数学论文（番外篇）

介绍：（超强基数以及其他大基数的坚不可摧性）数学内容！

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要：超级大基数从来都不是不可摧毁的。类似地，几乎大基数，大基数，超大基数，排列成秩基数，可扩展基数，1-可扩展基数基数，0-可扩展基数，弱超荣基数，提升基数，伪提升基数，超荣不可折叠基数，∑n-反映基数，∑n-correct基数和∑n-可扩展基数（所有n≥3）从来都不是Laver不可破坏的。事实上，所有这些大的基本性质都是超可破坏的：如果κ表现出其中任何一个，具有相应的目标θ，那么在由非平凡的策略性＜κ引起的任何强迫扩展中-闭强迫Q∈Vθ，基数κ将不表现出大的目标θ或更大的基数性质。

1.简介

大基数坚不可摧现象，发生在特定的预备强迫使给定的大基数必然被一大类强迫中的任何后续强迫所保留时概念，普遍存在于庞大的基数等级制度中。现象产生于Laver的开创性结果[Lav78]，即任何超压缩基数κ可以通过＜κ-导向的闭合强迫而变得坚不可摧。它延续了Gitik Shelah[GS89]对强紧基数的处理；这个Apter和Hamkins[AH99]的普遍不可破坏性，它产生了所有弱紧、可测量、强紧、超紧基数和其他基数的同时不可毁灭性；彩票Hamkins[Ham00]的制备，通常适用于大基数；阿普特、吉提克和萨尔基相关于坚不可摧的著作以及大规模的基本身份危机[AG98，Apt06a，Apt06 b，Sar09]；强不可折叠基数的坚不可摧性[Joh07，Joh08]；Vop-enka原理的不可破坏性[BT11]；和多样化的其他大基数不可破坏性的处理。基于这些结果，人们可能会得出这样的普遍结论：

大基数可以变得坚不可摧。（同时在[Ham94a，Ham94b、Ham98、HS98、Ham99、Ham01、Ham03]显示双重结果。

相反，大型基数属性可以被破坏，并且此外，这种小小的力量通常会破坏坚不可摧的能力。）在这篇文章中，我们通过证明各种大基数不可能变得极其坚不可摧。

我们证明，超级大基数从来都不是拉沃尔坚不可摧的。因此，几乎大基数、大基数、超大基数、秩入秩基数、可扩展基数和1都不是-可扩展基数，仅举几个例子。甚至0-可扩展基数从来都不是坚不可摧的，弱超荣基数也不是，当n≥3时，提升基数、伪提升基数、强提升基数、超强不可折叠基数、∑n-反映基数、∑非正确基数和∑n-可扩展基数。（大基数κ是∑n可扩展的——或者更准确地说，是（∑n，0）可扩展的，因为它是0-可扩展性的弱化——如果Vκ≺∑n Vθ存在一些θ＞κ；参见§2。）事实上，所有这些大的基本性质都是超可破坏的，从某种意义上说，如果κ表现出其中任何一种，并带有相应的靶标θ、 那么在任何由非平凡战略引起的强迫扩张中＜κ-闭强迫Q∈Vθ，基数κ将不表现出大的目标θ或更大的基数性质。我们在这方面的最强结果线由主定理2表示，断言如果κ是∑2-可拓的到V中的目标θ或更高，则它不是∑3-可扩展到目标θ或在任何非平凡的强制扩展中通过策略上＜κ-闭合强制Q∈Vθ。我们可以放弃κV中的基数性质，通过在一定程度上限制强制的类别，如定理8所示。

推论9表明，普通的强迫观念，否则人们可能会预料到落入一个坚不可摧的范围内的结果，一定会毁掉一切这些大的基数性质。例如，添加Cohen子集对任何基数κ都肯定会阻止它超容--以及防止其抬升，∑3-正确，∑3-可扩展等等，上面提到的所有大型基数性质强制延伸。

主要定理1。

（1） 超级大基数从来都不是不可摧毁的。

（2） 因此，几乎是巨大的，巨大的，超巨大的，排成一排

大基数从来都不是拉沃尔坚不可摧的。

（3） 类似地，可扩展基数，1-可扩展，甚至0-可扩展大基数从来都不是拉沃尔坚不可摧的。

（4） 提升基数、伪提升基数、弱超容大基数、超级不可折叠的大基数和强烈提升的大基数从来都不是Laver坚不可摧的。

（5） ∑n-反映，实际上∑n-正确的基数，对于每个有限n≥3，绝不是Laver坚不可摧的。

（6） 事实上，这是最有力的结果，因为这是最薄弱的概念--∑3-可扩展基数从来都不是Laver不可破坏的。

事实上，这些大的基本性质中的每一个都是可超破坏的。

也就是说，如果κ表现出它们中的任何一个，具有相应的目标θ，那么在由非平凡策略＜κ-闭引起的任何强迫扩展中强制Q∈Vθ，基数κ将不会表现出上述的大目标θ或更大的基数性质。

