皮尔斯的演绎逻辑（三）

一些皮尔斯学者还声称，皮尔斯发明量词是皮尔斯自己的逻辑哲学的产物，与弗雷格的逻辑哲学不同（Brady 1997；Burch 1997；Iliff 1997；Merrill 1997）。Hintikka（1997）提出的解释弗雷格和皮尔斯对现代逻辑的贡献的主要区别的建议相当有趣。追溯弗雷格自己对逻辑演算和特征语言的区分，van Heijenoort 为这两种对立的逻辑观点增加了一个新的维度，超出了弗雷格所提到的范围（van Heijenoort 1967：脚注 1，第 329 页）。[21]弗雷格强调命题逻辑和量化逻辑之间的区别，而范海耶诺特则指出了整体性的区别。布尔的传统并没有对整体性做出任何本体论承诺，但它“可以随意改变”（1967：325）。另一方面，弗雷格的语言是关于宇宙的。借用范海耶诺特对布尔的逻辑作为演算和弗雷格的逻辑普遍性之间的区别，欣提卡将皮尔斯置于布尔阵营，称之为模型论传统。与弗雷格的宇宙观不同，模型论传统允许我们重新解释一种语言，从而为量词分配不同的宇宙。根据欣提卡的说法，皮尔斯对模态逻辑的发展是一个很好的证据，表明皮尔斯理解量词的方式是多么富有成果（欣提卡 1997）。在下一节中，我们将介绍皮尔斯的图形系统，并重新讨论这个问题。

2. 从符号表示到图像表示

到目前为止，我们已经论证了皮尔斯对关系的洞察促使他将逻辑领域从一元、非关系、命题逻辑扩展到多元、关系、量化逻辑。这是我们所知的现代逻辑的开端。在本节中，我们将从另一个角度来看待皮尔斯的冒险——将表示形式从符号系统扩展到图解系统，讲述一个故事，其中他的两种不同类型的扩展——一种从非关系到关系，另一种从符号到图解——相互关联。

皮尔斯以图形的方式呈现了命题逻辑、量化逻辑和模态逻辑，并发明了三种存在图 (EG) 系统——分别是 Alpha、Beta 和 Gamma。尽管皮尔斯本人将存在图评价为“我的杰作”，但 EG 却要等上半个世纪，直到两位哲学家唐·罗伯茨和杰伊·泽曼发表了令人印象深刻的著作，人们才理解了它。20 世纪 80 年代，由于约翰·索瓦在《概念结构》（1984 年）中将 EG 新颖地应用于知识表示，EG 受到了计算机科学和人工智能等新学科的关注。最近，在 20 世纪末，多模态推理的跨学科研究引起了我们对非符号系统的关注（例如，参见 Barwise & Allwein [eds] 1996 和 Barwise & Etchemendy 1991），而 EG 毫不奇怪地占据了他们名单的首位。在此背景下，Shin (2002) 关注符号系统与图解系统之间的差异，并提出了一种理解 EG 系统的新方法，尽管这在 Pietarinen 2006 中受到了批评。

虽然皮尔斯在 1870 年至 1885 年的官方著作中主要呈现线性表达，[22] 但弗雷格在 1879 年的《概念文字》中采用的符号更具标志性；它至少不像皮尔斯在上述时期的符号那样线性。然而，是皮尔斯而不是弗雷格发明了一个成熟的非符号一阶逻辑系统——存在图。皮尔斯的 EG，而不是他的线性一阶符号，被呈现为具有推理规则的演绎系统。随着对 EG 系统的研究越来越严格，涉及皮尔斯发明该系统的哲学问题也被提出。 EG 的威力和新颖性让我们自然而然地想到了皮尔斯哲学的其他部分。EG 的发明缘何而来？又是如何诞生的？EG 揭示了皮尔斯对逻辑和表征的哪些看法？

许多人指出，皮尔斯的符号理论将符号分为三种——符号、指标和图标——是皮尔斯 EG 最重要的理论背景。[23] 例如，正如下文所示，椭圆和线条以及字母是皮尔斯 EG 的基本词汇。皮尔斯对图标的兴趣与他发明的图形系统自然而然地联系在一起，这种联系是真实存在的（Shin 2002：22-35）。然而，要准确指出图标的特征和皮尔斯图形系统的图标性质，需要比我们的直觉所能提供的更多的工作。此外，皮尔斯对图标的讨论[24]与他发明的成熟图形系统之间存在很大差距；必须引入其他东西来解释皮尔斯如何从他最初的图标想法一直发展到他的 EG。

