构造性数学（五）

6。建设性代数和拓扑

建设性的数学家最初将努力集中在分析领域，并取得了巨大的成功 - 竞争性的主教[1967]中发展的功能分析。这并不意味着例如，代数与建设性企业相距甚远：Mines等人[1986]在专着中的材料可以被视为Bishop进行的建设性分析的实质代数。最近，Lombardi和Quitté[2011]发表了关于建设性代数的两卷作品的首批大量。但是，不是在代数中成为专家，并且意识到使本文提高读者的注意的危险，我们选择不讨论建设性分析或任何详细的代数； 相反，在下面的补充文档中，我们转向构造性拓扑，描述了该主题的一些相当不同的方法：

构造拓扑的方法

7. 建构性数理经济与金融

构造性数理经济学的研究可以追溯到 1982 年以来一系列关于偏好、效用和需求的论文；参见桥梁[1999]。 Hendtlass [2013]在他的博士论文中大幅削弱了需求函数存在的条件；他还在不动点理论及其应用方面取得了丰富的成果，特别是对经济均衡存在的两个经典证明的建构。

2015 年，Berger 和 Svindland 在慕尼黑路德维希马克西米利安大学开始了一个关于构造性数学金融的研究项目。他们首先证明了资产定价基本定理、分离超平面定理和马尔可夫原理在构造上等价（Berger & Svindland） [2016]）。他们最近的工作集中在如何规避经典极值定理的非构造性，以证明在存在相对较弱的凸性性质的情况下函数极值点的存在（Berger & Svindland [2016a]）。他们的项目表明，数学金融学，就像数理经济学一样，可能是优雅、实用的构造性定理的丰富来源。

八、结束语

数学家想要分析数学的建设性内容所采取的传统路线是遵循经典逻辑的路线；为了避免真实计算机无法做出的决策，例如实数是否等于 0，数学家必须保持在严格的算法边界内，例如由递归函数理论形成的边界。相比之下，构造性数学家所采取的路线遵循直觉逻辑，它自动处理计算上不可接受的决策。这种逻辑（连同适当的集合论或类型论框架）足以将数学保持在构造性边界内。因此，数学家可以自由地以分析师、代数学家（例如，Mines et al. [1988]）、几何学家、拓扑学家（例如，Bridges & Vîşă [2011]，Sambin 即将出版）或其他普通数学家的自然风格工作，唯一的限制是直觉逻辑所施加的限制。正如毕肖普和其他人所表明的那样，希尔伯特所宣扬的、至今仍被广泛持有的传统信念，即直觉逻辑强加了这样的限制，使得严肃数学的发展变得不可能，显然是错误的：大部分深层现代数学可以而且已经存在。是由纯粹建设性的方法产生的。此外，构造性数学和编程之间的联系为抽象数学在计算机上的未来实现和发展带来了巨大的希望。

有关现代构造性数学状况的更多信息，我们推荐即将出版的构造性数学手册 [Bridges et al., eds, 2023]。

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