数学论文（Woodin基数的存在）

摘要

20世纪80年代以来关于投射确定性和ADL的研究(❘)的概念，Woodin基数已被视为大基数理论的核心以及内部模型理论。Woodin本人对背景假设的使用在许多论点中，宇宙无限地包含许多这样的基数再次提请注意这一概念的中心地位。众所周知，反射原理只能追溯到更古典的时代提供与V=L一致的大基数，而不是这样的资金Woodin证明的关于集强迫下绝对性的定理。我们在这里讨论了一个由弱亚紧性导出的反射原理暗示了一类适当的可测量Woodin基数的存在-因此为Woodin的许多绝对性提供了充分的背景假设他的工作成果。

1.简介

这篇文章现在已经不是伍丁基数概念起源的历史了，以他的名字命名，这是用于建立Projective的论点的核心Martin和Steel以及Woodin本人为ADL撰写的《确定性》(❘)；这段历史被讲述了其他地方——例如参见[9]。Woodin基数的普遍性通过今天的文学不仅在确定性问题上，而且在许多一致性问题上我们用来度量集合论对象强度的结果。但事实并非如此由于无限多的Woodin基数解决可定义问题的力量确定性（无论是PD还是ADL(❘)形式）或正如Woodin所写[24]给出了一个尽可能好的可遗传可数集理论HC，尽可能多，但在整个对于他的许多人和其他人来说，平凡是一种同样不公平的背景假设。例如，致力于建立我们宇宙许多性质的绝对性，最典型的是通过集合大小的强迫，想象宇宙V的一般扩展概念。

如果ZFC的标准公理上的“不完全性的减少”是通过采用新的公理来实现，如果我们试图充分证明那些公理，然后为一个产生一类适当的Woodin基数的公理辩护是一个很好的起点。让UW缩写这个公理（对于无穷多Woodin cardinals）。

我们能有什么集合或集合宇宙的概念来实现这一点我们ZFC可以也应该延期，这是G著名的辩护

¨

[7]中的模型它现在是一个经典的轨迹：

集合论的公理决不能形成一个本身封闭的系统，但是相反，它们所基于的集合的概念本身就表明了它们的可拓性通过断言运算“集”的进一步迭代的存在的新公理的“”…[ZFC公理可以]由新的公理在没有任意性的情况下进行补充它只揭示了集合概念的内容”。

论G词中内在必然性的性质

¨

Model，或的现在可能应该进行内在与外在的论证，但我将通过让读者参考Koellner的文章[10]和讨论来简化这一点。这不是我的打算涉水进入这里。这里的讨论是关于什么可能的“概念set”可能导致UW。

2. Cantonian与Zermelian领域

坎托的发现和进步就像数学家所做的那样：

非形式化的方式（甚至这个短语也不合时宜）。他关于秩序类型和基数世界的观点将以直观的方式形成。

过去有人说康托尔的观点是“天真的集合理论家”，这种描述不像通常使用的那样，而是强调“天真”。然而现在我们意识到。事实上，他非常清楚我们所说的集合/类区分的陷阱。在他职业生涯的不同阶段，他使用了“绝对无限”或大约在Burali Forti（1897）出版的时候——“不一致的多重性”，或者更晚——两者兼而有之。在给Dedekind的一封信中（1899年）[5]：

多重性可能具有这样的性质，即多重性元素的“合一性”（“Zusammenseins”）的假设会导致矛盾，因此不可能将多重性视为一个整体，作为“完成的事情”。这样的多重性我称之为绝对无穷大或不一致多重性。

在这里的段落中，他旨在实现“完成的事情”或一致的事情套。例如，所有alephs的多重性不能构成一个完整的集合和因此不能分配基数。（关于这一概念的讨论，见[8]Zusammensein。）

用今天的行话来说，我们应该称之为“适当的阶级”。这并没有表明康托尔不再认为集合论宇宙是一个“不可分割的整体”，他早些时候打过电话。（另一种描述是，这是一个“绝对最大值”（[4]，第410-411页））。我们不能完全清楚康托尔在以这种预先形式化的方式讨论集合宇宙时的想法，但它显然不同于泽梅洛的景色。泽梅洛最成熟的画面来自于他的[25]。观点是只有集合，并且这些集合满足，让我们在这里说，一阶ZFC（尽管Zermelo关注的是推广二阶观点，并避开了一阶Skolem等人的煽动）。对于Zermelo来说，唯一的收藏品是布景。对于Zermelo当我们进行集合论时，我们的量词范围在话语D的一个领域上。