从稍微不同、更大的角度看，范·海耶诺特对布尔的逻辑推理演算和弗雷格的语言特征的区分可能与这一主题有关。辛蒂卡和戈德法布都认为皮尔斯属于布尔传统，辛蒂卡同意这一观点，认为模型论逻辑观（布尔和皮尔斯的立场）与 EG 的诞生之间存在联系（参见辛 2002：14-16 和 Pietarinen 2006）。然而，皮尔斯对语言重新解释的认识是他追求不同表征形式的必要条件，但还不够。虽然皮尔斯对各种系统的规划预先假定了对给定系统存在不同模型的可能性的承认，但并非每个布尔人都提出了多个系统。布尔本人

非常清楚解释的思想，即使用数学系统作为算法的思想，纯粹机械地转换符号而不依赖任何含义。（Putnam 1982：294）

另一方面，Burris 和 Legris 的条目向我们展示了布尔的逻辑代数传统如何引导我们发展模型理论（参见逻辑代数传统的条目）。

2.1 实用主义准则应用于关系逻辑

在不挑战这些涉及皮尔斯代数的现有解释的情况下，我们想在本条目中引入皮尔斯代数之旅中一个被忽视但至关重要的方面，以便我们的故事可以填补皮尔斯整体哲学谜团的一部分。皮尔斯对新逻辑的使命始于如何表示关系，这导致他发明了量词和绑定变量，正如我们在上一节中讨论的那样。我们声称，同样的承诺，即在逻辑系统中表示关系，是皮尔斯寻找一种新的符号系统——关系的符号表示——的主要动机。皮尔斯在欧拉/维恩图方面的工作为我们提供了另一个证据，以支持我们的说法，即 EG 背后的主要动机是表示关系。在改进维恩系统的同时，皮尔斯意识到以下缺陷无法消除：

[维恩系统] 无法展示推理，其主旨是关系或抽象类型。它不延伸到亲属逻辑。（皮尔斯 1911b [CP 4.356]）

同样，我们认为这不是创建 EG 的关键因素，而是一个与他的符号理论和模型理论逻辑观点完美结合的关键要素。

Peirce 的图形表示最早出现在他 1897 年的论文《关系逻辑》中。在他自己的新线性符号于 1885 年问世（如上所示）之后，Peirce 为什么要重新审视关系逻辑呢？论文的第一段给出了直接的答案：

我希望传达一些关于新逻辑的想法，即如何发明两种“代数”，即通过字母和其他字符进行图形表示的系统，或多或少类似于算术代数的系统，用于研究关系逻辑，并且……（1897a [CP 3.456]）

应该注意两件事。一是 Peirce 也将图形系统称为“代数”。也就是说，根据 Peirce 的说法，代数不仅限于符号系统。另一个是 Peirce 明确表示，两种不同形式的代数实现了新逻辑，而不是新逻辑。

在思考关系逻辑的范围时，出现了一个问题：为什么皮尔斯觉得需要另一种不同于 1885 年符号的表示形式？“我必须清楚地说明什么是关系”（1897a [CP 3.456]）。皮尔斯认为，对“关系”的清晰理解是他探索不同形式的逻辑系统的指南。在这里，我们想提请读者注意皮尔斯著名的论文“如何使我们的想法清晰”（1878 年），其中三节专门讨论了三个层次的意义（参见皮尔斯的符号理论条目）。

对“关系”一词的第一级理解来自我们的日常经验，第二级理解是具有更抽象和更一般的定义式理解。根据皮尔斯的说法，这还不足以完全理解“关系”一词。最后，皮尔斯的实用主义准则将我们引向了第三级清晰度：

因此，获得第三级清晰度的规则似乎是这样的：考虑一下我们认为我们的概念对象可能具有哪些可能具有实际意义的影响。那么，我们对这些影响的全部概念就是我们对对象的全部概念。（1878 [CP 5.402]）

为了理解关系是什么，我们需要知道它会带来什么。然后，问题是我们如何知道它的后果是什么。以下是皮尔斯在 1897a 年的论文中就“关系”一词给出的一个答案：

第三级清晰度在于这样一种想法的表达，即可以对其进行富有成效的推理，并且可以将其应用于解决困难的实际问题。 （1897a [CP 3.457]）

因此，如何表示关系对于弄清关系事态的后果至关重要。更好的表示将产生更多“富有成效的推理”，因此将更有助于解决实际问题。很明显，皮尔斯在论文中打算寻找更理想的表示。重要的是，在第 4 节讨论“关系”含义的第三级清晰度时，关系的图解表示首次出现。

