构造性数学（四）

感兴趣的一个特定情况是代数的基本定理：每个复杂多项式在复杂平面中至少具有一个根。 Richman [2000]表明，如果我们只能构造孤立的（可能是多个）根，但我们可以任意构建与根部的多键构建近似值。这种方法的重点是找到多项式的近似线性分解，而不是发现其每个根的单独近似值。

为了进一步分析集合理论和类型理论中选择的公理，请参见Martin-Löf[2006]，以及类别理论，类型理论和直觉类型理论的SEP条目。

我们现在回想起经典集理论的功率集公理：如果x是一组，那么它的功率集也是如此

sb（x）◦{s：s⊂x}。

由于此定义是不可思议的，因此大多数建设性数学家都犹豫将SB（X）视为一组。他们通常使用的东西，我们将采用，作为功率集公理的建设性替换是指数的公理：如果设置A和B，那么所有映射的集合也从A到B中。所有二进制序列的2N都是一组。

为了讨论连续性假设，我们需要A和B类比较规模的概念。我们说

A如果存在A到B上的射线图，则A与B相等，并且

如果A与B的子类相等。

在第一种情况下，我们编写A≅B，第二个是A≲B。

在建设性的zermelo – fraenkel集理论中，替换公理的结果CZF是，如果a是一个集合，而b是与a的类别，那么b也是一个集合。随之而来的是班级

dch（n）◦{s⊂n：∀x∈N（x∈S∨xs）}

N的可分离子集（相当于2N）是一组。

从经典上讲，n的每个子集都可以与n分离，因此dch（n）= sb（n）。但这不是建设性的：如果每个语句p

{x∈1：p∨p}

在DCH（n）中，我们可以得出排除的中间定律。

经典的连续性假设指出，没有集合在集合N和SB（n）的核心中严格存在的集合。我们可以更正式地说明：

∀C（n≲c≲sB（n）⇒C≅n∨c≅sB（n））

或者，等价地，

∀C（n≲c≲sB（n）∧-（c≲n）⇒C≅SB（n））

这两个陈述的建设性可接受的经典等效物是：

∀C（n≲c≲dch（n）⇒C≅n∨c≅dch（n））

以及我们将其作为我们的建设性连续性假设，CH，

∀C（n≲c≲dch（n）∧-（c≅n）⇒c≅dch（n））

我们绘制一个证明CH意味着被排除的中间定律的证明。首先，我们注意到2N在强的意义上是无法数量的：Cantor的对角线参数表明，如果S是2N的可数子集，则存在F∈2N，因此F∉S。假设CH，我们现在定义

x程{s∈Dch（n）：p∨p}

和

c程。

然后n≲c≲dch（n）。如果c≅n，则p∨p是错误的，这是荒谬的。因此€（c≅n），因此c≅dch（n）。但是DCH（n）与2N相等，是无法数的，因此存在不属于DCH（n）的可数子集的s∈DCH（n）。因此，s∈C，因此p∨p保持。

顺便说一句，尽管鉴于BHK对“∨”的解释，但我们两个建设性陈述在经典上等同于经典的连续性假设似乎比CH更强大，因为后者意味着排除的中间定律是建设性的，它是建设性的等效性的到前者。

可以在CZF中正式化CH上的上述工作，这与经典的Zermelo -Fraenkel Set理论相当，ZF。如果我们允许自己援引Gödel -cohen定理，即连续假设独立于ZF，那么我们可以通过更仔细地查看CH暗示LEM的证据来得出一些有趣的结论。为此，请在我们的证明中取p = ch

