连续性和无穷大（五）

这种洞察力导致了非标准分析的创建，[41]这是一种罗宾逊认为莱布尼斯的无限数量和信息的概念，作为具有与普通实数相同的属性的理想数字。

在罗宾逊的初步洞察力之后，开发了许多呈现非标准分析的方法。 这是其中一个的草图。

从古典实线ℜ，一个设定的理论宇宙 - 标准宇宙 - 首先构建它：通过这种宇宙是指u包含ℜ的uber，它在Union，Power Set，Cartesian产品的常用机构操作下关闭。子集。 现在写下你的结构（U，∈），其中∈是u的通常成员关系：与之相关的是集合理论的一阶语言的扩展l（u），以包括U的每个元素U的名称U.现在，使用众所周知的紧凑性定理。一阶逻辑，U扩展到一个新的结构* u =（* u，*∈），称为非标准宇宙，满足以下关键原理：

饱和原理。 设φ是L（u）的集合，具有恰好一个自由变量。 如果φ在U中有限度地满足，即φ的任何有限子集φ'，则存在U元素，其满足U中的所有公式，然后存在* U的元素，其满足* U中的所有公式。

饱和度属性表达了非标准宇宙与标准宇宙相比非常丰富。 实际上，虽然可能存在，但对于给定的属性P的每个有限亚级F，而PET的每个有限的子层F，则U满足U中F的元素，可能不一定是U满足P的所有成员的元素。* U保证存在的饱和元素* U满足* U，所有部分的所有成员。例如，假设自然数的集合n是U的成员; 对于每个n∈N，设为pn（x）是属性xnn＆n ＜x。 然后清楚地，虽然在u的每个有限的子级P = {pn：n∈n}中，但整个集合不是。 * U满足* U的元素将是比N的每个成员大的“自然数”，即无限数量。

从饱和度属性，所以*你满足重要的

转移原则。 如果σ是l（u）的任何句子，则Σ如果且才能在其内存在* u中。

转移原则可以被视为莱布尼兹的连续性原理的一个版本：它断言所有一阶属性在段落中保留或从标准到非标准宇宙的“转移”。

U的成员称为标准集或标准对象; * U-U非标准集或非标准对象中的那些：* U因此由标准和非标准物体组成。 * U的成员也将被称为* -sets或* -Objects，因为u⊆* U，在此公约下，每个集合（对象）也是一个* -set（对象）* -set a的* -members是* -Objects x为哪个x *∈a。

如果A是标准集，我们可能会考虑集合

一种

- 膨胀的A-Supplated的所有* - MEMBERS：这不一定是一个甚至是* -set。 充气

一种

标准集A可以被视为从非标准的有利位置观看的相同集合。 虽然显然是一个

一种

，

一种

可能包含“非标准”元素不在A中。实际上可以显示，无限标准集始终以这种方式“充气”。 使用传递原理，标准集之间的任何功能F自动延伸到函数 - 也在其膨胀之间写入f-s。

如果a =（a，r）是数学结构，我们可以考虑结构

一种

=（

一种

，

r

）。 从转移原则来看，它遵循A和

一种

精确相同的一阶属性。

现在假设自然数的集合n是U的成员。然后是实数的设定的ℜ，因为每个实数可以用一组自然数字来识别。 ℜ可以被视为有序的字段，因此它的充气也是如此

ℜ

，由于后者恰好与ℜ相同的一阶属性。

ℜ

被称为夸大线，其成员估量。 然后，标准的溢流是一个真实的，我们将以标准的真实指责。 由于ℜ是无限的，必须存在非标准的偏压。 饱和原理意味着必须有无限（非标准）的极性，[42]，即每个n∈n的偏振A，使得A＞n。 在这种情况下，其倒数1 / A在超过0的意义上是无限的，但每个n∈n的比例小于1 / N + 1。 一般来说，如果它的绝对价值| A | 每个Nn∈n小于1 / n + 1。 在这种情况下，无穷小的Set I不仅包含0，而且只有大量（实际上，无限多）其他元素。 显然，我是一个添加剂亚组，即如果a，b∈i，那么a-b∈i。

充气的成员

n

n被称为上衣数字。 至于偏热，可以表明

n

还包含非标准元素，必须超过n的每个成员; 这些称为无限的上衣数字。

对于高估A，B我们定义一条千言之十字，并说A和B是无限地关闭IF A-b∈i。 这是对偏振线的等价关系：对于每个估计，我们为这一关系的等价类别写下μ（a），并称之为A的MONAD。 因此，Monad A的Monad由所有无限靠近A的偏热体组成：它可能被认为是一个以达到的小云。 还要注意μ（0）= i。

如果不是无限的话，高度A是有限的; 这意味着| A |＜n对于一些n∈n。 并不难表明，有限性相当于近标准度的条件; 这里，如果是一些标准真正的R.近似r，则近标准标准。

