皮尔斯的演绎逻辑（四）

权限代码

权限 1. 在每个特殊问题中，可以根据特殊问题的条件在断言表上书写此类图形。

权限 2. 断言表上的任何图形都可以擦除，但完全空白的封闭区域除外。

权限 3. 无论断言表上允许书写什么图形，都可以在断言表的任何未占用部分书写，无论断言表上已经有什么。

权限 4. 断言表上双切口内部区域上书写的任何图形都可以在断言表上书写。

许可号 5. 可以在断言表上画双切口；断言表上所画的任何图形都可以在断言表上任何双切口的内部区域上画出。

许可号 6. 断言表上允许的任何变换的逆变换都可以在断言表上的任何切口区域上进行。

许可号 7. 无论何时，只要我们被允许在断言表上画出任何我们喜欢的图形，我们就有权宣布该特殊问题的条件是荒谬的。

Shin 强调了擦除与插入以及偶数与奇数切割的对称性，因此重写了规则（Shin 2002：84–85）：

重新制定的转换规则

RR1：在 E 区域[32]中，例如区域 a，

我们可以擦除任何图形，并且

如果在同一区域（即区域 a）或

区域 a 的下一个外部区域中有 X 的标记，我们可以绘制图形 X。

RR2：在 O 区域[33]中，例如区域 a，

如果在同一区域（即区域 a）或

区域 a 的下一个外部区域中有另一个 X 的标记，我们可以擦除图形 X，并且

我们可以绘制任何图形。

RR3：可以擦除或围绕图形的任何部分绘制双切割。

有关演绎序列的例子，请参阅Roberts (1973: 45–46) 和 Shin (2002: 91)。

2.3 Beta 系统

在§1.1 中，我们表明形式化关系是皮尔斯新逻辑——一阶逻辑背后的一个关键动机。在§2.1 中，我们建立了皮尔斯自己的实用主义准则与他的关系图形表示之间的联系。皮尔斯的目的不是通过发明图形系统来呈现一种新逻辑，而是为量词和绑定变量所执行的逻辑提供另一种新的符号。他几乎理所当然地认为，关系的图形表示有助于我们更有效地观察其后果。因此，Beta 系统可以看作是皮尔斯寻找更好的关系逻辑符号的漫长旅程的最后一站，这一旅程最迟始于 1870 年。[34]

在本条目中，我们不会深入讨论 Beta 系统的形式细节，而是参考 Shin 的第 5 章，其中详细讨论了三种略有不同的 Beta 图方法——Zeman、Roberts 和 Shin 的方法。虽然 Zeman 的解读全面而正式，但 Roberts 的方法似乎更倾向于对系统的直观理解。利用这两部现有著作的优点，Shin 开发了一种新的 Beta 图解读方法，并重新制定了系统的转换规则。[35] 她的方法侧重于 Beta 图的视觉特征，并强调了符号系统和图解系统之间的根本区别。在本条目的剩余部分，我们想研究关系逻辑的本质如何在 Beta 系统中以图形方式表示，以便读者可以将 EG 置于 Peirce 事业的更大背景中。

量词和绑定变量的引入被认为是符号系统中一阶逻辑的关键步骤之一。这就是为什么一些逻辑学家认为皮尔斯 1885 年的论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》是现代逻辑的发源地。如果是这样的话，皮尔斯如何在 Beta 图中表示量词和绑定变量？

有趣的是，当皮尔斯考虑图形系统时，他首先关注的是关系的表示，而不是量词的表示。正如我们在 §3.1 中所说，为了全面理解关系，皮尔斯提出了基于化学分子类比的图解表示。因此，谓词的元数由从谓词项辐射出的线的数量表示。接下来，皮尔斯扩展了使用线连接谓词的用法：

在许多推理中，有必要写一个连接命题，其中两个成员与同一个体相关，以便区分这些成员……[它们]的符号实际上必须相连。这样做没有比[下图]中的例子更完美的标志性方式了：

短语“A 大于”通过一条线连接到另一个短语“大于 B”

（1903b [CP 4.442]）

连接两个谓词的线代表同一个对象，皮尔斯称之为同一线。也就是说，相同性在 Beta 图中以视觉方式表示。[36] 在符号语言的情况下，我们可以采用同一种量化变量类型来表示身份。例如，上图表示 ∃x(x＜A ∧ B＜x)，因此，变量类型 x (大致) 对应于身份线。然而，相同的变量类型不足以在其他情况下表达相同性，例如，∃x(x＜A ∧ B＜x)→∃x(x＜C)。