受 A. B. Kempe 的图形表示的影响[25]，皮尔斯发现了关系和化合物之间的相似之处：

化学原子与亲戚非常相似，具有一定数量的松散末端或“不饱和键”，与亲戚的空白相对应。（1897a [CP 3.469]）

化学分子由化学原子组成，原子如何相互连接取决于每个原子的松散末端数量。例如，化学原子 H 有一个松散的末端，而化学原子 O 有两个。因此，以下组合是可能的，它是水分子 H2O 的表示：

字母 O 用线将其连接到两个不同的字母 H

关系逻辑的类比如下：一个句子由名称（专有名称或指标）和谓词组成，每个谓词都有固定的元数。例如，谓词“爱”需要两个名称，“给予”需要三个。因此，以下图解表示是符合语法的，它是命题“约翰爱玛丽”的表示。

单词 Love 用线将其连接到单词 John 和单词 Mary

Peirce 通过采用价理论作为类比的关键要素，在化学和关系逻辑之间创建了一种新颖且富有成效的表示类比，如上两张图所示。相信这种图形表示风格可以帮助我们更有效地设想给定关系的后果或影响，[26] Peirce 提出了实体图，它是 EG 的前身。[27]

EG 保留了在此开发的关系表示，并且仍然是 Peirce 关系逻辑的最终和最珍贵的符号（1903a）。EG 由三部分组成，Alpha、Beta 和 Gamma，分别对应于命题逻辑、一阶逻辑和模态逻辑。在以正式方式介绍 Alpha 系统之后，我们将讨论 EG 的 Beta 系统，重点介绍 Peirce 在将命题图形系统扩展为量化图形系统方面的新思想。有关更多详细信息，我们推荐 Roberts、Zeman、Sowa 和 Shin 关于 EG 的著作。

2.2 Alpha 系统

Peirce 的 Alpha 图可以绘制在黑板、白板或纸上。基本单位是一个简单的句子，没有任何句子连接词，即否定、连词、析取或条件等。以下是一个基本 Alpha 图的示例，断言天气晴朗。

句子：天气晴朗。

当我们想断言天气晴朗且有风时，我们以以下方式并列两个基本 Alpha 图：

句子“天气晴朗。” 旁边是句子“有风。”

为了使 Alpha 图具有布尔功能完整性，我们只需要表示否定。以下 Alpha 图表示天气晴朗的情况并非如此，方法是用切口将上面的图括起来：

句子“天气晴朗。”在椭圆中。

当我们有否定和连词时，保持正确的顺序很重要。“天气不晴朗，也没有风”不同于“天气晴朗且有风”的情况。因此，句子“天气不晴朗且有风”是模棱两可的，这取决于“天气不晴朗”的范围。在句子逻辑的情况下，括号可以防止这种歧义：¬(S∧W) 对 ¬S∧W。皮尔斯的警告如下：

存在图的解释是内在的，即向内进行；因此，巢穴将意义从外部吸入其中心，就像海绵吸收水分一样。 （Peirce 1910a：18，Ms 650）

因此，以下 Alpha 图不应读作“¬P∧¬Q”，而应读作“¬(P∧¬Q)”：

字母 Q 位于椭圆中，另一个椭圆将第一个椭圆和字母 P 都包围起来。

这种理解 Alpha 图的方式并没有错，但却给人一种错误的印象，即 Alpha 系统相当于一个包含两个连接符号（否定和连词）的句子系统。我们都喜欢有比这两个更多的连接词，尤其是在使用语言时。本节探讨了对 Alpha 图的另一种解读，超越了否定和连词，没有引入任何新的句法手段。

下面我们将 Alpha 图介绍为一个配备语法和语义的形式系统。由于 Peirce 无法使用这些工具，因此本演示旨在表明 Peirce 的 EG 与其他形式系统并无本质区别。同时，为了将皮尔斯的图形系统置于传统的逻辑话语中，还需要一个中间阶段，即用符号语言来解读皮尔斯的图形。这将使皮尔斯的图形更容易理解，同时也支持了我们的观点，即皮尔斯扩展了表示形式，其逻辑范围与符号表示相同。

