数学论文（关于任意集和ZFC）

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要：集合论处理数学中最基本的存在性问题——影响数学其他领域的问题，从实数到所有的结构种类，但被提出处理集合的存在性。特别值得注意的是建立一些无限集存在性的原理，即所谓的“任意集”论文致力于分析研究任意集的动机目标，通常被称为准组合主义或组合最大性。之后解释什么是可定义性和“任意性”，第一个历史部分讨论为什么集合论被认为是任意集合理论的强烈动机，强调与分析的联系，特别是与实数连续体的联系。判断依据从这个角度来看，选择公理是一个最核心的、最自然的集合论原理（在准组合主义的意义上）。第二部分首先考虑数学形式系统与其动机之间的潜在失配概念，并对Zermelo-Frenkel该系统在阐述原理时捕捉到了“任意集”的概念。我们认为这方面的理论相当贫乏。

集合的概念，公理系统ZFC及其所谓的直觉基础，所有集合的宇宙V——所有这些都是数学家们讨论的主题哲学家们提出了许多截然不同的观点。谈谈的概念自出现以来，被设定为直觉或常识已经广泛存在1870年左右集合论。然而，集合的概念构建的观点对日常观念的理解是相当有问题的：如果我们理解中的“收藏”任何接近日常意义的东西，都不可能迭代这个过程以集合论所需的方式形成集合，从而构建“集合”，如｛｛a｝、｛a、b｝｝。集合的直观图像，无论孤立的或与其他直观概念相结合的，不能提供建立集合概念的坚实基础。这项任务需要至关重要的

假设——从集合的对象性或元素性开始——不能从日常观念出发来证明。只有通过这样假设可以阐述出一个名副其实的集合概念。

然而，这并不是说集合论被允许有很多自由度处于形成期。在这方面，我不同意以下句子Kanamori的：

与市场算术和希腊几何中出现的数学不同，集合和超限数是既没有实质的先行性，也没有实质性的先行性。喜欢陌生之地的陌生人。他们在公理化的脚手架的指引下携手前行。（Kanamori[1996，第12页]。）

这样的描述似乎适合于集合论的元理论时期作为一个领域，大约从1950年开始，一个元数学时代的结果是探索了大基数的景观、强迫技术和ZFC模型的世界，但不是为了更正确的理论和早于1940年的公理化时期。正是在这个时期，从1904年到1940年，理解的核心是集合论，它的公理化基础，宇宙V，甚至“小”大基数-不足也许可以理解，但并没有取得太多明确的进展我想强调的是，这种理解确实有着强大的根源和实质性的先行性：基本上这是一个问题理解和澄清数和函数的概念。

泽梅洛在陈述那一盘时清楚地反映了当时的情况理论是“数学的一个分支，其任务是从数学上研究‘数’、‘阶’和‘函数’的基本概念，取它们以其原始、简单的形式”（Zermelo[1908200页]；很明显，他写这些词时考虑到了秩序井然的问题）。但是作为只要我们提到1900年所理解的数字和函数秩序、拓扑和结构必然涉及：整体和局部阶、环和域、拓扑完备等。正如我在费雷尔´os[2007]，集合论的起源与广阔的领域联系在一起属于1900年的数学。

本文的主要目的是对（i）允许任意子集的指导原则的起源，以及（ii）它在形式公理系统ZF中被捕获的方式选择，ZFC。在第一部分中，我将论证选择公理（AC）是一个绝对自然的假设，以免集合论强烈偏离Dedekind、Cantor、Zermelo、Hausdorff的作品，以及来自古典理解实数。此外，我认为AC来了最接近于捕捉（一点）任意、不可定义集的概念--也被称为“准组合主义”或“组合最大性”第二部分致力于论证，综合考虑，ZFC是一个穷极系统与其研究“一切可能”任意性的激励目标的比较子集（这表明了该系统及其失败的深层原因解决CH的真或假的扩展）。

§1.准组合主义。从一开始，承认的想法，任意子集是开国元勋们的重要动机我特别提到坎托、德德金、希尔伯特和泽梅洛，因为弗雷格和拉塞尔的情况可能有所不同。当我们这么说的时候在集合论中，存在N的所有子集的集合，这个集合℘（N） 假设将N的所有可能子集作为元素，无论是否可定义，都是它们是有限的或无限的。令人惊讶的是，Cantor和Dedekind从未做到这一点在他们发表的试图制定系统的文章中充分明确的想法集合论的处理——Dedekind[1888]处理有限集合和可数集合，Cantor的Beitr年龄[1895&19897]处理第一类集合两个超限基数。然而，该原理显然需要他们对集合论和数学基础的贡献，以及我认为可以公平地说，这是他们做法的明显特点。