Beta 系统中普遍和存在陈述的表示方式突出了图形系统和符号系统之间的差异。皮尔斯没有采用另一种量化句法手段，而是依靠以下视觉特征：

[A]任何最外层均匀包围的身份线都指代某物，任何最外层奇数包围的身份线都指代任何可能存在的东西。（1903b [CP 4.458][37]）

让我们借用罗伯茨（1973：51）的以下两个图表：[38]

第一个图表由短语“好”和“丑陋”组成，用一条线连接起来。第二个图表与第一个图表相同，只是第二个短语被一个椭圆包围，整体被另一个椭圆包围。

第一个图表（其中线的最外层均匀地包围，为零）表示好的东西是丑陋的，第二个图表（其中最外层被包围一次）表示所有好的东西都是丑陋的。[39]

当使用多个量词时，范围问题会如何？在符号系统中，线性顺序可以解决这个问题。Peirce 为 EG 提出的解决方案是读出另一种视觉效果：线条最外层封闭得越少，线条的范围就越大。

Roberts 的以下示例很好地说明了范围问题 (1973: 52)：

第一个图有三个短语，“adores”通过一条线连接到“is a woman”，并且都包含在一个椭圆中，而短语“is Catholic”通过一条线连接到“adores”，所有三个短语都包含在第二个椭圆中。第二个图与第一个图相同，只是没有椭圆，并且有一个椭圆包围“adores”，第二个椭圆包围“is Catholic”和第一个椭圆。短语“is a woman”在两个椭圆之外。

第一个图表表示

∀x(Catholic(x)→∃y[Adores(x,y)∧Woman(y)])

第二个图表表示

∃y(Woman(y)∧∀x[Catholic(x)→Adores(x,y)])。

在第一个图表中，最外层奇数封闭的线比最外层均匀封闭的线封闭得少。因此，全称量词的范围比存在量词大。在第二个图表中，情况正好相反。

让我们总结一下 Beta 系统的三个有趣特征：

在 Beta 系统中，关系以线的形式以图形而不是符号表示。我们认为，皮尔斯的实用主义准则最终是这种替代表示方式的背后原因。

通用语句与存在语句之间的区别可以通过视觉事实来表示，即一条线的最外层部分是否位于由奇数个或偶数个切口包围的区域内。

量化顺序通过以下视觉性来表示：一条线包围得越少，其范围就越广。

3. 从二值逻辑到三元逻辑

Fisch 和 Turquette (1966) 从 Peirce 的《逻辑笔记本》(1865–1909, Ms 339) 中发现了三个关键页面。[40] 这表明 Peirce 发明的三值句子逻辑比 Jan Lukasiewicz 和 Emil Post 在同一主题上的成就早了至少十年。这三页包含三元逻辑的基本要素和一段关于 Peirce 三元逻辑背后动机的有趣段落。如果我们用当代术语来看待 Peirce 对三元逻辑的发展，Peirce 似乎正在向非标准逻辑发展。如果是这样，那么这次冒险将与我们在前面几节中讨论的另外两次冒险在质量上有所不同。

当皮尔斯发展关系逻辑时，形式化的领域得到了极大的扩展。增加了新的词汇，因此增加了新的句法规则和语义规则。我们自然欢迎形式化的领域，因此不需要理论论证。从句子逻辑到关系逻辑——这是字面意义上的扩展：我们不会丢弃以前的结果——因此它们被保留了下来——但我们所做的只是扩展它们。

另一方面，在扩展到非符号语言的情况下，逻辑本身保持不变，没有增加或减少，但引入了一种新的表示形式。也就是说，不是扩展了要表示什么，而是扩展了如何表示。有些人可能看不到各种表示形式的必要性，也可能不相信图形系统的必要性。尽管如此，在理论层面上，皮尔斯的 EG 并不需要冗长的理论论证。从某种意义上说，事实胜于雄辩：这种新的图形系统能否执行与现有符号系统相同的任务？如果可以，哪个系统更易于使用？哪个系统效率更高？我们可能无法达成明确的共识，但讨论或多或少是可以预见的。

但是，当在 T（真）和 F（假）中添加一个语义值时，逻辑就不再保留了。当语义被扩展或改变时，新逻辑既不是逻辑领域的单调扩展，也不是现有符号系统的替代句法表示形式。三元逻辑通过引入一个语义值，背离了基于二价的标准逻辑。在这里，排中律（“Q 或非 Q”）的地位动摇了。矛盾律也是如此。任何非标准逻辑的负担都是证明其非标准性：为什么是第三个值？第三个值是什么？未知？如果是这样，这是一个认识论问题吗？不确定？如果是这样，这是否需要形而上学的解释？

