数学论文（番外篇）

注：（2/2）章节！

证据假设Vκ≺2Vλ对于某些λ≥η，也就是说∑2-在目标λ≥η的V中可拓，并且Q∈Vη是非平凡的策略上＜κ-封闭的强迫概念。假设走向矛盾V[G]κ≺3V[G]θ对于某些θ≥η，或者换句话说，κ是∑3-在相应的强迫扩展V[G]中与目标θ可扩展。

由于κ是i-不动点，也是θ-不动点（以及那些基数的枚举的不动点），此外，我们可以假设，∑3-只能扩展到这样的基数在不失一般性的情况下，通过增加η（如有必要），η也是i-不动点和i-不定点的枚举的不动点；

我们可以进一步假设cof（η）＞κ，简单地通过取（κ+）下一个这样的不动点，它仍然低于λ和θ。自Q策略上＜κ-闭合，因此V[G]κ=Vκ，因此可扩展性假设相当于Vκ≺2 Vλ和Vκ≺3v[G]θ。

根据元素性，λ和θ也是i不动点的枚举。特别是，这些基数中的每一个都是

κ以下任意大余数的i-不动点的极限。自从Q相对于η较小，因此V[G]η=Vη[G]，以及λ=Vλ[G]和V[G]θ=Vθ[G]。特别地，V[G]θ是一个非平凡的

通过G⊆Q∈Vθ强迫Vθ的扩张。它遵循应用的定理3

Vθ=WrV[G]θ

对于某个参数r，因此V[G]θ满足以下断言，

“对于某些参数r和非平凡偏序集Q，对于某些Wr一般滤波器G⊆Q∈Wr，宇宙是Wr[G]。”

我们声称这个断言是∑3-可在以下模型中表达的：

我们感兴趣的是V[G]θ、Vλ和Vκ。就像我们的例子一样，

在第2节中的复杂性计算中，我们可以在V[G]θ中验证通过检查越来越高阶的初始分段，宇宙是Wr[G]θ。具体来说，上面显示的断言是

相当于断言，“对于一些基数δ，参数r⊆（＜δ2） ，非平凡偏序集Q和滤波器G⊆Q，对于每个Z，如果Z=Vγ+2对于一些序数γ（也就是说，Z是我们解释的宇宙的Vγ+2如在V[G]γ+2等中的陈述），并且Z认为γ是i-固定的。共终点大于δ，其中VγZ|=ZFCδ，则Z认为存在一个M⊆VγZ

满足ZFCδ使得M⊆VγZ具有δ-近似和覆盖性质，使得r=（＜δ2）M和（δ+）M=δ+，并且使得Z=M[G]是M的强迫扩展。

通过M-一般滤波器G⊆Q∈M。“这个断言具有复杂性∑3，因为断言中关于Z满足什么的部分都有量词以Z为界，并且“Z=Vγ+2对于一些序数γ”的断言是π1，因为重要的部分是说Z计算它的幂设置正确。

　　

现在从Vκ≺3V[G]θ得出，Vκ也必须满足断言，因此Vκ=WVκr0[G0]对于一些r0∈Vκ和Vκ-一般滤波器G0⊆Q0∈Vκ。特别地，Vκ满足“宇宙是通过G0⊆Q0强制Wr0获得的，“一个复杂度为π2（r0，G0，Q0）的断言，正如我们在第2节中所解释的，通过断言它在所有合适的秩初始段中都成立（这是一个量词秩不那么复杂，因为我们已经固定了参数r0、G0和Q0，而不是量化得到它们）。由于Vκ≺2 Vλ，因此如下

Vλ=WVλr0[G0]，使用相同的小参数r0和小强制G0⊆Q0。通过向下切到η，我们也得到了Vη=WVηr0[G0]。

根据地面模型指数的细节，我们可以假设

r0=（＜δ2）W

五、r0η，式中δ=|Q0|+，单位为V。将其与强迫Vη⊆Vη[G]相结合，我们得出V[G]η=WVηr0[G0][G]是强制WV的延伸ηr0通过大小小于δ的非平凡强迫概念Q0

