连续性和无穷大（六）

9.平稳无限分析

在20世纪70年代在20世纪70年代出现了合成微分几何的概念的概念的一个主要发展，也称为顺利无限分析（SIA）。[47] 基于美国数学家F. Lawvere的思想，采用类别理论方法，顺利无限分析提供了世界的形象，其中连续是一种自主概念，而不是在离散的方面解释。 它为数学分析提供了一个严格的框架，其中空间之间的每个功能都是光滑的（即，任意多次可分辨，特别是连续），并且在其中尼利特取代了定义微积分基本概念的限制无穷小，即量量如此小（但实际上并不零），有些电力最有用，方形消失。 由于在SIA所有功能是连续的，它体现了莱布尼兹连续性Natura非Facitit Saltus的原则。

在下文中，我们使用大胆的R来区分SIA的实际和建设性分析的对应物。 在微积分的常见开发中，对于实线R，Y = F（x）上的任何可分辨率函数f，它遵循泰勒的定理，即y youdsiant中的增量Δy= f（x +Δx）-f（x）递增时X中的Δx由形式的等式确定

δy= f'（x）δx+一个（δx）2，

其中f'（x）是f（x）的导数，a是一个值，其值取决于x和Δx。 现在，如果可以采取Δx，如此小（但不用于0），那么（Δx）2 = 0那么（1）将假设简单的形式

f（x +δx）-f（x）=δy= f'（x）δx。

我们将呼吁将其平方为零的零ILSQUARE Infinitsimal或简单的微型性。 在SIA“足够的”微态以确保等式（2）对于任意函数F：R→R来保持不变。 （当然（2）在标准数学分析中持续持有，因为有没有这种意义上的唯一微量性。）这里可以以跟随方式阐述术语“非活动”的含义。 如果我们通过站立的字母ε替换Δx，则（2）假设表格

f（x +ε）-f（x）=εf'（x）。

理想情况下，我们希望该等式的有效性独立于ε，即给定X，用于保持所有微态ε。 在这种情况下，导数f'（x）可以定义为唯一的数量d，使得等式

f（x +ε）-f（x）=εd

保持所有微型素质ε。

在这个等式中设置x = 0，我们特别介绍

f（ε）= f（0）+εd，

对于所有ε。 它是公式（4），其在光滑的无限分析中被视为公理。 让我们为这组微型性写入δ，即

δ= {x：x∈r∧x2= 0}。

然后假设它，对于任何F：Δ→R，存在唯一的d∈r，使得等式（4）保持所有ε。 这表明F的曲线图是通过斜率δ的通过（0，f（0））的直线。 因此，δ上的任何功能都是数学家术语患病，因此这种假设自然被称为微航的原理。 这意味着δ不能弯曲或破裂：它仅是转换和旋转 - 但不是（因为它必须在普通分析中）与点相同。 Δ可以被认为是拥有位置和态度的实体，但缺乏真正的延伸。

现在将映射的空间ΔΔ从δ视为自身。 它从微航原理中遵循的是，由0℃消失的地图组成的Δδ的子空间（Δδ）0是同性的。[48] 空间Δδ是在组合物的组合物下是通过评估的作用的组合物中的[49]：对于f∈δδ，f⋅ε= f（ε）。 其子空间（Δδ）0是自然被确定为微态的比率空间的蛋解水域。 上述同构（Δδ）0和r易于被认为是长醇的同构（其中R被认为是在其通常乘法下的一半）。 因此，r本身可以被视为微态的比率。 这基本上是欧拉的视图，他们认为（真实）的数字是表示计算比率0/0的可能结果。 因此，Lawvere建议R被称为欧拉真实的空间。

如果我们认为函数y = f（x）定义曲线，则对于任何A，通过将Δ到a平移而获得的“微内酯”Δ+ a的f的图像下的图像是直的，并且在x = a处与曲线的切线重合。 在这意义上，每条曲线是“无穷无胆”。

从微航原则来看，我们推测了微校务的重要原则，Quiz。

如果εa=εb对于所有ε，则a = b。

对于前提是断言，由g（ε）=aε限定的函数g：δ→r的曲线图具有斜率A和斜率B：微航原理的唯一状态，然后给出a = b。 微校验原理提供了确切的意义，其中有“足够”无穷无尽的无穷无尽的分析。

