广义G模型的可构造性宇宙L: 终极骗局

一般化L

　　

将L相对于任意谓词P

　　

假设P是一个集合。通过对α的归纳，由下式定义Lα[P]:

　　

1.L0[P] = ∅，

　　

2.(后继情况)lα+1[P]= PDef(lα[P])∨{P∩lα[P]}，　　

　　

3.(极限情况)Lα[P] = Sβ＜α Lβ[P]。

　　

I L[P]是所有集合X的类，使得X ∈Lα[P]对于某些集合序数α。

　　

I如果P ∩ L ∈ L那么L[P] = L。

　　

I L[R] = L对L(R)，除非R ⊂ L，否则l不是l

　　

引理

　　

对于每个集合X，存在一个集合P使得X∈ L[P]。

　　

这相当于选择公理。

　　

正规超滤器和L[U]

　　

定义

　　

假设U是δ上的一致超滤器。

　　

那么U就是正常的超滤if对于所有函数，f : δ → δ，if

　　

I {α ＜ δ f (α) ＜ α} ∈ U，

　　

那么对于一些β ＜ δ，

　　

I {α ＜ δ f (α) = β} ∈ U。

　　

δ上的正规超滤器必然是δ-完备的。

　　

定理(库宁)

　　

设δ1 ≤ δ2，U1是δ1上的正规超滤子，U2是α

　　

δ2上的正规超滤子。

　　

然后:

　　

I L[U2] ⊆ L[U1]如果δ1 = δ2，那么

　　

I L[U1] = L[U2]和U1 ∩ L[U1] = U2 ∩L[U2]。

　　

如果δ1 ＜ δ2，则存在一个初等嵌入j :L[U1] → L[U2]。

　　

L[U]是L的推广

　　

定理(银)

　　

假设U是δ上的正规超滤子。

　　

然后在L[U]中:

　　

I 2

　　

λ = λ+对于无限基数λ。

　　

如果存在实数的射影良序。

　　

定理(库宁)

　　

假设U是δ上的正规超滤子。

　　

那么δ是L[U]中唯一可测的基数。

　　

这将斯科特定理推广到L[U]，因此:

　　

I V 6= L[U]。

　　

弱扩张模型

　　

定理

　　

假设N是一个传递类，N包含序数，并且n是ZFC的典范。

　　

那么对于每个基数δ，下面是相当于

　　

I N是δ is超紧的弱扩张模型。

　　

对于每个γ ＞ δ，存在一个δ-完全正规在Pδ(γ)上超滤U，使得

　　

I N ∩ Pδ(γ) ∈ U，

I U ∩ N ∈ N。

　　

如果δ是超紧基数，那么V是弱扩张子

　　

δ的模型是超紧的。

　　

为什么选择弱扩展器型号？

　　

基本论点

　　

如果在超级契约的水平上有L的推广

　　

那么它应该存在于一个弱扩展的版本中

　　

δ的模型对于某些δ是超紧的。

　　

我假设U是Pδ(γ)上的δ-完全正规细超滤子，这样

　　

那个δ+ ≤ γ，且使得γ是正则基数。然后:

　　

I L[U] = L。

　　

通过限制U，我设W是γ上的诱导一致超滤子到“sup函数”是1对1的集合Z。然后:

　　

I L[W ]是1可测基数的Kunen内部模型。

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型。

　　

我接着说:

　　

I N具有δ-逼近性质。

　　

I N具有δ-覆盖性质。

　　

推论

　　

设N是δ的弱扩张模型是超紧的，设　　　　

A = N ∩ H(δ+).然后:

　　

I N ∩ H(γ)在H(γ)中是(一致)可定义的

　　

强极限基数γ ＞ δ。

　　

I N是从aσ2-可定义的。

　　

超级紧性的弱扩张模型的理论是v的一阶理论的一部分。

　　

我没有必要在理论中工作。

　　

δ is超紧的弱扩张模型接近V

　　

高于δ

　　

定理

　　

假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且

　　

γ ＞ δ是单数基数。然后:

　　

I γ是n中的单数基数。

　　

I γ+ = (γ+)

　　

