Ultimate-L，终极-L

定义

　　

假设λ是不可数基数。

　　

如果存在余尾集X ⊂ λ，则I λ是奇异基数

　　

使得X ＜ λ。　

　　

如果不存在共尾集，则I λ是正则基数

　　

X ⊂ λ使得X ＜ λ。　

　　

引理(选择公理)

　　

每个(无限)继任基数都是正规基数。

　　

定义

　　

假设λ是不可数基数。

　　

那么cof(λ)就是

　　

最小可能x，其中X ⊂ λ在λ中是共尾的。

　　

I cof(λ)总是正则基数。

　　

如果λ是正则的，那么cof(λ) = λ。

　　

如果λ是单数，那么cof(λ) ＜ λ。

詹森二分法定理

　　

定理(詹森)

　　

恰好下列之一成立。

　　

(1)对于所有的奇异基数γ，γ是L和中的奇异基数

　　

γ+ = (γ+)L.

　　

I L接近v。

　　

(2)l中的每个不可数基数都是正则极限基数。

　　

I L远离v。

　　

斯科特定理的强有力版本:

　　

定理(银)

　　

假设有一个可测基数。

　　

那么L远离v。

　　

塔尔斯基定理和哥德尔响应

　　

定理(塔尔斯基)

　　

假设M = ZF，设X是所有α ∈ M的集合，使得α是

　　

可在M中定义，不带参数。

　　

如果没有参数，X在M中是不可定义的。

　　

塔尔斯基定理和哥德尔响应

　　

定理(塔尔斯基)

　　

假设M = ZF，设X是所有α ∈ M的集合，使得α是

　　

可在M中定义，不带参数。

　　

如果没有参数，X在M中是不可定义的。

　　

定理(模型)

　　

假设M = ZF，X是所有α ∈ M集合，使得

　　

对于M的某个序数b，α在M中可由b定义。

　　

I那么X在M中是σ2-可定义的，没有参数。

　　

G odel的传递类HOD

　　

我记得集合M是传递的，如果M的每个元素都是α

　　

m的子集。

　　

定义

　

HOD是所有集合X的类，使得存在α ∈Ord和

　　

⊂先生Vα这样

　　

1.X ∈ M，M是传递的。

　　

2.M的每个元素在Vα中从序数可定义参数。

　　

我(ZF)选择的公理在霍德那里成立。

　　

我是⊆·霍德。

　　

I HOD是所有传递集M的并集，使得每个

　　

M的元素在V中可由序参数定义。

　　

我被G odel的回答打动了。

　　

固定集合

　　

定义

　　

假设λ是不可数正则基数。

　　

1.如果c在λ中是共尾的，则集合c的⊂λ是闭无界的

　　

C包含其所有低于λ的极限点:

　　

1.对于所有的极限序数η ＜ λ，如果C∩；η在η中是共尾的，那么η ∈ C。

　　

2.如果集合S ∩ C δ=全闭的∅，则集合S ⊂ λ是平稳的无界集合C ⊂ λ。

　　

示例:

　　

我设⊂ ω2是所有序数α的集合，使得cof(α) = ω。

　　

I S是ω2的平稳子集，

　　

I ω2 S是ω2的平稳子集。

　　

索洛维分裂定理

　　

定理(索洛维)

　　

假设λ是一个不可数的正则基数，并且S⊂ λ是静止的。

　　

然后有一个分区

　　

hSα : α ＜ λi

　　

λ的许多两两不相交的平稳子集。

　　

但是假设S ∈ HOD。

　　

我可以要求

　　

Sα ∈ HOD

　　

对于所有α ＜ λ？

　　

我或者只是找到一个把S分成2个固定集合的划分，每个集合在HOD？

　　

引理

　　

假设λ是不可数的正则基数，并且:

　　

⊂ λ是稳定的。

　　

I κ ＜ λ且(2κ)

　　

HOD ≥ λ。

　　

然后是一个隔断

　　

hSα : α ＜ κi

　　

分解成λ的κ-多个成对不相交的固定子集，使得

　　

hSα : α ＜ κi ∈ HOD。

　　

但是如果:

　　

I S = {α ＜ λ cof(α) = ω}和(2κ)

　　

HOD ＜ λ？

　　

定义

　　

设λ是不可数正则基数，设

　　

S = {α ＜ λ cof(α) = ω}。

　　

那么λ在HOD中是ω-强可测的，如果存在κ ＜ λ

　　

使得:

　　

1. (2κ)

