逻辑论文

注：ω-逻辑（2/3）

ω逻辑初级读本11

　　赞成的.让π是上的传递收缩函数X.所以，普通=π(X).让

　　π(S)＝S和π(T)＝T.注意到π(M)＝M和π(A)＝A∩X＝A∩普通.固定g⊆P∈MN-普通的。因为Tp[⊆p[T]＝一，写作(Ag)普通|g|对于(π(A)g)普通|g|，我们有e：

　　(Ag)普通|g|＝（Tpɪ）普通|g|⊆普通|g|∩A

　　因为p[ˉS]⊆p[S]＝ωω\A.

　　普通[g]∩A⊆(Tpɪ)普通|g|.

　　因此(Ag)普通|g|＝普通|g|∩A.因为M是A-靠近了普通，M[g]∩(Ag)普通|g|∈

　　M[g].因此，M[g]∩A＝M[g]∩普通[g]∩A＝M[g]∩(Ag)普通|g|∈M[g].□

　　如果M是可数传递模型，并且P是中的部分订单M，我们撒y那一套ↅ关于M-通用滤波器g⊂P是来调色装置如果存在可数的设置D稠密子集的P(不一定在M)这样ↅ包含一套M-贯穿每个mem的通用滤波器的错误D.

　　注意，如果ↅ是comeager，那么它在所有集合中的补M-通用滤波器不适合。假设D和D'见证未来-的种类ↅ和它的补码.然后，自从D∠D'是coun表，有一个M-通用滤波器G它与所有稠密集相交D∠D'。但是然后G会属于两者ↅ和它的补充，这是不可能的。

　　以下规定，在c.t.m.M.的情况下，y另一个特征是组织化M存在A-关闭，除了命题2.9。

　　提案2.11。考虑到A一套uB和M一台自动取款机ZFC的，福尔牛鸣是e吗等价的：

　　我)M是A-关门了。

　　二)尽管P∈M，一套M-通用滤波器g⊂P到这样的程度

　　M|g|∩A∈M|g|

　　来了阿格。

　　赞成的：我)⇒二)让P∈M.让普通如引理2.10所示。因为普通是

　　可数的，有可数的许多密的P在普通.让D＝{D我：我∈ω)就是这个集合。让g⊆P做一个（M∪D)-通用滤波器。因为g

　　在中与每个稠密集相交普通，g是普通-通用和by引理2.10，M|g|∩A∈M|g|.

　　二）⇒我)让P∈M.到wards矛盾，让p∈P如此p⊩ᴘM[G]∩Aɢ∉M[G].由ii)，让D＝{D我：我∈ω}be密集的集合

　　的子集P使得对于所有(M∪D)-通用g.M[g]∩A∈M[g].让Vα，α一个足够大的不可数的正规基数，是这样的硕士，硕士，D∈Vα.

　　让T，Sb树木见证了这一点A是ω₁-uBinVα.让X≺Vα可数随着{D，M，A，T，S}∈X让我们普通be的传递崩溃X，让g

　　是普通-一般情况下p∈g.按基本原理y，p⊩普通PM[G]∩Aɢ∉M[G].

　　因此，M[g]∩A＝M[g]∩(Ag)普通|g|∉M[g].但这与ii)相矛盾，因为g

　　是(M∪D)-通用。 □

　　推论2.12。如果M是一个中医。关于ZF角和A是uB集，那么“M是A-closed"是c奥尔雷直接计算d英寸L(一，稀有）.

　　

　　12琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森

　　赞成的：下一句是真实的V在iff这是真的L(一，稀有)并说

　　M是A-关闭：

　　φ(上午，下午)：＝(∀P∈M)(∃·〈D我：我∈ω我)[D我⊆P稠密的∧(∀g)(g⊆P)((g过滤器

　　M-通用∧(∀我∈ω)(g∩D≠∅)→M[g]∩A∈M[g])]. □

　　命题2.11的以下替代形式有时是有用的。

　　引理2.13。给定uB集合A⊆稀有，M一台自动取款机关于ZFC，P∈M一个偏序集，p∈P，以及ταP-名字在M为了一枚戒指al，以下是等效的：

　　我)p⊩ⱽτ∈Aɢ.

