实数Z（数学论文）

证明。

我们将使用几乎不相交的编码，通过五步强制来产生实z。

对于这种强迫的介绍，参见例如[3]的调查或[38]，其中给出了类似的论点。

我们在地面模型上进行强制

Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ).

Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)是Mₓ的一个可定义集，因为根据表述2中的性质(4)我们得到

M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)∈Mₓ

根据引理3.23，对M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)及其图像的最小测度进行ωⱽ₁次迭代，并在ωⱽ₁处截断，得到下半模型Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)

这意味着，特别是cf（γ）ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ˣ，ᴷᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ⁾≥ ω₁ᴹˣ.

唱。

步骤1：为地面模型写入V₀＝Lp²ⁿ⁻¹（x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ）我们从一个预备强迫开始，它将ω₁ᴹˣ以下的一切坍缩为ω，之后我们将γ坍缩为ω₁ᴹˣ。

所以设G₀ ∈ V为Col(ω，＜ω₁ᴹˣ)-一般除以

V₀，设V'₀＝V₀[G₀].

此外，设G'₀ ∈ V为Col(ω₁ᴹˣ，γ)-泛型V'₀，设V₁＝V'₀[G'₀].

所以我们有ω₁ᴹˣ＝ω₁ⱽ¹通过我们选择的γ，也就是cf(γ)ⱽ⁰ ≥ ω₁ᴹˣ，我们还有(γ⁺)ᴹˣ＝(γ⁺)ᴷᴹˣ

＝ω₂ⱽ¹.

我们写ω₁＝ω₁ⱽ¹ω₂＝ω₂ⱽ¹

进一步，设A'是编码G₀和G'₀，的序数集合，这样，如果我们令A⊂(γ⁺)ᴹˣ

x ⨁（Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ)⨁A'，

然后我们有G₀，G'₀ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(A)和Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(A).

事实上，我们可以选择集合A使V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)通过下面的论证：回想一下

Lp²ⁿ⁻¹(A)＝M(A)│ω₁ⱽ，

其中，M(A)表示Iω₁ⱽ，式中M#₂ₙ₋₁(A)对集合A的最小测度及其像的迭代。

然后我们可以认为G₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)上是泛型的，而G'₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀]，上是泛型的，其中M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)表示ω₁ⱽ M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ 的最小测度及其像的迭代。

由于步骤1中的两种强迫都发生在（γ⁺）ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下，

因此证明中有定理2.25M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀][G'₀]＝M(A)对于集合A ⊂ (γ⁺)ᴹˣ

编码x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ，G₀和G'₀，因此我们得到V₁＝M(A)│ω₁ⱽ对于这个集合A，如所期望的那样。

步骤2：在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ¹，的几乎不相交的子集执行第一次编码之前，我们必须“重塑”(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹和ω₁之间的间隔，以确保我们将在步骤3中执行的编码存在。

此外，我们必须确保重塑强迫“本身不会使ω₁和(γ⁺)ᴹˣ崩溃。

我们将通过证明重塑强迫是＜(γ⁺)ᴹˣ-分布来证明这一点。

我们将使用以下重塑的概念。

定义3.28。

设n为基数，设X⊂η⁺，我们设函数f为(X，η⁺) -对某些f：α → 2以及对所有α ≤ η⁺且ξ ≤ α的函数ξ＜η⁺进行重塑，我们有

(i)L[x∩ξ，f ⨡ ξ] ⊨ |ξ| ≤ η ，or

(ii)有一个模型N和一个Σₖ-elementary嵌入

j：N→Lp²ⁿ⁻¹ (X)│η⁺⁺ 对于足够大的k＜ω，使得

(a) crit(j)＝ξ，j(ξ)＝η⁺，

(b)ρₖ₊₁(N) ≤ ξ，N为大于ξ的声音，并且

(c)明确地在N上存在一个抛射g：η → ξ.

为了将来的目的，请注意，如果N如上面第

(ii)款所示，则N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(X∩ξ).

现在我们用P₁表示为(A，(γ⁺)ᴹˣ-添加(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹，重塑函数的力，在我们的新地面模型V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)中定义。

我们设p∈P₁，如果p是一个(A，(γ⁺)ᴹˣ)整形函数，且dom(p)＜(γ⁺)ᴹˣ，我们在P₁中通过反向包含对两个条件p和q排序，这意味着我们设p≤p₁ q iff q ⊆ p.