“悖论”向我们表明，集合D不可能是其自身的一员。因此我们可以将这个域扩大到话语D0的一个更大的域，其中D是一个集合。

因此，用他的话来说，我们有一个永无止境的“正常域”序列二阶ZF的模型，（因此它们的有序高度是强烈不可访问的基数）；这些域的序列可以通过康托序数来索引。

Zermelo谈到了当一个人通过这些领域前进时的“创造性进步”；和我们应该在一些元理论中讨论这样一个域序列。然而这种元理论从未被提出，远远超出了正常域的指示应与Cantonian ordinals保持（1-1）对应关系。

然而，这些不同的观点给了我们至少两幅关于集合宇宙的粗略画面：一幅“潜在主义者”观点——泽梅洛的创造性进步，另一幅“现实主义者”观点-集合的宇宙是一个绝对极大值和一个不可分割的整体。可以讨论这些与任何有关的立场无关的观点柏拉图主义或现实主义。

3.反射

潜势论观点使得它很难适用于大多数类型的反射原理。泽梅洛不能考虑整个宇宙，也不能反思它，因为对他来说总是有可能使宇宙变得更大。这里只能说有无限多的正规域（在Mirimanoff/von Neumann之后，我们现在应该将其识别为Vκ’s），因此有一类适当的强不可访问域大基数。但即便如此，泽尔梅学派的追随者也无法获得反思的结果：陈述“∀α∈On∃β>α（ZF2）Vβ”表达了对所有序数的量化，而这正是这种有机观点所不能做到的。这个然而，通过允许的二阶反射，可以很容易地获得语句整个（‘实际’）宇宙（V，∈）。

通过允许所有集合和所有类的域——正如NBG所说的那样——我们现在能够对所有这些类进行二阶量化，并形成反射产生Mahlo基数的原理，以及二阶不可描述性。的故事。这已经很熟悉了，我们不再重复了。

重点仍然是，所有这些原则只导出与V=L-所以我们可以称之为内部可构造的。

G¨odel表示，他认为所有的大基数都可以通过反射得到：

集合的宇宙不能唯一地刻画（即区分从其所有初始段）的任何内部结构特性它的隶属关系，可以用有限或的任何逻辑表示超限类型，包括任意基数的无穷大逻辑。（ω-[23]）G¨再次建模：

所有建立集合论公理的原理都应该可以归结为阿克曼原理的一种形式：绝对是不可知的。

随着我们越来越强大，原则的力量也在增强集合论的系统。其他原则只是启发式原则。

因此，中心原则是反射原则，据推测将随着我们经验的增加而被更好地理解。（ω——同上）这似乎相当全面，我们对反射原理的经验似乎反对它。一方面是因为Reinhardt特别指出带参数的三阶反射是不一致的，另一方面是由于我们的反射原则仍然停留在可构建的内部。

有人试图通过限制语法来绕过这一障碍：Marshall[14]通过限制来获得更高阶的反射（和大基数）语法。Tait[20]使用基于一定存在性的相对化Cantonian原理条件作为激励条件，这些条件使他能够从句法上定义某些Γ的特征高阶类（m）n对于m≥2（上标表示高阶通用量化必须至多为m阶）。Tait表明对于m=2，Vκ满足Γ（m）n反射意味着κ不可表达（在Baumgartner的定义中），并且κ的可测量性足以表明Vκ满足Γ2.n-所有人的反思这就留下了这样一个问题，即这些原则是否具有额外的可建构性。Koellner对此的回答是否定的，他表明如果κisκ（ω）-Erd⑪os那么每n Vκ满足Γ2.n-反思。他进一步否定地回答了泰特提出的问题：Γ（m）原理都是m≥3时不一致。

因此，即使有这种语法约束，这些类反射原理也是要么不一致，要么仍然是可构建的。

Koellner在第4节结束时提出了一个启发式论点，即任何形式的反射相对于大基数一致的原理相对于κ（ω）一致。如果κ是ω-Erd⑪O，那么（Vκ，∈）有一个无限序列的不可分辨I⊆κ。拿κ中I的Skolem外壳H。那么任何保序映射j0:I→I诱导一个非恒等一阶初等映射j:M→M、 其中ZFC模型M是（可数的）H的传递性坍缩。我们有一个类似于（与AC不一致）存在非平凡初等j:V的断言→五、Koellner认为，从一致性证明的角度来看，“从j:V可以证明任何反射→V也应该是可证明的j:M→M.由于反射看起来完全是内部问题，这是认为任何可想象的反射原理都必须具有一致性的理由强度低于κ（ω）。”（我的重点是）嗯，反射完全是内在的吗？