第一小节总结了皮尔斯的三元逻辑演算，第二小节简要讨论了皮尔斯自己对三元逻辑的动机。

3.1 三值系统的真值表

引入了三个值 V、L 和 F，其中 V 为真，L 为不确定，F 为假。句子逻辑的传统语义域真和假被扩展为包括“不确定”。基于这个扩展的语义领域，皮尔斯提出了几个句子运算符的语义，一个是一元的，其他是二元的。我们对皮尔斯的演示进行了轻微修改，使其更类似于我们传统的真值表风格，而不改变内容，我们给出了三个运算符的真值表。

对应于否定的一元运算符的语义：

x

ˉ

x

V F

L L

F V

下面给出了六个二元连接词的语义：

x y Φ(x,y) Θ(x,y) Ψ(x,y) Z(x,y) Ω(x,y) Γ(x,y)

V V V V V V V

L V V V V L L L

F V V V F F F V

V L V V V L L L

L L L L L L L L

F L F L F F L L

V F V V F F F V

L F F L F F L L

F F F F F F F F

为什么是六个？这些连接词的语义背后的原理是什么？理解它们的一种方法是找出三个值之间的主导层次。

对于 Φ，

如果至少有一个是 V，则 Φ(x,y) 为 V，

否则如果至少有一个是 F，则 Φ(x,y) 为 F，

否则 Φ(x,y) 为 L。

也就是说，V 最占主导地位，F 其次，L 最小。

出现了六种层次模式：

Φ V＞F＞L

Θ V＞L＞F

Ψ F＞V＞L

Z F＞L＞V

Ω L＞F＞V

Γ L＞V＞F

Peirce 的 Θ 是我们熟悉的析取和 Peirce 的 Z 合取。

3.2 为什么是第三个值？

用 Peirce 自己的话来说：

三元逻辑是一种逻辑，虽然它没有完全拒绝排中律，但它承认每个命题 S 是 P 要么是真要么是假，要么具有较低的存在模式，以至于它既不能确定地是 P，也不能确定地不是 P，而是处于 P 和非 P 之间的极限。（Ms 339，摘自 Fisch & Turquette 1966：75）

对于命题“S 是 P”，我们什么时候有值 L（不确定）？有时，Peirce 说，S 具有较低的存在模式 P，处于 P 和非 P 之间的极限。问题的关键在于如何解释这两个短语——“较低的存在模式 P”和“处于 P 和非 P 之间的极限”。现有文献提供了两种不同的解释——模态与连续性。

菲施和图尔奎特在发现皮尔斯关于三元逻辑的笔记后，将不确定性的根源定位在潜能性上。也就是说，不确定性是分配给未实现情况的语义值；因此，我们此时既不能说“S 是 P”，也不能说“S 不是 P”。根据这种观点，潜能性无法通过二元逻辑来捕捉。如果是这样，皮尔斯的三元逻辑与模态论直接相关，菲施和图尔奎特得出的结论是：

从本质上讲，皮尔斯似乎在说，三元逻辑可以被解释为一种模态逻辑，旨在处理由皮尔斯称之为“潜能性”和“真实可能性”的存在模式所导致的不确定性。在这种解释下，二元逻辑成为三元模态逻辑的一个极限情况，因为它消除了不确定性，完全由“现实性”决定。 （Fisch & Turquette 1966: 79）

根据模态解释，皮尔斯的“较低模式 P”意味着 P 不是实际的，而皮尔斯的第三个值 L 是潜在的，是“在 P（即 T）和非 P（即 F）之间的极限”。在论文的后面，作者提出了皮尔斯的三元逻辑和麦考尔的蕴涵（而不是实质蕴涵）之间可能存在的关系，并发表了一个有趣的评论：

考虑到麦考尔拒绝接受罗素的实质蕴涵，值得注意的是，麦考尔的“Def. 13”给出了现在所谓的“C. I. 刘易斯的严格蕴涵”。 （Fisch & Turquette 1966: 83）

