连续性和无穷大（四）

Weierstrass致力于清除分析所有直接动作直觉的痕迹的基础，以替换静态的变量。 对于Weierstrass，变量X仅仅是指定给定数字集的任意成员的符号，并且相应的集合S具有围绕s的任何成员x周围的任何间隔的属性的连续变量之一。 Weierstrass还配制了连续功能的熟悉（ε，δ）定义：[29]函数f（x）在A对于任何ε＞0时连续地是连续的，存在δ＞0，使得所有x的δ＞0）| f（x）-f（a）| x -a |＜δ。[30]

在Weierstrass的努力之后，通过Richard Dedekind（1831-1916）安装了对制定严格的连续性定义和实数的问题的攻击。 Dedekind侧重于问题：究竟是什么是与不连续的一个不连续的域名的它？ 他似乎是第一个认识到，由订购的合理数量拥有的密度属性不足以保证连续性。 在连续性和非理性数量（1872）中，他备注的是，当合理的数字与直线点关联时，“没有理性数字对应的无数点[在线上]（1872：第3节[1999：770]）理性数字表现出”Gappiness，不完整，不连续性“，与直线”没有间隙，完整性，连续性“（1872：第3节[1999：771]）相反。 Depeekind认为这一原则基本上是不可思议的; 他归于它，而不是，我们将我们归因于其连续性的公约的状态，我们认为在线的连续性“（1872 [1999：771-772]。它不是，空间所需的压力在这种意义上是连续的，对于”即使它是不连续的，其中许多属性将保持不变“（1872 [1999：772]）。

通过“创建新观点 - 个人”（1872 [1999：772]）是Dedekind建设实数域名的关键主意。 他首先将切口定义为理性数字的分区（A1，A2），使得A1的每个成员小于A2的每个成员。 在注意每个Rational数对应于切割的情况下，他观察到无限的削减不能通过理性数字来引起。 理性数字领域的不连续性或不完整性在后一种事实中精确组成。

应注意，Dedekind不会识别与削减的非理性数量; 相反，每个非理性数目都是新的“创造”的心理行为，仍然与其相关的切割相当不同。 Defekind继续展示削减域以及实际数字的相关领域的方式，可以以与连续性的属性，viz的方式命令。

如果所有实数的系统ℜ分为两个类A1，A2，使得类A1的每个数字A1小于类A2的每个数字A2，则存在一个且仅产生该分离的数量。 （1872：第5节[1999：776]）

最有远见的“余弦化”的全部是Georg Cantor [31]（1845-1918）。 Cantor对无限点集的连续体的分析导致了他的Transfinite数量的理论，并从其几何起源到一系列点的最终释放概念，因此为今天的摘要集中概念铺平了途径。数学。 像Weierstrass和Defeekind一样，Cantor旨在制定足够的真实数字的定义，避免了他们事先存在的预设，并且他在基于理性数字上的定义时遵循它们。 在Cauchy之后，他调用序列A1，A2，......，......基本序列，如果存在整数n，则对于任何正极理性的ε，存在整数n，使得为+ m-a1 | ＜ε所有m和所有n＞n。 据说满足这种条件的任何序列⟨an⟩⟨an⟩⟨an⟩⟨an⟩。具有明确的极限b。 Depeekind已经采取了非理性的数量，成为与削减相关的精神对象，因此，克兰人对这些明确的限制，只不过是与基本序列相关的正式符号（Dauben 1979：38）。 这些符号的域B可以被认为是域A的域A的域A的域A的幅度。 在施加在域B上的算术结构之后，官方牢牢地将其元素称为（实际）。 然而，除了作为基本序列的代表，他仍然坚持认为这些“数字”没有任何存在。 然后陈函数表明，线上的每个点对应于B的一定元素。相反，B的每个元素应确定线上的明确点。 意识到线性连续体的直观性妨碍了这一财产的严格证明，唱歌只是假设它作为一个公理，就像德德克宁在其连续性原则方面做过的那样。

对于颂歌，谁是一个数字主义者，在整个职业生涯中砍伐了离散的，它是数字，而不是几何点，具有客观意义。 实际上，离散数域B和线性连续体之间的同构被符号基本上被视为用于促进数量操纵的装置。

Cantor的连续算法的算术具有以下重要的结果。 已经认识到，即使其中一个是长度的，也可以放置在一对一体的对应关系中的任何一对线段的点。 这一事实是为了表明，这样的一组点没有明确定义的“尺寸”。 但是陈函数的识别线性连续体上的一组点与数字域的域，使得能够以明确的方式比较点集的大小，使用数字组之间的一组对应关系的良好接地思想。