　　

HOD ＜ λ，

　　

2.不存在S的hSα α ＜ κi到平稳集的划分到这样的程度

　　

Sα ∈ HOD

　　

对于所有α ＜ λ。

　　

引理

　　

假设λ在HOD中ω-强可测。

　　

然后

　　

HOD = λ是可测基数。

　　

可扩展红雀

　　

引理

　　

假如

　　

π : Vα+1 → Vπ(α)+1

　　

是初等嵌入，π不是恒等式。

　　

那么存在π(η) δ= η的序数η。

　　

I CRT(π)表示最小η，使得π(η) δ= η。

　　

定义(莱因哈特)

　　

假设δ是一个基数。

　　

那么δ是可扩基数，如果对于每个λ ＞δ

　　

存在初等嵌入

　　

π : Vλ+1 → Vπ(λ)+1

　　

使得CRT(π) = δ并且π(δ) ＞ λ。

　　

可扩基数和一个二分法定理

　　

定理(HOD二分法定理(弱版本))

　　

假设δ是可扩基数。

　　

然后是下面的一个保持。

　　

(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。

　　

进一步，假设γ是奇异基数，γ ＞ δ。

　　

I那么γ是HOD和γ中的奇异基数

　　

+ = (γ+)

　　

可扩基数和一个二分法定理

　　

定理(HOD二分法定理(弱版本))

　　

假设δ是可扩基数。

　　

然后是下面的一个保持。

　　

(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。

　　

进一步，假设γ是奇异基数，γ ＞ δ。

　　

I那么γ是HOD和γ中的奇异基数

　　

+ = (γ+)

　　

(2)每个正则基数κ ≥ δ都是ω-强可测的

　　

如果有一个可扩展的红衣主教，那么霍德必须是

　　

靠近V或者HOD一定远离V。

　　

这就像詹森二分法定理，但是

　　

用HOD代替l。

　　

超级紧密度

　　

定义

　　

假设κ是不可数正则基数，κ ＜ λ。

　　

1.Pκ(λ) = {σ ⊂ λ σ ＜ κ}。

　　

2.设U ⊆ P (Pκ(λ))是一个超滤子。

　　

如果对于每个α ＜ λ，

　　

{σ ∈ Pκ(λ) α ∈ σ} ∈ U。

　　

对于每个函数，I U是正常的

　　

f : Pκ(λ) → λ

　　

到这样的程度

　　

{σ ∈ Pκ(λ) f (σ) ∈ σ} ∈ U，

　　

存在α ＜ λ，使得

　　

{σ ∈ Pκ(λ) f (σ) = α} ∈ U。

超级致密红雀

　　

定义(索洛维，莱因哈特)　

　　

假设κ是不可数的正则基数。

　

I那么κ是一个超紧基数，如果对于每个λ ＞ κ　　　

　　

在Pκ(λ)上存在一个超滤子U，使得:

I U是κ-完全的、正常的、精细的超滤器

　　

引理(马吉德)

　　

假设δ是强不可达的。

　　

那么下面是相当于

　　

(1) δ是超紧的。

　　

(2)对于所有λ ＞ δ，存在δ ＜ λ ＜ δ和一个初等

　　

把...嵌入

　　

π : Vλ +1 → Vλ+1

　　

使得CRT(π) = δ，并且使得π(δ ) = δ。

　　

超紧基数和一个二分法定理

　　

定理

　　

假设δ是超紧基数，κ ＞ δ是正则的

　　

基数，并且κ是ω-在HOD中强可测的。

　　

我于是每一个正则基数λ ＞ 2

　　

κ

　　

ω-是强可测的吗

　　

假设δ是一个可扩展基数，那么就可以得到δ

　　

更有力的结论。

　　

超紧基数和奇异基数

　　

假设

　　

定理(索洛维)

　　

假设δ是超紧基数，γ ＞ δ是α

　　

奇异强极限基数。

　　

我接着2γ = γ+.

　　

定理(银)

　　

假设δ是一个超紧基数。

　　

然后有一个通用的V的扩展V[G]使得在V[G]中:

　　

I δ是一个超级紧基数。

　　

I 2

　　

δ ＞ δ+.

　　

索洛维定理是最强有力的定理

　　

超紧基数和广义连续统假设。

　　

δ-覆盖和δ-逼近性质

　　

定义(哈姆金斯)

　　

假设N是内模，δ是不可数正则

　　

v的红衣主教。

　　

1.n具有δ-覆盖性质，如果对于所有σ ⊂ N，如果σ ＜ δ，则

　　

存在τ ⊂ N，使得:

　　

I σ ⊂ τ ,

　　

I τ ∈ N,

　　

I τ ＜ δ.