然后是策略性的＜κ-闭强迫Q。根据引理5，它如下

V[G]η在WV上具有δ-近似和覆盖性质ηr0。

同样，因为Vκ≺2V[G]θ，我们知道V[G]θ也认为它是通过强制超过WV而获得的[G] θr0G0⊆Q0，因此V[G]θ=WV[G] θr0[G0]。通过再次切至η，我们也知道V[G]η=WV[G] ηr0[G0]，并且我们再次知道r0=（＜δ2）WrV0[G]η。

由于这是大小小于δ的作用力，因此V[G]η也具有

WV上的δ-近似和覆盖性质[G] ηr0。所以情况是WV吗ηr0和WV[G] ηr0

都是V[G]η的基δ-近似和覆盖性质，并且它们具有相同的二进制δ-数（＜δ2）W

五、r0η=r0=（＜δ2）W

五、[G] ηr0以及正确的δ+。因此

根据定理4得出WVηr0=WV[G] ηr0。这立即意味着V[G]η=WV[G] ηr0[G0]=WVηr0[G0]。

注意G0∈Vη，因为它在V[G]中，并且秩小于κ

因此不可能通过策略性的＜κ-闭合强迫Q来添加。此外，由于WVηr0⊆Vη，我们从显示的上面的方程V[G]η⊆Vη。这与Q、 从而证明了该定理。

因此，我们现在可以推导出主定理1的其余部分。

主要定理的证明1。主定理2相当于（a加强of）主要定理1陈述（6），现在的重点是主定理1立即被它所暗示，原因很简单，主定理中提到的所有其他大基数性质意味着∑3-在相同目标下的可扩展性。

如果κ是超荣，例如，由嵌入j:V的超荣见证→ M，目标θ=j（κ），Vθ=Mθ，则如下

Vκ≺Mj（κ）=Vθ，从而表明κ是∑n可拓的所有n的目标θ。由于每一个几乎巨大的、巨大的、超巨大的、秩为秩的、可扩展的和1-可扩展的基数也与同样的目标，同样的结论适用于这些基数。每0-可扩展基数对于每个n都是明确的∑n-可扩展的，类似地

提升基数和伪提升基数。如果κis弱超容，则将存在嵌入j:M→ N临界点κ和Vj（κ）⊆N，从而表明Vκ≺Vθ

对于θ=j（κ），证明κ是0-可扩展的，因此∑n-可扩展，对于每一个n，同样的推理也适用于超荣不可折叠基数，它们是弱超荣的。我们已经提到∑n可拓到任意θ∈C（n），因此类似于每个∑n反射基数。

因此，如果κ具有main中提到的任何大型基数性质

定理1，则它是∑3-可扩展的，具有相同的目标θ，并且被强迫Q∈Vθ破坏，表明所有其他大对于θ或更高的目标，基数性质也被破坏。

4.改进、替代证明和问题

由于超紧基数和许多其他大基数可以是使得Laver是不可破坏的，并且这些基数特别是必须是∑2-反射的，因此也是∑2-可拓的，它如下（假设那些大基数概念的一致性）不能从∑3-可扩展性提高到∑2-可扩展性。也就是说，我们已经知道∑2-可拓基数为兼容性质坚不可摧。

然而，可以想象的是，主要定理可以通过削弱κ表现出大基数的假设来改进地面模型V中的属性。也就是说，在主要定理中需要假设κ（至少）∑2-在地面上是可扩展的模型V，以便知道用Q强制会破坏∑3-可扩展性。我们可以省略这个假设吗？我们不确定。可能这个假设是多余的，因为可以想象∑3-κ在V[G]中的可扩展性可能意味着κ。

问题7。如果κ是∑3-在强迫扩展中与目标θ可扩展通过策略上＜κ-闭强迫G⊆Q∈Vθ得到的V[G]，则κ是否必须是∑2-可拓的，目标在V中的Q阶以上？

如果是这样的话，那么主要定理可以通过去掉地面模型V中κ的假设，使平面断言在任何非平凡的策略＜κ-闭强迫Q∈Vθ，基数κ不再是∑3-可扩展的目标θ或更高，并且同样地，它也不是超级的、可扩展的、几乎巨大的、令人振奋的，等等。因此，我们将能够主要定理的相同结论，而不假设κ。