课题我将在这里提出的观点是，事实并非如此。它是，或者可以是加宽为，一个包含整体的Gesamtauffsung，由两者组成康托尔集合和绝对不定式。如果是这样，那么这不是内部的，我们有希望寻找可构建的原则。

4.阿克曼的境界与反思

由阿克曼提出的另一个集合论[1]在20世纪50年代被引入并研究60年代。阿克曼集合论A提供了一个具有可拓判定的宇宙实体（类）和谓词▪五、对于集罩：“x∈V”。除了可拓性的公理、类构造方案和集完备性（“所有的类集合的子类是集合”），它包含以下关键原则：

•（阿克曼主要原理）如果X⊆V仅使用设定参数即可定义，并且不使用谓词▪五、，则X∈V。因此，如果θ不包含V：

x∈V∧∀t（θ（x，t）−→t∈V）−→ ∃z∈V∀t（t∈z↔θ（x，t））

阿克曼解释了康托尔的“通过一个集合，我们理解任何确定性的集合不同的对象。。。变成一个整体”“我们必须从已经定义的集合中要求它们是确定的，并且充分微分的，因此整体[成为set]只打开它，它必须足够清晰地界定属于什么属于一个整体和不属于它的东西。然而，现在的概念布景是完全开放的。”（阿克曼[1]第337页）。

事实上，莱因哈特在阿克曼认为集合本身的概念没有明确界定（[17]，p190-1），推测直觉Ackermann的主要原理背后是一个清晰定义的集合是一个集合，并且，给定集合x，性质't是一个集合，使得θ（x，t）'独立于集合概念的（扩展），但给出集合的一个充分条件以清晰地界定。因此，我们看到，另一方面，收藏品不是足够好的区分，如果它是通过它与的概念的关系来定义的。设置阿克曼的引用继续（转述）在康托尔的定义其目的是，收集应仅根据具体情况进行调查它是否代表一个集合，并不意味着它是一次性确定的类，无论它们是否为集。

Levy，Vaught[12]将Foundation添加到A中，称之为A*.那么A*相对于A是一致的，并证明了类的存在性：{V}，{{V}}，P（V），PP（V）。

因此A*中V上的类超越无限多种类型。这个因此，图片与一阶、甚至二阶ZF在质量上是不同的。但是：

Levy通过考虑形式为hVα，∈，Vβi的A*的模型。论文[11]显示那个A*是L▪∈-ZF:A*`σV上的保守性=⇒ZF`σ。

Reinhardt在[17]中也证明了这最后一个结果的反蕴涵；因此把这些放在一起，A*的既定理论内容一直只是ZF的理论内容。

因此，需要注意的是，两种截然不同的概念——一种导致ZF的形式化，另一个是阿克曼的形式化——有着相同的内容严格考虑的集合部分是有关的。他在[18]（和[19]）中考虑了一些想法这涉及到在康托尔宇宙V之外拥有一个“想象的领域”，他写成VΩ.他想象着有课，比如P，然后这些课被“投影”到想象为jP的领域。类和集合之间的区别在于投影后者的是它们自己，而前者中的一个包含了更多的想象集合和序数。五、Ω它本身就是这个投影宇宙中的一个想象集合。还没开始。

此外，他想象了一个类型化的层次结构Ω-类的高达一些λ＞Ω,和收集这些加在一起作为Vλ，他将Vλ投影到某个虚拟领域Vλ0中。他制定了一个可扩展性原理E0(Ω,λ；Ω0，λ0）：

（i）Ω ＜jΩ = Ω0＜λ0。

（ii）∀x∈VΩjx=x；

（iii）j:（Vλ，∈）→∑ω（Vλ0，∈）。

当然，随着我们朝着α-可扩展基数的定义。在所有这些理论中，形成了V之外的一些“领域”、“宇宙”等概念。

我们提到了（V，∈）向上投影的Reinhardtian观点与即将到来的全球反射原则形成对比。

5.全球反思

如果我们正在考虑集合宇宙的从头算概念，那么我们可以按以下步骤进行。

所谓“集合宇宙的概念”，我们在这里指的是类似于的概念“集合结构的概念”在Martin的集合概念[15]的一个版本中。他写对他来说，现代迭代概念有四个重要组成部分：