首先注意到强制P₁是可扩展的，这意味着对于每一个序数α＜(γ⁺)ᴹˣ，集合Dα＝{p ∈ P₁ │ dom(p) ≥ α }在P₁.中是开放和密集的。

事实上，对于每一个p∈P₁和每一个α＜(γ⁺)ᴹˣ，存在一些q ≤ ᴘ₁，p使得dom(q) ≥ α 和L[A∩ξ，q ⨡ ξ] ⊨ |ξ| ≤ η 对于所有的ξ，dom(p)

＜ξ ≤ dom(q).

现在我们要证明P₁是＜(γ⁺)ᴹˣ-distributive。

为此，我们固定了一个条件p ∈ P₁和开密集集

(Dᵦ│β＜ω₁）.

我们的目标是找到一个条件q ≤ ᴘ₁，p使得q ∈Dᵦ 对所有β＜ω₁.

考虑，对于一个足够大的固定自然数k，模型Lp²ⁿ⁻¹(A)＝V₁.的可传递Σₖ-初等子结构更准确地说，我们想要选择一个连续序列

(Nα，πα，ξα│α ≤ ω₁)

传递模型的大小为|ω₁ⱽ¹|的Nα以及Σₖ-elementary初等嵌入

πα：Nα → Lp²ⁿ⁻¹(A)

以及一个序数ξα的递增序列，使得我们有p∈ N₀，并且对于所有α ≤ ω₁

(1)crit(πα)＝ξα with πα(ξα)＝(γ⁺)ᴹˣ，

(2)对于所有序数α＜ω₁，我们有ρₖ₊₁(Nα)≤ ξα且Nα在ξα之上，和

(3){p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}⊂ ran(πα).

对于所有 α≤ω₁， Nα sw，我们可以归纳出如下性质的Nα和πα。

设M₀为的(未坍缩)Σₖ-hull 属于

γ∪{p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}

在Lp²ⁿ⁻¹(A)内.

然后让N₀成为M₀的Mostowski崩溃，让

π₀：N₀ → M₀≺Σₖ，Lp²ⁿ⁻¹(A)

为临界点为ξ₀.的Mostowski坍缩的逆嵌入。

现在假设我们已经为一些α＜ω₁构造了

(Nα，πα，ξα)和Mα。

然后设Mα₊₁为（未坍塌的）Σₖ-hull 属于

γ∪{p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}∪Mα∪{Mα}

在Lp²ⁿ⁻¹(A)内.进一步设Nα₊₁为Mα₊₁的Mostowski塌缩，允许

πα₊₁：Nα₊₁ → Mα₊₁≺Σₖ Lp²ⁿ⁻¹(A)是由临界点为ξα₊₁.的Mostowski坍缩得到的嵌入的逆。

注意我们有ξα₊₁＞ξα.

此外，如果我们假设(Nα，πα，ξα)已经为所有的α＜λ λ ≤ ω₁，构造了，那么我们让

Mλ＝∪Mα，

α＜λ

设Nλ为Mλ的Mostowski坍缩，并具有逆坍缩嵌入的

πλ：Nλ → Mλ，

临界点临界(πλ)＝ξλ.

回想一下，我们固定了开密集集(Dᵦ│β＜ω₁)我们现在要构造一个条件序列(Pα│α ≤ ω₁)使得所有α＜ω₁.的Pα₊₁ ≤P₁ Pα和Pα₊₁ ∈Dα.

而且，我们要构造这些条件使我们归纳地保持pα ∈ πα⁻¹(P₁)⊂ Nα.

我们从p₀＝p∈N₀开始.

对于后续步骤，假设我们已经定义了pα∈πα⁻¹(P₁)⊂ Nα对于某个α＜ω₁。

然后我们有dom(pα)＜ξα

(ξα│α＜λ)的临界点序列(πα│α＜λ)在Nλ上是可denable的，因为对于α＜λ，模型Nα等于Nλ的Σₖ-elementary子模型的可传递坍缩，该子模型在Nλ内部构造与在上面的Lp²ⁿ⁻¹(A)内部构造完全相同。

因此，我们有这个cfᴺλ(ξλ)≤λ≤ω₁＝ω₁ⱽ¹这意味着Nλ ⊨ |ξλ|≤ω₁ⱽ¹.由于dom(pλ)＝ξλ，这让我们知道pλ实际上是强制P₁的一个条件。现在考虑函数q＝pω₁.