名词（noun的缩写）

　　

这个定理强烈地表明:

　　

斯科特的定理不能推广到任何情况

　　

在δ的某些弱扩张模型中成立的公理是超级紧，对于任何δ。

　　

因为δ的弱扩张模型是超紧的

　　

远离v。

　　

普遍性定理

　　

下面的定理是普遍性的一个特例

　　

弱扩张模型定理。

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型，

　　

α ＞ δ是一个序数

　　

j : N ∩ Vα+1 → N ∩ Vj(α)+1

　　

是使得δ ≤ CRT(j)的初等嵌入。

　　

然后j ∈ N。

　　

一.结论:斯科特的观点不能一概而论

　　

定理对任何公理成立在一些弱扩张

　　

δ的模型是超紧的，对于任何δ。

　　

δ以上的大基数是向下绝对到弱

　　

δ is超紧的扩张模型

　　

定理

　　

假设N是δ的弱扩张模型是超紧的。

　　

κ ＞ δ,

　　

κ是一个可扩展的红衣主教。

　　

那么κ是n中的可扩展基数。

　　

(草图)设A = N ∩ H(δ+)并固定一个基本嵌入

　　

j : Vα+ω → Vj(α)+ω

　　

使得κ ＜ α，并且使得CRT(j) = κ ＞ δ。

　　

I N ∩ H(γ)在H(γ)中是一致可定义的极限基数γ ＞ δ+。

　　

这意味着j(N ∩ Vα+ω) = N ∩ Vj(α)+ω，因为j(A) = A。

　　

I因此由普遍性定理，j (N ∩ Vα+1) ∈ N

　　

马吉德对超级紧凑的描述

　　

引理(马吉德)

　　

假设δ是强不可达的。那么下面是相当于

　　

(1) δ是超紧的。

　　

(2)对于所有λ ＞ δ，存在δ ＜ λ ＜ δ和一个初等

　　

把...嵌入

π : Vλ¯+1 → Vλ+1　

　　

使得CRT(π) = δ，并且使得π(δ ) = δ。

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型，

　　

κ ＞ δ，并且κ是超紧的。

　　

那么N是κ is超紧的弱扩张模型。

　　

太近没用？

　　

也是超级复杂的弱扩展模型

　　

接近V是任何有用的搜索推广

　　

l？

　　

定理(库宁)

　　

不存在非平凡的基本嵌入　

　　

π : Vλ+2 → Vλ+2.

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型

　　

并且λ ＞ δ。

　　

那么就不存在非平凡的初等嵌入

　　

π : N ∩ Vλ+2 → N ∩ Vλ+2

　　

使得CRT(π) ≥ δ。

　　

也许不是

　　

超级密集的弱扩展模型可以在一个关键的意义上，与V相差甚远。

　　

定理(库宁)

　　

以下是等效的。

　　

1.l远离V(如在詹森二分法定理中)。

　　

2.存在一个非平凡的初等嵌入j : L →L。

　　

定理

　　

假设δ是一个超紧基数。

　　

那么δ is存在一个弱扩张模型N

　　

超级紧凑以至于

　　

ω ⊂ N

　　

I存在一个非平凡的初等嵌入j : N → N。

　　

I这个定理表明了在普遍性中的限制

　　

关于CRT(j)的定理是必要的。

　　

HOD二分法(完整版)

　　

定理(HOD二分法定理)

　　

假设δ是可扩基数。然后是下面的一个保持。

　　

(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。

　　

此外:

　　

I HOD是δ is超紧的弱扩张模型。

　　

(2)每个正则基数κ ≥ δ在HOD中都是ω-强可测的。

　　

此外:

　　

I HOD不是λ is超紧的弱扩张模型，对于任何λ。

　　

如果没有弱扩张子，λ的模型N是超紧的吗

　　

⊆·霍德，对于任何λ。

　　

无条件的推论

　　

定理

　　

设δ是可扩基数，κ ≥ δ，κ是α可测基数。

　　

那么κ是一个可测量的基数。

　　

诉诸霍德二分法定理的两种情况:

　　

I情况1: HOD接近v .那么HOD是弱扩张子

　　

δ的模型是超紧的。

　　

应用(一个更简单的)普遍性定理。

　　

I情况2: HOD远离v .那么每个常规红衣主教

　　

κ ≥ δ是HOD中可测的基数；

　　

因为κ是ω-在HOD中强可测的。

　　

公理V =终极-L

　　

V =极限-L的公理

　　

在红衣主教中有一个适当的等级。

　　

对于每个σ2句子的ϕ，如果ϕ在v中成立，则有一个贝尔普遍设定了一个⊆ R

　　

哈朵

　　

|= ϕ.