（1） 可拓性的概念

（2） x集合的概念

（3） 超限迭代的概念

（4） 绝对无穷大的概念。

他认为集合的概念是“结构主义结构”的概念，因此不必添加任何关于集合是什么样的事物的内容。我们采用这个在此处查看。（对于结构主义结构的哪种风格，马丁保持沉默在这里发挥作用。）“集合结构”是通过迭代概念“集合”而获得的的绝对无限多次。

还是在正式之前的某个阶段，他采用了一些包含既定理论原则（外延性、理解性）的非正式公理，并进行了排练回到Zermelo的范畴性论点，对于任意两个V1=（V1，∈1），V2=（V2，∈2）通过在所有序数的绝对无穷大上迭代模型的Vα函数得到，我们有一个同构π：（V1，∈1）→（V2，∈2）。简言之无论我们对什么样的精确集合形成过程的看法“x的集合”，我们最终得到同构的宇宙。因此，作为集合论者，我们应该与我们每天所做的一样，不要再关注“x的集合”究竟是什么或“∈”到底是什么的奥秘，而是简单地指集合论宇宙。

如（V，∈）。但我们稍后会进一步指出πOnV1：OnV1～=OnV2，其中OnVi是模型Vi中von Neumann序数的绝对无穷大。

然后，我们进行如下工作。我们认为集合的宇宙V（如上所述，是唯一的直到这个非正式的同构论点）作为纯的域的宇宙数学话语：无论数学家需要什么数学对象，都有在V中是（的同构副本）这样的。事实上，我们把集合本身视为数学对象。正如我们所知，必然存在V之外的实体，其中这里“必然性”的形式是“逻辑必然性”：逻辑要求罗素类，或者序数的类，或者实际上V本身不是一个集合。我们吞下康托尔药丸有两种实体：数学话语集和绝对话语集无限。

然而，我们与冯·诺依曼不同，他在发展他的函数作为类理论时，似乎以同样的“数学”精神对待这两种实体（见[21]，[22]）：他的类服从数学定律。我们画了一条更坚定的概念线，并且不在这样的数学函数中处理绝对无限方式在Leon Horsten的一篇论文中，我们最近讨论了在类的形式理论发展之前对类的可能解释。我们排除了一个理论作为复数的类：复数，在任何情况下都是一种语言结构，不应该在本体论上给我们所拥有的对象，即集合添加任何东西。然而我们确实有更多，V不仅仅是“一些集，所以x=x”。我们承认课程是进入结构性争论的实体，不必有任何表面证据描述为多个。然而，对绝对不定式的字面描述，如作为V的一部分，即所有集合的绝对无穷大，使我们能够给出足够的实质而不将它们与任何语言或语法绑定。我们可能会接管修辞理论，如Lewis[13]，并将其应用于V及其各部分。

（我们必须做出一些调整：Lewis对∅和x{x}图持怀疑态度；但我们将忽略这些，并将我们的部分理论视为识别集合x的理论也称为“小”部件。）因此，我们将集合和集合元素关系视为给定的：

我们并没有试图改变我们对集合的概念。Lewis认为部分关系在一定程度上有助于我们理解集合元素关系，但我们不是致力于后一种关系到底是什么。

因此，如果稍后我们将我们的形式化，我们可能会想到二阶量词概念，如V的各个部分。它不应该将V的部分与任何特定的语言结构：而复数可以在某些情况下解释极小NBG模型位于（V，∈）之上，一个表面论观点可以与一个凯利·莫尔斯的形式类理论，但其本身并没有限制绝对性存在的无穷大。怎么可能呢？还应该注意的是，集合或“部分集合”或任何可能构建类的分支层次结构的类似集合beyond On：幂集运算，将集合的所有子集集合为集合是应用于集合的数学运算。我们对发电机组运行的验收并不要求我们支持“权力绝对无限”的操作。坚持我们必须考虑这样一个运算，如果我们对集合假定它，类似于坚持如果我们的（物理的、时空的）宇宙是有限的，那么“一定有超越它的东西”。