然后q∈P₁和q∈Dᵦ对于所有β＜ω₁.

我们已经证明了重塑力P₁是＜(γ⁺)ᴹˣ分布的，因此不会坍塌ω₁和(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂.

设G₁为一般的p₁ V₁设V₂＝V₁[G₁].

强迫P₁的可拓性使得∪G₁是一个具有(γ⁺)ᴹˣ定义域的(A，(γ⁺)ᴹˣ)-整形函数。

设B'是编码函数UG₁的(γ⁺)ᴹˣ的子集，例如，以UG₁为特征函数的(γ⁺)ᴹˣ的子集。

最后，设B⊂(γ⁺)ᴹˣ为A ⨁ B'的编码。

在第1步结束时，我们可以选择代码B⊂(γ⁺)ᴹˣ，使模型V₂的形式为Lp²ⁿ⁻¹ (B)，通过以下参数

Lp²ⁿ⁻¹(B)＝M(B)│ω₁ⱽ，

其中，M(B)表示M#₂ₙ₋₁(B)的最小测度及其图像的ω₁ⱽ次迭代。

因此，我们可以认为G₁是M(A)上的泛型。这产生了在第1步结束时的论证，我们可以选择B，使V₂＝M(B)│ω₁ⱽ，因为“重塑强迫”P₁发生在(γ⁺)ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下.

因此，我们得到了它

V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B).

步骤3：现在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ²＝ω₁ⱽ¹的几乎不相交的子集来执行第一个编码。

由于B是“重塑的”，我们可以归纳地构造一个ω₁的几乎不相交子集序列，

（Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)，

如下。

设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ使得我们已经构造了一个ω₁的几乎不相交子集的序列(Aς│ς＜ξ).

案例1。L[B ∩ ξ]⊨|ξ|≤ω₁ⱽ².

那么我们让Aξ是ω₁的最小子集₁ 在L[B∩ξ]中，它也与任何Aς最不相交对于ς＜ξ并且满足

|ω₁\∪Aξ|＝ℵ₁

ς≤ξ

情况2，否则。

设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)的最小初始段，使得ρω(N)≤ ξ，N是健全的，ξ，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射g：ω₁ⱽ²↠ξ，现在设Aξ是ω₁ⱽ²的最小子集，它在N上可定义，对于ς＜ξ几乎与任何Aς不相交，并且满足

|ω₁\∪ς≤ξ Aς|＝ℵ₁.

在这种情况下，集合Aξ是定义良好的，这是由于集合B ⊂(γ⁺)ᴹˣ被下面的自变量“重塑”。由于B被“重塑”，因此在上述的情况2中，即存在定义3.28(ii)中的模型N。我们有N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).一般来说，不一定是这样Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)等于Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)(见引理3.25)，但由于ξ是N中最大的基数，因此实际上N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B).因此，在ξ处见证B“重塑”的任何N都是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)使得集合Aξ确实是定义明确的。

序列(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)现在可在V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B)中定义.

现在设P₂是由几乎不相交集(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)的ω₁的子集对编码B的强迫，这意味着p ∈ P₂是一个对(pι，pᵣ)，使得对于某些α＜ω₁，pι：α → 2，并且pᵣ是(γ⁺)ᴹˣ的可数子集.

我们说 p＝(pι，Pᵣ)使得pι：α→ 2对于某些α＜ω₁和pᵣ 是（γ⁺)ᴹˣ. 我们说p＝（pι，pᵣ)≤P₂（qι，qᵣ)＝q iff qι ⊆ pι，qᵣ ⊆ pᵣ，并且对于所有ξ∈qᵣ，我们有，如果ξ∈B，那么

{β ∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Aξ＝∅.

一个简单的论点表明(γ⁺)ᴹˣ-c.c.对于强迫P₂成立. 更重要的是，它是ω-闭的，因此没有基数塌陷。设G₂ 是P₂-V和let上的泛型

C'＝∪{β ∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.

p∈G₂

那么C'⊂ω₁ 对于所有ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，

ξ∈B iff|C'∩Aξ| ≤ ℵ₀.

