特殊篇章（数学解释）一

I3~I0

我们知道I1说的是存在一个非平凡初等嵌入j：V_κ+1→V_κ+1，I1基数就是嵌入的关键点crit(j)。

而我们已经证明了ZFC中不存在κ使得非平凡初等嵌入j：V_κ+2→V_κ+2。

很显然，κ+1和κ+2仅仅只有一步之遥，所以I1基本上就是ZFC允许的最高大上的一类无穷基数。

I0比I1稍微强了那么一丢丢，但仍然保持在V_κ+2以下，属于榨干最后一滴油水的设计。

但这个高大上指的是一致性强度上的高大上，不代表其中某一个特定的基数是最大的数字。

事实上如果存在一个I1基数，最小的∑2正确基数将会大于这个I1基数。

但∑2正确基数的一致性强度非常低，你要知道整个正确基数(∑n，n∈N)的一致性强度仅仅和ZFC相同，甚至低于存在一个世界基数。

这就说明了一个基数的绝对数值大小和这一类基数的强度并不是一码事。

但无论如何，第一个I1基数的绝对数值也不会小，因为它至少是不可达基数，马洛基数等等，这些基数之大是有直接套娃作为背书的。

之后还会有更强大的大基数。

伯克利基数

该基数是在ZF集合理论的背景下定义的概念，不符合选择公理。

它具有比莱因哈特更强的极大性，同时也是所有被学术界正式承认的大基数里强度最高的一个。

若κ为伯克利基数，则对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都有一个初等嵌入j：M＜M和crit j＜κ。

若κ是正则的，且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，则称κ为极限伯克利。

广义反射原理：指存在 j：(Vκ，Vκ+1)→(V，C) ，其中 C 是适当的真类的汇集。

二阶伯克利基数：将定义中的“所有传递集”改为“所有传递类”得到的伯克利基数。

高阶正确基数：将定义中的“一阶集合论公式”改为“高阶集合论公式”。

高阶莱因哈特基数：同高阶正确基数。

高阶伯克利基数：假设存在伯克利基数并且有一个世界基数 κ 大于它，那么对任意序数 α ，定义在 Vκ+α 上的相对于Vκ 的 α 阶集合论公式的量词辖域内的“传递集” M 均有 j：M→M 。

Ⅴ

集合宇宙（V）的一个层次结构，这个结构是基于序数（ordinal number）来定义的。

这种表示方式称为 Von Neumannhierarchy。

在这个层次结构中，V_λ 表示一个特定的集合宇宙，它是根据序数 λ 来定义的。

当 λ = a+1 时，V_λ = P(V_a)，表示V_λ 是 V_a 的幂集（power set）。

幂集包含一个集合的所有子集（包括空集和本身）。

当 λ 为极限序数时，V_λ = ∪_k＜λV_k，表示 V_λ 是 V_k 的并集，这里 k能够遍历所有序数。

并集（union）是将两个或多个集合的元素合并在一起组成的新集合。

V_0 = ∅，表示空集是第 0 个集合宇宙。

从第 1 个集合宇宙开始，我们逐层构建集合宇宙的层次结构。

第 1 个集合宇宙是空集的幂集 {∅}；

第 2 个集合宇宙是第 1 个集合宇宙的幂集 {∅, {∅}}；

第 3 个集合宇宙是第 2 个集合宇宙的幂集 {∅, {∅}， {∅， {∅}}}，以此类推。

在这个层次结构中，我们可以构建任意多个集合宇宙。

这个层次结构反映了集合宇宙是如何按照某种规律进行扩展的 。

L

假设存在一个数学宇宙，这个宇宙中所有的事物都是由数字和数学关系构成的。

这个宇宙中的数字可以是任何实数，甚至是无限精确的无穷小和无穷大。

在这个数学宇宙中，数字之间的数学关系可以是任何种类的数学关系，如等于、大于、小于、属于等等。

此外，这个数学宇宙也包含了自己的公理和定理，这些公理和定理可以用来推导出更多的数学事实和结论。

在终极L数学宇宙中，L表示极限概念中的“lim”，即无限趋近的意思。

因此，这个数学宇宙中的所有事物都是趋近于L的。

例如，在这个宇宙中，所有的实数都可以表示为L的形式，如2.7L，L等等。

终极L数学宇宙中的公理和定理也是以L为基础的。

例如，著名的的不等式定理可以表示为：对于任意的实数x和y，有|x-y|L/2 ≤L。

这个定理意味着，在终极L数学宇宙中，任何两个实数之间的距离都可以用L来衡量。

终极L数学宇宙是一个非常有趣的和深刻的数学概念。

虽然它可能不是一个真实的存在的宇宙，但它可以帮助我们更好地理解数学中的一些基本概念，如极限、无穷小、连续等等。

V

V可以理解为“万物”“一切”“所有”“无所不包”“超越一切”等在数学中的表现，V又名冯·诺依曼宇宙，是由冯·诺依曼命名的，也有部分人认为V是集合论宇宙的一部分，也有人认为冯·诺依曼宇宙V最终会是集合宇宙。

终极L：Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理 ，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划 。

所谓 “内模型计划”指的是构造一个类似于 L的模型，在其中某个大基数公理成立.