直到1900年，它仍然是一个关键但隐含的指导原则，也偏离了许多同时代人的观点，包括对集合论非常重要的贡献者，如Borel、Baire和勒贝格。

1.1.Dedekind–Cantor方法被描述为一个准组合概念，原因我们现在回顾。5对比既要有建构主义的概念，也要有可定义主义的概念视图。

基本区别（不太清楚，不太理想）是可定义的集合和任意集合。6可定义集合的概念似乎足够清楚：考虑所有偶数自然数{2，4，6，8，…}的集合，定义在显而易见的方式，或素数的集合{2，3，5，7，11，…}，可定义为所有数n的集合，使得m/n表示m=n或m=1。即使集合{3，141592653，…}，由十进制密码分组形成可以根据自然数的性质来定义abl的展开，在结构为hN，0，+，·i的语言中的有限性——尽管事实上是一个超越数。

当然，这个问题与任意（不可定义）完全不同N的子集。我们前面的例子使用了足以让读者相信，不可能提供一个具体的自然数的“任意集合”的例子。的具体示例我们所能提供的无穷多个自然集合是自然事实上可定义的集合naturals（这不仅包括描述性集合论中研究的集合，而且，例如，在0#和其他锐器的情况下，参见下面的第6节）。这个人们越是反思这件事，它就越明显；最终一个可能会认为“武断”的“具体”例子的想法任何事情都是矛盾修辞法。然而，这一点并不经常被强调，而是相反，通常是模糊的，因此强调两者似乎都很重要并完全吸收。

考虑一下它对幂集假设的启示：尽管我们可以指定的任何东西都是可定义集，我们仍然假设自然数集合（可定义和不可定义）的整体的存在性，的元素℘（N） 。这项规定的要求完全不同从假设自然数的总和N，在这种情况下没有展示具体实例的问题。

1.2.为了避免诸如理查德悖论之类的悖论，可定义性的概念必须被理解为相对于某种特定的形式系统。因此可定义集合将对应于某些（有限的或递归的）句子可指定的）形式语言。可以考虑扩展语言，或者同时使用几种形式语言，但这不会改变本质要点：所考虑的系统必须是完全可指定的，相当于严格形式的要求，即递归规范。

由于可定义集合对应于有限或递归形式语言中的句子，给定任意基数的集合C和对应的形式语言中，只有可计数的许多C.Cantor的可定义子集定理保证了C有不可定义的子集在自然数的情况下，即使我们允许（可计数的）许多不同的形式系统，也只存在N的可计数的许多可定义子集Cantonian集合论保证了存在许多任意的连续体N的子集。那么，直观地，随机选择的N的子集将是完全的任意的，不可定义的。

Cantor对角过程的重要性恰恰在于，它构成了一种超越任何给定的可定义子集序列的方法N（类似于其他集合）。然而，就其本身而言，Cantor的对角线方法不会导致任意集。事实上，如果的可数序列自然数的可定义集合是明确给出的，这样我们就可以计算n是否属于n，则对角过程产生n∈B的真值的计算（其中B指定义的新集合通过Cantor的方法）。这是Richard悖论中利用的特征，反过来又通过将可定义性限制为特定的形式来解决语言。

一个更自由的概念是带参数的可定义性，这相当于与相对化的可定义性相同。想法如下。尽管大多数实数都不能从自然数系中定义，我们可以假设集合R是给定的，并考虑可定义的实数集在R中具有任意参数的结构hR，0，1，+，·i的语言中。

请注意，这需要我们采用一种方法论柏拉图主义的形式；我们引入一个假设，即给出了一些我们不能完全指定的系统。

就像以前一样，由于必须正式指定语言，因此遵循只有R的可数多个子集是可定义的，并且（根据Cantor定理）还有更多的不可定义子集。

当使用参数的可定义性时，参数的域必须从一开始就固定。理查德悖论利用了一种模糊性在这里，因为如果我们认为这个域是一路生成的，那么矛盾似乎不可避免。集合论静态概念之比较而数学对象的生成或建构主义概念1900年前后不够清晰。有时这种对比会被掩盖，甚至今天，由集合论的粗心的解释者。

1.3.把Dedekind和Cantor的经典观点称为拟组合的原因如下。在传统的组合数学中，我们给定了有限数量的元素，以及它们所有可能的组合则被视为给定。当元件的数量非常大时，例如（10）10，实际生产它们的所有组合可能是不可行的，但是，如果我们忽视由于操作时间和速度的限制，它们可能被认为是可到达的——这是传统的观点。什么关于无穷多元素的组合？这里有两种可能答案，其特征是集合论与建构主义的观点建构主义者会坚持认为无穷大case和有限case本质上不同，所以两者都不能放在一起标准杆。

