连续性和无穷大（三）

Leibniz将差异DX，Dy视为变量范围的变量。 这使他能够采取关于符号D作为作用于变量的操作员的重要步骤，因此铺平了D的迭代应用D，导致较高的差异DDX = D2x，D3x = DD2x，以及一般DN + 1x = DDNX。 莱布尼兹认为，一阶差异DX，Dy，...... 与有限量x，y，......，通常，在（n + 1）差分Dn + 1x和nth级差异dnx之间获得的类似关系，不可通或无限地小于或无限的。。 他还假设一阶差分的第n功率（DX）n具有与nth阶差分dnx相同的数量级，意义上是推价DNX /（DX）n是有限量。

对于莱布尼斯来说，无穷无尽的小小无际的少量源于他们未能满足阿基米德的原则; 并且只有无限不同的数量被认为是平等的。 但是，莱布尼斯认为无穷无尽的是比普通数字不可匹配的，而连续性的法则确保他们受到与后者相同的法律管辖。

莱布尼兹对无穷无胆和差异的态度似乎是他们提供了从中塑造正式语法的元素，即连续的代数。 由于他被认为是纯粹的理想实体，因此他对他来说完全一致，因为他所做的那样，他认为无穷无尽的数量并不不那么理想 - 简直是有用的小说，引入缩短论证和援助洞察力。

虽然Leibniz本人没有信用无限的或（数学）无限的目标存在，但他的许多追随者毫不犹豫地这样做。 其中最突出的是约翰伯努利（1667-1748）。 他于1698年写的Leibniz的一封信包含了“因性质中的术语数量是无限的，Ipso Facto的术语”（博士1939 [1959：239]）的直接断言，“Leibniz，Mathematische Schriften，III（第2部分），555）。 他存在实际无限的一个论点之一首先是无限序列1/2,1 / 3,1 / 4，......的阳性。 如果有十个术语，那么十分之一存在; 如果一百，那么百分之一等; 因此，如果如假设，术语数是无限的，那么无限存在。

Leibniz的微积分通过1696年的出版物获得了广泛的观众，由Guillaume deL'Hôpital（1661-1704）在这个主题上的第一个展示书，分析Des Infiniments Petits Pour L'Intelligence des木质法庭。 这是基于两个定义：

可变量是那些不断增加或减少的数量; 恒定或站立量是那些继续相同的数量，而其他人则变化。

无限的小部分，即可变量不断增加或减少称为该数量的差异。

和两个假设：

授予两种数量，其差异是无限少量的，可以彼此漠不关心地（或者是相同的东西），其数量增加或仅通过无限少量减少，可以被认为是剩余的。

授予曲线线可以被认为是无限数量的无限小右线的组合：或（什么是相同的东西）作为具有无限侧面的多边形的多边形，每个无限的长度，确定线的曲率他们互相制作的角度。

leibniz之后，l'hôpital写dx为可变量x的差异。 这些定义和假设的典型应用是确定产品XY的差异：

d（xy）=（x + dx）（y + dy）-xy

= ydx + xdy + dxdy

= ydx + xdy。

在这里，最后一步是通过假设I的证明，因为与YDX + XDY相比，DXDY是无限的。

莱布尼兹的微积分差异，休息，因为它在某些不安全的基础上做了，很快就吸引了批评。 荷兰医师伯纳德·尼旺（Bernard Nieuwentijdt [20]（1654-1718）的攻击在1694-6的作品中特别感兴趣，因为Nieuwentijdt提供了他自己的无穷无尽的账户莱布尼兹并拥有自己的醒目特征（见Mancosu 1996：158-160）。 Nieuwentijdt假设数量或数字的域名，受到更长或更短的订购关系。 该域包括普通的有限量，但也推测含有无穷大的和无限量 - 当其较小或分别比任何任意给出的有限量大于任何时，含有无限的或无限的量。 整个域由ARCHIMEDEAN原理的版本管理的效果为零是无法乘以足够多次乘以等于任何给定数量的数量。 无限量可以通过无限量M表征为有限量B的引号B / m。 与Leibniz的差异相比，Nieuwentijdt的无穷无尽的财产具有任何一双产品消失的财产; 特别是每种无限的是尼血管，即它的正方形，所有更高的力量都是零（见Mancosu 1996：159）。 这一事实使Nieuwentijdt能够表明，对于代数方程给出的任何曲线，由无限横向增量E产生的差分三角形的斜边与x之间的曲线的片段一致地符合x和x + e。 也就是说，真正的曲线是一种无限的多边形。