从微航原理来看，它还遵循R的所有功能是连续的，即，将相邻点发送到相邻点。 这里，如果x-y处于δ中，则读取两个点x，y上的y是邻居的，即，如果x和y因微量态而异。 要看到这一点，给定F：R→R和相邻点x，y，注意y = x +ε在δ中，这样

f（y）-f（x）= f（x +ε）-f（x）

=εf'（x）。

但显然，任何倍数的微态也是一种微型性，因此εf'（x）是一种微型性，结果遵循。

事实上，由于等式（3）持有任何F，它也适用于其衍生物F'; 因此，在顺利无限分析中的功能任意多次可分辨，从而证明了术语“平滑”的使用。

让我们推导出差分微积分的基本定律，产品规则：

（fg）'= f'g + fg'。

这样做我们计算

（fg）（x +ε）=（fg）（x）+ε（fg）“（x）

= f（x）g（x）+ε（fg）“（x），

（fg）（x +ε）= f（x +ε）g（x +ε）

= [f（x）+ f'（x）]⋅[g（x）+ g'（x）]

= f（x）g（x）+ε（f'g + fg'）+ε2f'g'

= f（x）g（x）+ε（f'g + fg'），

由于ε2= 0。 因此，ε（fg）'=ε（f'g + fg'），并且通过微套装遵循结果。

函数f：r→r r的静态点a被定义为载位数“无穷大的变化”未能改变f的值，即所有ε的f（a +ε）= f（a）。 这意味着f（a）+εf'（a）= f（a），使得所有ε的εf'（a）= 0，因此它遵循f'（a）= 0的微寄生。 这是Fermat的规则。

关于我们在顺利无限分析中采用的稳定点的重要假设是

恒星原则。 如果间隔J中的每个点是F：J→R的静止点（即，如果F'相同为0），则F是恒定的。

简洁地说，“普遍的地方持股性意味着全球恒定”。 因此，具有相同衍生物的两个功能最多常见。

在普通分析中，连续r r在这一个意义上连接到它不能被分成两个非空亚群，其中两个都不包含另一个的限制点。 在光滑的无限分析中，它具有巨大的不可思议性的性质：它不能以任何方式分成两个不可拍的非空的子集。 假设r =u∪v与u∩v=∅。 通过f（x）= 1如果x∈u，f（x）= 0，则定义f：r→{0,1}如果x∈v。 我们声称f是常数。 因为我们有

（f（x）= 0或f（x）= 1）＆（f（x +ε）= 0或f（x +ε）= 1）。

这提供了四种可能性：

f（x）= 0＆f（x +ε）= 0

f（x）= 0＆f（x +ε）= 1

f（x）= 1＆f（x +ε）= 0

f（x）= 1＆f（x +ε）= 1

可能会排除可能性（ii）和（iii），因为f是连续的。 这叶（i）和（iv），其中f（x）= f（x +ε）。 所以F在本地，因此在全球范围内，常数，即在第一种情况下，在第一个案例v =∅中，在第二U =∅中。

我们观察到，光滑无限分析的假设与古典逻辑中间排除的法律不相容。 这种不兼容可以以两种方式展示，一个非正式和另一个严谨。 首先是非正式论点。 如果x = 0和f（x）= 0，请考虑由f（x）= 1为f（x）= 1定义的函数f。 如果被排除的中间保留法，则每个实数将是相等或不等的0，因此函数f将在整个R上定义，但是被视为具有域R的函数，F是明显不连续的。 从我们所知道的，在r的顺利无限分析中，R上的每个功能都是连续的，f在那里不能有域R. [50] 因此，排除中间的法律在顺利无限分析中失败。 简洁地说，普遍的连续性意味着中间被排除的法律失败。