集合论与现代数学，以康托尔和Dedekind，坚持把无限的情况和有限的情况放在一起考虑。

因此命名为“准组合”是为了强调一个事实，即用有限的、组合的情况来进行类比。那个名字是Bernays[1935]用值得的词语创造并解释了这一概念报价：

但分析并不满足于这种温和的柏拉图主义[取所有给定自然数的集合]；它反映了它在以下概念方面达到了更强的程度：集合数字、数字序列和函数。它摘录自给出集合、序列和函数定义的可能性。

这些概念是在“准组合”的意义上使用的我的意思是：在无限与有限的类比意义上。

例如，考虑分配给的不同函数有限级数1、2、…的每个成员，n个相同的数字系列有nn，这类函数中的每一个都是通过n个独立测定获得。传递到无限在这种情况下，我们想象由无穷多个独立决定产生的函数，这些决定为每个整数分配一个整数，并且我们对这些功能的整体进行推理。

以同样的方式，可以将一组整数视为中的结果-有限多个独立行为决定每个数是否应该包括或排除它。我们在此基础上添加了这些集合的总和。实数序列和实数集数字是以类似的方式设想的。从这一点来看观点，具体功能、序列的构造性定义，集合只是挑选一个独立于构造并在构造之前存在的对象的方法。

选择公理是所讨论的拟组合概念的直接应用。（Bernays[1935，第259页–260]。）

如果没有与建构主义数学方法的对比，Bernays对集合的直观概念的巧妙解释是不可能的。12在这方面和其他一些方面，建构主义评论家做出了贡献，集中于奠定现代数学的基础。

还请注意Bernays是如何以解释函数和立即转移到片场。“set”和之间的本质等价在现代集合论环境中的“功能”对他的成员来说是显而易见的一代它在20世纪20年代随着功能的全面减少而变得清晰起来到ZFC中的集合，但也与von Neumann的原始系统使用的论点和函数（他称之为I对象和II对象）作为原始概念（不是集合成员）；见Heijenoort[1967年，第399页]。

本质等价是关于集合的一个重要实现。一旦我相信，人们可以理解天真地认为布景是一种诱惑常识的问题消失了。

1.4.我在上面说过，像弗雷格、皮诺这样的同时代人的情况，年轻的拉塞尔可能有所不同，因为人们可以解读对他们来说，集合是并且只能是可定义的。Frege从概念开始，一个集合是一个概念的延伸，因此对于要给定的集合，必须有可用的概念。在什么条件下概念是“可用的”是一个悬而未决的问题。当时他们希望发展一种象征性的微积分可以完全反映算术真理的领域，以及隐含地，这包括希望N的可定义子集的领域可能达到所有自然数集。

概念可能至少有两种方式可用，如抽象给出的，或通过语言规范的手段；到了1890年，甚至到了1910年，弗雷格和其他人（包括法国人分析师Borel，Baire，Lebesgue）可能希望这两种“可用性”途径可能重合。在关于正式系统的有限结果之后，我们知道弗雷格和年轻的拉塞尔需要一些一种“准组合概念”，这在术语（因为必须从给出定义的可能性中抽象出来。，概念的确定，这样的“概念”）。但到1900年，这一假设的必要性及其影响仍远未明确。这解释了为什么弗雷格和同时代人仍然可以做出他们的定义倾向似乎与坚持经典分析相一致。

如果一个人希望避免概念的形而上学柏拉图主义和早期观点中的不确定性，一个概念应该被视为对应物，某种语言表达的“幻影”或“影子”，例如双素数或完美波兰空间。

现代逻辑理论建议在给定的形式语言中，用开放句的清晰概念来识别“概念”的模糊概念。让我们，为了简洁而精确，称之为形式谓词。

这使得数学化和扩展的概念成为可能可定义集合，说集合C在结构M上可定义，当和只有当一个自由变量中有一个形式谓词时（在该语言中LM），使得C的成员满足形式谓词。使用ξ（x）作为LM语言中形式谓词的示意表示，这是除了非常熟悉的C={x:ξ（x）}之外什么都没有。C是由所有对象形成的（在某个领域）属于正式指定的概念，使用弗雷格的措辞。

1.5.自然地，可定义集合的概念是相对于形式的正在考虑的语言；当我们处理参数的可定义性时，语言的解释领域也变成了关键的这就产生了在处理集合论时需要注意的问题，因为依赖不同的正式系统可能会带来显著的差异在可定义集合中。不管怎样，随着我们讨论的举动获得了可定义集合的清晰、机械的特征。