　　

斯科特定理和V = L的拒绝

　　

定理(斯科特)

　　

假设V = L。那么就没有可测量的基数。

　　

关键问题是

　　

斯科特定理可以推广到公理吗

　　

V =终极-L？

　　

如果是这样，那么我们必须拒绝公理V=终极-L。

　　

V =极限-L和γ∞的结构

　　

定理(V =极限-L)

　　

对于每个x ∈ R，存在一个⊆ R这样的泛贝尔集

　　

那x–舒适(α、r).

　　

我假设在红衣主教中有一个适当的等级

　

对于每个x ∈ R，存在一个⊆这样的泛贝尔集

　　

x ∈ HODL(A，R).

　　

这通常产生最简单的可能的良序真正的。

　　

如果这意味着⊂·霍德。

　　

问题

　　

一些大的基本假设是否意味着一定存在

　　

x ∈ R使得

　　

x ∈/ HODL(A，R)

　　

对于任何通用的贝尔集？

　　

V =极限-L和γ∞的结构

　　

引理

　　

假设在红衣主教中有一个适当的伍德类

　　

α，B ∈ P(R)都是泛贝尔。那么下面是

　　　

相当于。

　　

(1) L(A,R) 是 L(B,R)。

　　

(A,R) ≤ ≤ ≤ L(B,R)

　　

推论

　　

假设在红衣主教中有一个适当的类

　　

⊆是一个普遍的名字。然后

　　

⊂·霍德。

　　

推论(V =极限-L)

　　

设γ∞是⊆ R的所有泛贝尔集的集合

　　

I则γ∞δ = P(R)∩L(γ∞，R)。

　　

投影密封定理

　　

定理(无条件投影密封)

　　

假设在红衣主教中有一个适当的类

　　

V[G]是v的一般扩展。

　　

我然后Vω+1 ≺ V[G]ω+1。

　　

我假设Vω+1 ≺ V[G]ω+1为v的一般扩张。那么

　　

实数不存在射影良序。

　　

定理(马丁-斯蒂尔)

　　

假设红衣主教中有无限多的伍德。然后对每个人

　　

n ＜ ω存在一个模型M，使得:　　

　　

(1) M = ZFC +“存在n-多个伍德红衣主教”。

　　

(2) M = ZFC +“存在实数的射影良序”。

　　

强基数和条件投射密封

　　

假设δ是一个伍德因基数。然后:

　　

I Vδ = ZFC +“有一类适当的强基数”

　

因此:

　　

我ZFC +“有一个适当的类强大的红衣主教”不能

　　

证明投影密封。

　　

定理(条件投射密封)

　　

假设δ是强基数的极限，V[G]是一般的

　　

δ可数的V的扩张。　

　　

设V[H]是V[G]的一般扩张。

　　

我然后V[G]ω+1 ≺ V[H]ω+1。

　　

我因此崩溃后的限制强枢机主教

　　

可数，一个获得投影密封。

　　

我γ∞可以被密封吗？

　　

γ∞的一个封闭定理

　　

注释

　　

假设V[H]是V的一般扩展，那么

　　

I Γ∞

　　

H = (Γ∞)　

　　

V [H]

　　

在RH = (R)中

　　

在[H]中.