X月{s∈Dch（n）：ch∨-ch}。

如果x = 0，则€（ch∨-ch），这是荒谬的； \ neg（x = 0）。另一方面，如果x居住（即包含一个点），则\ textrm {ch} \ vee \ neg \ neg \ textrm {ch}，因此，在“ \ vee”的建设性解释下，我们要么有证明\ textrm {ch}，否则我们有证明\ neg \ textrm {ch}。由于这与上述Gödel -cohen定理背道而驰，因此我们可以将X视为一个不是空的集合的明确示例，而不是空的，而是不可能构建成员的。这本身并不感兴趣。但这也为\ textrm {ch}的建设性状态提供了新的见解。从我们的证明\ textrm {ch}意味着LEM，我们看到集合c程c。另外，\ n neg（c \ cong \ textrm {dch}（\ bn））\ rightArrow x = 0，荒谬，\ so \ neg \ neg \ neg（c \ cong \ cong \ textrm {dch}（\ bn））。另一方面，c \ cong \ textrm {dch}（\ bn）\ rightarrow \ textrm {ch} \ vee \ neg \ neg \ textrm {ch}。因此，提供的\ textrm {ch}独立于CZF（鉴于CZF和ZF的等值，它更好），我们看到C是具有属性\bn≲c≲的集合的明确示例\ textrm {dCh}（\ bn）\ wedge \ neg（c \ cong \ bn）\ wedge \ neg \ neg \ neg \ neg（c \ cong \ textrm {dch}（\ bn）），但在CZF中，不能在CZF中表现出来\ textrm {dch}（\ bn）。

5。建设性反向数学

在1970年代，哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）启动了一项反向数学的研究计划，旨在根据数学定理的等效性与少数固定理论原理之一进行分类（Friedman 1975）。这种分类揭示了证明理论复杂性的有趣，有时显着的差异。例如，尽管在Peano存在的标准证明中使用了Ascoli-arzelà定理用于普通微分方程解决方案的定理（Hurewicz [1958]，第10页），但反向数字分析表明，前者等于严格强的强度固定理论原理比等同于Peano定理的原理（Simpson [1984]，定理3.9和4.2）。经典反向数学的标准论文是（Simpson [1999/2009]）。

在本世纪初，荷兰的Veldman（请参阅其他互联网资源）和Ishihara [2005，2006]，在日本，独立启动了一个建设性反向数学（CRM）计划，基于直觉，而不是古典，而不是古典，而不是逻辑。 （但是请注意，CRM现代时代的第一批发表的作品可能是Julian and Richman [1984]的作品，该作品提前了二十年。）在本文的本节中，我们描述了一种不太正式的方法以Bish的风格和框架向CRM。 CRM计划的目的是将定理在三种标准模型（类，INT和RUSS）中进行分类 - 我们必须（仅需要）将其原则添加到哪种原则以证明它们。

我们强调，我们将自己限制为非正式的CRM，在此中，我们认为，在Bishop [1967]或Bishop＆Bridges [1985]的第一章中所描述的功能和设定构建原则是理所当然的，我们从事非正式的工作。 ，虽然严格，但练习分析师的风格，代数主义者，拓扑师，…。

实际上，CRM自然分为两个部分。在其中的第一个中，我们考虑了int或russ的定理，并尝试找到一些原则，在该模型中有效，除了T本身以外，其补充是必要和足够的。 CRM的第二部分，我们对我们怀疑的班级定理t进行了处理，我们试图证明T与Bish相当于Bish，而不是许多已知的基本非构建原则之一，例如MP，LLPO，LPO，LPO ，或lem。对于CRM的这一部分的例子，我们提到了我们之前的证据，表明经典的最小成主义原则意味着，因此等同于LEM。

顺便说一句，对于Brouwer [1921]是第一个处理反向数学思想的强烈论点：他的Brouwerian反例（请参阅上面的第1节中的Goldbach猜想）在CRM的第二部分中直接出现。即使Brouwer没有将这些示例表示为逻辑等价，而是类型的含义

p \ rightarrow \ text {一些非构造原理}，

很难相信他不知道右侧侧面暗示了这种情况下的左侧。

5.1 CRM中的粉丝定理

为了说明CRM的第一部分，我们现在专注于类型的定理

\ text {bish} \ vdash \ text {ft} _？ \ leftrightarrow t，

ft_在哪里？是Brouwer的粉丝定理的某种形式，T是INT的定理。为此，我们需要区分完整的二进制风扇2^*的某些类型的栏（\ {0,1 \}中的所有有限序列的集合）。