剩下的都是任意集，不可定义集，正如你所知，℘（N） 只包含无数个可定义集，连续体许多不可定义集合；类似地，℘（R） 包含22ℵ0不可定义集合等等。

任意集背后的直观思想是“独立决定的无穷大”，用Bernays的话来说，它将每个整数分配给的情况下是否设置℘（N） ；或将每个实数分配给集合或不分配给的案例℘（R） ，等等G¨odel用“随机”的语言提出了这个概念一组”数字，以强调这些独立的决定是为了被认为是随机的——不是由形式谓词或类似的东西决定的。

如果我们的目标是确定我们正在谈论的概念。（其他选项，如谈论“自由选择”就他们的拟人化建议冲突而言，不太令人满意集合论的静态、柏拉图主义取向。事实上，他们邀请我们建构主义。）

我们允许自己对这些任意或随机集的总体进行推理，将它们视为给定的，就像我们将N视为鉴于但请注意，人们可能希望在℘（N）和℘（R） ，只要N的单个元素是完全可指定的，而那些R不是——也就是说，只要实数提出了可定义性问题不适合自然人。这意味着幂集的可迭代性操作不明显。但是集合论独特的观点，在坎托-戴德金的传统，就是无视这样的区别。

关键的问题是，我们对“休息”有数学控制吗任意子集？ZFC在多大程度上处理了这个想法？

什么集合论公理在使概念更加精确方面发挥了作用任意集合的？但是，在讨论这些问题之前，让我们考虑一下更详细的历史渊源。

第1部分.ZFC后面的任意集

§2.函数、实数和任意集。分析发展的两条主线趋同，促进了对任意性的承认集合，即关于实数的十进制展开和（Dirichlet–Riemann）所谓任意函数的概念。第二个这条线在1870-1930年间更加明确，其重要性是众所周知的。

2.1对函数进行精确狄利克雷方法的尝试是集合论出现的关键驱动力之一。古斯塔夫勒琼-狄利克雷在1837年提出了一个“纯概念”的函数思想作为数值的任何（多对一）对应关系——不管是否可以通过公式来确定相关性。这是他试图在一般概念的基础上建立数学，而不是公式或分析表达式。他称之为“武断”在19世纪，人们习惯于说“狄利克雷的任意函数的“概念”。注意Dirichlet的方法，因为它将显式分析公式置于次要地位，迫使数学家具体考虑它们的域和共域函数对应、任意函数。

三十年后，间断函数的研究开始了，由于黎曼对积分的新定义数学家设置理论考虑。这些研究，包括试图扩展狄利克雷关于傅立叶级数的工作，引领了数学家们像汉克尔、杜波依斯-雷蒙德和坎托一样分析的性质给定函数不连续的点集（或级数在Cantor的情况下，表示失败），即所谓的唯一性集合。

这项研究涉及R的可定义子集，现在是描述性的集合论（本质上相当于中参数的可定义性R） ，但研究的指导思想是，任意子集必须承认。假定给定任意无限点集P⊆R，然后我们继续研究，例如，通过它的极限集的性质点。无限点集是完全任意的，但我们集中于根据指定的属性（例如，在运算派生集导致空集的可计数多次迭代）。

康托尔和其他人在课程中介绍了点集的复杂例子在他们的研究中，最著名的是康托的三元集。更普遍地说研究由开（闭）集通过互补得到的集，可数并集，投影，重复了无数次，这导致了Borel集合，解析集合，射影集合。众所周知，主要问题在这个领域中，由投射行列式和大基数公理来解决（见Maddy[1997]）.

狄利克雷和黎曼关于任意函数的思想也强烈地推动了戴德金的工作。这导致他引入了任意映射，作为集合论中的一个明确概念，在他1888年的著作中。（他们已经自1871年以来，在他的代数和数论研究中，一起具有同态和同构的概念。）但是意图任意性仍然相当模糊，直到1888年，他才谈到集合S的映射ξ是由“一个定律”决定的（Dedekind[1888，p.799]）。

从我们的观点来看（第1.2节），“任意法律”的概念并不意味着意义，否则它只是集合论问题在内涵对象的水平（就像“准组合”的情况一样概念”，见上文1.2）。但很明显，Dedekind是狄利克雷任意函数概念的党派性。

