（特殊篇章）哥德尔可构造宇宙L第二版本

8.2 哥德尔的 L

以下我们专注于哥德尔可构成集的构造。

8.2.1.定义 对任意α，我们递归定义序列 Lα 如下：

(1) L₀＝∅；

(2） Lα₊₁＝Def(Lα)；

(3) 对任意极限序数α，Lα＝∪ᵦ＜α Lᵦ。

同时我们还定义

L＝∪ Lα， (8.6)

α∈On

L的元素称为可构成集。

L 与 V 的构造不同、我们在后继步骤中不是加入所有的子集，而是加入在已有层谱中可定义的子集。虽然如此，许多关于 Vα 的性质，如果它的证明中只用到了 Vα 的某些可定义子集也在 Vα₊₁中，则这些性质对 Lα 也是成立的。

8.2.2.引理 对任意序数α，

(1) Lα是传递的；

(2）如果α＜β，则 Lα ⊆ Lᵦ。

(3） Lα ⊆ Vα。

证明.如果α＝0，则（1），（2）显然成立。假设命题对 β 成立，并且α＝β＋1，则Lα＝Def(Lᵦ)。由引理 8.1.10，Lᵦ ⊆ Lα ⊆ P(Lᵦ)，所以

(1)，(2)都成立。(3)显然。 □

8.2.3.定义 如果x∈L，x 在 L 中的秩 rank˪(x) 定义为

rank˪(x)＝min{β│x ∈ Lᵦ₊₁}。 (8.7)

8.2.4.引理 对任意α，

Lα＝{x∈L│rank˪(x)＜α}。 (8.8)

证明. 显然。 □

与 Vα 类似的是，如果x∈L 且 rank˪＝β，则 x ⊆ Lᵦ，x ∉ Lᵦ，但 x ∈ Lᵦ₊₁。而与Vα不同的是，经常会有以下情况出现，Lᵦ的一些子集虽然属于 L 但不属于Lᵦ₊₁。以下引理是说，这种情况不会发生在序数身上，序数在L和 V 中的位置是一样的。

8.2.5. 引理 对任意序数 α,

(1)Lα ∩ On＝α；

(2) α ∈ L ∧ rank˪(α)＝α。

证明.

(1)施归纳于α。如果α＝0或 α 是极限序数，则是显然的。如果α＝β＋1并且Lᵦ ∩ On＝β。因为 Lα ⊆ P(Lᵦ) ⊆ P(Vᵦ)，所以Lα ∩ On ⊆ Vα ∩ On＝α，另一方面，β＝Lᵦ ∩ On ⊆ Lα ∩ On，所以我们只需证明 β ∈ Lα，而这又只需证明β ∈ Def(Lᵦ)。