下一个定理表明，在许多情况下，对于特定的强迫概念Q，我们可以省略κ是∑2-可拓的假设

在地面模型中。

定理8。假设Q∈Vθ是几乎齐次非平凡的

策略上＜κ-闭合强制和Q=Q×Q。然后强制

其中Q破坏了κ与目标θ或更高的∑3-可扩展性。在里面

特别地，在任何这样的强迫Q之后，基数κ不是超容的，

有目标的可伸展、几乎巨大、隆起、伪隆起等θ或更高。

证据假设V[G]是这样一个Q的强迫扩展，并且κ是∑3-可扩展到V[G]中的θ。自Q～=Q×Q，我们可以查看V[G]＝V[G0][G1]作为每次使用Q的两步强制扩展，其中G～=G0×G1。由于我们假设Q几乎是齐次的，因此，所有V乘Q的强迫扩张都有相同的理论关于地面模型对象，特别是κ必须是∑3-可扩展的在V[G0]中。由于Q在V[G0]中策略性地保持＜κ-闭合，我们可以将主定理2应用于扩展V[G0]⊆V[G0][G1]，可以看出κ不可能是∑3-可扩展到V[G]中的θ，毕竟这是一个矛盾。

推论9。在用以下任何强制概念强制之后，加（κ，1），Add（κ，κ++），Add（κ+，1），Coll（κ++，κ（+）ω2+5）或者对于许多其他类似的强迫概念，正则基数κ在强迫扩展中不是∑3-可扩展的。因此，κ也不是超长的、可扩展的、1-可扩展的，0-可扩展的几乎伸展中的巨大、巨大、隆升、伪隆升或∑3-正等。

证据所有这些强迫概念都满足定理8的假设。

注意，κ的任何∑3-可扩展性目标必须高于这些特定的强迫概念。

我们相信主要定理的大部分现象是通过对以下问题的肯定回答进行解释，由第二位作者在MathOverflow上发表通常由其他强迫概念引起的问题）。在这里，通过添加在地面模型M上κ的Cohen子集，我们的意思是在M上强制具有Add（κ，1）M，其条件是κ有序的有界子集通过末端延伸。

问题10（[Ham13]）。正则基数κ必然变成在强制添加Cohen子集后可定义？特别地，如果M和N是具有共同强迫扩展M[G]的ZFC的模型=N[H]，其中G是Add（κ，1）M的M-泛型，H是加上（γ，1）N，则必须κ=γ？

定理11对这个问题的第一部分给出了肯定的答案

问题，以及在基数不可访问的情况下的第二部分。一般来说，我们证明最多有两个正则基数

这几乎回答了这个问题，尽管我们不知道两个基数的情况是否真的可以发生，因此问题10的这一部分仍然是开放的。然而，可用于提供main的主要权利要求的替代证明定理1，正如我们在定理11的证明之后所解释的。

设C（κ）断言κ是正则基数，并且宇宙是通过在某些地面W上强制将Cohen子集添加到κ、 也就是说，“V=W[G]对于一些地W和一些W-一般G⊆添加（κ，1）W。”

定理11。如果C（γ）和C（κ）成立，其中γ＜κ，则2γ=κ。

因此

（1） 满足性质C的正则基数最多有两个。

（2） 至多有一个不可访问基数满足性质C。

（3） 如果C（κ）成立，则κ∆3-可定义为具有性质C的最小正则基数或作为“具有属性C的最大正则基数。”

（4） 如果C（κ）成立并且κ是不可访问的，那么κ是π2-可定义为“具有属性C的不可访问的基数。”

此外，这些定义也适用于Vθ，只要θ是i-不动的共终点大于22κ或其中Vθ满足π2-集合。

换句话说，如果你强迫V将Cohen子集G加到κ上，那么κ在强制扩展中以指定的方式可定义，

并且这个定义在相应的V[G]θ中起作用。这个证明将通过两个引理进行。

引理11.1。假设κ是正则基数，则M和N是ZFC的传递类模型，并且对于一些M-一般G⊆Q∈M和N-一般H𕥄P∈N，其中Q是非平凡的，几乎同质的，策略上＜κ-闭合和Q～=Q×Q