关于第1节，我们应该注意到公式给出的函数与一般函数，以及可定义集与任意集合。这是一个关键点，但我必须避免进入为了太空的利益，更多的历史细节。

2.2.重新研究实数概念的动机是刚才提到的点集研究的开端（Cantor，du Bois–Reymond），以及更普遍地通过分析（Dedekind，Weierstrass等）。非常有影响力的方法算术和有关纯数学的相关思想建立了新的方法论框架，导致了实数处理的重大创新。

由此产生的从集合Q中发展实数系统的动力有理数导致Cantor和Dedekind在实践中引入（尽管在理论层面上还不够清楚）集合论的两个核心假设：

无穷大公理和幂集公理；这伴随着一个假设Q的任意子集必须被允许。这一步骤是在1872年采取的Dedekind和Cantor，但只是含蓄地；事实上，他们推理同时假定无穷集，它们的幂域，以及准组合子集。回顾过去，这些假设的根源可以在关于十进制展开的传统观点中找到。引入十进制后扩展，最终很明显单位长度的间隔可以与所有可能的十进制展开式相关联在冒号之后，即密码对有限序数的所有可能赋值数字。

我谨慎地表达了自己，有意地写下了“关联”，避免现代的实数与无穷大的识别思想十进制展开。从方法论的角度来看，这是一个重要的差别注意以下几点：承认一点是一回事在一行上，确定了无穷大的十进制展开式（可能是非周期性的）或者可以产生——还有另一件事，定义中的实数区间（0，1）作为所有可能的无限小数展开式

0，c1c2c3…ci…

其中ci是十进制记数法中的密码。第一个原则是传统的，从（至少）大约1600年开始被承认，但第二个方法是通常是现代的。在第一种方法中，数学中的存在问题仍然可以与欧几里得的元素（点由显式图解结构给出）和十进制展开式可以被视为对这些实体的数值近似。

第二种观点脱离了这种建设性和/或直观的几何基础，需要引入无穷大立场和抽象的存在原则。这种现代方法源于约1850-70年；它是在新方法的背景下出现的纯数学、现代分析和代数以及算术。

现在让我们使用任意函数的Dirichlet概念来更明确的现代概念之间的联系实数和十进制展开式。单位区间内的实数可以用十个密码的序列来理解，因此可以用所有任意函数的

f： N→｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝。

这一观点表明，连续体的秘密将在任意函数，在任意的密码序列中，在所有的思想中可能的任务。

当然，与十进制记数法的十位数不同很好地使用任何有限数量的数字，特别是三进制或二进制扩展。如果不是f:N→｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝我们考虑二进制表示法，

f： N→｛0、1｝，

很明显，可以通过N上的二值函数来研究连续体。这些函数反过来可以看作是对N的子集进行编码。因此连续体的“秘密”无非是幂集的秘密℘（N） 。

坎托至少清楚地看到了这一论断的一部分，并完全理解清楚地知道如何简单地通过考虑将其推广到任何集合S

f： S→｛0，1｝（Cantor〔1892〕）。当时的任务是研究“所有可能的”N的子集，或者一般的S，无论S的基数有多大；也就是说，问题在于理解任意子集。

进一步的历史注释正在进行中。通过重新思考实数Dirichlet任意函数的均值不是的有理重构我自己的想象。不仅仅是因为相应的认识一定潜伏在幕后，尤其是在算术方法，如Cantor和Weierstrass，熟悉连续分数、幂级数，当然还有数字展开（十进制，二元、三元）。Cantor的一篇著名论文[1892]和的手稿Dedekind是集合论创始人重新认识的见证者实数系统正是沿着这些线。Dedekind的短片，日期为1891年，值得注意的是，它引入了拜尔空间（在意义上描述性集合论，而不是更常见的拓扑学）八年前任´e Baire的论文。

直接处理的结构h N，1，ói在Dedekind[1888]中定义的自然数，他认为“连续的”所有映射的集合→N.这是一个实质性的举动从数制及其所谓数制的传统观念中解放出来“基因构建”，走向更纯粹的集合论方法连续体

2.3.在有序域Q的基础上定义实数，Cantor依赖于有理数序列的总和，而Dedekind依赖于对合理数字的总体削减。在第一种情况下需要允许任意（不可定义）序列，在第二个需要任意（不可定义）切割。但这一假设在他们的1872年的工作，一个假设“所有可能的”序列Q的有理数或子集可以作为一个新集合的元素给出。

毫无疑问，德德金和坎托都没有继续提出明确的Powerset原理，至少在印刷品中是这样。这个想法有点过时了模糊的，以一个实际上至关重要但隐含的指导原则的形式。

康托尔在给希尔伯特的一封信中明确了这一原则（公式为在然而，模糊的上下文），但只是为了在下一个字母中表达怀疑。在无论如何，他们的实数理论以全幂集为前提公理将连续体理解为点集的必要性提供了最有力的论据对其有利。在康托尔的作品中还有其他的观点和Dedekind，它们与Powerset或至少与任意子集相关：

Cantor关于点集的研究是在任意集假设的基础上进行的的实数集，这同样适用于Dedekind关于理想的工作（无穷集复整数），其中他经常假设任何环上所有可能的理想要给定的整数的数量.