　　

定理(条件γ∞密封)

　　

假设δ是一个超紧基数，有一个

　　

红衣主教中的真类。

　　

假设V[G]是V的一般扩张，其中(2δ)

　　

v是可数的。

　　

假设V[H]是V[G]的一般扩张。

　　

我接着说:

　　

是 I γ∞

　　

G = P(RG ) ∩ L( Σ∞G，RG)。

　　

如果有一个初等嵌入

　　

j:L(γ∞)G, RG ) → L( Γ∞H，RH)。

　　

一个无条件的γ∞密封定理怎么样？

　　

自然的推测

　　

通过与投影密封定理的类比，应该有

　　

一些大的基本假设足以证明:

　　

I无条件γ∞密封。

　　

但是:

　　

如果一些大的基本假设证明了这一点

　　

Iγ∞= P(R)∩L(γ∞，R)

　　

那么公理V =终极-L就是假的。

　　

所以有可能推广斯科特定理

　　

公理V =终极-L。

　　

是否有一个潜在的途径来证明没有

　　

斯科特定理到公理的推广

　　

V =终极-L？

　　

终极L猜想

　　

终极L猜想　

　　

(ZFC)假设δ是可扩基数。然后(可证明地)

　　

有一个传递类N，使得:

　　

1.n是δ是超紧的弱扩张模型。

　　

2.N = "V = Ultimate-L "。

　　

终极L猜想意味着没有一般化

　　

斯科特定理到V =极限-L的情形。

　　

我通过普遍性定理。

　　

终极L猜想是一个数论陈述

　　

如果它是一个存在陈述，那么如果它是不可判定的，那么它一定是存在的假的。因此:

　　

I它要么是真的，要么是假的(它不可能是无意义的)。

　　

我就是喜欢霍德猜想。

　　

终极L猜想暗示了一个稍弱的版本

　　

霍德猜想。

　　

周二讲座的摘要

　　

从大的基本假设出发，有一系列定理

　　

这表明:

　　

I V = L的某个版本为真。

　　

此外:

　　

这些定理变得比大基数大得多

　　

假设增加。

　　

大基数是v结构的放大器。

　　

基于这一主题的自然推测

　　

人们应该能够用一些基本公理来扩充大的基本公理

　　

V = Ultimate-L的简单结果实际上

　　

我恢复了V =极限-L，

　　

我为一个论点奠定了基础

　　

V =终极-L为真。

　　

紧密嵌入和有限生成模型

　　

定义

　　

假设M，N是传递集，M = ZFC，并且

　　

π : M → N

　　

是初等嵌入。那么π接近于M，如果对于每个

　　

X ∈ M和每个α ∈ π(X)，

　　

{Z ∈ P(X) ∩ M α ∈ π(Z)} ∈ M。

　　

定义

　　

假设N是传递集，使得

　　

n = ZFC+“V =荷德”。

　　

那么N是有限生成的，如果存在一个∈N，使得每个

　　

N的元素可由α定义。

　　

为什么是紧密嵌入？

　　

引理

　　

假设M，N是传递集，

　　

M = ZFC + “V =小时”，

　　

并且M是有限生成的。

　　

我想

　　

I π0 : M → N

　　

I π1 : M → N

　　

是基本嵌入，每个嵌入都接近m。

　　

然后π0 = π1。

　　

我在没有紧密要求的情况下，得出了这

样的结论

　　

π0 = π1可以失效。

　　

弱比较

　　

定义

　　

假设V = HOD。那么弱比较成立

　　

x，y ≺σ2 v以下成立，其中MX是传递崩溃

　　

X和MY的是Y的传递折叠。

　　

我假设MX和MY是有限生成的模型

　　

ZFC，MX δ=我的，还有

　　

I MX ∩ R = MY ∩ R。

　　

那么存在一个传递集M #

　　

、和初级

　　

嵌入

　　

I πX : MX → M∗

　　

I πY : MY → M∗

　　

使得πX接近MX，πY接近MY。

　　

为什么弱对比？

　　

我由休恩菲尔德的绝对性定理得出的结论是

　　

弱比较是绝对的。

　　

一、弱比较在当代

　　

l的推广。

　　

弱比较看起来难

　　

总结:

　　

I弱比较提供了一个很好的测试问题

　　

将L推广到大型基数层次结构的级别。

　　

问题

　　

假设有一个超紧基数且V = HOD。

　　

我可以弱比较持有吗？

　　

I(猜想)V =终极-L暗示弱比较。

　　

