数学论文（建构性公理的多重宇宙观）

注：本章节共分为（1/2）章节！

摘要：我认为普遍持有的V≠L通过最大化位置，它拒绝了可构造性公理V=L，其基础是它是限制性的，隐含地在假定一个绝对背景概念的集合论哲学序数的。相比之下，这一论点似乎在集合的可向上扩展的概念，根据所显示的各种事实集合论的模型通常对V＝L的模型有扩展在更大的集合论宇宙中。

1.简介

集合论者经常在基于它是有限制的。有些人认为我们没有理由这样想。每一个集合都应该是可构造的，或者正如Shelah所说，“为什么他妈的应该是真的吗？”[19] 。假设每个集合都是可构造的，这被视为对集合论可能性的人为限制，也许是错误的。原理一般假设所有结构都是可定义的。此外尽管V=L解决了许多集合论问题，但似乎经常以“错误”的方式解决它们，没有竞争理论的优雅流畅和统一的视野，例如描述性集合的情况V＝L下的理论与射影确定性下的理论进行了比较。

结果，可建构的宇宙变成了反例的病态之地。这是个坏消息，但在我看来，这可能会被忽视，如果不是因为更糟糕的相关消息，V=L不一致具有所有最强的大型基本公理。它们之间的边界可以存在于L中的大基数和不能存在的大基数是阈值集合论的力量，进入无限高境界的入口。自从V=L假设与最大的大基数不一致，它阻止了对该领域的访问，这被认为是不可容忍的限制。

我认为，这种不相容性，而不是定义论或描述性集合论后果论的任何问题，是最尖锐的根源对可构造性公理的突破性反对。设置理论家们根本无法接受一条阻止他们获得最佳结果的公理以及最强大的理论，即概括他们对我们的集合论能够实现和表达什么的梦想。

Maddy[14，15]阐述了数学家在得出这一结论，特别提到最大化格言，说“V=L与最大化相矛盾的观点很普遍，”Drake引用了这一观点，Moschovakis和Scott。斯蒂尔认为“V=L是有限制的，因为采用它限制了我们语言的解释力。”他指出大基数集理论家仍然可以理解V＝L的信徒通过翻译→ξL，但“中没有翻译另一个方向“和那个”加上V=L…只是阻止了我们作为很多问题！”[20] 。在底部，可构造性公理似乎与我们的集合论中的强度不兼容，并且由于我们希望研究这种力量，我们拒绝公理。

让我把这条一般的推理路线称为V≠L通过最大化自变量。本文的论点是V≠L通过最大化在是否存在序数的绝对背景概念的问题上，论点依赖于奇点论，而不是多元论，序数是否可以被视为形成一个独特的完整的整体。

因此，这一论点在宇宙与多元宇宙的辩论中含蓄地站在了一边，我认为如果没有这一立场，V≠L通过最大化论证缺乏说服力。

在[16]中，Maddy给出了V≠L通过最大化论证更结实的结论，基于一种方法，对其进行更详细的数学描述-数学自然主义与最大化思想的运用涉及实现更多同构类型。她从这个论点的“粗略版本”开始：

想法很简单：有一些东西像0♯不在L中。不仅是0♯不在L中；它的存在意味着的存在一个同构类型，在L中任何东西都无法实现…所以它似乎ZFC+V=L是有限制的，因为它排除了额外的ZFC+∃0提供的同构类型♯.[16]对于全面的论点，她引入了对一种理论和另一种理论进行“公平解释”的概念，以及一种理论最大化超过另一个，最终提出了一个理论对是“限制性的”（见第2节中的详细信息），表明ZFC+V=L和正如预期的那样，其他理论在这个意义上是有限制的。

我在这篇文章中的论点是V≠L通过最大化论证假设我们有一个绝对的背景概念序数，即序数构成一个绝对完整的整体。

当然，许多集合论者确实采取了这一立场，尤其是集合论者在加州学校。序数形成一个绝对完整的整体的观点当然遵循了一个密切相关的观点，即存在集合的一个独特的绝对背景概念，集合通过它来积累以形成整个集合论宇宙V，其中每个集合论断言都有一个确定的最终真值。Martin基本上支持这两个承诺在他的分类论点[17]中的等价性，在那里，他论证了集合论宇宙的独特性，这是Zermelo分类论证的现代版本艾萨克森[11]中有很强的相似之处。马丁的论点是基于集合形成阶段的绝对无休止的有序序列的想法，像康托尔那样的“绝对无限”。尽管Martin承认当然有可能对概念的清晰度产生怀疑秩序井然，”[17]，他的论点认为这个概念是尖锐的，只是当我声称V≠L通过最大化参数实现。