令\ alpha \ equiv（\ alpha_1，\ alpha_2，\ ldots）为有限或无限二进制序列。 \ alpha与另一个字符串\ beta的串联是

\ alpha^{\ frown} \ beta \ equiv（\ alpha_1，\ alpha_2，\ ldots，\ alpha_n，\ alpha_n，\ beta_1，\ ldots，\ beta_m）。

对于\ {0,1 \}中的b，我们写\ alpha^{\ frown} b，而不是\ alpha^{\ frown}（b）。由2^*的A \ Mathsf {C} -ubset的subset表示2^*的子集B

\ tag {1} b = \ {u \ in 2^*：\ forall v \ in 2^*（u^{\ frown} v \ in D）\} \}

对于某些可拆卸的子集D为2^*。 2^*的每个可分离子集都是\ Mathsf {C} -ubset。另一方面，通过a \ pi^{0} _1-subset 2^*，我们的意思是2^*的子集b，具有以下属性：存在一个可拆下的子集s的2^* \ times \ bn，因此

\ forall u \ in 2^*\，\ forall n \ in \ bn \ in \ bn \，（（u，n）\ in s \ rightarrow（u^{\ frown} 0，n）\ in s \ wedge（u^{{u^{ \ frown} 1，n）\ in S）

和

b = \ {u \ in 2^*：\ forall n \ in \ bn（（u，n）\ in s）\}。

每个\ mathsf {c} -subset b of 2^*是a \ pi^{0} _1-subset：简单地拿走s = d \ times \ bn，其中d是2^*的可拆卸子集，以便（1）成立。

如果 ？表示2^*的子集的属性，然后Brouwer的粉丝定理？-Bars告诉我们每个酒吧都带有该属性？是一个统一的棒。我们对可拆卸条的Fan定理特别感兴趣（第3.1节已经讨论）：

FT_D：完整的二进制风扇的每个可拆卸杆都是均匀的；

\ mathsf {c} -bars的风扇定理（即\ Mathsf {c} -ubsets）：

ft _ {\ Mathsf {C}}：完整的二进制风扇的每个C杆都是均匀的；

\ pi^{0} _1-bars（即，是\ pi^{0} _1-subsets）的fan定理：

ft _ {\ pi^{0} _1}：完整的二进制风扇的每个\ pi^{0} _1-bar均匀；

和完整的粉丝定理：

ft：完整的二进制风扇的每个栏都是均匀的。

请注意，相对于Bish，

ft \ rightarrow ft _ {\ pi^{0} _1} \ rightArrow ft_c \ rightarrow ft_d。

Lubarsky和Diener [2014]表明，这些含义是严格的。

通常，我们要证明那个ft_？相当于比什等于以下主张，即适当地的每一集，表格的某些侧重属性

\ tag {2} \ forall x \ in S \ in t p（s，t）中的t \

实际上以统一形式保持

\ tag {3} \存在于s p（s，t）中的t \ forall s \中的t \。

我们攻击这个问题的策略是两个方面。首先，给定适当排序的一组，我们构造了2^*的n？-subset n

如果（2）持有，则b是一个栏，而

如果b是均匀的条，则（3）持有。

但是，这只是解决方案的一半。为了证明（3）到（2）的含义意味着ft_？，我们认为A？-subset b属于2^*，并构造一个相应的集合S，使得

如果b是条，则（2）持有，并且

如果（3）持有，则B是均匀的条。

这种结果的规范示例是Julian和Richman [1984]，其中S是给定均匀连续映射f的值集：[0,1] \ rightarrow \ br，t是一个正实数的集合， 和