　　二)一组M-通用滤波器g⊆P到这样的程度p∈g和我g[τ]∈A是来阿格。

　　赞成的：我)⇒二)让T，S为...作证A存在ω₁-uB，A＝p[T]，ωω\A＝p[S].存在着z这样对所有人来说我∈ω，p⊩ⱽᴘ（π⨡我，z⨡我)T∈.

　　让{D我│i＜ω}如此D我决定(我)，我∈ω，即，

　　D我＝{q∈P│q⊩ⱽ“z(我)=k”，对一些人来说k}.

　　F或者全部我，D我是密集的子集P.那么如果g⊆P是M-通用p∈g和g∩D我≠∅对于每一个我∈ω，g决定(我)和所有人我∈ω，

　　(我g[τ]⨡我，我g[z]⨡我)∈T.因此我g[τ]∈p[T]＝A.

　　二）⇒我)让Vα，α一个足够大的不可数基数，使得ii)

　　坚持住Vα.让t，Sb树木见证A是ω₁-uBinVα.让X≺Vα是可数的{m，A，T，S}∈X让我们普通是···的过渡崩溃X.

　　注意到π(A)＝A∩普通和π(M)＝m，因此π(P)＝P和π(p)＝p.

　　让π(S)＝S和π(T)＝T.按基本原理v，有在普通收藏品

　　{D我：我∈ω}稠密子集的P这样对所有人来说M-通用滤波器g⊆P，如果

　　p∈g和g∩D我≠∅尽管我∈ω，那么我g[τ]∈A∩普通.随便挑一个通用电气公司-通用随着p∈G.因为G∩D我≠∅尽管我和G是M-一般的，由引理2.10，

　　我ɢ[τ]∈A∩M[G]＝(Aɢ)普通[G]∩M[G]，所以普通[G]⊨我ɢ[τ]∈Aɢ.因为G是武断的普通-通用滤波器包含p.p⊩普通τ∈A·ɢ·根据基本原理.

　　p⊩ⱽτ∈Aɢ.□

　　F或者一台电脑断层扫描仪。m.存在A-关闭由保存最通用扩展，即，通过一组更好的M-通用滤波器，适用于中的任何部分订单M.

　　2.14号提案。对于每个uB集A，如果M是一个.A-封闭式中医和P是部分还是进来吧M，那么这一套M-通用滤波器g⊂P到这样的程度M[g]是A-关闭是c欧美杰。

　　赞成的：根据提案2.11，对于每个P-名字τ在M那里有部分订单是一个可数集合ετ稠密子集的P*τ这样永远非常(M∪ετ)-通用强制扩展普通关于M经过P*τ，普通∩A∈普通.F或者每个P-名字

　　σ对于···的情况τ并且每个E∈ετ有一个密集的集合D(τ，E，σ)的情况p∈P有一些P-名字ρ对于···的情况τ这样的

　　那个(p，ρ)∈E和p⊩ᴘρ≤τσ，让Db所有这些集合的集合D(τ，E，σ).

　　现在假设M[g]是一个D-的通用扩展M经过P.让Q做一个偏序集在M[g].然后Q＝我g[τ对一些人来说P-名字τ∈M.因为g是D-通用，对于每个E∈ετ，集E*＝{我g[ρ]：∃p∈g使得(p，ρ)∈E}是密集的

　　在Q.让ε'b这些的集合E*s，让h⊂Q做一个(M[g]∪ε')-通用滤波器。然后

　　g*h＝{(p，σ)∈P*τ：p∈g和我g[σ]∈h}

　　

　　ω逻辑初级读本13

　　是一个(M∪ετ)-通用滤波器，等等M[g][h]∩A∈M[g][h]. □

　　让ZFC*是···的有限碎片ZFC.下面的命题2.18表明对于任何uB集A，有一个A-封闭式中医M这是一个

　　ZFC*，但首先让我们证明以下事实机翼：

　　引理2.15。如果A⊆稀有是uB和κ是这样的Vκ⊨ZFC，那么A是uB在Vκ.

　　赞成的：让我们看到，对于每个偏序集P在Vκ有树T，S∈Vκ这样的那p[T]＝A和p[S]＝ωω\A，并为所有人P-通用滤波器G超过Vκ.