戈德堡的超能力公理

　　

注释

　　

假设N = ZFC是ZFC的内模，U ∈ N和

　　

N = "U是可数完全超滤子"

　　

I NU表示Ult0(N，U)的传递折叠

　　

国际j普通U:N → NU表示相关的ultrapower嵌入。

　　

定义(超能力公理)

　　

假设U和W是可数完全超滤子。然后

　　

存在W∑VU和U

　　

∑∈VW使得以下成立。

　　

(1)VU = " W∑1

　　

是可数完全超滤器”。

　　

(2) VW = "U∗

　　

是可数完全超滤器”。

　　

(3)(VU)W∫=(VW)U∫。

　　

(4) jVUW* □j

　　

五U = jU * □jVw。

　　

如果V = HOD，那么(3)就意味着(4)。

　　

弱比较和超幂公理

　　

Ultrapower公理简单地断言合并

　　

V的超幂在可数完备下成立

　　

超滤器。

　　

如果没有可测量的基数，那么超能力者

　　

公理通常成立

　　

因为每个可数的完全超滤子都是主的。

　　

定理(哥德堡)

　　

假设V = HOD并且存在

　　

十. ≺σ2五世

　　

使得MX = ZFC，其中MX是x的传递折叠

　　

假设弱比较成立。

　　

我认为超能力公理成立。

　　

如果X不存在，那么弱比较成立。

　　

我如果有一个超级紧凑的红衣主教，甚至只是一个强大的

　　

红衣主教，那么X一定存在。

　　

强紧基数

　　

定义

　　

假设κ是不可数的正则基数。那么κ是α

　　

强紧基数如果对于每个λ ＞ κ存在一个

　　

在Pκ(λ)上超滤U，使得:

　　

1.u是κ-完全超滤子，

　　

2.u是一种优良的超滤器。

　　

每个超紧基数都是强紧基数。

　　

一个自然的问题马上出现了:

问题

　　

假设κ是强紧基数。必须是一个

　　

超级紧凑红衣主教？

　　

梅纳斯定理

　　

定理(Menas)

　　

假设κ是可测基数，κ是强基数的极限

　　

紧凑型红雀。

　　

那么κ是一个强紧基数。

　　

引理

　　

假设κ是一个超紧基数，设S是

　　

γ ＜ κ，使得γ是可测基数。

　　

那么S是κ的平稳子集。

　　

推论(中东北非)

　　

假设κ是最小可测基数，它是

　　

超级紧凑的红衣主教。

　　

如果κ是强紧基数，而κ不是

超级紧凑红衣主教。

　　

超幂公理和强紧基数

　　

一、马吉德的身份危机定理:

　　

定理(马吉德)

　

假设κ是一个超级紧基数。然后是一个(类)

　　

V的一般扩展，其中:

　　

I κ是一个强紧基数。

　　

我κ是唯一可测量的基数。

定理(哥德堡)

　　

假设超幂公理，对于某些κ:

　　

I κ是一个强紧基数。

　　

我不是超级红衣主教。

　　

那么κ是超紧基数的一个极限。

I . ultra power公理解决了“身份危机”。

　　

根据Menas定理，这是最有可能的。

　　

超能力公理和GCH

　　

定理(哥德堡)

　　

假设超幂公理和κ是一个超紧

　　

红衣主教。

　　

我接着2

　　

λ = λ+对于所有λ ≥ κ。

　　

I超幂公理在V和V[G]之间是绝对的

　　

所有相关布尔代数为的泛扩张

　　

低于v的最小强不可达基数的基数。

　　

因此，超能力公理甚至被大大扩充了

　　

主要假设不能暗示以下任何一个:

　　

一、连续统假说。

　　

I V = HOD。

　　

超级紧凑的红衣主教和HOD

　　

引理

　　

假设κ是一个超紧基数，V = HOD。然后

　　

Vκ = "V = HOD "

　　

反之不成立:如果κ是超紧的

　　

Vκ = "V = HOD "

那么V δ= HOD就能hold住。　　　　

　　　　

然而，如果另外κ是一个可扩展的基数，那么

　　

必然地

　　

V = HOD。

　　

超幂公理和HOD

　　

定理(哥德堡)

　　

假设超幂公理，κ是一个超紧基数，并且

　　

V =小时。

　　

然后:

　　

I对于所有正则基数γ ≥ κ，

　　

H(γ++) = HODH(γ++)

　　

更准确地说，

　　

I每个集合x ∈ H(γ++)可在H(γ)中定义++)从一些α ＜ γ++.