正如我们所看到的，关于任意函数、任意实数和任意集的思想是集合论——从Dedekind和Cantor，到Lebesgue、Zermelo等等。

在这种观念的影响下，接受的激励原则任意子集的总和被放置到位。这一关键原则成为十年来集合论批评者争论的主要焦点1900年以后，尽管Dedekind都没有明确表示或Cantor。只有有了选择公理，这一原则才更多地浮出水面清晰地

§3.选择原则。从原则上接受任意子集的角度来看，显然应该接受选择集。

就像我们把一组整数视为无穷多个“独立行为”的“结果”，决定每个数字是否应该包括它一样或者被排除在外，我们将非虚拟集族F的选择集视为无穷多个“独立作用”分配给每个y∈F的结果元素x∈y。使用G¨odel的“随机集”术语，很明显在F的随机子集中，有满足条件的子集刚刚阐明。集合论的指导思想是集合被视为给定的。

也许准组合主义最具特征的特征是一种负面特征：人们完全无视明确定义的问题（通过任何给定系统中的形式谓词）与的“给定性”无关无限集。从这个角度来看，特定函数、序列或集合的显式定义只是“挑选”存在对象的方法独立于构造或定义，并且在构造或定义之前。完全独立于数学家的选择、动作或构造、选择给出了集合和选择函数。正是由于这些原因，Bernays指出AC是拟组合的“直接应用”观点。

1905年左右，正是什么给选择公理带来了麻烦对可定义性的坚持，无穷集应该是确定的这是因为许多数学家理解集合作为概念扩展，他们发现假设集合的“存在”，例如由Choice保证的集合。（同样，许多认为函数应该由显式公式给出——这种观点早在1870年就从柏林大力推广。31）更准确地说，那个时期的许多数学家倾向于建构主义数学存在的概念（对于实数），并显示出关于实数集的可定义偏好，所有这些都导致它们反对选择公理。

在普遍关注的案件中，所有这些都特别清楚1905年前后：实数集R的一个良序的存在性。

对于那些认为集合是由概念决定的数学家来说，泽梅洛关于存在这样一个良序的证明是不成立的。它正在变得正如今天所清楚的那样，当时越来越清楚的是，这样一个良好的秩序不是可定义。

注意，一个具体的，可定义的良好排序是Hilbert所要求的在著名的1900列表的问题1中：

在我看来，最希望得到这方面的直接证据坎托的非凡陈述，也许是通过实际给出实数的排列，使得在每个偏集中可以指出第一个数字。（希尔伯特[1900，第1104页]。）

鉴于以上所述，希尔伯特对这个问题的陈述是含糊的，因为任何精确的表述都必须涉及正式的系统。为了使其完全精确，最自然的公式是询问R的良好序是否是ZFC可定义的。这个希尔伯特问题在Solomon Feferman使用强迫方法证明“它是”与ZF、AC和GCH一致，不存在理论上可定义的集合连续统的良好有序性”（Feferman[1965,342]）。

关于Zermelo关于阱序定理的证明，´波莱尔1905年发表了一些非常有见地的评论。泽梅洛展示了两个问题的等价性：一个好序问题集S，以及在幂集上定义选择函数的问题℘（S） 。

在Borel看来，第二个问题决不能被视为在全体的因此，他不断强调数学家需要指定他们要研究的无限对象或过程。他坚持需要用概念定义无限集，而接受AC的人是，或多或少有意识地强调他们的观点，即可定义性不是中心物质，而任意集合（分别为准组合主义）是主要的。

当然，在这个层面上，观点的复杂性（通常是不兼容的）在集合论的早期发展过程中变得十分清晰。而康托尔迪德金和泽梅洛是任意盘的冠军，皮诺考虑了选择公理并拒绝了这个想法，拉塞尔留下来了在整个20世纪和《数学原理》中，法国人都是不可知论者分析家Baire、Borel和Lebesgue否定了他们之前的原则依赖。等等（参见Moore[1982]，了解过多的细节。）