Nieuwentijdt's和Leibniz Calculi之间的主要差异在下表中总结如下：

莱布尼茨nieuwentijdt

无限的imals是变量。无穷小是常数

存在高阶无限。不存在高阶无穷无尽

无限的产品不是绝对的零。无限的产品是绝对零

当对于其他数量无限小时，无穷小部门可以被忽略（一阶）无穷无尽的人永远不会被忽视

在回应Nieuwentijdt的断言中，莱布尼斯对infariteimals的正方形和更高权力消失，莱布尼斯反对它是相当奇怪的是，一个段DX与零同时的分段相当，同时是一个方形的面积DX等于零（Mancosu 1996：161）。 然而，这种奇怪可能被认为是莱布尼斯本人的后果 - 这是他自己的关键原则之一，即曲线可能被认为是无限的多边形。 例如，考虑曲线y = x2。 鉴于曲线是无限多边形，横坐标0和DX之间的曲线的无限直线延伸必须与原始曲线的切线相一致 - 在这种情况下，横坐标之间的轴线 - 这两个点之间的轴线。 但是那么点（DX，DX2）必须位于横坐标的轴上，这意味着DX2 = 0。

现在，Leibniz可以反驳说，该论点至关重要地在假设横坐标0和DX之间的曲线的部分确实是直的。 如果这被拒绝，那么当然它没有遵循DX2 = 0。 但是，如果一个赠款，如leibniz所做的那样，那就是在横坐标0和e之间的曲线（即，与曲线重合的侧面的一侧，即与曲线重合的曲线）的曲线有无限的直线延伸，例如，这不会减少到a然后单点E不能等同于0，但上述参数显示E2 = 0。 因此，如果曲线是无限的多边形，那么这些后者的侧面的“长度”必须是尼血管无限的。 因此，要为莱布尼兹（以及Nieuwentijdt的）概念进行全面，需要两种无限的imals：首先，“差异”遵守 - 莱布尼斯 - 相同的代数法律为有限量; 并且第二（必然较小）尼血管无穷小部，其测量无限多边形的侧面的长度。 可以说，莱布尼兹认识到需要第一，但不是第二种类型的无穷无尽的，反之亦然。 值得注意的是，Leibnizian Infinitsimals（差异）在非标准分析中实现，并且在光滑的无限分析中，尼喹无限分析（对于两种类型的分析见下文）。 事实上，已经证明可以结合这两种方法，因此创建一个实现莱布尼兹和Nieuwentijdt的无穷大的概念的分析框架。

无限闭合的坚持正是相同的代数规则，因为有限量强迫莱布尼兹和他的差分微积分的捍卫者在有限量存在下处理无穷大的数量，仿佛它们是零，所以例如，X + DX被视为与x相同。 这在地面上是合理的，即差异将被视为变量，而不是固定的数量，连续减少直到达到零。 只考虑在“他们的浮动时刻”，他们既不是某种东西也不是绝对的零。

因此，差异（或无限）DX分解了以下四个性能：

dx≈0

DX = 0也不是DX≠0

dx2 = 0

dx→0

其中“≈"”代表“无法区分”，“→0”代表“变得消失的小”。 这些属性仅是最后一个，其中差异被认为是趋于0的可变数量，在极限概念方面幸存了十九世纪对微积分的象征。[21]

微积分的领先从业者，实际上是十八世纪的主要数学家，是莱昂哈德·欧拉[22]（1707-83）。 哲学上欧拉是一位彻底的巩膜主义者。 拒绝莱布尼齐的Monadism，他赞成妓女的教义，宇宙充满了连续的空灵流体，并坚持了牛顿的肉类理论上的光波理论。

欧拉在其感觉中拒绝了无限的概念，因为数量小于任何可分配的幅度，但差异不等：差异必须是零，并且越来/ dx的商0/0。 由于对于任何数字α，αν0= 0，euler保持了商0/0可以代表任何数字。[23] 对于Euler Qua形式主义，微积分基本上是用于确定歧管情况下的表达式0/0的值的过程，它产生的歧管局势为渐逝增量的比率。

但是在自然现象的数学分析中，欧拉以及他的许多同时代人，确实雇用了多数量的数量，而不是连续的形式，但是继续的混凝土“元素”，治疗它们不是原子或金属严格的感觉 - 作为连续的部分，它们必须是无限的 - 但是由于在无限流动下保持其直线形状的足够的特性，但允许其体积进行无穷无尽的变化。 这个想法是在Continuum Mechanics中成为基础。

虽然Euler被视为正式的零，但作为固定数量，他当代的Jean Le Rond d'·伊门特（1717-83）采取了不同的问题。 在牛顿的铅之后，他在极限概念方面构思了无限的概念，其由一个不同数量的主张制定的，如果第二个不同的数量是另一个不同数量的限制，那么第二可以比任何给定数量更紧密地接近另一个。 D'Albermant牢牢拒绝了无穷大的概念作为固定数量，并且看到了限制的概念，因为提供了差分微积分的方法根源。 对于D'·瓦尔慕兰德的语言是无限的语言只是一种方便的简写，以避免使用极限概念所需的表达繁忙。