我们用C表示V的部分的集合。我们识别V的部分，这些部分是集，就像它们自己集一样。V的其他部分是绝对不定式。则（V，∈，C）是“康通主义话语”的领域。诚然，C继承了绝对无限概念的不可表述性。最初，C会填充以下示例我们所熟悉的、由早期研究人员定义的绝对无穷大。但我们并不坚持限制在这种可定义性范围内。（我们兑现这句话我们先前提出了“x的集合”的两个可能概念导致同构的宇宙V1=（V1，∈1），V2=（V2，∈2），它们之间具有同构π，这特别局限于V1的序数的绝对无穷大之间的同构映射与V2的那些。同样的论点表明，“V1的部分”会转移到的部分我们可以很清楚地将同构推广到π：（V1，∈1，C1）→（V2，∈2，C2）。在里面换句话说，“集合”的两个不同概念不能导致本质上不同的模型当它们的部件也包括在内时。此外，我们查看集合和类的内容，这种同构类型所捕捉的理论思想。）

我们想推翻莱因哈特的方法，并将其彻底推翻：而不是投影到某个“虚拟领域”中，我们将结构（V，∈，C）映射到某个集合大小本身的一部分。所采取的方法是，我们认为（V，∈，C）与它的一个初始段绝对不可区分。然而，也有可能将不可区分性视为反射特性更有限的光谱的终点我们首先概述。

定义1（有限全局反射）存在κ∈On，存在j≠id具有crit（j）=κ和D⊆Vκ+1使得：

j:（Vκ，∈，D）−→∑0ω（V，∈，C）。

在这里，我们认为−→∑0ω表示保持通常一阶语言L的公式的真值的嵌入▪∈，但用二阶自由变量扩充符号▪a.▪b，（我们称之为L+▪∈，为了明确区分语言，我们应写，例如，'∑0n'对于L中处于该复杂程度的公式+▪∈)与将二阶变量的范围解释为零件的集合C、D分别为V或Vκ+1。

正如crit（j）=κ，我们有：（i）j Vκ=id Vκ；（ii）如果κ∈D，则j（κ）=On∈C。

因此，我们有：ξ（x，x）（Vκ，∈，D）↔ξ（x，j（x））（V，∈，C）这样一个原理的强度取决于D的性质，D是不平凡的j的域的一部分。

•如果D⊂P（κ）L，那么一般来说，我们不会有如下的反射性质可额外施工。事实上，几个“经典”反射特性可以用这边

•然而，如果D⊇P（κ）L，那么我们可以用通常的方式定义L-超滤器

κ：X∈U↔（X∈L∧κ∈j（X））（1）

根据标准论点，这是一个可接受的普通超滤器，我们可以定义完备的超幂Ult（（L，∈），U），它同构于L本身。换句话说，我们有一些非恒等嵌入j0:L-→L、 即0]存在。

•当D被认为越来越大时，原理的强度就会增加：如果其他一些可定义的内部模型M有D⊇P（κ）M，那么我们应该能够定义M的超幂：Ult（（M，∈），U），如果U定义在方法这样的模型也可以被看作是非刚性的。

逻辑极限，也是这里主要关注的原则，是当D变为最大时在该光谱的末端，即变为Vκ+1。与等待的陷阱不同Reinhardt，当这个原理扩展到极限时，可以显示出相对于大基数。

定义2（GRP-全局反射原理）存在κ∈On，存在j≠id，crit（j）=κ，因此：

j:（Vκ，∈，Vκ+1）−→∑0ω（V，∈，C）。

然后，一些要点就清楚了：κ是强不可访问的；因为存在有序W在Vκ+1中，则j（W）是V的良好序。因此，我们必须有全球性的选择保持V。

•GRP相当于通过削弱∑而获得的原理0ω由∑01（但不是通过盖夫曼通常的自我强化论点，因为这需要的范围映射j是共最终的-这在这里不适用）。

只要我们有D=Vκ+1，我们就知道在（1）中定义的超滤子U是V的正常度量。因此κ是可测量的，并且通过假定的元素性，通过简单的反思论点，我们立即得到了一类适当的可测基数。但我们很容易拥有更多。

定理1 GRP暗示存在一类适当的Shelah基数

证明：回想一下，µ是Shelah如果∀f ∈ µµ∃N, j j : V → N ∧ Vj(f)(µ)⊆N . 我们表明κ是GRP声明中的Shelah，这很容易通过元素性来暗示有一个适当的类别。