在M和P中是非平凡的。则κ≤（2|P|）N。

证据设γ=|P|N，并针对矛盾假设（2γ）N＜κ。

假设P具有域γ。设δ=γ+，其在

N、 M和V。再次用Q强制V，添加V-泛型G1⊆Q，并形成作为强制扩展的扩展V[G1]＝N[H][G1]

由于γ＜κ和Q是策略性的＜κ-闭合的在N[H]中，它遵循引理5，为Q在N、 N⊆N[H][G1]具有δ-近似和覆盖性质。

还要注意，这里提到的所有模型中的δ+都是相同的。因此N=WrV[G1]，其中r=（＜δ2） 因此V[G1]＝N[H][G1]满足

断言，

“宇宙是地面的强迫延伸

由参数r定义，使用强制P和一些

进一步非平凡的战略＜κ-封闭强制。”

这个断言的参数是r、P和κ，我们声称它们都是在M中：当然κ在M中，并且P∈M[G]很小，所以它不可能是加上G，所以P∈M；对于r，观察到因为r∈N⊆M[G]和r⊆M通过Q的闭包，它从|r|N=（2γ）N＜κQ的闭包又是r∈M。由于V[G1]=M[G][G1]和Q～=Q×Q在M中，两步通用滤波器G*G1同构于Q上的单个M-一般滤波器。由于Q几乎是齐次的得出M通过Q的每一个强制扩展都必须满足关于M中参数的相同断言。特别是，显示的上面的断言在M[G]本身，也就是说，在V中也必须成立。

因此，对于某些WrV，V=M[G]=WrV[H0][G0]-一般H0⊆P∈WrV和一些WrV[H0]-泛型G0⊆Q0∈WrV[H0]，其中Q0是非平凡的并且策略上＜κ-在那里关闭。此外，WrV⊆M[G]具有δ-近似和覆盖性质，正确的δ+，以及r=（＜δ2）WrV。

由于N⊆N[H]=M[G]也具有δ-近似和覆盖性质，正确的δ+，并且r=（＜δ2）N，则由定理4得出

注意H∈N[H]=M[G]=WrV[H0][G0]，但是它不可能由G0相加，因此H∈WrV[H0]=N[H0]。

因此，N[H]⊆N[H0]，因此M[G]≾N[H0]，这意味着特别是G0∈N[H0]，与Q0是非平凡的相矛盾。

引理11.2。假设γ≤κ是正则基数，则M和N是ZFC的传递类模型，并且V＝M[G]=N[H]对于某些M-泛型G⊆Add（κ，1）M和某些N-泛型H𕥄加（γ，1）N。然后γ=κ或2γ=κ。

证据假设γ＜κ。由于Add（γ，1）在N[H]中迫使2＜γ=γ

M中2＜γ=γ，M中类似地2＜κ=κ[G]。二者都Add（γ，1）N和Add（κ，1）M是非平凡的，后者是＜κ-闭合。

因此，使用引理11.1作为第一步，我们观察到κ≤（2|加（γ，1）|）N≤（2γ）N=2γ≤2＜κ=κ，因此2γ=κ。

定理11的证明。从引理11.2直接得出，如果C（γ）

C（κ）和γ＜κ，则2γ＝κ。所以不可能有三个常规满足C的基数，因为任何较大的实例都是在通过最小的实例，从而通过任何正则基数

满足C将是满足C的第一个或第二个正则基数。因此，任何这样的基数都可以通过强制扩展。同样，由于2γ永远无法访问，无法访问是具有属性C的两个不可访问的基数。

现在让我们分析一下这些定义的复杂性。首先，一可以很容易地看出断言C（κ）在扩展，因为它相当于断言“参数r和一些G，使得在任何Vλ+2中一个i-余数不动点大于κ，则G⊆Add（κ，1）W

　　