坎特对线性连续体的子集的性质的调查是在1879-84期间发表的六篇杰出的论文中介绍了überunendlicheLinearePunktmannichfaltigkeiten（“无限，线性点”歧管“）。 这些论文在思想丰富的思想中，这些论文提供了哥伦革命理论的第一个叙述，其在线性连续体的子集分类。 在这些论文中的第五个中，1883年的格雷加尔人将被发现一些关于连续体质的最多搜索的观察。

坎特开始审查连续统一的争吵概述，传统上包围了概念，谨此介绍，连续统一体直到最近被视为一个基本上不明显的概念。 这是哥伦的担忧

尽可能清醒地和简要介绍连续素的概念，并且只在套装的数学理论方面。 （1883 [1999：§10，第2段，第293页）

这将打开方式，他认为，制定连续体的确切概念。 唱歌指出，迄今为止，迄今为止的思想仅仅是由涉及持续功能等的分析的数学家预先推出，并“未经任何更全面的检查”（1883 [1999：§10，第3段，p。904]）。

拒绝在精确确定连续体中的任何使用空间或时间直觉，Cantor进行其精确的算术定义。 参考他已经提供的实际数量的定义（即，在基本序列方面），他将N维算术空间GN引入了Real Numbers的所有n组元组的集合⟨x1，x2，...，xn⟩，呼叫每个这样的算术点Gn。 两个这样的点之间的距离由

√

（x

'

1

-x1）2+（x

'

2

-x2）2 + ...（x

'

n

-xn）2

唱歌将一个算术点定义为GN，是任何“以律方式给出的空间GN点的点数”（1883 [1999：§10，第6段。6，p。904]）。

稍后，他先前已经表明，所有空间GN都具有与间隔（0,1）中的实数相同的功率，并重申他的定罪，即任何无限点集具有自然数量的电源或（0,1），[32] Cantor转向GN内的连续概念的定义。 为此，他采用在三角系列的1872年纸上引入的点集的衍生或衍生集合的概念。 颂歌已经定义了点集P的派生组，是p的限制点集，其中P的极限点是P的一个点，其无数P点任意靠近它。 如果与其派生集合重合，则调用点集。[33] 颂歌观察到这种情况不足以表征连续体，因为完美的组可以在没有间隔的线性连续体中构造，但是小：作为这样一个集合的示例，他提供了由（0,1）中的所有实数组成的示例其三元扩展不包含“1”。

因此，需要额外的条件来定义连续体。 CANTOR通过引入连接集的概念来提供此目的。 如果任何一对点T，T'和任何任意少数ε在陈列的某些方面连接到CANTOR SETT的点SET T有有限序列T1，T2，...，TN的距离[TT1]，[T1T2]，[T2T3]，......，[TNT']全部小于ε。 CONTOR现在定义了一个是完美的连接点集的连续体。

坎特罗特已经推进了他的前辈，制定了基本上的拓扑定义，其中一个，同时仍然依赖度量概念，不涉及订单关系。[35] 将Cantor的定义与现代通用拓扑中的连续统一的定义进行比较，很有意思。 在一个众所周知的教科书（Hocking＆Young 1961：43）上，我们发现一个连续核定义为拓扑空间的紧凑型副本。 现在在欧几里德空间的任何有界地区内，可以证明Cantor的Continua在现代定义的意义上与Continua重合。 虽然唱歌缺乏紧凑性的定义，但他的要求继续“完成”（这导致他作为连续的拒绝作为开放间隔或光盘的拒绝，距离这个想法不远。

整个哥伦比亚的数学职业，他维持了一个坚定不移的，甚至对无穷大的反对，攻击数学家如Du Bois-eyymond和Veronese [36]，以制定实际无穷无尽的严格理论。 就陈列而言，无限的超越可能的领域; 无穷无止不仅仅是“空中的城堡，或者只是胡说八道”（1893 [1965：506]，由Fisher 1981：118翻译），被归类为“圆形方块和方圆”（1893 [1965年：507]，由Fisher 1981：118翻译）。 他对无穷无尽的憎恶进行了如此深刻，以便将他迁移到彻底的诽谤，将它们品牌作为“数学霍乱 - 杆菌”（1893 [1965：505]，由Fisher 1981：116翻译）。 克兰州的拒绝无限倾向于他的信念，他自己的经细制性序数和基数的理论耗尽了无数的境界，因此没有进一步概括的数量概念，特别是任何拥抱无穷无尽的无穷大的概念。受理。

6.对算术的关键反应

尽管Weierstrass的巨大成功，Depeekind and Cantor在构建来自算术材料的连续体中，但第十九日和二十世纪初期的许多思想家仍然反对，以不同程度的想法完全以离散术语阐述连续性概念。 这些包括哲学家布伦塔诺和佩雷斯和数学家Poincaré，Brouwer和Weyl。