大基数属性的精确定义出现在末尾第2节。主定理1的陈述（5）在技术上是一个定理scheme，元理论中每个有限n的单独陈述。

我们将证明主定理1作为以下强化版本的陈述（6）的推论，我们在这里单独陈述，因为它是焦点案例，并且可以在没有任何特殊术语的情况下理解。

主要定理2。假设Vκ≺∑2Vλ对某个λ≥η

G⊆Q是非平凡策略＜κ-闭强迫的V-泛型

Q∈Vη。则对于所有θ≥η，

Vκ=V[G]κ6∑3v[G]θ。

换句话说，如果κ是∑2-可拓的，目标在V中的η以上，那么在Vη中任何非平凡的策略＜κ-闭强迫之后，它不是∑3-可扩展，目标高于η。

在继续发言之前，我们谨表示非常高兴和我们很荣幸能成为这本纪念册的一部分Richard Laver，他的数学启发了我们。

我们自己的许多工作，实际上是整个领域的工作。我们特别高兴能参与到这篇文章中来通过在两者之间建立联系来取得进展拉沃尔最基本的贡献之一，即大基数

他在[Lav78]中开创的坚不可摧现象，以及在[Lav07]中发现的地面模型可定义现象。我们的主线定理解释了地面模型的可定义性如何限制坚不可摧的程度。

2.一些地质背景和定义

我们的证明将利用最近关于地面可定义性的结果

集合论地质学新兴课题中的模型

宇宙V是通过强迫获得的地面模型集合的一部分。定理3概括了基本情况，是与Laver定理[Lav07]密切相关，由Woodin，关于理由的可定义性，即如果V⊆V[G]是通过V-一般滤波器G⊆Q∈V的强制扩展，则V是V[G]中的可定义类；它还与Hamkins将该定理强化为伪基密切相关，即如果W⊆V具有δ-近似和覆盖性质（定义如下）和（δ+）W=δ+，

则W可以用参数r＝（＜δ2）W在V中定义。传递类ZFC的模型W是V的基，如果V=W[G]是强迫扩展通过一些W-泛型G⊆Q∈W。

定理3（[FHR]）。存在一个参数化族{Wr|r∈V}

传递类的，使得：

（1） 每个Wr都是V的地。

（2） 对于某些r，V的每一个地都是Wr。

（3） 族是一致可定义的，因为关系式“x∈Wr”

可在没有参数的情况下定义。

定理3的一个直接结果是，关于集合论宇宙V可能具有的许多二阶断言是通过强迫得到的，实际上是可以用集合论的语言表达的一阶。例如，断言V不是任何内部模型的setforceing扩展，这种断言被称为ground Hamkins和Reitz引入的公理[Rei06，Rei07，Ham05]简单地表示为“∀r V=Wr”。类似地，它从定理3得出宇宙是通过强迫这个或这种特殊的地上模型是一阶的，可以用集合论的语言。

我们的论点不仅依赖于定理3的陈述，而且关于证明的一些想法和更精细的细节，因为我们的目标是特别注意宇宙断言的复杂性是通过强制以特定方式获得的。我们还需要不仅将定理3应用于全集合理论宇宙V，而且同样在Vθ中，只要θ是任意大的i-不动点的极限θ以下的余数。（例如，θ是一个不动点就足够了i-不动点的枚举。）现在让我们来解释一下那些想法和更精细的细节。

该证明利用了[Ham03]的以下中心定义，关于集合论传递模型的扩张W⊆U，其中δ是U中的基数。

（1） 扩展W⊆U满足δ-近似性质，如果

当A⊆W是U中的一个集，并且对于任何A∈W大小小于W中的δ，则A∈W。

（2） 扩展W⊆U满足δ-覆盖性质，如果

⊆W是U中小于δ的一组大小，则存在覆盖集合B∈W与A⊆B和|B|W＜δ。

核心事实是ZFC的每个内部模型W⊆V都表现出δ-近似和覆盖性质，并且右边的δ+是唯一的其特征在于这些事实及其幂集P（δ）。一级一级

定理4给出了类似的情况。由于引理5表明集强迫扩张具有δ近似和覆盖性质对于某些δ（注意

▪Q在那里可以是平凡的），并且由于P（δ）W是通过（＜δ2）W的δ-近似性质确定的，因此地W将由参数r=（＜δ2）W定义δ、 在定理3中，对于r=（＜δ2）W，我们将相应地得到W=Wr。