尽管他们的论文中没有进一步探讨这种联系，但人们不禁意识到，他们的模态解释因与 MacColl 蕴涵的关联而得到加强，因为 C. I. Lewis 的严格蕴涵是模态逻辑的开端。然而，将 Peirce 的三元逻辑等同于模态逻辑，模态观点需要解释 Peirce 1903c 年的 Gamma 图讲座（关于模态）与 1909 年撰写的三元逻辑笔记（[Ms 339] 340v、341v、344r）之间的关系。Gamma 图中探讨的模态逻辑是经典逻辑的扩展，它需要新的词汇，例如断切和染色。模态逻辑不必是非标准的。另一方面，三元逻辑没有添加任何词汇，但带来了不同的解释，并成为非标准逻辑。稍有不同的是，Fisch 和 Turquette 认为皮尔斯的三元论（认为不确定性是现实的一部分）是皮尔斯发明三元逻辑的动机。如果是这样，皮尔斯的三元逻辑就是他自己的形而上学的反映。

罗伯特·莱恩挑战了模态观，提出了皮尔斯三元逻辑的连续性解释。根据莱恩的说法，皮尔斯的不确定值 L 与模态无关，因此，皮尔斯对三元逻辑的发展不是模态逻辑的另一种机制，而是皮尔斯的联结论——“所有存在的事物都是连续的”学说（c. 1897b [CP 1.172]）！皮尔斯的连续性哲学如何证明第三个价值？

首先，莱恩区分了排中律（PEM，下称 PEM）对命题为假和 PEM 不适用于命题。如果 PEM 为真或为假，则意味着该原则适用于该命题。并且，莱恩声称 PEM 仅适用于非一般和非模态命题，并引用了皮尔斯的以下段落：

任何事物只要排中律不适用于它，就是一般的；只要矛盾律不适用于它，就是模糊的。（1905：488 [CP 5.448]）

当且仅当断言的肯定和否定都可能同样为假时，断言才被称为以“必然性模式”做出。因此，如果一个人说“明天一定会下雨”，那么明天一定会下雨和明天一定会不下雨可能同样为假。 （1910b：26-28，Ms 678）

如果一个命题是一般命题或表达了必然性，PEM 就不是假的，但不会被应用。因此，Lane 专注于个体和非模态命题，将我们的注意力引向 L 命题中谓词的特殊性质。Lane 将导致 L 命题的属性类型称为“边界属性”。以下是 Peirce 自己的边界属性示例：

因此，在纸张上留下一个污点。然后纸张上的每个点都未变黑或变黑。但边界线上有些点，这些点不可能未变黑或变黑，因为这些谓词指的是 S 周围的面积，而一条线没有围绕其任何一点的面积。 （Ms 339: 344r，引自 Lane 1999: 294）

边界线上的点既不是黑色也不是非黑色。考虑命题“点 O 是黑色”和“点 O 不是黑色”（其中点 O 位于黑色斑点的边界线上）。它们都不是真的，而是假的。这些是 Peirce L 命题的主要例子。使用上一小节中 Peirce 自己的真值表，让我们计算“点 O 是黑色或点 O 不是黑色”的真值。

让 α 成为“点 O 是黑色”的值，即 L。

α

ˉ

α

Θ(α,

ˉ

α

)

L L L

请注意，PEM 适用，但不是正确的。

莱恩的以下结论将受到许多皮尔斯学者的欢迎：

[边界命题对皮尔斯很重要，因为连续性对他很重要；……这[认为连续性的实际破坏不具备与该破坏相关的边界属性]使他认为边界命题既非真亦非假。我认为，皮尔斯进行三元逻辑实验的动机就是将此类命题，从而将连续性现象纳入形式推理的范围内。（莱恩 1999：304）

无论是否认可连续性言论，有些人可能不欢迎形而上学进入逻辑。此外，如果不接受皮尔斯的联结论，皮尔斯的三元逻辑（莱恩认为这是将连续性现象形式化的尝试）可能会失去其力量。

前两节表明，皮尔斯的关系逻辑和图形系统推动了我们在逻辑处理方式和逻辑执行方式方面的进一步发展，以便我们可以进行更多形式化，并以更多样化的方式进行形式化。正如本节开头所解释的那样，三元逻辑既不是一种单调的扩展，也不是到达同一位置的替代方法。通过扩展语义实体，我们得到了不同的逻辑，例如，PEM 不为真。这就是为什么我们称三元逻辑为非标准逻辑。然而，皮尔斯引入第三个值的方式让我们有些犹豫。首先，与当代三元逻辑不同，皮尔斯并没有完全抛弃 PEM：

三元逻辑……没有完全拒绝排中律，……（Ms 339：344r，摘自 Fisch & Turquette 1966：75）

我并不是说排中律完全是错误的； （1909：21–22 [NEM 3/2：851]，引自 Fisch & Turquette 1966：81）

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