一些数学家在他们的整个职业生涯中坚持认为-有限集只能被接受，前提是它们是由明确定义。Hermann Weyl为我们提供了一个非常沿着这些路线的一致立场。他认为，由于不可穷尽性无穷集的一个特征&简单的拟组合观点不能应用于它们（Weyl[1918，pp.13-15，32-33]）。有人说过Weyl从未证明一个依赖于选择公理的结果，虽然我没有证实这是真的，但很明显，他已经尽了最大努力确保他的数学工作不受假设的影响被认为是如此可疑。

Borel、Baire、Lebesgue、Weyl和其他人对Zermelo的反应系统，以及他们对AC的原则性反对意见，可以反过来理解为关于集合的象作为概念的不充分性，有许多争论。让我再次强调，只要我们不假设一个逻辑学家的天堂的存在，其中所有需要的“准组合”概念已经给出（第1.2节）。

一个方面需要进一步澄清。Choice作为集合存在性原理是关于背景模型的假设。众所周知，在可构造性（V=L）等假设下，选择原理成为一个定理；我们会的回到下面这个。假设由提供的集合的存在性选择之所以令人反感，只是因为它（默认或明确）假设背景模型确实包括任意集。这是在R及其良序的上下文中几乎是微不足道的，我们只是讨论，因为实数的“经典”概念与实际无穷大和任意子集的假设密切相关（第2.3节）。

让我换一种说法。我将在下面争论AC是ZFC内部拟组合主义理想的最强体现，但是即使是该实施例也没有直接捕捉任意集合的思想，在某种绝对意义上——但只是相对的和部分的。再过一次集理论发展了一个世纪，人们可能会怀疑其最终原因为什么开国元勋们没有明确他们的基本动机完全承认任意集只是因为这个想法是不可能确定的完全放下——它不能完全明确。

§4.关于可构建性的插页。衡量的一个重要因素拟组合主义的重要意义在于对可构造性的研究universe.32这有助于在数学上更清楚地了解准组合（或完整）宇宙的含义。因此，让我们简单地考虑一下可构造性公理，通常以书面形式提出（在类记法中）V=L，我们在交流时也必须考虑到这一点后来G¨odel的可建构性思想是作为m的一个特征组合而产生的现代的或“经典”程序和建构主义限制。的主要影响可构造性的要求是废除集合的不确定性定义，并通过明确的定义逐步构思引入的集合；但另一方面，过程的超限迭代是允许的步数，步数+1。一般每个超限序数α都有一个步长α。像G¨odel强调，这是一个完全非结构化的元素，它抵消了对不明确定义（即宇宙）的消除是在非精确给定的序数类上生成的）。因此该方法使用了谓词可定义性的超限迭代。G¨odel最初的希望可能是，这样做，可以限制真的很多不可指集和任意集。这至少可能是为什么他在1938年关于AC一致性的摘要的最后一段中写道和GCH：

作为一个新公理添加的命题[V=L]似乎给出了集合论公理的自然完备，就其而言确定了确定性中任意无穷集的模糊概念方法（费费曼[1990，第27页]。）

后来的工作表明事实并非如此，即的超限迭代谓词可定义性捕获很少（甚至什么都没有？）任意集，这将在下文中变得更加清楚。此外，假设V=L似乎违背了集合论背后的激励思想，特别是反对组合最大性。但这一点从一开始就不清楚。

可构造性要求可以最简单地表示为对冯-诺依曼层次结构的限制：而通常的累积层次结构是假设当域Vα+1被定义为包括α的所有子集，可构造层次引入Lα+1作为集合所有预测定义的Lα子集（参数在Lα中）。但是当严格的预测方法只允许有限的水平，因此不足以引入许多序数，G¨模型的可构造层次所有序数的水平都是α。

Jack Silver、Robert Solovay和其他人的详细工作，导致0#（zero-sharp）的编码，有力地支持了这样一种观点，即可构性与集合论所指的最大性不兼容合并。在Dana Scott的开创性结果证明一个可测基数的存在需要V≠L、 在V的意义上严格地大于L，一些专家开始研究关于L的结构，可以为这一问题提供更多的线索。例如，F.Rowbottom的指导思想是，在某些结构假设下，L中每个可定义的序数都是可数的，因此必须如此是℘（ù），℘ ℘等等。！1964年，他建立了可测量基数的组合（划分）性质已经意味着只有L中的可数许多实数。因此，即使拉姆齐基数的存在也意味着只有可数许多的可构造集整数这项工作很快就找到了一个明确的公式，这要归功于被称为西尔弗-索洛维不可分辨理论这项工作导致了可测量基数作为临界值的内在特征初等嵌入j:V的点→M的宇宙V变成一些内部模型M。将其与不可分辨的概念相结合由Ehrenfeucht和Mostowski在模型理论中发展而来，路径发现有0#的蒸馏。如果存在一个非平凡初等L嵌入到其自身中，则存在一个闭的无界真类在L.0#中不可分辨的序数被定义为自然数的集合编码G¨关于不可分辨的真公式的模数在L。