我们知道“β是序数”对任意传递集是绝对的，所以

β＝Lᵦ∩On＝{η ∈ Lᵦ│η是序数}＝{η ∈ Lᵦ│(η 是序数)ᴸβ} ∈ Def(Lᵦ)。

(2) 由 (1)，任意α ∈ Lα₊₁。 □

8.2.6.引理 对任意序数 α，

(1) Lα ∈ Lα₊₁；

(2) Lα 的任意有穷子集属于Lα₊₁；

证明.对于(1)，Lα＝{x ∈ Lα│(x＝x)ᴸα}。

(2)是引理8.1.10的推论。 □

L 与 V 的另一个重要不同是，我们不能断言实数属于 L，也不能断言 L 是对幂运算封闭的。然而，对于自然数和 ω，我们有

8.2.7.引理

(1) 对任意自然数n， Lₙ＝Vₙ；

(2) Lω＝Vω。

证明.(1) 可由归纳证明； (2) 是 (1) 以及引理8.2.6的推论。 □

对大于 ω 的序数α，单从其基数上看，Vα 与Lα 就有很大差别。

8.2.8.引理 如果选择公理成立，则对任意

α ≥ ω ，|Lα|＝|α|。

证明. 使用超穷归纳，我们证明|Lα|＝|α|。假设α ≥ ω并且对任意β＜α，β ≥ ω → |Lᵦ|＝|β|。这首先蕴涵着如果 β＜α，|Lᵦ| ≤ |α|。(β＜ω的情况见上引理8.2.7。)如果 α 是极限序数，则Lα＝∪ᵦ＜α Lᵦ，是 |α| 个基数小于 |α| 的集合的并，所以根据选择公理，|Lα| ≤ |α|；另一方面，因为α ⊆ Lα，所以 |Lα| ≥ |α|。如果

α＝β＋1 是后继序数，则由引理8.1.10，

|Lα|＝ |Def(Lᵦ)|＝|α|。 □

以上引理8.2.8表明，如果 α＞ω，则 |Lα|＝|Vα| 当且仅当α＝⊐α。。P(ω) ⊂ Vω₊₁，而我们又没有理由相信自然数的任意子集都是可定义的，所以P(ω)很可能不是 L 的子集。如果P(ω) ⊈ L，则对任意α＞ω，Lα ≠ Vα。

8.2.9.定理 L 是 ZF 的模型。

证明. 存在公理、外延公理、无穷公理、基础公理 (L ⊆ V) 都是平凡的。

(1) 对于对集公理，如果 α，b ∈ L，则存在 α，α，b ∈ Lα。这样，{α，b} 可以通过 Lα定义，因此属于Lα₊₁。又由于 c ＝{α，b} 是 Δ₀ (Π₀)公式，所以对集公理对 L 的相对化成立。

(2) 分离公理。根据前面的分析，我们需要证明：对任意公式 ψ(x，x₁，· · ·，xₙ)， 假设 X，x₁，· · ·，xₙ ∈ L，则集合Y＝{x ∈ X│ψᴸ(x，x₁，· · ·，xₙ)} ∈ L。取 α 使得 X，x₁，· · ·，xₙ ∈ Lα，则根据可构成集层谱的定义，Y'＝{x ∈ Lα│x ∈ X ∧ ψᴸα (x，x₁，· · ·，xₙ)} 属于 Lα₊₁， 因此也属于 L。但问题是我们不能确定 Y＝Y'。这要求助于反映定理7.9.2，令 β＞α 并且 ψ 对 Lᵦ 和 L 是绝对的，则

Y＝{x ∈ Lᵦ│x ∈ X ∧ ψᴸβ(x，x₁，· · ·，xₙ)}∈ Lᵦ₊₁。

(3) 并集公理。并集公理的相对化可表示为∀X ∈ L∃Y ∈ L(Y＝∪X)ᴸ。由于Y＝∪X 是Δ₀ 公式，因而是绝对的，所以我们只需证明：对任意 X ∈ L，∪X ∈ L。如果 X ∈ Lα，则由于 Lα 是传递的，所以∪X ⊆ Lα，令 Y＝{x ∈ Lα│∃z ∈ X(x ∈ z)} (注意到定义公式是 Δ₀ 公式)，则∪X＝Y ∈ Lα₊₁。

(4) 幂集公理。任给 X ∈ L，我们只需证明：P(X)∩L∈L。由于存在α，P(X)∩L ⊆ Lα，P(X)∩L 可由 Δ₀ 公式在 Lα 中定义，因此属于L。

(5) 替换公理。对任意公式 ψ，任意x，X ∈ L，假设 ∀x ∈ X∃！g ∈ Lψᴸ(x，g)，我们只需证明：存在Y ∈ L，{g│∃x ∈ Xψᴸ(x，g)}⊆ Y。如果假设成立，则集合 {g│∃x ∈ Xψᴸ(x，g)} 中的任意元素 g 都属于 L，因此存在 α，g ∈ Lα。取这些 α 的上确界 λ，则Y＝Lλ₊₁ 满足条件，并且Y ∈ L。 □

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