设f∈kk⊆Vk+1是任意的。则j(f) : On −→ On; j(f)“κ ⊆ κ；Takeλ ＞ κ足够大，不可访问，使得j（f）（k）＜λ，并考虑'λ-强”扩展器从j:

对于a∈[λ]

＜ω：Ea=df{z∈P（[κ]|a|

)：a∈j（z）}；E=h Ea:a∈[λ]

＜ωi。

它具有以下属性：

（1） E是（κ，λ）-扩展器，使得Ult（（V，∈），E）是成立的；带kE:V→

Ult（（V，∈），E

=N，是唯一的过渡塌陷

map，然后设置jE=l◦kE，jE:V−→N和，j（f）（κ）=jE（f）

Vλ=（Vλ）N。

当jE（f）（κ）=kE（f；因此，我们有这个f。Q。E。D的Shelah性质。

显然，可以证明更强的性质，但在任何情况下，我们都有UW：

推论1 GRP暗示存在一类适当的可测量Woodin基数。

6 .GRP是一种反射原理吗？

而不是将GRP视为一个限制原则，因为类域越来越大，直到它包含所有的P（κ），人们可以直接将其视为以一种强有力的形式断言（V，∈，C），即V及其所有部分，与它的一个初始部分不可区分分段及其部分：（Vκ，∈，Vκ+1）。我们一起来看V及其部分，以及它的初始分段及其部分，由于是如此丰富，所以存在一个κ，使得（V，∈，C）和（Vκ，∈，Vκ+1）可以成立这种关系。后者是前者的拟像。

被断言存在的映射j通过作为保持真理的基本嵌入。

如果这个观点是可行的，那么我们取（V，∈，C）的整体，并反映这转化为a（Vκ，∈，Vκ+1）。它不是一个句法的、公式对公式的反映，无论一阶或二阶，或者用某种逻辑表达的东西。从这些意义上来说，它不是反射原理，如G¨odel可能已经想到了。这不是观点它说“在任何逻辑/语言中，我们都不能说（V，∈，C），或者是仅在（V，∈，C）中成立”（对于我们的目的来说，这样的观点太弱了）。到assert GRP就是断言有一个j在做链接这些集合的工作κ的那些和V的那些。不能争论GRP使用集合单独的迭代概念，但将此概念与绝对的迭代概念结合使用无穷大和涉及C。

当然，中介映射j是二阶对象，并且根据初等自变量，它不能是（V，∈，C）的可定义类。所以当我们正式化的时候我们的原则GRP这将需要承认像j这样的非指示对象应该是讨论的一部分。毫无意义的是，GRP的j“来自”“某处”或在任何方面都是“规范的”（当然不能定义）。Friedman和Honzik（[6]，Sect.2）提出这种非经典性在某种程度上是GRP的缺陷：

“然而，在我们看来，这种强烈的反思形式似乎过于“非正统”，无法算作（反思）的真正形式化”。然而，他们的论文令人担忧与“已实现的”宇宙（V，∈）的反射截然不同；是的也不是潜在版本。它试图获得对可能的新公理的一些见解或者可能提供的假设（如“内部模型假设]”）考虑V的正确性，通过观察可数传递模型，假装V是其中之一，因此可能通过迭代外部前磨牙。因此，我们的观点和这个程序是完全不同的（并且彼此的赔率）。也许是外部提供的迭代映射~π

当限制在c.t.m.V时，是否被认为更“规范”？（尽管如此，如果是的话，人们可能会反驳这种正典性，通过评论外部假设的“前兆”及其地图，也不是唯一的。）然而，这是一种相当复杂的方法，适用于可数传递性模型“V”，并没有真正触及（在作者看来）aCantonian关于V作为集合的不可分割的整体的观点反思的概念。

事实上，Peter Koellner提出，也许“相似”的特性是更好的名字。无论人们怎么看待命名法，GRP都不同于其他有时被称为相似的性质。我们现在考虑一些这样的形式用于差分比较；这些形式断言存在一些反射或积累点κ，因此在某种意义上发生在κ之上的任何事情都有一个发生在下面。其中之一就是Vopenka原理：

定义3（Vopenka原理）如果hMα|α∈Oni是一阶真类在V中每个结构都具有相同的特征，则存在α＜β和一个初等嵌入j使得j:Mα−→Mβ。

注意，这是V的一个丰富性原理，它声称任何一类结构都有这样的三重α，β，j。我们可以通过取形式为（Vf（α），∈，{α}，Rα）的Mα，其中，对于某个递增函数f:On−→在…上其中Rα⊆Vf（α）.