五、rλ是WrVλ-泛型，Vλ=WrVλ[G]。”但实际上，我们可以改进这一点，并且我们声称C（κ）具有复杂性π2。具体而言，我们声称V中的C（κ）等价于“对于形式的每个结构Vλ+2，其中λ是在κ之上的余数的i-不动点，存在r，G∈Vλ

使得G⊆加（κ，1）W

五、rλ是Wr泛型，Vλ=WrVλ[G]。”这语句的复杂性为π2，因为我们本质上是在说“若Z=Vλ+2对于一些λ和…，“断言的其余部分发生在Z内部，所有量词都以Z为界，并且“Z=Vλ+2对于某些λ“具有复杂度π1，因为可以说Z是传递的，并且满足某个理论并且包含其成员的所有子集。

重点是，即使断言允许不同的λ使用不同的r和G，这是因为r和G是大小有界——我们有r⊆＜κ+2和G⊆Hκ

是一些特殊的r和G，它们经常与无界重复λ越来越大。任何这样无界出现的对r和G将根据需要确保V＝Wr[G]。

由于C（κ）是π2可表达的，因此很容易得出断言“κ与性质C最小”和“κ与性质C第二”在最坏情况下具有复杂性∆3，断言“κ不可访问且C（κ）”具有复杂性π2。此外，这些定义在任何Vθ内都有效，前提是θ是至少22κ哪一个是可能出现的r和G的数量。

事实上，可以使用π2-集合来代替这个共最终性论点，以确保一些r和G在θ以下有无限多个λ。

可以使用定理11来提供

主要定理的不可毁灭性主张。这个想法是，在用Add（κ，1）强制后，正则基数κ不能是∑3-可扩展的

在强迫延伸中，由Vκ≺3 V[G]θ见证，因为V[G]θ满足π2-集合，因此κ在V[G]θ中是∑3-可定义的，这是不可能的，因为这样一个基数的存在必须反映在κ以下κ3V[G]θ的光。因此，在强制添加Cohen子集之后对于κ，基数κ不能是∑3-反射的、超容的、可扩展的，令人振奋等等，以及我们所有其他重要的观念

主要定理中提到的。同样的论点也适用于许多其他强迫性的观念。

让我们在结束这篇论文时指出，一个人可能不会加强从战略角度看主定理的超可破坏性＜κ-闭合强迫到（κ，∞）-分配强迫（感谢裁判的建议）。例如，假设κ是超容的在V中，目标为θ，为了简单起见，我们还假设θ本身无法接近设P=πδ＜θAdd（δ+，1）为Easton支撑乘积直到偏序的θAdd（δ+，1）将Cohen子集添加到δ+，只要δ＜θ是不可访问的。如果G⊆P是V-泛型的，则标准自变量表明κ在V[G]中保持超容。即，修复嵌入j:V的任何超强度扩展器→ M、 然后举起通过强迫Gκ⊆P嵌入↾ κ至κ阶段在j:V[Gκ]中→ M[j（Gκ）]，使用j（G？）=G；接下来，利用以下事实在区间[κ，θ]中坐标处的其余作用力Gκ，θ≤κ-分布在V[Gκ]上，因此作为扩展嵌入，j提升对j:V[Gκ][Gκ，θ]唯一→ M[i（Gκ）][j（Gκ，θ）]，其中，由j“Gκ，θ生成的滤波器。提升嵌入j:V[G]→ M[j（G）]具有V[G]j（κ）⊆M[j（G）]，因为我们使用了下面的通用滤波器Gθ、 κ在V[G]中保持超容。现在，设g⊆κ+为V[g]-Add（κ+，1）V通用，即为在坐标κ处强制。由于添加κ+的两个子集同构于仅添加一个子集，我们看到κ在V[G][G]中是超容的，因为这可以看作是V[G*]，其中G*与G相同，只是G*（κ）～=坐标κ处的G（κ）*G将该阶段的两个通用滤波器合并为一个滤波器。所以这里的情况是V[G]中的超容基数κ在强迫后仍保持超容，在V[G]上加上（κ+，1）V，即使这种强迫是（κ，∞）-分布的在V[G]中，它是V[G]中它≤κ-闭合的事实的残基在V中。因此，我们不能指望证明超强总是被这种强迫摧毁。

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