Jonas Reitz[Rei06，Rei07]孤立了方便和经济的理论ZFCδ，使得定理4的陈述变得简单。明确地ZFCδ具有Zermelo集合论的公理，选择公理≤δ-替换公理（表示具有域δ的函数，一个固定的正则基数），以及断言每个集合都由一组序数编码的公理。

理论ZFCδ可以用集合论的语言形式化，由δ的常数符号，或者它可以被视为对特别是已经固定的正则基数δ。例如

假设ZFC在背景中，那么对于任何正则基数δ和我-不动点θ的余数大于δ，这是一个简单的练习使用该δ验证Vθ|=ZFCδ。

如果Q中长度小于κ的条件的任何下降序列在Q中具有下界，则强迫概念Q是＜κ-闭合的。更一般地，Q在策略上＜κ-闭合，如果有策略τ使玩家II在长度κ游戏中继续合法游戏，玩家轮流进行在指定降序中的下一个元素时h pα|α＜κi从Q开始，玩家II在极限阶段先发（所以如果在播放过程中，构建了一个长度小于κ的递减序列对于玩家II来说没有下限）。

定理4（Hamkins，参见[Rei07，引理7.2]）。假设M，N和U是ZFCδ的传递模型，其中δ是固定的正则基数，M⊆U和N \8838U具有δ-逼近和δ-覆盖P（δ）M=P（δ。

则M=N。

Hamkins和Johnstone（2012）观察到，我们可能很容易削弱P（δ）M=P（δ（＜δ2）M=（＜δ2中）N，因为在δ-近似性质下，这些是

等价：如果A⊆δ和A∈M，则A的每个初始段都在（＜δ2）M，因此在该假设下也会在N中，使得A∈N的δ-近似性质；类似地，在另一个方向上，对于A∈N，导致P（δ）M=P（Δ）N。在δ=λ+的情况下，仅P（λ）M=P（λ+2.

正如我们所说的，它通过δ-近似确保了P（λ+）M=P（λ+N所有物今后，我们将把这些改进视为定理4。

引理5（[Ham03，引理13]，关于改进的

证明，遵循[Mit06]）。假设V[g][g]是强迫扩张通过g*g⊆P*

▪Q，其中P是非平凡的，其基数小于正则基数δ

▪Q被迫在战略上＜δ-关闭。

则推广V⊆V[g][g]满足δ-近似和δ-封面属性。

这些结果非常接近于建立地面模型-以及定理3。我们说一个参数r成功地定义了一个伪基，如果存在正则基数δ，使得对于每一个余数大于δ的i-不动点γ，存在具有δ-近似和δ-覆盖性质的传递性M⊆Vγ，使得M|=ZFCδ、（δ+）M=δ+和r=（＜δ2）M。根据定理4M是唯一的，如果r以这种方式成功，那么我们就让Ur是并集γ无束缚地增加。因此，Ur|=ZFC

并且Ur⊆V具有δ-近似和覆盖性质，正确的δ+和r=（＜δ2）Ur

相反地，如果U⊆V是任何伪地，

这意味着它是一个具有δ-近似和覆盖的ZFC模型对一些正则基数δV的性质，其中（δ+）U=δ+，则U=Ur，r=（＜δ2）U。

类似地，我们说参数r成功地定义了一个地面，如果存在一些偏序集Q和滤波器G⊆Q，使得对于每个i-余数大于δ的不动点γ，存在传递性M⊆V

具有δ-近似和覆盖性质使得M|=ZFCδ，（δ+）M=δ+，r=（＜δ2）M和G对于M[G]=Vγ的Q是M-一般的。在里面换句话说，如果r定义了一个伪地，则r定义了地

地同样，根据定理4，对于每个这样的γ，当它是存在的，当r以这种方式成功时，我们用Wr表示并集γ无束缚地增加。因此，Wr|=ZFC是V的地，通过V＝Wr[G]，反之，V的每个地通过设置强制产生一些这样的Wr。这建立了定理3，作为

以及作为定理4的结果的地面可定义性定理。　　

（注意，为了方便起见，当r在这些定义中不成功时，我们可以分别定义Ur=V和Wr=V，得出一个总数所有伪基和基的索引，如定理3所述。）

在本文中，我们希望不仅在V中应用这些定义，其中我们有ZFC作为背景理论，但也在Vθ中，当θ为仅仅是一个同余性大于δ的i-不动点γ的极限。在这样的内部对于模型Vθ，定理4仍然暗示M⊆Vγ对于θ以下的γ，因此Wr的定义仍然有意义。进一步的如果V=W[G]实际上是W-泛型G⊆Q∈W的强制扩展，并且θ高于Q的秩，则它将看到合适的i-不动点γ