p（s，t）\ equiv（s \ ge t）。

我们考虑的点属性是

\ forall x \ in [0,1] \存在t \ gt 0（f（x）\ ge t），

它的统一版本是

\存在于[0,1]（f（x）\ ge t）中的t \ gt 0 \ forall x \。

朱利安·里希曼（Julian-Richman）的结果如下。

定理1：令F：[0,1] \ rightarrow \ br均匀连续。然后存在一个可拆卸的子集B 2^*，这样

如果[0,1]中的每个x \ f（x）\ gt 0，则b是一个条，

如果b是均匀的条，则\ inf f \ gt 0。

定理2：令B为2^*的可拆卸子集。然后存在一个均匀连续的f：[0,1] \ rightarrow \ br，这样

如果b是条，则[0,1]中的每个x \ f（x）\ gt 0，

如果Inf f \ gt 0，则B是一个均匀的条。

这两个定理的证明是微妙而棘手的。参见Julian＆Richman [1984]。

两个朱利安·里奇曼（Julian-Richman）定理一起表明，相对于比什（Bish），粉丝定理ft_d等同于阳性原理，pos：

[0,1]上的每个正值，均匀连续的功能都具有正额。

因此，POS在INT中是可衍生的，其中完整的风扇定理（不仅是ft_d）是标准原理。这种情况在Russ中相反，在Russ中，存在不统一的2^*的可拆卸栏，并且在[0,1]上具有相当于0的[0,1]上的正值，均匀连续的功能；参见Bridges＆Richman [1987]的第5章和第6章。

Berger和Ishihara [2005]采取了不同的间接途径来建立POS和FT_C的等效性。他们建立了POS，FT_C和类型的四个原理之间的等价链：“如果最多有一个具有属性P的对象，那么就有一个这样的对象”。四个独特的原则是：

cin！：每个居住的封闭的封闭的近端序列紧凑的度量空间的子集，最多有一个共同点都有居住的交叉点（Cantor's交叉点具有唯一性。）如果对于x中的每个x，则存在从x到s的最大距离。

最小！：在紧凑的度量空间上，每个均匀连续的，实现的函数，最多最小点具有最小点。

wkl！每个无限树最多有一个无限分支都有一个无限的分支（具有独特性的弱könig引理）。

修复！：每个均匀连续的函数从紧凑的度量空间进入自身，最多可以在一个固定点和近似固定点具有固定点。

例如，在其中的最后一个中，我们说的是公制空间（x，\ varrho）的地图f

如果\ varrho（f（x），x） + \ varrho（f（y），y）\ gt 0，则最多有一个固定点。

如果对于每个\ varepsilon \ gt 0，则具有近似的固定点，x \在x中存在\ varrho（f（x），x），x）\ lt \ varepsilon。

CRM中的一个主要开放问题是找到一种与[0,1]的均匀连续性定理相等的风扇定理形式。

uct _ {[0,1]}：[0,1]中的每个连续映射\ br都是均匀连续的，

布鲁沃（Brouwer）最初为粉丝定理提供了证明的主张。 （请注意，UCT _ {[0,1]}相对于Bish等效，与公制空间的一般统一连续性定理：每个全面的连续映射到一个完整的，完全有界的度量空间中的度量空间都是均匀的。例如，勒布[2005]。

从Berger [2006]的结果来看，

bish \ vdash uct _ {[0,1]} \ rightarrow ft_c。

另外，Diener和Loeb（2008）证明了这一点

bish \ vdash ft _ {\ pi^{0} _1} \ rightarrow uct _ {[0,1]}。

但是，我们不知道这些含义中的任何一个是否都可以用双重象征代替。也许UCT _ {[0,1]}，因此，紧凑的度量空间的完整均匀连续性定理相对于Bish等效，与某些自然，但尚未确定的Fan定理版本。

有关构建性反向数学的Fan定理上的其他材料，请参见Berger＆Bridges [2007]； Diener [2008，2012]； Diener＆Loeb [2009]；和Diener＆Lubarsky [2014]。在Dent [2013]中，有一个清晰但复杂的图表说明了风扇定理，连续性和无所不知的原则之间的互连（请参阅其他Internet资源）。

有兴趣的读者可以在以下补充文档中更详细地追求建设性反向数学的话题：

Ishihara的原则\ bdn和反塞克属性

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