　　

2.n具有δ-逼近性质，如果对于所有集合X ⊂ N，

　　

以下是等效的。

　　

I X ∈ N。

　　

I对于所有σ ∈ N如果σ ＜ δ那么σ ∩ X ∈ N。

　　

对于每个(无限)基数γ:

　　

I H(γ)表示所有传递集M的并集，使得

　　

M ＜ γ。

　　

哈姆金斯唯一性定理

　　

定理(哈姆金斯)

　　

假设N0和N1都具有δ-逼近性质，并且δ-覆盖性质。

　　

假设

I N0 ∩ H(δ+) = N1 ∩ H(δ+).

　　

然后:

　　

我不= N1。

　　

推论

　　

假设N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。

　　

设A = N ∩ H(δ+).

　　

那么N ∩ H(γ)在H(γ)中是(一致)可定义的，

　　

I对于所有的强极限基数γ ＞ δ+。

　　

I N是参数的σ2可定义类。

　　

具有δ-逼近性质的内部模型和

　　

δ-覆盖性质接近于V

　　

定理

　　

假设N是一个具有δ-逼近性质的内模

　　

和δ-覆盖性质。

　　

我假设γ ＞ δ，γ是单数基数。

　　

然后:

　　

I γ是n中的单数基数。

　　

I γ+ = (γ+)

　　

名词（noun的缩写）

　　

集合论地质学

　　

定义(哈姆金斯)

　　

内模N是V if的基ZFC。

　　

I有一个偏序P ∈ N和一个n-一般滤子G ⊆ P

　　

使得V = N[G]。

　　

允许I G是平凡的，在这种情况下N = V

　　

引理(哈姆金斯)

　　

假设N是v的底数，那么对于所有足够大的正则

　　

枢机主教δ:

　　

I N具有δ-逼近性质。

　　

I N具有δ-覆盖性质。

　　

我简单地取δ为N的任意正则基数，使得PN ＜ δ。

　　

我通过哈姆金斯唯一性定理。

　　

推论

　　

V的基是参数的σ2可定义类。

　　

集合论地质学(哈姆金斯)

　　

V的理由的可能结构是什么？

　　

这是v的一阶理论的一部分。

　　

我假设N ⊆ M ⊆ V，n是v的底数，M = ZFC。

　　

那么M是V的底，N是M的底。

　　

定义(哈姆金斯)

　　

V的地幔是V的所有地面的交集。

　　

设M为v的衣钵。

　　

I (Hamkins)如果M是V的一个基，那么M没有非平凡的我(哈姆金斯)M = ZF，但M必须= ZFC吗？

　　

有向理由问题

　　

问题(哈姆金斯)

　　

V向下的理由是包含下的set-directed吗？

　　

理由。

　　

我(哈姆金斯)M = ZF，但M必须= ZFC吗？

　　

有向理由问题

　　

问题(哈姆金斯)

　　

V向下的理由是包含下的set-directed吗？

　　

要求

　　

假设V的底是向下的。

　　

然后是以下是等效的。

　　

1.V的外衣是V的底子。

　　

2.只有很多v的理由。

　　

3.这是v的最小接地。

　　

要求

　　

假设V的底是向下集合方向的，设M

　　

成为v .的衣钵

　　

M = ZFC。

　　

布可夫斯基定理和乌苏巴解

　　

定理(布可夫斯基)

　　

假设κ是正则基数，N ⊂ V是内模。

　　

那么以下是等价的。

　　

1.对于每个θ ∈ Ord和每个函数F : θ →N

　　

存在一个函数

　　

H : θ → Pκ(N)

　　

使得H ∈ N并且使得F(α) ∈ H(α)对于所有的α ＜ θ。

　　

2.v是n的κ-cc一般扩展。

　　

定理

　　

V字的底纹是向下的，在内含物的指引下。

　　

推论

设M为v的衣钵。

　　

那么我M =选择公理。

　　

乌苏巴地幔定理

　　

定理

　　

假设有一个可扩展的基数。

　　

设M为地幔v的。

　　

那么M是v的地。

　　

推论

　　

假设有一个可扩展的基数。

　　

设M为地幔

　　

假设⊆·霍德先生。

　　

然后我HOD是v的地面。

　　