让我简要总结一下我在这篇文章中所捍卫的立场，我将在第4节中对此进行更全面的描述。向上延展集合的概念，我们认为任何给定的集合或集合论宇宙的概念都可以推广到一个更好的概念，有更多的集合和较大的序数。也许最初的宇宙甚至变成了扩展宇宙中的一个可数集。在这种观点下，“所有序数的类”，只有相对于特定的集合论宇宙才有意义，因为存在没有期望这些扩展一致或收敛。这个多元宇宙视角与的高阶版本产生共鸣，甚至产生共鸣最大化原则，其中我们不仅最大化存在的集合，但也存在哪些集合理论宇宙。具体来说，当我们可以的时候，一个集合论宇宙拥有所有的序数是有限的想象另一个宇宙将其视为可计数的。从而最大化导致我们期望每一个集合论宇宙不仅应该有扩展，但极其丰富的扩展，满足极其强大的理论，具有全范围的大基数。同时，我认为第3节的数学结果自然地引出了另一个结论，即每个集合论宇宙也应该具有满足特别是，即使我们在中有非常强的大基数公理在我们目前的集合论宇宙V中，有一个更大的宇宙V+。其中前一个宇宙V是可数传递集和公理可构建性的成立。这种观点，通过兼顾两者基数和多元宇宙中的V=L，似乎溶解了主V的推力V≠L通过最大化自变量。当我们可以构造大基数，并且在更大的域中重新保持V＝L。这样一来，V=L不再是限制性的，集合的向上可扩展概念揭示了基数和其他强理论，以及V=L，可能都有多大随着一个人在多元宇宙中的上升而无处不在。

2.麦蒂的提议中出现了一些新问题

尽管我的主要论点只涉及五、V≠L通过最大化位置，而不是Maddy的更具体的在[16]中对此进行说明，在继续我的主要论点之前，我会说明。不过，我想提及这一具体建议中的一些问题。

为了快速总结细节，她定义了一个理论T，表明一个内部模型，如果T证明了Γ定义了一个满足ZFC公理的实例，并且T证明每个序数在真类，或者T证明了存在一个不可访问的基数κ，使得小于κ的序数在类中。下一步，Γ是T在T′中的一个公平解释，其中T扩展ZFC，如果T′证明了Γ是一个内部模型，T′证明了这个内部模型的T公理。一个理论T′在T上最大化，如果存在是T在T′中的一个公平解释，T′证明了这个内部模型不是所有的（假设T′包括ZFC）。正确的理论T′如果它在T上最大化，则在T上使其最大化，但不是相反。理论T′在T上强最大化，如果理论相互矛盾，T′在T上最大化且无一致扩展TT的′′适当地最大化T′以上.所有这一切在她的最后建议中达到了高潮，也就是说理论T是限制性的当且仅当存在一致理论T′那个强烈地最大化它。

让我从一个关于她定义的句法形式的狡辩开始，“显示是一个内部模型”，这实际上需要T来解决内部模型是否包含所有序数的问题仅仅是一个无法接近的基数的所有基数。也就是说，她要求T证明了在第一种情况下，或者T证明了第二种情况，而不是较弱的要求T仅证明在这两种情况中的一种情况下（因此区别在（T⊢A）和（T \88 66; B）之间）和T⊢A∧B）。为了说明这种区别在她的提案中是如何体现的，考虑Inac=ZFC+“存在无限多个不可访问基数”的理论，以及T=ZFC+理论，其中存在一个Mahlo基数或在L中有无数不可接近的基数（我假定不需要进一步说明，这些大的基本理论和其他我提及内容一致。）T的每个模型都有一个Inac的内部模型，要么通过在Mahlo基数处截断（如果有），要么通过到L，如果没有。因此，我们似乎有了Maddy欲望形式的内在模型。

然而，不幸的是，这还不够好，我声称Inac是实际上在T中没有得到公正的解释。要看到这一点，请首先注意T不证明一个不可接近的基数的存在，因为我们可以强迫任何Inac的模型，通过破坏所有不可访问的基数，从而产生没有不可访问基数的T的模型。b因此，如果T显示是内部模型，不能是因为第二个子句，它需要T来证明一个不可接近的基数的存在。因此，T必须证明持有所有序数。但也要注意，T不能证明存在L中无限多个不可访问的基数，因为通过截断我们可以很容易在L中有一个Mahlo基数，上面没有不可访问的基数。

因此，T也不能证明ξ定义了Inac的一个适当的类模型。因此Inac在T中没有得到公正的解释，尽管我们可能希望如此。

当然，这个问题可以通过修改定义来解决的显示了在可证明性下包含析取的内部模型符号，也就是说，通过要求T证明要么Γ保持所有序数，或者它保持所有序数直到不可访问的基数但让我离开这个问题；这并不影响我以后的评论。