｛α｝的存在使所有

如果我们有α，β，j，如Vopenka原理，那么我们必须有j（α）=β，因此j不是简单恒等式。因此，VP是一个强性质暗示可扩展基数的类是On中的Mahlo（参见[16]）。

Joan Bagaria的论文[2]对类VP原理进行了更广泛的研究，其中目标结构在V中具有某些元素性质：

定义4（i）C（n）=df{α|（Vα，∈）≺∑n（V，∈）}；

（ii）κ是C（n）-可测基数，如果它是初等嵌入j:V−的临界点→M、 其中M可传递，且j（κ）∈C（n）；

（iii）κ是C（n）-可扩展基数，如果对于所有λ存在µ，j，crit（j）=κ；

j：Vλ−→∑ωVµ，其中j（k）∈C（n）。

　　

正如[2]所分析的，如果κ是可测量的，那么它就是C（n）-可测量的，以及其中的前缀理智不会增加任何东西；而C（n）-可扩展性是对可扩展性的真正强化。

在我们陈述Bagaria的分类之前，还有最后一个定义。这现在是相似的形式，其中κ是宇宙V：

定义5VP（κ，∑n）对同一结构的每一个适当的C类保持iff类型τ，使得τ和C的一些∑n-定义的参数（如果有的话）都属于到Hκ，则C反映在κ以下，即，∀B∈C∃A∈CåHκ（A可初等嵌入到B中）。

定理2（Bagaria[2]，4.15）以下是等价的：

（i） VP；

（ii）对于所有n，存在一个适当的κ类，使得VP（κ，∑n）；

（iii）κ（κ是C（n）-可扩展）。

因此，我们可以看到，VP可以根据一类适当的任何类型的可定义类的反射或切割点。

事实上，这与马吉多早期的一篇关于超压缩的论文有相似之处：

定理3（Magidor[16]）设κ为第一个超紧基数；那么κ是最小基数使得VP（κ，∑2）。

我们已经提到了这些定义的细节，以看到这种反射它们表示的是分支层Vα的某种形式的内部反射，而不是整个宇宙（V，∈）的反射思想，它不能被固定在阿克曼和G提到的方法¨模型。因此GRP和这些原则。

然而，很容易注意到：

定理4 Con（ZFC+κ（κ是1-可扩展的）−→Con（NBG+GRP）。

但是箭头是不可逆的。GRP因此就属于那些嵌入j在临界点的后继处是不连续的：j“κ+在j（κ+）中有界。

因此GRP是一致的，或者可以与全局平方一致，并且λ在任何地方，通过阶级的强迫。（关于这些方法，请参见[3]。）因此，它是一种反射标志着这一门槛的原则。

7.加强GRP？

虽然最后一个定理表明了基本GRP的强度，但自上而下的反射而不是向上投影的动机最初来自次行为概念的弱化：

定义6κ是子范畴，如果对于任何A⊆Hκ+，有j、µ＜κ和B \8838 Hµ+具有j:（Hµ+，B）−→e（Hκ+，A）。

为了加强GRP，我们可能需要许多j和κ。或者，更有趣的是，我们可以将j的元素性增加为（部分地或完全地）二阶反射，也就是说，例如保持∑1.n-现在在L+-的二阶变量上具有量化的公式，这样的扩展语言我们称之为L2∈。那么如果j:（Vκ，∈，Vκ+1）−→∑1.ω（V，∈，C）我们将得出结论理解-在（Vκ，∈，Vκ+1）中成立，是Kelley-Morse（KM）模型-在（V，∈，C）中也成立。

如果j是∑1.

ω-关于j的范围可以说是初等的：例如∑11-元素性证明了Shelah基数类在（V，∈，C）中是稳定的。我们可能更进一步，将二阶满意情绪化，如下所示。我们可以对任意n∈ω定义一个∑1.n公式Satn（v0，v1，…，vk，Y1，…，Ym）所以在NBG+Global Choice中可以证明（如果GRP成立，则后者成立，并且需要定义Skolem函数）：

h∈ωV，···Xm[Satn（pξq，k，m，h h0，…，hk−1i，h X1，…，Xmi）↔⏴(−→h、 X1，Xm）]，对于任何∑1.n公式ξ（v1，…，vk，Y1，…，Ym）与vi被解释为集合，以及彝族作为阶级。让Sat是这些Satn谓词的合并。