在后来的几年里，奥地利哲学家Franz Brentano（1838-1917）都始于连续的性质（Brentano [Pistc]）。 在它的基础上布伦塔诺对持续的账户类似于亚里士多德的帐户。 布伦塔诺认为连续性作为感知，原始的性质，而不是数学建设。 他认为，连续的想法是从明智的直觉抽象出来的。 布伦塔诺认为，连续的连续是通过三个阶段的明智直觉出现。 首先，感觉给我们带来了具有重合的部件的物体。 从这些物体中，边界的概念依次抽象，然后一个掌握这些对象实际上包含一致边界。 最后，人们看到这一切都需要掌握连续uum的概念。

对于Brentano，连续体的基本特征是其具有界限的固有能力，以及这种界限可以恰好兼成一定。 边界本身拥有Brentano称渗流器（“丰满”）的质量。 渗透率是给定边界实际限制的方向数量的量度。 因此，例如，在时间连续内的时间连续内或未来一个方向上的未来一个引导的起点的终点，而标记一个插曲的结束和另一集的开始点可以说倍增。 在空间连续内的情况下，存在许多额外的可能性：这里可以在其能够界定的所有方向上绑定边界，或者它可以仅在这些方向中的一些方向绑定。 在前一种情况下，据说边界存在于完全渗流器中; 在后者，在部分渗流器中。 布伦塔诺认为，即使边界完全缺乏尺寸，胸膜异位使能感知感知的概念也是如此。 因此，虽然当前或“现在”是根据Brentano的说法，但在时间上未被延伸并且仅作为过去和未来之间的边界，而它仍然拥有两个“部分”或方面：这是过去的结束和未来的开始。 值得一提的是，对于布伦塔诺来说，这不仅仅是“现在”，它只是作为边界存在的“现在”; 由于亚里士多德，他认为“存在”的严格意义意味着“现在存在”，必然遵循现有的东西仅存在于存在或将存在的类型或两者之间存在的边界。

布伦塔诺对数学家从数字构建连续体的努力进行了一些暗淡的观点。 他的态度因拒绝这种试图而变化，因为他们的“小说”的地位不足。[37] 鉴于他的亚里士多德倾向于对实证现象的真实描述而不是理想化的真实描述而不是理想化，这并不奇怪：在他的观点中，如果这些理论被视为文字描述的经验，他们就会更好而不是“虚假陈述”。

Brentano对连续体的分析以其现象学和定性方面为中心，这是他们非常自然无法减少到离散的。 Brentano拒绝了数学家以离散术语构建它的尝试是几乎不令人惊讶的。

美国哲学家 - Mathematician Charles Sanders Peirce（1839-1914）的连续体[38]看，在某种意义上是Brentano和钢筋混蛋之间的中间。 像Brentano一样，连续性的凝聚力在通常的意义上排除了它仅仅是分立的个人收集或积分的可能性。 甚至在Brouwer之前，Peirce似乎已经意识到连续统一体的忠实叙述将涉及质疑被排除在中间的法律。 Peirce还认为，任何连续统一都有一个无束缚的大量积分 - 在他的色彩缤纷的术语中，一个超级的系列 - 我们今天会呼吁适当的课程。 Peirce坚持认为，如果足够的积分通过携带旧的点在其最终限制之间插入新的点，他们将通过逻辑的“数量转变为质量” - 他们的个人身份并变成真正的连续体。

Peirce对数量连续性的概念也非常出色，因为它的丰富无穷无尽，Peirce冠军在微积分的基础上夺回了无穷无尽的概念，这两者都是因为他认为的效率无穷大的方法，因为他认为无限的是构成“胶水”导致连续线上的点以失去个人身份。

连续性的想法在伟大的法国数学家HenriPoincaré[39]中发挥了核心作用[39]（1854-1912）。 在接受连续体的算术定义的同时，他提出的是（与Dedekind和Cantor的配方）（如此）所产生的（非理性）数字是仅仅是符号，从他们的起源中脱离。 与Cantor不同，Poincaré接受了无限的，即使他不认为所有概念的表现都是有用的。

荷兰Mathematician L. E.J.Brouwer（1881-1966）最为被称为（Neo）直觉哲学的创始人（BROROWER [1975]; VAN DALEN 1998）。 BRORWER对数学的高度理想主义观点与康德的相似之处。 对于Brouwer，数学概念只有在直觉中充分接地时，才能允许，只有当他们关注直接在直接给出的东西的实体时，数学理论都是很重要的，并且数学演示是直觉的建设形式。 虽然承认非克利人几何的出现已经错名，但康德的空间看法，Brouwer举行，反对逻辑论者（他称之为“形式主义者”），算术，以及所有数学，必须从颞学派生直觉。