在整个十八世纪整个微积分静脉的无限闭合，差异，渐逝量等。 虽然甚至是逻辑上令人怀疑 - 所提供的这些概念，Faute de Mieux，用于导出巨大丰富成果的工具进行了演出。 而且，随着欧拉的显着例外，许多十八世纪的数学家与无穷大的数学家患上了不足，他们不会冒着杀死鹅奠定了如此丰富的金色数学蛋。 因此，他们在主要的批判中忍受了对微积分的破坏性批评。 然而，哲学家没有被这种限制束缚。

哲学家乔治贝利（1685-1753）（1685-1753）指出，他的主观理想主义理论的埃塞佩斯·佩辛维和他否认一般思想，是对潜在的数学实践潜在的批判批评他的一天（Jesseph 1993）。 他最着名的宽阔的宽带针对演出，但实际上他与数学家的冲突更深入。 为了他拒绝存在任何类型的抽象思想，与大多数数学家和当天哲学家持有的数学概念的抽象叙述直接反对。 这位学说的中央宗旨是返回亚里士多德，是通过抽象来创造数学概念，即精神抑制感知物体的外来特征，以专注于挑选的属性。 伯克利拒绝了这一点，断言数学作为一种科学最终涉及感觉对象，其录取的一般性来自感知能力，作为所有相似形式的所有感受的迹象。

伯克利倾倒在那些坚持无限概念的人身上倾注蔑视。 保持在推导数学结果中使用无穷大的是虚幻的，实际上是消除的。 但后来他开始对无穷无尽的态度采取更具宽容的态度，因为它们与莱布尼兹一样有用的小说。

在1734年的分析师伯克利推出了他最持续和复杂的对微积分的整个形而上学的批评。 向Infidel Mathematician致辞，[24]这条道是用捍卫神学的公开目的，捍卫了当天许多数学家和科学家共享的怀疑主义的愿望。 Berkeley对宗教的辩护，声称，在微积分方面的数学家的推理并不缺陷，而不是神学家在神圣的神秘处的缺点。

伯克利的争论主要针对牛顿群体微积分。 典型的他的反对意见是在试图避免因缺陷数量和最终比率和最终的牛顿而否认这些装置的无穷大，而牛顿实际上则违反了非款式的法律，首先将数量归因于增量，然后设定递增到0，即否认曾经存在的增量。 至于群体和渐逝的增量自身，伯克利这有说：

这些势略是什么？ 渐变增量的速度？ 这些相同的渐逝增量是什么？ 它们既不是有限量，也不是无限的小，也不是没有。 愿我们不要称之为离去数量的幽灵吗？ （1734：59）

leibnizian的差异方法也不逃脱伯克利的狭窄。

连续性和离散性之间的反对在Immanuel Kant的哲学思想中发挥着重要作用（1724-1804）。 他成熟的哲学，超越的理想主义，依靠现实分裂成两个领域。 首先是现象领域，由可能经验的外观或物体组成，由敏感性和认知类别配置。 第二个，努姆纳境界，由“没有经验对象的理解实体”（Körner1955：94），即自己的东西。

被认为是幅度，外观是瞬间延伸和连续的，其无限，或至少无限地可分地。 空间和时间构成了现象的潜在顺序，最终是本身的最终，因此也是连续的。

作为知识对象，外观是持续的大量大小，而是作为感觉或感知的对象，根据康德，密集的大小。 通过强烈的幅度康德意味着具有程度的幅度，因此能够被感官所吸引：例如亮度或温度。 密集的大小完全没有空间或时间的直觉，“只能呈现为一个团结”。 但是，与大量大小一样，它们是连续的。 此外，始终将外观呈现为密集大小的感官。

在纯粹原因的批判中（1781）康德带来了一个新的微妙（并且，必须说，曲折）对连续性和离散的反对来分析。 这可能在该工作的庆祝的一句话中看到，涉及物质的情况或延长物质的问题。 是（a）离散的，即，由简单或不可分割的部件组成， 虽然（a），哪个康德呼叫论文和（b）对立面似乎彼此矛盾，康德提供了两种断言的证据。 由此产生的矛盾可能已经解决，他通过观察到虽然抗静肌“涉及出现的分裂”，但（a）和（b）的争论隐含地处理物质或物质。 康德总结说，两者和对比亚“假定不允许条件”并相应地“落到地面”，因为它们中的任何一个都可以保持，本身落下“。

康德认为不允许的条件是作为本身的内部物质的隐性的情况，这反过来导致错误地将物质分裂成零件的零件，独立于分裂的行为。 在这种情况下，论文意味着分裂序列是有限的; 对立面，它是无限的。 这些序列中的序列都不是真的，这将导致犯下或物质作为本身的物质。[25] 现在，由于两种断言的真实性被证明遵循这种假设，因此它必须是假的，即物质和延伸物质只出现。 对于外表，康德维护，分区分为部分不完整的经验，结果可以考虑这种分裂，在一个令人惊讶的短语中，“既不有限或无限”。 因此，对于外观，目前和对肛门性是假的。