现在是严格的争论。 我们表明，排除中间法律的失败可以从无限消除的原则中得出。 首先，如果x≠0，则x2≠0，使x2 = 0，然后必须不是x∈0。 这意味着

（*）

对于所有无限ε，而不是ε0。

现在假设被排除在外的法律是持有的。 然后我们将有任何ε，ε= 0或ε0。 但是（*）允许我们消除第二种替代方案，并且我们推断出所有ε，ε= 0。 这可能是写的

对于所有ε，ε⋅1=εί0，

从中源自微校长，误操作1 = 0。 因此，被排除的中间的法律必须失败。

因此，“内部”逻辑的顺畅无限分析并非全古典逻辑。 相反，直观逻辑，即逻辑导出的数学断言的建设性解释。 在我们的简短草图中，我们没有注意到这种“逻辑的变化”，因为像大多数基本数学一样，我们所讨论的主题是通过直接计算的建设性手段自然治疗。

SIA的R代数和订单结构是什么？ 就前者而言，古典情况几乎没有差异：在SIA R配备了通常的加法和乘法操作，它是一个领域。 特别地，R满足每个x≠0具有乘法逆的条件。 但是，注意，由于在SIA没有微型型（除了0本身）中被证明≠0，因此无需乘法逆（一种导致不一致的要求）。 从严格的代数角度来看，SIA中的R仅与其经典同行不同，只能满足无限消除的原则。

然而，正如SIA中R的顺序结构，情况是不同的。 由于中间排除的法律失败，所以在SIA中的顺序关系不能满足三分之一

x＜y∨y＜x∨x= y，

因此＜必须是部分，而不是总排序。 由于微态没有乘法反转，并且R是一个字段，因此任何微态ε必须满足

¬ε＜0∧¬ε＞0。

因此，如果我们定义关系＜by x＜y iff¬（y＜x），那么，对于我们拥有的任何微态性ε

ε≤0∧ε≥0。

使用这些想法，我们可以识别SIA中的r的三个无穷无尽的社区，其中每个都包含在其继任者中。 首先，Microquities的集合Δ本身，接下来，集合I = {x∈r：¬x≠0}难以区分的元素; 最后，集合

j = {x∈r：x≤0∧x≥0}

元素既不少于0。这三个可以被认为是分别定义代数，逻辑上，逻辑和顺序定义的无穷大的邻域。

在某些模型的SIA模型中，自然数量具有一些微妙和有趣的特征，使得可以引入另一种类型的无穷性 - 所谓的可逆性无穷性 - 类似于非标准分析的那些，其存在又是另一个无限邻域为0，包含上面介绍的所有。

在SIA中，自然数的SET n可以被定义为r的最小子集，其中包含0，并且在添加1.在某些型号的SIA中，R满足ARCHIMEDEAN原理，每个实数由自然数大多数。 然而，SIA的模型已经建成（Moerdijk＆Reyes 1991），其中r在这个意义上不是Archimedean。 在这些模型中，需要考虑的是更自然的，代替n，所定义的平滑自然数的设置n *

n * = {x∈r：0≤x∧sinπx= 0}。

n *是带有正X轴的平滑曲线Y =SINπx的一组。 在这些模型中，R可以显示r，提供了ARCHIMEDEAN属性，条件是在定义n中被N *替换。 然后，在这些模型中，n是n *的适当子集：n * -n的成员可以被认为是非标准整数。 非标准整数的乘法反转是无穷无尽的，但是，自身是可逆的，他们到目前为止考虑的那些不同的类型。 它很容易表明它们以及j（以及δ和i中的无穷小，均包含在集合中 - 一个进一步的无限邻域为0-

k = {x∈r：∀n∈n（ -

1

n

＜x＜

1

n

）}

r的无限小元素。集合的成员

在= {x∈k：x≠0}

K的可逆性元素自然被确定为可逆的无穷性。 被获得为“无限大”真实的反转（即，真实的r满意∀n∈n（n＜r）∨∀n∈n（r ＜-n））中的成员是Infiniteimals的Sia的同行非标准分析。

最后，在SIA的模型上简要说明。 这些是所谓的平滑拓扑，类别（参见类别理论）的类别（参见类别理论），其中可以执行所有通常的数学操作，但其内部逻辑是直观的，并且空间之间的每个地图都是平滑的，即，无限制地差异。 这是这种“通用平滑度”，其使得具有诸如Δ的无限物体存在。 平滑盖板的建设（Moerdijk＆Reyes 1991）保证了SIA与直觉逻辑的一致性。 尽管SIA与古典逻辑不一致，这是如此。

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