　　Vκ[G]⊨p[T]＝ωω\p[S].所以fixP∈Vκ和晚餐oses，T见证AuB代表什么P在V.让τ做一个P-名字在Vκ对于的实数集P-分机。让θ做一个足够大的普通红衣主教s，T∈H(θ).TAK无损音频压缩格式eX≺H(θ)到这样的程度|X|＜κ和{s，T}∪τ∪A⊆X.让M是···的形象X由传递崩溃π.然后π(S)，π(T)∈Vκ他们见证了宇宙的白色A为P在Vκ，因为p[T]＝p[π(T)]和p[S]＝p[π(S)].□

　　强势的概念A-下面定义的闭合不是标准的。然而，作为我们将在下面的第2.5节中看到ω逻辑的句法关系(定义

　　2.29)如果强则不会改变A-关闭用于代替A-结束了。

　　定义2.16。考虑到A⊆稀有，一个及物∈-型号M（的片段）ZFC是强有力地A-关闭如果对于所有偏序集P∈M等等M-通用G⊆P，

　　M[G]∩A∈M[G].

　　注意，根据引理2.11，对于c.t.m，如果A是uB集，然后强A-结束意味着A-结束了。还要注意，如果M强烈地A-关闭，P∈M，和G⊆P是M-那就普通的吧M[G]也是强烈地A-关门了。

　　例2.17。让M做一个中医。ZFC和让A是这样的吗

　　那M不是A-关门了。那么如果c科恩真的结束了吗M，那么M是

　　({c}×A)-封闭但不强烈({c}×A)-关闭。F此外，M[c]是不是({c}×A)-关闭。

　　2.18号提案。栓剂oseA⊆稀有是uB，而且κ是这样的Vκ⊨ZFC.

　　那么tr的每一次强制扩张任何可数元素的瞬时崩溃的基本子模型Vκ，c包含A强烈地A-关闭d.特别是传递c的任何可数初等子模型的折叠V，c包含A是A-关门了。

　　赞成的：根据引理2.15，AuB在吗Vκ.让X≺Vκ可数使得A∈X.让Mb的形象X通过传递性崩溃π.W我想要看到任何强制扩展M强烈地.A-关门了。它suffices到注意M强烈地A-关门了。让P∈M让我们g⊆P做一个M-通用滤波器。

　　让S和T树木在吗X见证世界的美好A为π⁻¹(P).然后π(S)＝S和π(T)＝T树木在吗M见证了的普遍性A∩M为P，如果σ是一个P-真实in的名称M，在M[g]，我g[σ]在p[ˉS]或者在p[T]而不是在两者中，由元素性的折叠地图。因此，自从p[ˉS]⊆p[S]和p[ˉT]⊆p[T]，

　　然后呢g！g[σ]∈那是什么吗？)你好吗然后呢g！g[σ]∈(p是什么[因此，M[g]∩A＝(p[T])M|g|∈M|g|，以及M强烈地A-关门了。□

14琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森

　　回想W的以下结果oodin：

　　定理2.19（参见[7]）.假设有e是道具呃鸣类枢机主教。

　　那么对于每个uB组re进场与着陆模拟器（ApproαchαndLαndingSimulαtor）A每一个强迫性的想法通用滤波器，然后输入V[G]有一个基本的cmb从...开始L(一，稀有ⱽ）

　　到···里面L(Aɢ，稀有V[G])发送A到Aɢ.

　　推论2.20。假设有一个公关Wo的oper类奥丁·阿迪纳尔斯。然后

　　对于每个uB组re进场与着陆模拟器（ApproαchαndLαndingSimulαtor）A每一个强迫性的想法P，然后在V[G]，对于每个公式φ(х，g)每一个r∈稀有ⱽ，

　　L(一，稀有ⱽ)⊨φ(阿拉伯河)iffL(Aɢ.Rⱽ[G])⊨φ(Aɢ，r).

　　特别是，如果φ(х，g)这个公式定义了A-结束，就像在科尔开环（同OpenLoop）拉里

　　2.12之后一台自动取款机。M是A-对于每个(某些)通用产品，关闭iff延长V[G]关于V，M是Aɢ-靠近了V[G].