我的下一个反对意见是，公平解释的关系是不可传递的，而我们对解释的关系的预先反思的想法会要求它具有传递性。也就是说，我声称第一次理论有公正的解释。

第三，但第一种理论在第三种理论中没有得到公正的解释。在这里是一个显示缺乏及物性的具体例子：

R=ZFC+V=L+没有不可访问的基数

S=ZFC+V=L+存在一个不可访问的基数

T=ZFC+ω1在L中是不可访问的

读者可以很容易地通过在第一个不可访问基数处截断宇宙来验证R在S中有一个公平的解释，而S在T中通过去L有一个合理的解释。此外，S的每个模型都有强迫满足T的扩展，通过L´evy坍缩。同时，我声称R在T中没有公正的解释。原因是T与缺乏不可访问的基数，因此如果T显示出ξ是一个内部模型，那么在任何没有不可访问基数的T模型中，该内部模型必须包含所有的序数。在这种情况下，为了使其具有Rξ模型必须是根据T具有不可访问基数的所有L，因此根本不满足R。所以R在t读者可以构建许多类似的不及物性例子。这个这里的本质是，第一个理论在第二个理论中得到了公正的解释通过截断，第二个在第三个中只能通过包含所有序数的内部模型进行合理解释，但没有办法解释第三个中的第一个，除非同时执行这两个操作，这在中是不允许的截断点仅在内部模型中不可访问的定义而不是在更大的宇宙中。

同样的例子表明，最大化过关系也不是传递性，因为T在S上最大化，S在R上最大化。

上述解释（注意，这些理论是互斥的），但T在R上不最大化，因为R在T中没有公平的解释。类似地，读者可以验证该示例是否显示适当最大化过度和强最大化过度关系也是不可传递。

现在让我再举几个Maddy所说的例子：一种“假阳性”，一种被视为正式限制性的理论，我们没有发现直觉上是限制性的。在我看来，[16]的主要目的是V=L的多元宇宙视角

7.精确的数学实质到一些集合论的直观概念以一种其他人没有的方式显得有限制性。我们看到V=L和'在那里是一个最大的不可访问基数“作为限制，而”有无界许多无法访问的基数似乎是开放的和不受限制的。Maddy出现了一些假阳性，包括Steel的一个例子ZFC+“存在可测量基数”是有限制的，因为它是强的最大化理论ZFC+0†存在+∀α＜ω1Lα[0†]6|=ZFC。L¨owe指出“这个例子可以推广到至少每一个扩展ZFC的大型基数形式的有趣理论。因此，大多数理论在形式意义上是限制性的，”[12]，他在[13]中证明了ZFC本身是形式上的限制性，因为它被ZF+的理论最大化了不可数基数是单数。

我想举一个不同类型的例子，其中包括我认为更具吸引力的是最大化似乎避免的理论对前面的例子所做的反驳假阳性。首先，再次考虑Inac理论，断言ZFC+“是无数无法接近的基数，这是Maddy想要的理论被视为不受限制。设T为断言ZFC+的理论L中有无数无法访问的基数，但在中没有世俗的基数V。'当Vκ|=ZFC时，基数κ是世俗的。世俗是一种削弱，不可接近，因为每一个不可接近的基数都是世俗的，实际上是一个极限世俗的大基数（世界基数）；但与此同时，世界基数不一定是规则的，而普通的世界基数正是难以接近的大基数。

世界基数常常作为难以接近的枢机的替代品，允许人们削弱一个假设的大基数承诺。对于 例如，我们可以实现Grothendieck宇宙公理的大多数用途在范畴论中，用纯粹的世界基数代替不可接近的基数。理论T与Inac是等一致的，因为每个模型Inac的有一个T的类强制扩展。理论Inac有一个公平T中的解释，通过转到L，结果，T在Inac上最大化。

同时，我声称，Inac的任何强化都不会使过度t要看到这一点，假设Inac+包含Inac，并显示出ξ是一个内部模型M满足T。如果M包含所有的序数，那么由于Inac证明不可访问的基数是无界的，M必须包含所有那些不可访问的基数，这些基数将保持不可访问在M中，由于不可访问性是向下绝对的，因此违反T声称世上没有大基数。所以根据公平的定义。

因此，M必须包含所有的序数，直到一个不可访问的基数κ。但在这种情况下，Loweheim-Skolem的论点表明存在一个闭无界集γ＜κ与VγM≺VκM，并且所有这样的γ都是M中的世界基数，违反了T。因此，Inac是通过T强最大化，因此Inac是限制性的。