非标准分析的大部分有用性源于涉及限制或（ε，δ）标准的经典分析的陈述承认简洁，直观的翻译成涉及无限数或无限数量的语句，反过来相比之下给予古典定理的直接证据。 以下是这种翻译的一些例子：[43]

让⟨sn⟩是标准无限序列的实数，让我们成为标准实数。 然后s是⟨sn⟩内的极限，在典型的感觉中，如果sn≈似乎似乎股份有限象征，但是只有所有无限下标。

标准序列⟨sn⟩仅在sn≈smamsfor all无限n和m时会收敛。 （Cauchy的融合标准。）

现在假设f是在某些开放间隔（a，b）上定义的实际值函数。 我们在上面发表评论，F自动扩展到函数 - 也写入F-ON

^

（一个，b）

。

为了使标准实数C为f（x）的限制作为x方法x0，limx→x0f（x）= c，用x0标准实数在（a，b）中，它是必要的，并且足够的f（x）≈f（x0）x≈0x0。

函数f在（a，b）中的标准实数x0处是连续的，如果只有f（x）≈x0的f（x）≈x0）。 （这相当于说F将X0的MONAD映射到F（X0）的MONAD中

为了使标准数C在X0处成为F的衍生物，这是必要的和足够的

f（x）-f（x0）

x-x0

≈c

对于X0的MONAD中的所有x x0。

许多其他分支的数学承认整洁而富有成效的非标准配方。

8.建设性实线和直觉连续体

建设性数学发展的原始动机是在建设性或可计算的基础上提出数学存在的想法。 虽然有许多品种的建设性数学（Bridges＆Richman 1987），但在这里，我们将重点关注主教的建设性分析（Bishop＆Bridges 1985; Bridges 1994,1999;和Bridges＆Richman 1987）和Brouwer的直觉分析（Dummett 1977）。

在建设性的数学中，只有在至少是一个明确的解决方案至少可以生产的情况下，才会计算问题。 因此，例如，“存在X这样的X（x）”意味着原则上至少，我们可以明确地产生X这样的p（x）。 这一事实导致了质疑古典逻辑的某些原则的质疑，特别是被排除的中间的法律，以及创建一个新的逻辑直觉逻辑（参见直觉逻辑的条目）。 它还导致引入真实数字的锐化定义 - 建设性的实数。 构造实数是一个Rational（RN）= R1，R2，......，即，对于任何K，可以以≤1/ k的方式计算数字n。 通过用实数（α，α，......）识别它，可以将每个Rational Number A视为实数。 所有建设性实数的集合是建设性实线。

现在当然，对于任何“给定”的实数，有多种方式给出了明确的近似序列。 因此，有必要定义等价关系，“真实的平等”。 这里的正确定义是：r =ℜsIFF对于任何k，可以找到数字n，以便为所有p的Rn + p-sn + p |≤1/ k。 要说两个实数相同就是说它们在这个意义上是等同的。

实数线可以配备有公理描述。 我们首先假设存在集合

二进制关系＞（大于）

由x＃y⇔x＞y或y＞x定义的相应的一个相应的apartness关系＃

一元操作x↦-x

二进制操作（x，y）↦（x + y（添加）和（x，y）↦xy（乘法）

可区别元素0（零）和1（一）0°1

一组元素上的一组Unary操作x↦x-1≠。

R的元素称为实数。 如果x＞0和负if-x＞0，则实际数字x是正的。 关系≥（大于或等于）定义

x≥y⟺∀z（y＞z⇒x＞z）。

关系＜和≤以通常的方式定义; x是非负的IF0≤x。 如果x≥y和y≥x，则两个实数相等，在这种情况下，我们写入x = y。

用r的常规子集识别自然数，正整数，整数的正整数，z的z和q的集合n; 例如，n +用形式1 + 1 + ... + 1的R的元素集识别。

这些关系和操作受到以下三组公理，其组合在一起，形成合理的系统CA以进行建设性分析，或建设性的实数（桥梁1999）。

现场公理

x + y = y + x

（x + y）+ z = x +（y + z）

0 + x = x

x +（ - x）= 0xy = yx

（xy）z = x（yz）

1×= x

xx-1 = 1如果x＃0

x（y + z）= xy + xz

订单公理

¬（x＞y∧y＞x）

x＞y⟹∀z（x＞z∨z＞y）

¬（x＃y）⟹x= y

x＞y⟹∀z（x + z＞y + z）

（x＞0∧y＞0）⟹xy＞0。

最后两个公理引入了＞≥的特殊特性。 在这些上述概念的概念中的第二个中，下面有界限和有界被定义为在经典数学中，并且如果它存在最小的上限，则是实数的非空数字的s的唯一实数b是这样的

B是S的上限

对于每个C＜B，存在S＞C.