　　的概念A-封闭模式即使对没有充分根据的人也有意义ω-模型，即给定一个uB集A⊆稀有，安ω-型号M(的片段))ZF角

　　是关闭的如果对于所有偏序集P∈M，对于所有人G⊆PV-通用，

　　V[G]⊨M[G]∩Aɢ∈M[G]

　　即，⊩ᴘ“M[G]∩Aɢ∈M[G]”，哪里G是标准P-的名称

　　通用滤波器。

　　豪夫呃，让我们看看A-闭集是自然的一般-基础的具体化。

　　引理2.21。让ZF角”beZF减去幂集公理。假设普通是

　　一；一个ω-的型号ZF角”到这样的程度∩普通∈普通.那么对艾尔来说lx∈ωω∩普通х∈iffх∈普通。

　　赞成的；⇒)由downwΠ的绝对性质¹的公式ω-模特。

　　⇐）假设х∈ωω∩普通，х∈普通¹和х∉，F或者每个n，让Eх，⨡n{m|我ₓn}，让хₙ。做一个真正的公司钟声Eₓ⨡n.因为普通上╞“Eₓ是

　　有理有据∩普通∈普通，有一个n₀∈ω到这样的程度.xₙ₀∉但对所有人来说我ₓn₀，xₘ∈.因为Eₓ⨡n₀毫无根据，有一个我ₓn₀到这样的程度Eₓ⨡m毫无根据，自相矛盾。□

　　引理2.22。每个ω-的型号ZFC哪个是──封闭是有根据的。

　　赞成的，假设(M、E)是非有根据的-关闭ω-的型号ZFC.

　　让γ是···的“序数”M这是毫无根据的V，让G是M-通用于的部分订单M制造γ可数且letх成为一个真正的inM[G]编码

　　有序的ω订单类型γ.然后х∈M[G]\哪个by

　　引理2.21暗示M[G]∩∉M[G].因为M是-关闭，由

　　前面的引理，х∉M[G].因此Eₓ∈M[G]而且是没有根据的。

　　因此M[G]⊭“Foundation”，与事实相矛盾M⊨“F基础”

　　和M[G]是的强制扩展M.□

　　定理2.23。对于每一个ω表示“···开本”：twelvemodelofZFC，(M，E)，福尔流动区域等效：

　　我）是有根据的。

　　二）是A-关闭d代表每个Π设置A.

　　

　　ω逻辑初级读本15

　　赞成的：我)⇒二)假设(M，E)是一个ω表示“···开本”：twelvemodelofZFC这是有根据的。

　　固定A⊆稀有，设置∧Π¹。让P∈M让我们H做一个P-通用结束V.

　　让(n，∈)be的传递崩溃，且让G＝π[H].因为π(P)∈普通，G是π(P)-通用结束V和普通是transitive，G是π(P)-通用

　　超过普通.自从Π¹集合对于传递模型是绝对的ZF角和A是

　　∏¹₁.在V[G]，A普通[G]＝普通[G]∩A＝普通[G]∩A∩V[G]＝普通[G]∩Aⱽ[G].和因为Aⱽ[G]＝Aɢ，

　　A普通[G]＝普通[G]∩Aɢ∈普通[G].

　　因为M是一个ω-模型，传递性崩溃π标识是否在因此，

　　Aᴹ[ᴴ]＝M[H]∩Aʜ∈M[H].

　　二）⇒我)假设(M，E)是A-对于每个Π关闭¹₁设置。那就是了-关闭，因为是TΠ因此由引理2.22，是有理有据的。□

　　2.3.广告+.

　　Definition2.24.(cf.[12])AsetA⊆Ris∞-BorelifforsomeS∪{α}⊆On

　　andsomeformulawithtwofreevariablesφ(х，g),

　　A＝{g∈R│Lα[S，g]⊨φ(S，g)}.

　　AssumingAD＋DC,asetofrealsAis∞-BoreliffA∈L(S，R),forsome

　　S⊆Ord(cf.[12]).

　　Definition2.25.Θistheleastordinalowhichisnottherangeofany

　　functionπ：R→α.So.iftherealscanbewellordered,thenΘ＝(2ω)⁺.

　　RecallthatDCʀisthestatement：

　　∀R(R⊆ωω×ωω∧∀х∈ωω∃g∈ωω((х，g)∈R)→

　　∃f∈(ωω)ω∀n∈ω((f(n)，f(n＋1))∈R)).

　　Definition2.26.(cf.[12])(ZF＋DCʀ)AD⁺says：

　　i)Everysetofrealsis∞-Borel.

　　ii)Ifλ＜Θandπ：λω→ωωisacontinuousfunction,whereλhasbeen

　　giventhediscretetopology,thenπ⁻¹(A)isdeterminedforeveryA⊆ωω.