在这种情况下，HOD二分法定理中的远选项坚持不住了。

　　

自然的推测

　　

假设存在足够多的大型基数，则可证明far霍德二分法定理中的选项不能成立。

　　

霍德假说

　　

定义(霍德假说)

　　

存在一类正规基数λ，它们不是ω-在HOD中强可测。

　　

I不知道是否可能存在4个正常的枢机主教ω-在HOD中强可测。

　　

不知道在2ℵ0上面是否会有两个正式的红衣主教

　　

其中ω-在HOD中是强可测的。

　　

我假设γ是不可数余尾的奇异基数。

　　

如果不知道γ+可以是ω-强可测的吗

　　

霍德。

　　

推测

　　

假设γ ＞ 2

　　

ℵ0和γ射线+是ω-在HOD中强可测的。

　　

我然后γ++在HOD中不是ω-强可测的。

　　

霍德猜想

　　

定义(霍德猜想)

　　

该理论

　　

ZFC +“有一个超级紧凑的红衣主教”

　　

证明了霍德假说。

　　

我假设霍德猜想和有一个可扩展的红衣主教。

　　

然后:

　　

霍德二分法定理中的远选项是空的:

　　

我必须接近v。

　　

HOD猜想是一个数论陈述。

　　

弱HOD猜想与终极L

　　

推测

　　

定义(弱荷德猜想)

　　

该理论

　　

ZFC +“有一个可扩展的红衣主教”证明了霍德假说。

　　

终极L猜想(弱版本)

　　

(ZFC)假设δ是可扩基数。

　　

然后(可证明地)存在内部模型N，使得:

　　

1.n具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。

　　

2.N = "V = Ultimate-L "。

　　

定理

　　

终极L猜想隐含着弱HOD猜想。

　　

等价

　　

定理

　　

假设有一类适当的可扩展基数。

　　

然后以下是等效的。

　　

(1)HOD假设成立。

　　

(2)对于某些δ，有一个内部模型N

　　

δ-逼近性质和δ-覆盖性质使得N =“霍德假说”。

　　

弱扩张模型和普适性

　　

定义

　　

假设N是一个内部模型。

　　

那么N是δ的弱扩张模型是超紧的，如果对于每个γ ＞ δ，存在一个正规的精细δ-完备

　　

在Pδ(γ)上超滤U，如thta:

　　

I N ∩ Pδ(γ) ∈ U，

　　

I U ∩ N ∈ N。

　　

普遍性定理(弱版本)

　　

假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且

　　

对于某些λ ≥ δ，U是λ上的δ-完全超滤子。

　　

我然后U ∩ N ∈ N。

　　

HOD二分法(完整版)

　　

定理(HOD二分法定理)

　　

假设δ是可扩基数。然后是下面的一个

　　

保持。

　　

(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。

　　

此外:

　　

I HOD是δ is超紧的弱扩张模型。

　　

(2)每个正则基数κ ≥ δ在HOD中都是ω-强可测的。

　　

此外:

　　

对于任意λ，I HOD不是λ is超紧的弱扩张子。

　　

如果没有弱扩张子，λ的模型N是超紧的吗

　　

⊆·霍德，对于任何λ。

　　

无条件的推论

　　

定理

　　

设δ是可扩基数，κ ≥ δ，κ是α可测基数。

　　

那么κ是一个可测量的基数。

　　

诉诸霍德二分法定理的两种情况:

　　

I情况1: HOD接近v .那么HOD是弱扩张子

　　

δ的模型是超紧的。

　　

我应用普遍性定理。

　　

I情况2: HOD远离v .那么每个常规红衣主教κ ≥ δ是HOD中可测的基数；

　　

因为κ是ω-在HOD中强可测的。

　　

弱扩张模型、近似和覆盖

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型。

　　

那么N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型。

　　

因此:

　　

I N由N ∩ H(δ)唯一指定+).

　　

I N是σ2-可由N ∩ H(δ)定义的+).