特殊属性＞。

Archimedean Axiom。 对于每个x∈R，使得x≥0存在n∈n，使得x＜n。

最小的上限原理。 让S成为上面相对于关系界定的R的非空的子集≥，使得对于所有具有＜B的所有实数A，B，B是S的上限，否则存在S＞A. 然后s具有最小的上限。

然后可以建立>≥≥≥的基本属性。

¬（x＞x）

x≥x

x＞y∧y＞z⟹x＞z

¬（x＞y∧y≥x）

（x＞y≥z）⟹x＞z

¬（x＞y）⟺y≥x

¬¬（x≥y）⟺¬¬（y＞x）

（x≥y≥z）⟹x≥z

（x≥y∧y≥x）⟹x=y

¬（x＞y∧x= y）

x≥0⟺∀ε＞0（x＜ε）

x + y＞0⟹（x＞0∨y＞0）

x＞0⟹-x＜0

（x＞y∧z＜0）⟹yz＞xz

x＃0⟹x2＞0

1＞0

的x2＞0

0＜x＜1⟹x＞的x2

的x2＞0⟹x＃0

n∈n+⟹n-1＞0

如果x＞0和y≥0，则∃n∈z（nx＞y）

x＞0⟹x-1＞0

xy＞0⟹（x≠0∨y≠0）

如果是＜b，那么∃r∈q（a＜r＜b）

上面引入的建设性实线R是CA的模型。 是否有其他模型，也就是说，模型不同成R.如果假设经典逻辑，则CA是一个分类理论，因此答案是否定的。 但直觉逻辑中的情况并非如此，对于那里来说，Dedekind和Cantor Reals可能无法成为同构，尽管他们是CA的型号。

在建设性分析中，实数是由有效规则产生的无限数（收敛）的理性数字序列，使得建设性实线基本上仅仅是其经典对应的限制。 Brouwerian Intuitionism在这一问题上采取了更自由的观点，导致算术连续性的相当大的丰富，以严格的建构主义提供的版本。 由于直觉主义构思，算术连续体作为实际数字承认不仅通过用于计算其术语的有效规则的有效规则而确定的无限序列，而且还可以在其产生的自由选择中扮演零件。 后者称为（自由）选择序列。 如果没有遗失的普遍性，我们可能并假设选择序列中的条目是自然数。

虽然建设性分析与经典分析没有正式矛盾，但实际上可能被视为后者的子系统，因此已经提出了许多直观的合理原理，用于选择序列理论，这使得直觉分析与其不同经典的同行。 一个这样的原则是BROROWER的连续性原理：给定选择序列之间的关系Q（α，n）α和数字n，如果对于每个α可以确定Q（α，n）保持，则可以基于知识确定n有限数量的α。[45] 从这个可以证明连续性定理的弱版本，即来自R到R的每个功能都是连续的。 另一种这样的原则是棒诱导，一定的诱导良好的有限序列诱导形式。[46] BROROWER使用的条形归纳和连续性原理在证明他的连续性定理中，在闭合间隔内定义的每个实际值函数都是均匀连续的，从中均匀连续，因此它遵循直观的连续体是不可审议的。

Brouwer通过介绍创意主题，给出了数学的直观概念明确主观扭曲。 创意主体被认为是一种理想化的数学家，其中时间被分成离散顺序阶段，每个人都可以测试各种命题，试图构建证明等。 特别地，可以始终确定在创意主题的阶段是否具有特定数学命题p的证据。 虽然创造性主体的理论仍然存在争议，但它可以通过简单的假设可以获得完全没有主观和时间元素的纯数学后果。

创意主体允许我们为特定的命题P，如果创造性主体在阶段N处具有P的证据，则通过AN = 1来定义二进制序列 否则= 0。 现在，如果这些序列的构建是由创造性主题制成的唯一用途，则可以通过假设称为Kripke的方案的原理来避免对后者的参考

对于每个命题P，存在增加的二进制序列，使得P且仅在某些n的= 1时才能暂停。

在一起，这些原则已被证明对连续uum子集的不可审议性具有显着影响。 Intuitation族连续体不可分解（即不能分成两个非空的不相交部分），而是假设连续性原理和克莱波克的方案，即使用PIN刺破它也仍然不可分化。 直觉的连续体有，因为它是一种糖浆性质，所以一个人不能简单地拿走一点。 如果在求和辅助辅助，那么，即使从连续体移除所有合理点时，也仍然更令人惊讶地，即使从连续体移除所有合理点时，也会保持不分解性。

最后，已经表明，无限的自然概念可以在直觉数学（Vesley 1981）中发展，这一想法是无限的应该是一个“非常小”的真实数字，没有被称为可区分的感觉 - 这是，严格大于或小于零。

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