如果存在一个类似于L的模型M，它能容纳一个超紧致基数，那就存在一个模型U，U可以容纳已知的所有大基数.

这个模型就被称为终极L.

终极L是一个未构造完的模型,理想的终极L容纳了所有可能存在的大基数.

定理 1： 假设存在一个可测基数，则V≠L

定理2：假设U是k上的完全的正则非主超滤，则在 L[U]中， k是一个可测基数，并且是唯一的可测基数.

冯诺依曼宇宙V：

假设V=终极L，则连续统假设为真.

更进一步,如果V=终极L是真的，那么就存在一个独特的集合论模型，从某种意义上来说它就是真实的集合宇宙.

有一V_λ，若λ=a+1，则V_λ=P(V_a)，若λ为极限序数/若λ=a+1，则V_λ=∪_k<λ V_k，∪_k V_k，k 跑遍所有序数

终极L（解释）：

终极L是一个理想化的集合论宇宙模型，它包含所有的已知的和未知的大基数公理，包括上述那些强大的大基数，总之，终极L是一个浩瀚的领域。

冯·诺依曼宇宙V：（第二方案）

有一V_λ，若λ=a+1，则V_λ=P(V_a)(幂集)，若λ为极限序数，则V_λ=∪_k＜λV_k，∪_k V_k，k能够遍历所有序数，V_0=∅(空集)，第0个是空集，第1个是空集的幂集{∅}，第2个是第1个幂集的{∅，{∅}}，第3个……以此类推，可以有任意多，然后还可以重新“结合”起来，进行下一次构造。

V可以理解为“万物”“一切”“所有”“无所不包”“超越一切”等在数学中的表现，V又名冯·诺依曼宇宙，是由冯·诺依曼命名的，也有部分人认为V是集合论宇宙的一部分，也有人认为冯·诺依曼宇宙V最终会是集合宇宙。

终极数学宇宙L

终极数学宇宙L目前还只是一个在完善的模型，并没有明确的结构构造。

斯科特的定理也说明了如果存在一个可测基数，哥德尔的L并不能容纳可测基数，也不能容纳比可测基数更大的大基数，V与L不相当，哥德尔的L不能做到，那是否会存在能做到容纳可测基数与更大的大基数的L？

这个问题库能在定理中证明，假设U是κ上的κ完全的正则非主超滤，在L[U]中的κ是一个且唯一的可测基数。

到目前为止，人们也构建出了能容纳强基数的内模型。

如果终极数学宇宙L等于V(冯V或宇宙V)，则可证明连续统假设为真，也会存在一个独特集合论模型，或许可以说是真正的集合宇宙。

V等于终极数学宇宙L的前提条件有一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数，一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立，一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。

脱殊复宇宙

什么是脱殊复宇宙？

脱殊复宇宙拥有在所有的力迫扩张下closure形式的冯·诺依曼宇宙V，这也确保了广义连续统的成立。

谈到脱殊复宇宙也就离不开脱殊扩张，脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。

类

什么是类？

类是一种数学术语，一般用于集合论或群论和其他数学领域，在集合论和其他数学的应用中，类是集合的搜集，可以依所有成员所共享的性质被无歧定义，有些类是集合，但有些则不是，一个不是集合的类就被称之为真类，在数学中，许多物对集合而言太大，因此必须以类来描述，要证明一给定“事物”为一真类，一般是证明此“事物”至少有着序数一般多的元素，真类不能是一个集合或者是一个类的元素，而且不符合集合论中ZF公理，因此避免了许多集合论中的悖论，而实际上，这些悖论成了证明某一个类是否为真类的方法之一，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论则采取了一种方式，类在此一理论中是基础的物件，而集合则被定义为可以是其他某些类的元素的类，真类，则为不可以是其他任何类的元素的类，真类是所有集合的统合，有点类似于冯·诺依曼宇宙V，我们也可以说冯·诺依曼宇宙V就是一个真类，而其他类都是由某些集合构建成的，因此真类应该也是最大的一类。

玄宇宙

是一个集合论上的超宇宙，它是由多个集合构成的集合系统，这些集合之间存在着一定的关系，例如它们可以通过递归定义和集合运算相互连接。

玄宇宙的结构可以是递归的，也可以是非递归的。

超宇宙

是一个更大的宇宙系统，它是由多个宇宙构成的集合系统，这些超宇宙之间也存在着一定的关系。

超宇宙的结构可以是递归的，也可以是非递归的。

逻辑多元性

指的是宇宙中存在着多种可能性和可能的逻辑结构，例如多宇宙、超宇宙等。

逻辑多元性可以通过集合论中的集合运算和递归定义来描述。

集合论的集合运算

集合论中的集合运算包括并集、交集、补集、对称差等，这些运算可以用来描述宇宙中的各种关系和联系。

递归定义

递归定义是一种定义集合的方法，其中集合的定义依赖于其他集合的定义。

递归定义可以用来描述宇宙中的递归结构和逻辑多元性。

综上所述，集合论可以用来描述宇宙的结构、逻辑多元性和各种关系和联系。

玄宇宙、超宇宙等概念可以通过集合论的递归定义和集合运算来描述，同时集合论也可以用来描述宇宙中的各种关系和联系，例如集合之间的递归连接和集合运算。

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