除了对L中不可分辨的句子进行编码之外，0#是一个“蓝图”对于L的均匀生成具有完整的遗传信息，因此在可构建宇宙的结构理论中具有至关重要的作用。工作关于这个话题的讨论延续到20世纪70年代，延森的精细结构理论关于可构造宇宙的，包括他著名的覆盖定理1974年，一个关于V与L接近的深层结构陈述，“很容易20世纪70年代集合论中最重要的结果。”

所有这些结果都是有条件的，因为可能存在没有可测量的基数（事实上，Jensen的工作在一定程度上受到了确信可测量值的假设不一致）或否L到其自身的非平凡初等嵌入。因此，人们可能会感到奇怪是否存在一组属性为0#的整数。

然而，这不太可能：在最坏的情况下，0#是从以下假设中提取的结果是不一致的，在这种情况下0#将是所有G的集合¨模型所考虑的语言中的句子数量（没有问题其定义和存在）；虽然原则上可能存在L中没有不可分辨的序数，这与整个发展背道而驰在过去的半个世纪里，37与集合论的指导思想背道而驰准组合主义。

尽管没有产生绝对的结果——因为，正如我们所看到的，它的结果是以大的基本假设为条件——整个复杂的躯体的理论使大多数集合论者相信L是一个非常薄的所有拟组合集的类V的子类。这很有趣证明L中许多不可数的基数仅仅是可数的，以及大多数专家认为0#只是另一组整数，它的特殊性仅仅来自于对它的元理论定义。因此，相反到什么G¨odel可能在1938年就认为，事实证明，表语ZF的限制不能用生成宇宙的技巧来补偿在非精确给定的一类序数上（超限归纳上所有序数）。

我们不需要进一步详细说明可构造性与拟组合主义的理想背道而驰，因为在这个话题上做得很好。无论如何，我们刚刚得到的结果复习有助于在数学上更清楚什么是准组合宇宙V是注定的。但这种负面的、部分的特征是与完整的、积极的定义不同。这让我们回到了我们的主题。

第2部分。ZFC中的任意集在第二部分中，我将提出一些论点，旨在确立ZFC相对于任意子集的指导思想的贫瘠。

而公理系统是完全指定形式中的一系列公式语言、准组合主义起到了指导思想的作用它促进了某些方法的采用，这些方法被编入公理。但是不存在拟组合理想可以完全通过正式声明获取。

ZFC系统的一些公理几乎不能对其做出任何贡献，正如外延性、配对性、正则性、无穷性，甚至我们将考虑剩下的三个公理，即公理分离公理、选择公理和幂集公理。这些是与给定集合的哪些子集有关的假设S存在。（分离是替换的结果，但不是相反，因此似乎有必要讨论后者；但两者的逻辑特征公理对于我们将要讨论的任何问题都是相似的，因此，我们可以毫无损失地将讨论限制在分离上。）在所有这些在这种情况下，我们将在第5节中谈到概念（理解、思想）和形式公理是相关的。

我们将重新审视这三个公理的观点是：

（i） 任意集的概念在多大程度上是激励它们所必需的直观地，以及

（ii）它们中的每一个对模型的要求公理集合论，或者换一种说法，这些公理强制执行什么在集合论域上。

ZFC的元理论中的众所周知的结果，从Skolem的结果开始，它已经承认了可数的模型表明公理并没有很强的执行力。但我相信欢迎对此事进行初步讨论，我就是这样做的应提供。

当然，有必要记住，公理要求是在其他公理存在的情况下修改的：如果是这样的话公理中的一个完成了提供任意子集的工作，所有其他的公理是次要的。

§5.数学的互补性和幂集。在本节中，我们引入一个简短的题外话，与以下内容相关，尽管这不能成为对观点进行全面详细讨论的地方以及我的理由。

5.1.在数学的发展过程中，我们发现了值得注意的例子两种相反的倾向。一个是倾向于将数学简化为纯粹的符号系统；值得注意的例子出现在20世纪世纪严格的形式主义，也在拉格朗日、皮诺等另一种是试图将数学简化为纯粹的概念系统值得注意的例子可以在19世纪的趋势中找到被称为“概念方法”（例如，Dedekind），但在某些情况下20世纪范畴理论的支持者给人的印象从研究这些发展来看，没有一个是成功的（在他们的终极还原论目标中；他们已经导致了进步和部分成功）。

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