定义7（GRP+）：存在κ∈On，存在j≠id，crit（j）=κ，j:（Vκ，∈，Vκ+1，SatVκ）−→∑11.（V，∈，C，Sat）。

因此，我们要求j为∑11.-全二阶语言L2中的初等▪∈，▪s具有谓词▪s对于Sat。很容易争辩说，一些λ的次紧性产生GRP+的模型。

命题1假设GRP+。则存在交换系统hµα，jαβiα≤β∈On嵌入的jαβ：（Vµα，∈，Vµα+1，）−→∑01.（Vµβ，∈，Vµβ+1），每个jαβ，α＜β，见证了µβ的简单GRP。因此，每个jαβµα=idµα和jαβ（µα）=µβ。

此外，对于α∈On，存在映射jα：（Vµα，∈，Vµα+1）−→∑01.（V，∈，C）也见证宇宙中的GRP。

这是以一种非常类似于以下的方式从一个子公司获得的。

命题2设κ为次范畴。则存在一个通勤系统hµα，jαβiα≤β≤κ嵌入的jαβ：（Vµα+1，∈）−→e（Vµβ+1，∈）与，µκ=κ；每个jαβµα=idµα，和jαβ（µα）=µβ，因此每个jα+1，β，α＜β，见证1-µα+1的可扩展性。

证明：对于λ∈Card，设Satλ是（Hλ，∈）的满足关系。然后我们查看Satλ作为Hλ的子集。设κ是如上所述的子函数，并且设A=Sat=Satκ+那么Sat⊆Hκ+，并且应用子行为的定义，存在µ<κ和j、 和坐在一起j:（Hµ+，Sat）−→e（Hκ+，Sat）。

（1） Sat=Satµ+。

Pf：假设Hµ+|=ξ（x）↔-Sat（p⏴q，x）。应用j得到一个矛盾。Q.E.D.（1）

定义8（Hκ+，Sat）|=“ran（k）≺e（V，∈）”⇐⇒df

x∈ran（k）

∃z Sat（pψq，h z，j（x）i）−→ ∃z∈ran（k）Sat（pψq，hz，j（x）i）。

因此，我们使用Tarski Vaught来正式化作为基本子模型的概念的V。注意j⊆Hµ+×Hκ+和|j|=|Hµ+|＜κ，所以j∈Hκ+。显然，通过j的元素性：

（2） （Hκ+，Sat）|=“ran（j）≺e（V，∈）”确实：

（Hκ+，Sat）|=“有k，κ0，其中k：（Hκ+0，∈）−→（V，∈）和ran（k）≺e（V，∈），因此k是一个初等映射。”

但通过调用j，我们可以：

（3） （Hµ+，Satµ+）|=“有k，κ0，其中k：（Hκ+0，∈）−→（V，∈）和ran（k）≺e（V，∈），因此k是一个初等映射。”

这给了我们在命题中寻找的模型链中的两个环节。

假设不存在所寻求的那种长度为κ的链。设C=hµα，jαβiα≤β≤τ是具有以下性质的极大通勤链：

（i）存在一个最终模型（Vµτ+1，∈→（Vκ+1，∈）。假设τ＜κ（否则我们就完了）。对于每个α＜τ，我们有（Hκ+，Sat）|=“ran（jτ◦jατ）≺e（V，∈）“通过j的元素性，我们实际上知道，C类似地是1-可拓的链，但现在存在一些jτ：（Vµτ+1，∈）−→（Vµ+1，∈），即与链也是极大的，但是目标是（Vµ+1，∈）。然而，这是一个矛盾，因为（Hκ+，Sat）nows认为C可以再扩展一个链路（即通过jτ），并且反射到Hµ+，所以C不是一个上到（Vµ+1，∈）的极大链。Q.E.D。

8.结论

在最后一节中考虑的GRP的加强超出了前面概述的位置：纯数学对象位于V中，它是V的部分形成了C的适当类。我们反映，在很大程度上应该有一个初始类片段Vκ及其部分，即（V，∈，C）的具有见证的拟像函数j中介这种反射。我们对∑进行分类0n数学陈述；这个量化部分的二阶表达式是表面论的：这些是关于V的部分。然而，如果j也被要求反映关于V部分的结构声明或其他承诺，换句话说，如果j被认为是表面上的反思，那么这可以被解释为超越了纯粹的康托尔式的画面为之辩护。

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