后来在批评康德上扩大了可分性的问题，断言，虽然通过整体给出通用整体的分裂序列产生的每个部分，但序列的不完整性可防止其形成整体; FortiOri可以声称没有这样的序列实际上是无限的。

5.第十九世纪的连续统一体和无穷小

十八世纪的数学分析的快速发展并没有隐瞒其潜在的概念不仅缺乏严格的定义，而且甚至是令人怀疑的逻辑性质的（例如，在差异和无穷小的情况下）。 在连续功能的概念中缺乏精度 - 仍然模糊地理解为可以由公式代表的，并且其相关曲线可以平滑地引导，导致关于该概念所指出的许多程序的有效性的疑虑。 例如，通常认为，每种连续功能可以通过泰勒的定理表示为无限系列。 在十九世纪初，这是一个和其他假设开始质疑，从而在一般的函数和特别是尤其是连续功能的函数中发起询问。

澄清连续功能概念的先驱是波希米亚牧师，哲学家和数学家Bernard Bolzano（1781-1848）。 在他的Rein Analytischer Beweis中为1817，如果可以使差F（xω）-f（x）小于任何预选数量，我们将差异f（xΩΩ）-f（x）小于某种预选数量，我们定义了在点x处的（实值）函数f。。 这与Cauchy稍后一点之后，这与限制概念的连续性的定义基本相同。 Bolzano还制定了无限概念的函数的定义（Bolzano 1851 [1950]）。 Bolzano克服欧拉在诸如DY / DX等表达式中作为正式零的差异处理，而是在确定函数的导数时，递增ΔX，ΔY，...，最终将其设置为零。 对于博尔扎诺差异有理想元素的状态，纯粹正式实体，如投影几何中无限的点和线条，或（作为Bolzano自己提到的）虚数，其使用永远不会导致有关真实数量的错误断言。

虽然Bolzano预期的形式，但对微积分概念的严格制定将假设的形式，他的工作在很大程度上忽略了他的一生。 对微积分的严格发展的基石是由思想提供的 - 基本上类似于Bolzano的伟大法国数学家奥古斯丁 - 路易斯科希（1789-1857）。 在Cauchy的工作中，如在Bolzano的工作中，通过所有几何和时间直觉的极限的纯粹算术概念发挥了核心作用。 Cauchy还制定了一系列实数的条件，以收敛到极限，并说明他熟悉的收敛标准[26]即，如果只有在SN + R-Sn可以绝对值的绝对值不那么少所有r的任何预先评估的数量都是足够大的n。 Cauchy证明这是融合所必需的，但随着条件的充分性只是备注“当满足各种条件时，该系列的收敛确保了（Kline 1972：951）。 在使后一种断言中，他隐含地吸引了几何直觉，因为他没有尝试定义实数，只观察到不合理的数量被视为理性数量序列的限制。

Cauchy选择了在顽固的无限概念中表征函数的连续性，他在Cours D'分析中定义为“一个可变数量[其值]无限期地减少到汇聚到极限0”。（kline 1972：951）。 这是他对连续性的定义。 Cauchy在邻域的邻域内的连续性定义了一个数量，在现代符号中，Limx→AF（x）= f（a）。 Cauchy以与Bolzano的基本相同的方式定义函数f（x）的衍生物f'（x）。

Cauchy（以及Bolzano）的工作代表了数学家的作用，而是在D'·克兰德（固定）无穷大的工作中的作品和连续性和运动的直观思想。 当天的某些数学家，如泊松和法兰特，他们认为极限概念不仅仅是使用无限小量大的迂回替代品 - 在任何情况下（他们声称）有一个真正的存在 - 觉得Cauchy改革已经带来了太远。 但是，传统想法的痕迹实际上仍然存在于Cauchy的配方中，如他使用这种表达式所证明的“可变量”，“无穷大的数量”，“无限期地”，“只有一个愿望”（kline）1972：951）等。[27]

与此同时，德国数学家Karl Weierstrass（1815-97）就完成了分析基础的时尚直觉和无限的流动性。 灌输完整的逻辑Rigor Weierstrass，提出基于单独的数量来建立数学分析，以“缩写化”[28]实际上，以离散的离散替换连续。 “缩写化”可以被视为数学原子学的形式。 追求这一目标，韦耶斯特拉斯首先要制定严格的“算术”定义真实数目。 他通过将（正）实数定义为一个可计数的正面Rational号码来完成这一点，其中任何有限子集总和始终保持在一些预测的绑定之下，然后指定要被视为相等的两个这样的“实数”的条件，或者严格少于彼此。

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