语法

词汇

句子符号：A1、A2、…

切割

椭圆形

格式良好的图表

空白处是格式良好的图表。

句子符号是格式良好的图表。

如果 D 是格式良好的图表，那么 D 的单个切割也是格式良好的图表（我们写为“[D]]”）。

如果 D1 和 D2 是格式良好的图表，那么 D1 和 D2 的并置也是格式良好的图表（写为“D1 D2”）。

除此之外，没有其他图表是格式良好的图表。

这里我们为系统介绍了两种等效的读取方法。内孔读取算法是基于 Peirce 自己的建议（如上所述）形式化的，是理解 EG 的传统方法。最近提出了另一种读取方法，即多重读取算法，以更有效地处理 EG。[28]

内孔读取算法

如果 D 是空格，则将其翻译成 ⊤。

如果 D 是句子字母，例如 Ai，则将其翻译成 Ai。

假设 D 的翻译是 α。那么，[D] 被翻译成 (¬α)。

假设 D1 的翻译是 α1，D2 的翻译是 α2。

那么，D1 D2 的翻译是 (α1∧α2)。

多重读取算法

如果 D 是空格，则将其翻译成 ⊤。

如果 D 是句子字母，例如 Ai，则将其翻译成 Ai。

假设 D 的翻译是 α。那么，[D] 被翻译成 (¬α)。

假设 D1 的翻译是 α1，D2 的翻译是 α2。

D1D2 的翻译是 (α1∧α2)，

[D1D2] 的翻译是 (¬α1∨¬α2)，

[D1 [D2]] 的翻译是 (α1→α2)，

[[D1] [D2]] 的翻译是 (α1∨α2)。

这两种解读各有千秋。[29] Endopreutic 解读向我们保证，Alpha 系统在真值功能上是完备的，因为它有能力表达连词和否定。然而，这种传统方法在一定程度上导致了以下两个关于 Alpha 图的错误判断：

Alpha 系统与只有两个连接词 ∧ 和 ¬ 的命题语言没有太大区别，只是 Alpha 图有切口而不是符号连接词。

在实际使用中，正如我们不想在语言中只使用两个连接词一样，我们没有理由采用 Alpha 系统而不是具有更多连接词的命题语言。

挑战这些误解，多重阅读算法表明 Alpha 图不必只用“∧”和“¬”读出句子，也可以直接用其他连接词读出。可能会提出两个问题：

多重阅读方法是否存在冗余？例如，上面的第 4(b) 条是否根据第 3 条和第 4(a) 条是可有可无的？

这种新的解读是否表明Alpha系统就像是一种具有各种连接词的命题语言？

让我们通过以下示例回答这些问题。

示例

下图翻译成以下四个公式：

一个椭圆包围另外两个不相交的椭圆；一个包含字母R，另一个包含字母S

1. ¬(¬R∧¬S) 内孔解读

2. 多重解读的R∨S 4(d)

3. ¬R→S 3 和 4(c) 多重解读

4. ¬¬R∨¬¬S 3 和 4(b) 多重解读

内孔解读只允许我们得到第一个解读，但是我们可以通过多重解读得到不同的句子。当然，所有这些句子在逻辑上都是等价的。这里有一个有趣的观点：在符号系统的情况下，我们需要使用推理规则来证明上述句子之间的等价性。但是，在采用多重读法的情况下，Alpha 系统无需推导过程。[30] 因此，除了第 3 条和第 4 条 (a) 之外，还增加上述第 4 条 (b) 并不是多余的，而是突出了 Alpha 系统与具有各种连接词的符号语言之间的根本区别（参见 Shin 2002：§§4.3.2、4.4.4 和 4.5.3）。

由于我们有命题逻辑的语义，并且我们的读法将 Alpha 图翻译成命题语言，因此我们可以不使用直接语义。但是，如果坚持直接语义：

语义

让 v 成为真值函数，它将 t 或 f 分配给每个句子字母，将 t 分配给空格。现在，我们将此函数扩展为

¯

v

，如下所示：

¯

v

(D)=v(D)，如果 D 是句子符号或空格。

¯

v

([D]) = t iff

¯

v

(D) = f.

¯

v

(D1D2) = t iff

¯

v

(D1)=t 和

¯

v

(D2) = t.

我们还想强调，这并不是接近皮尔斯 EG 的唯一方法。例如，有人声称皮尔斯预示了博弈论语义学，因此主张从博弈论的角度更动态地理解 EG（Burch 1994；Hilpinen 1982；Hintikka 1997；Pietarinen 2006）。

皮尔斯明确表示，他的 EG 是一个配备推理规则的演绎系统：

存在图系统是一类特定的图表，允许对其进行某些转换。 （1903a [CP 4.414]）

Alpha 系统的推理规则如下：（1903a [CP 4.415]）[31]

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