余数大于δ=|Q|+，其中M=Wγ⊆Vγ将见证期望的δ-近似和覆盖性质，使得Wθ=WrVθ。

相反，任何这样的WrVθ，其中Vθ=Wr[G]对于一些WrVθ-泛型G⊆Q∈WrVθ将作为关于Vθ的“地”来达到我们的目的在这种弱理论背景下，即使WrVθ可能不满足所有ZFC。任何这样的WrVθ将至少是ZFCδ的嵌套塔的并集模型。

我们简要说明了其中一个复杂性计算。考虑对于固定偏序集Q和滤波器G⊆Q，参数r的断言成功地使用Q和G来定义接地Wr，换句话说

断言，“宇宙是Wr[G]，通过用Wr一般滤波器G⊆Q∈Wr。”此断言具有复杂性

π2（Q，G，r），因为这个断言的失败在任何足够大的Vξ，它将看到共尾性的i-不动点γ＜ξ大于δ，并且大于Q的秩，对于Q没有M⊆Vγ满足ZFCδ并具有δ-近似和覆盖δ+的性质和正确值，其中r＝（＜δ2）M和G⊆Q∈M是M-一般的，其中Vγ=M[G]。现在的重点是形式的断言，“∃ξ使得Vξ满足ψ”，对于断言，任何复杂度的ψ，具有复杂度∑2，因此我们的陈述具有参数Q、G和r中的复杂性π2。类似的这种分析将出现在主定理2的证明中。

让我们在本节结束时提供所有大型

主要定理1中出现的基数性质。这些主要是标准概念。基数κ是超容的，如果它是临界点初等嵌入j:V→ 来自集合论宇宙的M

V到传递类M，其中Vj（κ）⊆M。基数κ几乎巨大，如果它是初等嵌入j:V的临界点→ M

其中M＜j（κ）⊆M；如果Mj（κ）⊆M也是完全巨大的。在每种情况下，目标只是序数j（κ）。基数κ如果是是巨大的，有任意大的目标。基数κ是秩中基数，如果它是嵌入j:Vλ的临界点→ Vλ，

这里，j（κ）是目标（尽管λ，严格意义上更大可能比j（κ）更相关）。基数κ是可扩展的，如果对于每个η，它是η-可拓的，这意味着它是初等嵌入j:Vκ+η→ 一些序数θ的Vθ，以及j（κ）是目标。

特别地，κ是1-可扩展的，如果存在初等嵌入j:Vκ+1→ Vθ+1与临界点κ；并且它是0-可扩展的

如果它是不可访问的并且Vκ≺Vθ对于一些θ＞κ，称为目标。

有点鲜为人知（参见[HJ14，HJ]），一个不可访问的基数

κ是提升的，如果Vκ≺Vθ对于任意大的不可访问基数θ、 并且对于任意大序数，如果Vκθ、 而不坚持θ是不可访问的。哈姆金斯和约翰斯通定义一个不可访问基数κ是弱超容的，如果对于大小为κ的传递集M，其中κ∈M和M＜κ⊆M，存在传递集N与初等嵌入j:M→ 具有临界值的N点κ，其中Vj（κ）⊆N；它是微弱的，几乎是巨大的，如果

有这样的j:M→ 其中N＜j（κ）⊆N；作为

通常的j（κ）被称为靶标。基数κ是超坚固的

如果它与任意大的目标弱超容，则是不可折叠的，如果它是弱的，那么它几乎是巨大的

任意大的目标。值得注意的是，这些概念是等价的

（详见[HJ]），两者都相当于κ

上举，这意味着对于每个A⊆κ，都有任意大的

θ和A*⊆θ，其中hVκ，∈，Ai

.可以假设

在不失一般性的情况下，θ是不可访问的，弱紧致的，完全

此处不可描述或更多，与超大和几乎巨大的不可折叠装饰。

对于两个传递集M和N，我们将写M≺N N或有时写M⊄∑N N来表示h M，∈i是h N，∈i的∑N初等子结构，意味着M⊆N和它们一致于∑n在M中具有参数的断言。序数η是∑n-correct，如果Vη＜n V。（当n=0时，这是微不足道的，所以我们只有当n≥1时才考虑这个概念。）所有∑n-正确基数的类，表示为C（n），在Ord中是闭的和无界的。很容易看出，每个∑1-正确序数η