最后，设V₃＝V₂[G₂]. 通过与我们在第2步结束时给出的论点相同的论点，我们可以得出

V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C)

对于某些集合C ⊂ ω₁编码C′和实数x，由于模型Lp²ⁿ⁻¹(C)可以通过以下参数成功地完全解码集合B ⊂(γ⁺)ᴹˣ 我们归纳地证明了对于每一ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，(Aς│ς＜ξ)∈ LP²ⁿ⁻¹(C)和B∩ξ ∈ LP²ⁿ⁻¹(C).得到B ∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

对于归纳步骤，设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ 为序数，并假设归纳得到

(Aς│ς＜ξ)∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

因为对于所有ς＜ξ，

ς∈B iff|C'∩Aξ| ≤ ℵ₀，

我们有B∩ξ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

在情况1中，即，如果L [B∩ξ] ⊨ |ξ| ≤ ω₁ⱽ²，则可以容易地在LP²ⁿ⁻¹(C)内识别集合Aξ。在情况2中，设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段，使得ρω(N) ≤ ξ，N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射，g：ω₁↠ξ. 这样一个N的存在是由于B被“重塑”的事实：甚至存在一些N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)，使得ρω(N) ≤ ξ，

N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射 g：ω₁↠ξ；和Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)⊆ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).因此，存在具有这些性质的Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段N，并且它也将是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)的初始段，并且N也将是用于识别Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)的Lp²ⁿ⁻¹(B)(对于上述B)的初始段。用于鉴定Aξ.我们已经证明，在每种情况下，Aξ都可以在内部识别，Lp²ⁿ⁻¹(C).

由于下一个Aξ的识别是按照统一的程序进行的，我们实际上得到了这一点

(Aς│ς ≤ ξ)∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

步骤4：在我们可以“code down to a real”之前，这意味着我们可以找到一个实数z，使得Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(z)，我们必须执行另一个类似于步骤2的“整形”。所以让P₃ 是加一个（C，ω₁)-在V₃中工作的整形函数作为新的地面模型，其中ω₁=ω₁ⱽ³=ω₁ⱽ². 这意味着我们设p∈P₃ 当p是(C，ω₁)-dom(p)＜ω₁的整形函数. P₃中两个条件p和q的阶再次通过反向包含，意味着p≤ᴘ₃ q iff q ⊆ p.

强制P₃是可扩展的，并且＜ω₁-是由与我们在步骤2中给出的参数相同的参数分配的，因为我们有V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C).因此，P₃ 不塌陷ω₁.

设G₃ 是P₃-V₃上的泛型并设V₄＝ V₃[G₃]. 我们又得到了一个∪G₃ 是(C，ω₁)-具有域ω₁的整形函数因为P₃ 是可扩展的。设D'是ω₁的子集哪一个编码∪G₃, 例如ω₁的子集哪一个bos∪G₃ 作为其特征功能。最后，iet D⊂ω₁ 代码C⨁D'.

通过与我们在步骤2结束时给出的相同的论证，我们实际上可以得到

V₄＝Lp²ⁿ⁻¹(D).

步骤5：现在我们准备好最后“编码到实数”。由于D是“重新成形的”，我们可以考虑一个统一定义的序列

(Bξ│ξ＜ω₁)

ω的几乎不相交的子集，如步骤3，其中ω₁＝ω₁ⱽ⁴＝ω₁ⱽ³.

现在我们让P₄ 是ω的子集使用几乎不相交集对D进行编码的强制（Bξ│ξ＜ω₁). 这意味着一个条件p∈p₄ 是一对（pι，pᵣ) 使得pι：α → 2对于某些α＜ω和pᵣ 是ω₁的有限子集.我们说p＝（pι，pᵣ) ≤P₄ （qι，qᵣ)＝ q iff qι⊆pι，qᵣ⊆ pᵣ， 并且对于所有ξ∈qᵣ， 我们有，如果ξ∈D，那么

{β ∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Bξ＝∅.正如在上面的步骤3中一样，一个简单的论点表明，强迫P₄ 拥有c.c.c.，因此没有枢机主教崩溃。最后，设G₄ 是P₄-V₄上的泛型然后让

E'＝∪{β ∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.

p∈G₄

那么E' ⊂ ω，我们对所有ξ＜ω₁都有，

ξ∈D iff│E'∩Bξ│＜ℵ₀.

设V₅＝V₄[G₄] 最后，设z是实数编码E’和实数x.类似于步骤3末尾给出的自变量，我们可以选择实数z≥ᴛ x这样我们就有

V₅＝Lp²ⁿ⁻¹(z)

和型号Lp²ⁿ⁻¹(z)能够成功地解码集合D，从而也解码集合A.

这最终得出我们有一个实 z ≥ᴛ x使得

(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ᶻ⁾

和

Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(z).

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