　　

弱扩张模型理论是v理论的一部分。

　　

定理

　　

假设有一个可扩基数，N是一个内基数模型。

　　

那么以下是等价的。

　　

| N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质，为了一些δ。

　　

I N是δ的弱扩张模型是超紧的，对于某些δ。

　　

δ-通有性和强普适性

　　

定义

　　

假设N是内模，δ是不可数正则红衣主教。

　　

I那么n具有δ-泛型性质，如果对于所有σ ⊂ δ，如果

　　

σ ＜ δ，那么σ对于某些部分P ∈ N是N-一般的，使得

　　

P ＜ δ。　　

　　

δ-通有性和强普适性

　　

定义

　　

假设N是内模，δ是不可数正则红衣主教。

　　

I那么n具有δ-泛型性质，如果对于所有σ ⊂ δ，如果

　　

σ ＜ δ，那么σ对于某些部分P ∈ N是N-一般的，使得

　　

P ＜ δ。

　　

假设δ是强不可达的。

　　

那么HOD具有δ-泛型性质。

　　

定理

　　

假设有一个可扩展的基数

　　

I N具有δ-逼近性质，δ-覆盖性质，并且δ-泛型性质。

　　

假设公理I0在λ处成立，对于某些λ ＞ δ。

　　

然后在N中，公理I0在λ处成立，对于某些λ ＞ δ。　

　　

一类新的内模，具有近似和封面属性

　　

定理

　　

假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且

　　

N具有δ-一般性质。

　　

假设U ∈ Vδ是一个可数完全超滤器

　　

NU = Ult0(N，U)。

　　

然后:

　　

I NU具有δ-覆盖性质。

　　

I NU具有δ-逼近性质。

　　

我假设δ是一个强基数，N有

　　

δ-逼近性质和δ-覆盖性质。

　　

I NU具有δ-覆盖性质。

　　

I NU可能不具有δ-近似性质:

就算N = V。

　　

太近没用？

　　

也是超级复杂的弱扩展模型

　　

接近V是任何有用的搜索推广

　　

l？

　

定理(库宁)

　　

不存在非平凡的基本嵌入

　　

π : Vλ+2 → Vλ+2。

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型

　　

并且λ ＞ δ。

　　

那么就不存在非平凡的初等嵌入

　　

π : N ∩ Vλ+2 → N ∩ Vλ+2

　　

使得CRT(π) ≥ δ。

　　

也许不是超级紧性的弱扩张模型可以在一个关键的意义上，与V相差甚远。

　　

定理(库宁)

　　

以下是等效的。

　　

1.l远离V(如在詹森二分法定理中)。

　　

2.存在一个非平凡的初等嵌入j : L →L。

　　

定理

　　

假设δ是一个超紧基数。

　　

那么存在δ is的弱扩张模型N

　

超级紧凑以至于在ω ⊂ N

　　

I存在一个非平凡的初等嵌入j : N → N。　

终极L猜想

　　

(ZFC)假设δ是可扩基数。

　　

然后(可证明地)有一个内部模型N，使得:

　　

1.n是δ是超紧的弱扩张模型。

　　

2.n具有δ-泛型性质。

　　

3.N = "V = Ultimate-L "。

　　

霍德猜想在ZF的应用

　　

定理(ZF)

　　

假设HOD猜想并且存在一个适当的可扩展枢机。

　　

我假设δ是一个可扩展的基数。

　　

那么对于每一个正则基数λ ≥ δ:

　　

I λ+是常规基数。

　　

索洛维分裂定理在λ处成立。

　　

我假设霍德猜想:

　　

I大基数公理试图证明选择公理。

　　

伯克利枢机队

　　

定义

　　

枢机主教δ是伯克利枢机主教，如果:

　　

I对于所有的α ＜ δ和对于所有的δ ⊂为m的传递集m，有存在一个非平凡的初等嵌入j:M→M

　　

使得α ＜ CRT(j) ＜ δ。

　　

假设选择的公理，没有贝克莱

　　

库宁定理的基数:

　　

我只是让M = Vδ+2。

　　

定理(ZF)

　　

假设HOD猜想。

　　

然后:

　　

我没有伯克利的红衣主教。

　　

摘要

　　

从大的基本假设出发，有一系列定理

　　

这表明:

　　

I V = L的某个版本为真。

　　

此外:

　　

这些定理变得比大基数大得多假设增加。

　　

大枢机放大结构。

　　

如果他们测量V并把V的结构代入离散

选项。

　　

也许这就是V = Ultimate-L的所有证据。

　　　　

哥德尔的可构造宇宙和终极L并不相同

　　

可构造宇宙L

　　

定义Def()为一个包含所有X子集的集合。

　　

一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X

　　

使得x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]

　　

然后:

　　

L₀=∅

　　

L₁=Def(L1)={∅}=1

　　

Ln+1=Def(Ln)=n

　　

Lω=∪＿k＜ω Lω

　　

Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinalג是极限序数　　

　　

L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数　

　　

注:红雀应翻译为枢机

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