事实是一个强极限基数，实际上是一个i不动点，以及i枚举的不动点-不动点（因此η以下任意大余数的i-不动点的极限）。这个最小∑n-正确序数具有余数ω，因此这些基数本身可以是单数。同时，基数κ是∑n，反映它是否是正则的和∑n-correct（或者，等价地，不可访问和∑n-correct）。这些概念的一个不同寻常的元数学微妙之处是，我们没有∑n-正确或∑n-反映基数的一致性概念，但是而是元理论中每个自然数n的一个单独概念。

例如，尽管我们可以在ZFC中证明俱乐部的存在∑n的C（n）对于元理论中的每个有限n的正确基数，我们无法证明甚至表达普遍断言“∑n-correct”κ、 “1类似地，当κ完全正确时发生的情况Vκ≺V，

也就是说，∑n对所有n都是正确的，不能用单个一阶表示公式，尽管可以将理论“Vκ≺V”表示为一个方案

在集合论的一阶语言中，用κ的常数符号扩充，断言κ对每个n都是∑n-正确的

令人惊讶的是，这个理论与ZFC通过一个简单的紧致性论证：该方案的每个有限子集都实现了在ZFC的任何模型中通过反射定理。特别是，从Vκ≺V|=ZFC我们可能不能得出V|=Con（ZFC）的结论，因为情况是V只分别知道ZFC的每个公理。

它在Vκ中成立——假设Vκ≺V是关于每个公理的方案

一般来说，我们可能不会把它们放在一起进行推断V满足断言“Vκ|=ZFC”

接下来，让我们定义基数κ是（∑n，0）-可扩展的——为了可读性，我们将在本文中将其缩短为∑n-可扩展——目标θ，如果Vκ≺n Vθ。更一般地说，κ是（∑n，η）-可扩展的，如果存在是∑n-初等嵌入j:Vκ+η→ Vθ，具有临界点κ，对于一些序数θ；这是κ是η-可扩展的一种弱化。请注意

任意∑n-正确基数对任意大目标都是∑n-可扩展的（因此，可以说它是超∑n可扩展的）。与∑反射一样，当n=0时，这个概念是平凡的，所以我们只考虑当n≥1。κ是∑1-可扩展的，由Vκ≺1Vθ见证，则κ必须是基数，强极限基数，i-不动点，i-定点枚举的不动点，从而得到任意大余数的i-不动点的极限低于κ。还要注意，如果Vκ≺n Vθ和n≥1，则这两个集合满足ZFC的鲁棒片段。例如，除了可拓性、基础、配对、并集、幂集和选择之外，我们还具有完全分离公理——形成完全泽梅洛理论ZC——仅仅因为这些模型具有

五、我们还得到了Vκ中∑n关系的集合公理，因为Vκ∈Vθ作为任何∑n性质的Vθ中的集合。所以这些是稳健的集合论的模型，即使它们不一定满足所有ZFC。

而基数κ和θ可能是奇异的——所以我们必须是

我们要警惕——∑n-集合公理恰好确保了它们∑n-正则，在不存在∑n-可定义奇点的意义上类函数。我们提到的元数学困难前面的∑n-正确的基数不会出现在∑n-可扩展的情况下基数，因为我们在这里没有提到V中的真值，而是Vκ和Vθ中唯一的真理，其中我们确实有一个n中的统一形式。

最后，为了明确起见，我们正式地说，一个大基数κ是对于一个给定的大的基本概念，如果它保留了这一点，Laver是坚不可摧的

每个＜κ-有向闭强迫扩张的大基数性质。

尽管这类强迫概念——＜κ-定向闭强迫——

Laver在他的超紧性不可破坏性结果[Lav78]中考虑的类，事实上，我们在这里的结果在很大程度上不依赖于定向闭合方面。特别是，因为主要定理建立了一个超可破坏性结果，对于该结果，大基数性质被来自一个广泛的类的任何强制概念所破坏。

如果对Laver不可导性有一个修改的理解，则主定理1的主张将保持成立，前提是策略上＜κ-封闭强制概念保留在新的类别中。对于

因此，对我们来说，非常精确地我们所说的Laver坚不可摧，尽管对于确定性，我们一直以来。

3.主要定理的证明

我们现在准备证明主要定理，从main开始定理2和∑3-可扩基数的情形，然后推导主要定理1作为推论。我们不确定κ在地面模型中是∑2-可拓的假设是否可以被放弃，或者削弱，尽管如果对强制Q，正如我们在第4节中所解释的。

定理6（主定理2）。假设Vκ≺2Vλ对于某些λ≥η和G⊆Q对于非平凡的策略＜κ强制Q∈Vη。则对于所有θ≥η，Vκ=V[G]κ6≺3v[G]θ。

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