精确。

6.1古典嵌入

假设我们给出了统计模型（A，δ）。 构建（a，Δ）的“经典解释”的非常简单的方法将首先尝试在Borel测试空间B中嵌入一个，希望随后占δ中的统计状态作为“隐藏”经典的平均值，即，色散 - 后者的完美。 因此，我们希望找到一个SET S和映射X→℘（s）分配给A SET X *⊆s的每个结果x，以这样的方式，对于每个测试e∈a，{x *|x∈e}形成s的分区。如果这可以完成，然后每个结果x只是记录系统中的一个事实，即系统是一组状态，即x *。 如果我们允许σ是由{x *|x∈x}的组生成的集合生成的Σ-algebra，我们发现每个概率测量μ在σ上拉回μ*，即μ*（x）=μ（x *）。 只要Δ中的每个状态都是这种形式，我们可能要求给出对模型（A，Δ）的完全经典解释。

s的最小候选者是A上的所有分散状态的集合。设置x * = {s∈s|s|s（x）= 1}给我们一个如上所述的经典解释，我将调用A的古典图像。通过这一的任何其他古典解释因素。 但是，仅注意映射X→X *仅在有足够许多的分散状态以分离A的不同结果时才会注射X→X *。如果A完全没有无分散状态，则其古典图像是空的。 Glason的定理告诉我们，这是量子 - 机械模型的情况。 因此，这种特殊的经典解释不适用于量子机械模型。

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