　　AD⁺triviallyimpliesAD,anditisnotknownifADimpliesAD⁺.

　　WoodinhasshownthatifL(R)╞AD.thenL(R)╞AD⁺.

　　AD⁺isabsoluteforinnermodelscontainingallthereals：

　　Theorem2.27.(cf.[12])(AD⁺)ForanytransitiveinnermodelMofZFwithR⊆M，M⊨AD⁺.

　　Theorem2.28.([12])IftherecristsaproperclassofWoodincarlinalsand

　　A⊆RisuBthen：

　　1)L(A，R)╞AD⁺.

　　2)EuergsetinP(R)∩L(A，R)is uB.

　　　　

16JOANBAGARIA,NEUSCASTELLS,ANDPAULLARSON

　　2.4.Definitionof⊢ΩFoandinvarianceunderforcing.

　　Notethatthefollowingareequivalent：

　　i)ForallA-closedc.t.m.MofZFC，allα∈M∩On,andallBsuchthatM╞“Bisac.B.a”,ifMᴮα╞T.thenMᴮα╞φ.

　　ii)For all A-closed c.t.m.MofZFC，andforall α ∈ M ∩ On.

　　如果Mα╞T，那么Mα╞φ.

　　赞成的：二）⇒我)让M做一个A-封闭式中医ZFC的.α∈M∩在，以及让B如此M╞“B是中国工商银行。假设Mᴮα╞T并且，朝着一个矛盾，假设，在M对某些人来说b∈B，b⊩“M[g]α╞¬φ”，

　　哪里g是通用滤波器的标准名称。靠道具位置2.14，那儿有gB-通用结束M吮吸h那个b∈g和M[g]是A-关门了。我们有eM[g]α╞T.因此，由ii)M[g]α╞φ，与假设相矛盾b强迫的M[g]α╞¬φ. □

　　定义2.29。([17])对于T∪{φ}⊆送，我们写道⊢Ωφ，如果存在的话一套音响设备A⊆稀有使得：

　　1)L(一，稀有)╞广告⁺，

　　2)每一集都在P(稀有)∩L(一，稀有)是uB.

　　3)F或者全部.A-封闭式中医M关于ZF角为了所有人α∈M∩On，如果Mα╞T，那么Mα╞ φ.

　　因此，根据定理2.28，如果存在W的真类面向对象的红衣主教，T⊢Ωφiff存在一个uB集A⊆稀有使得上述3)成立。

　　注意，根据等效原理上述I)和ii)的价值，如果T是递归的最后一个定义的第3点可以写成：

　　3’）尽管A-封闭式中医M关于ZFC，M⊨“T⊨Ωφ”.

　　根据定理2.28，如果在基数中存在一个适当的伍德类，或者如果只是L(稀有)╞广告每一组实数L(稀有)是uB，那么对于每T∪{φ}⊆送，T⊢φ暗指T⊢Ωφ.豪夫呃，正如我们所料匡威不成立：让Mb中医。关于ZFC让我们α∈M∩On是到这样的程度Mα⊨ZF角因为Mα是标准的mo德尔，Mα⊨C在···上(ZFC).这表明ZF角⊢ΩC在···上(ZFC).

　　We说那句话φ∈送是ωᴛ-可证明的如果T⊢Ωφ.如果A目击者T⊢Ωφ，那么我们说A是ωᴛ-公关力量关于φ，还是那个A是一个ω-证明φ从T.

　　注意，如果AuB是否满足定义2.29的1)和2)，那么A是一；一个Ωᴛ-专业的φiff

　　L(一，稀有)⊨∀M∀α(M是一个A-封闭式中医关于ZFC∧α∈M∩On∧Mα╞T→Mα⊨φ).

　　看不出这种关系的复杂性，这不是difficult的风格T⊢Ωφ最多是σ₃.

　　备注2.30。[7]中的论证基本上表明，如果AD⁺保持住存在着A-每套真实的ZFC封闭模型A.

　　引理2.31。考虑到甲，乙uB集，该集C＝A×B是uB，如果M是

　　αC-那就关中医吧M是bothA-关闭和B-关闭d.