　　

I V = HOD。

　　

因此，在超能力公理的背景下，存在

　　

一个超级紧凑的基数极大地扩大了假设

　　

V = HOD通过给出:

　　

一个统一的本地版本，必须持有以上

　　

超级紧凑红衣主教。

　　

我只是喜欢GCH，这是最好的可能。

　　

HODA和伏彭卡定理

　　

定义

　　

假设A是一个集合。HODA是所有集合X的类，使得

　　

存在α ∈阶和M ⊂ Vα，使得

　　

1.A ∈ Vα。

　　

2.X ∈ M，M是传递的。

　　

3.M的每个元素在Vα中可由序参数定义

　　

还有一个。

　　

定理(Vopˇ enka)

　　

对于每个集合A，HODA是HOD的集合类属扩展。

　　

一、从集合论地质学的角度看:

　　

我每套一个，HOD是HODA的地面。

　　

超幂公理和V的理由

　　

定理(哥德堡)

　　

假设超幂公理和κ是一个超紧

　　

红衣主教。假设A是Vκ的良序。

我然后V = HODA。

　　

推论(戈德伯格)

　　

假设超能力公理存在一个超级契约

　　

红衣主教。

　　

然后HOD是v的地面。

　　

V的斗篷的HOD

　　

将所有东西放在一起:

　　

定理

　　

假设超能力公理存在一个可扩展的

　　

红衣主教。设M为v的衣钵。

　　

我然后M = "V = HOD "。

　　

(草图)

　　

I由哥德堡定理可知，V = HODA对于某个集合α

我因此由伏波坚卡定理得出:

　　

如果N是V的底数，那么HODN

　　

是N的底数，所以:

　　

我知道

　　

是v的接地。

　　

I根据乌苏巴的地幔定理，M是v的一个底。

　　

我因此HODM是一个v的地面。

　　

因此我是⊆·霍登，所以M =霍登。

　　

斗篷，V，HOD，和大枢机主教

　　

定理(在哈姆金斯等人之后)

　　

假设V[G]是V的伊斯顿扩张，其中对于每个极限

　　

基数γ，如果vγ≺σ2 v那么g在γ上加一个快俱乐部

　　

+.然后:

　　

I V不是V[G]的一个地。

　　

I V是V[G]的地幔，HODV = HODV [G].

　　

I许多大型枢机主教被保存下来，但是:

　　

I V[G]中没有可扩展的基数。

　　

定理(在哈姆金斯等人之后)

　　

设V[G]是V的向后伊斯顿扩张，其中for

　　

每个强极限基数γ，G在γ处增加一个快速俱乐部

　　

+.然后:

　　

I V[G]是V[G]的衣钵。

　　

我是⊂·霍德夫.

　　

I V的每个可扩基数在V[G]中都是可扩的。

　　

稍微改变G，就可以得到HODV [G] =V。

　　

V = Ultimate-L时V和HOD的地幔

　　

定理

　　

假设V = Ultimate-L，那么:

　　

没有不平凡的理由。

　　

我假设V[G]是V的集合类属扩张。那么

　　

I V是V[G]的衣钵。

　　

定理

　　

假设V = Ultimate-L，那么:

　　

I V = HOD。

　　

一个明显的猜想出现了。

　　

地幔猜想

　　

地幔猜想

　　

假设超能力公理存在一个可扩展的

　　

红衣主教。设M为v的衣钵。

　　

我然后M = "V = Ultimate-L "。

　　

一、终极L猜想与地幔猜想将提供一个强大的基础

　　

论证公理，V =终极-L，是真的，引用

　　

作为理由:

　　

(同一公理的不同方法的)趋同。

　　

(从公理的基本结果中)恢复。　

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