最初没有资格举行的Brouwer，即连续体不可于离散点，但后来修改了这一原则。 在他成熟的思想中，他从根本上改变了点的概念，赋予了足够的流动性的点，使它们能够作为“真实”连续体的发电机。 这种流动性通过承认为“点”而实现，不仅是完全定义的离散号，例如

√

2

，π，e等 - 所以已经达到了“是” - 但是“是”的“是”的“数字”，这是一个永久性的状态，因为它们的十进制（或二元）扩展中的条目是A的自由行为的结果主题在整个无限期的延长时间内运营。 不能构思生成的选择序列，完成对象：在任何时刻只知道初始段。 通过这种方式，Brouwer以与他的信仰相兼容的方式获得了数学连续体 - 这是一个未完成的，这是一个未完成的，确实在永恒的增长状态下，一个“自由发展媒介”。 在这一概念中，数学连续体确实是“建造的”，而不是最初破碎的，如同颂扬和dedekind，直觉连续，而是通过从连续改变重叠部分的复杂组装它来组装它。

Brouwer构思的数学连续体显示了许多似乎奇怪的特征，似乎奇异。 例如，在Brouwerian连续性中，通常的可比性定律，即对于任何实数A，B或A = B或A＞B，失败。 甚至更基本的是，对于任何实数A，B，A = B或A≠B的形式排除中间的法律的失败。 这些看似难以置疑的原则的失败反过来验证了古典分析的许多基本结果的证据，例如博尔扎诺 - 韦尔斯特拉斯定理，以及单调融合，中间值，最小值的定理上限，以及连续功能的最大值。[40]

虽然Brouwerian Continuum从古典数学家的角度拥有许多负面特征，但它具有比其经典同行更密切的相应的优点。 远离奇怪的是，直觉连续素中的点被排除在中间的法律的失败可能与直观连续素的性格相吻合。

1924年，Brouwer表明，在连续统一体的封闭间隔内定义的每个功能都是均匀连续的。 结果，直觉连续体是不可审议的，即不能以任何方式分成两个不相交的部分。 与离散实体相比，不可分解的布鲁瓦耳连续体不能由其部件组成。 Brouwer近年来，近年来的连续性愿景成为了密集的数学调查的主题。

Hermann Weyl（1885-1955）是二十世纪最友好的数学家之一，全神贯注于连续统一体的性质（钟2000）。 他在1918年的Das Kontinuum中，他试图向连续性提供精确的数学制定，没有他所令人反感的定理假设。 正如他所看到的那样，一方面直观地（例如，空间，时间和运动）之间存在差的差距，另一方面的离散的数学（例如，实数）的离散精确概念。 对于Weyl来说，这种分裂的存在意味着数学连续体的构建不能简单地从直觉中“读出”。 相反，他认为必须以与物理理论相同的方式对待数学连续体。 然而，他可能已经希望它，在DAS kontinuum weyl中没有目的是提供连续体的数学制定，因为它被呈现为直觉，作为上述报价，他被认为是不可能的（至少在那个时间）。 相反，他的目标是首先通过在坚定的逻辑基础上将实际数量的算术概念施加算术来实现一致性，然后表明所产生的理论是合理的，因为它是一个合理的持续过程在目标物理世界中的持续过程的基础。

后来Weyl来拒绝连续统一体的原子理论，包括他自己的DAS Kontinuum。 因此，他认为，通过自由行为产生的序列欢迎Brouwer的连续uum建造连续性，因此将其识别为“自由变为”，“不溶解成一组实体”（Weyl 1921,50）。 Weyl认为，通过他的直觉主义的教义，越来越多的人比其他人来说，在直观和数学持续的情况下弥合“不可逾越的鸿沟”。 特别是，他发现引人注目的事实是，布鲁瓦恩连续体不是两个不可拍的零件的联盟 - 它是不可审议的。 “真正的连续体”，Weyl说，“不能分为单独的碎片”。 在以后的出版物中，他通过引用Anaxagoras来表达更加多种多样的效果，即连续uum“用斧头剥离碎片砍伐”。

7.非标准分析

一旦连续内容提供了一个定理基础，就在大量废弃的情况下使用Infiniteimal在数学分析中使用。 因此，这种情况仍然持续了多年。 1958年，1958年的无限分析方法复兴的第一个迹象与C.Schmieden和D. Laugwitz的纸张。 但是，在2060年发生的数学逻辑师亚伯林罗宾逊（1918-1974）中发生了重大突破

当代数学逻辑的概念和方法能够通过无限小型且无限的大数字提供差分和整体微积分的合适框架。 （罗宾逊1966年的前言：VII [1996：XIII]）

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