让我改进这个例子，使其更具吸引力，前提是我们以一种我相信的方式解读了Maddy对“公平解释”的定义。她可能是有意的。问题是，尽管Maddy提到了“截断…”。在不可访问的级别”，她的定义通常由其他人使用了这个短语，尽管她写她的方式很特别定义实际上并不能确保截断发生在不可访问的级别。具体来说，在截断的情况下，她写道T应该证明了存在一个不可访问基数κ，其中α（α＜κ→ξ（α））。

但这种暗示应该是双重条件的吗？否则，当然，没有什么能阻止ξ继续超过κ，定义会更大准确地描述为“在不可访问的基数。如果希望允许在不可访问的基数处进行截断，我们为什么要坚持高度应该超过一些难以接近的基数呢？用双条件代替这一含义将确实要确保当内部模型因截断而出现时，它通过在无法达到的基本水平上截断。因此，让我们修改的读数“公平解释”，这样，如果发生截断，就会在一个不可访问的基本水平上进行截断。在这种情况下，像以前一样考虑Inac理论，并让MC*作为ZFC+的理论，有一个可测量的基数，没有世界基数。通过截断一个可测量的基数，我们产生一个Inac的模型，因此MC*提供了对Inac的公平解释，因此MC*比Inac最大化。但没有持续加强Inac可以最大化超过MC*，因为如果V|=Inac并且W是内部模型满足MC*的V，则W不能包含V的所有序数，因为不可接近的大基数在W中是世俗的，高度也不可能W在V中是不可访问的，因为如果κ=WåOrd在V中不可访问，那么通过Lowenheim-Skolem论证，必须存在的闭无界集γ＜κ使得Wγ≺W，这将导致无限多的世俗W中的基数，与MC*相反。因此，关于公允价值的修改定义解释，我们得出结论，MC*强最大化超过Inac，以及因此Inac受到限制。

可以使用ZFC+理论来构造类似的例子一类适当的可测量基数，通过SC*=ZFC+'存在一个没有世界基数的超紧基数高于它”。在超压缩基数上截断生成的模型前一理论，但前一理论的任何强化都无法显示SC*在内部模型中，由于的无限多个可测量基数以前的理论阻止了SC的任何适当类模型的显示*和SC最终缺乏世界基数*阻止其显示在ZFC的任何模型的不可访问级别的任何截断中。将这些例子的格式将是ZFC+“这是一个适当的大类LC'和T=ZFC+'型的基数存在LC的不可访问极限基数，世界基数。”这样的例子适用于任何暗示世界基数的大型基本概念LC，对截断是绝对的在难以接近的水平上，这与上面缺是一致的。

几乎所有（但不是所有）标准的大基数概念都有这些功能。

Maddy拒绝了一些误报，理由是所涉及的强最大化理论是一个“哑弹”理论，如ZFC+Con（ZFC）。以上是理论吗，MC*和SC*，在这个意义上的花花公子？

似乎很难说他们是。由于各种原因，集合论者通常考虑具有大基数的最大实例的集合论模型并且上面没有大的基数（通常通过截断来获得这样的模型），以便于某些构造。事实上，截断的想法宇宙在一个无法接近的基本层面上位于麦迪的中心定义。但当一个人取而代之的是对世界基数进行删减。理论MC*可以获得从任何可测量基数的模型中，通过截断至少世界基数在上面，如果有的话。但此外，不必截断所有：可以强制MC*通过非常温和的强迫。首先，添加一个闭无界的基数类C，其中包含世界基数，然后执行伊斯顿强制，以确保2γ=δ+的强迫扩展，只要γ是正则的，δ是下一个γ以上的C元素。重点是，这种强制将确保连续函数γ7→2γ跳过以前世界基数，所以他们将不再是世俗的（也不会产生新的世界基数）。

如果在可测量的基数κ之上开始这种强迫，那么可以保持那个可测基数，同时杀死了世界基数。

（就SC而言*，应该先做超压缩基数Laver坚不可摧。）因为我们可以获得MC*和SC*通过从大型基数模型到强制扩展，其中所有先前的上下文而且力量似乎仍然存在，这些理论在任何显而易见的方式。然而，理论MC*和SC*是限制性的，当然，在Maddy的项目所关注的直观意义上。

但反对这些理论是无用的，理由是它们是限制性的是放弃整个项目；重点是给予我们的“限制性”概念的确切实质，这将引出一个问题，定义一个理论是限制性的，如果它被一个理论强最大化这不是“限制性的”

3.V=L与强度兼容的几种方式

为了支持我的主要论文，我接下来想调查一系列数学结果，其中大部分是集合论民科的一部分揭示了可构造性公理V=L与集合论中的强度相容的各种意义，特别是如果人们考虑到从一个集合论的宇宙移动到一个更大的宇宙的可能性。

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