　　

ω逻辑初级读本17

　　赞成的：考虑到γ∈M∩在，让P＝C壶(ω，γ).F或者是固定的P-姓名对于一个

　　的元素B·G’

　　{(τ，p)│p∈P，τ是一个P-实数的名称，以及p⊩ⱽ(τ，g)∈(A×B)·ɢ}

　　＝{(τ，p)│p∈P，τ是一个P-实数的名称，以及p⊩ⱽτ∈A·ɢ}.

　　因此，如果M是C-已关闭，此集合属于M因此M是A-关门了。

　　对称地，同样适用于B. □

　　推论2.32。让T∪{φ，ψ}⊆S娱乐.假设对于每个uB集合A，L(一.稀有)╞广告⁺每一个场景P(稀有)∩L(一，稀有)就是uB。假设T⊢Ωψ和T⊢Ωφ.如果T∪{ψ，φ}⊢θ，那么T⊢Ωθ。因此，

　　我)如果T⊢Ωφ和T⊢Ωψ，那么T⊢Ωφ∧ψ.

　　二)如果T⊢Ωφ和T⊢Ωφ→ψ，那么T⊢Ωψ.

　　赞成的.让A和Bbeωᴛ-证据ψ和φ，分别为有效地让我们看看A×B是ωᴛ-证明θ，让Mb鄂安A×B-封闭式模型。因此，M是

　　两者A-关闭和B-关门了。假设α∈M∩On和B∈M是这样的Mᴮα⊨T.因为M是A-关闭，Mᴮα⊨ψ因为M是B-关闭，Mᴮα⊨φ

　　所以，α⋕⊨ᴮθ. □

　　ω-prov概念能力differs从通常的prov概念能力.

　　例如一阶逻辑，因为不涉及演绎演算由···编辑单位ω-逻辑上，相同的uB集合可以见证ω-provdifferent·森的能力腾讯。

　　F或实例，所有的重言式有相同的赞成关于在ω逻辑中，即、∅。在···里尽管如此，还是有可能定义一个概念pro的长度关于在ω逻辑中。

　　这可以通过几种方式实现。例如：为A⊆稀有，让Mᴀ做模特Lκᴀ(一，稀有)，哪里κᴀ是(一，稀有).

　　即最小序数α＞ω到这样的程度Lα(一，稀有)是Kripke-Platek的模型集合论.下面的结果是由于索洛夫唉：

　　引理2.33。假设广告，那么对于每一个甲，乙⊆稀有，要么A∈Mʙ或者

　　B∈Mᴀ.

　　赞成的：考虑一下两个计划双方都参加的游戏泰格所以在我制作的游戏结束时х玩吧erΠ有出品y。蓝队，你赢了这场比赛，iffх∈A↔g∈B.它τ是一场胜利参与人l的策略，那么永远非常真实z，z∈Biffτ*z∈A，所以

　　B∈Mᴀ如果σ是参与人Π的获胜策略，那么每一个真实的z，

　　z∈Aiffz*σ∉B，所以A∈Mʙ.□

　　因此，在广告，为甲，乙⊆稀有，我们有κᴀ＜κʙiffA∈Mʙ和B∉Mᴀ.因此κᴀ＝κʙifMᴀ＝Mʙ.

　　如果A是一系列真实的见证T⊢Ωφ，那么我们可以说κᴀ是的长度Ωᴛ-专业关于A.使用这个证明长度的概念，我们可以

　　发现句子，像G一阶逻辑中的odel-Rosser语句，即ω逻辑中的不可判定性。F或实例，让φ(α，θ)b公式：

　　∀M∀α((M是一个A-封闭式中医关于ZFC∧

　　α∈M∩在∧Mα╞ZF角)→Mα╞θ).

　　使用Godel的对角化，让θ∈S娱乐是这样的：

　　ZFC⊢“θ↔∀A(φ(α，θ)→∃B((φ(B，￢θ)∧κʙ＜κᴀ))”

　　

　　18琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森

　　假设在红衣主教中有一个适当的伍德阶级，我们有e：

　　ZFC⊢Ω“θ↔∀A(φ(α，θ)→∃B(φ(B，￢θ)∧κʙ＜κᴀ))”

　　假设ZFC⊢Ωθ和C见证它。然后

　　ZFC⊢Ω“∀A(φ(α，θ)→∃B(φ(B，￢θ)∧κʙ＜κᴀ))”

　　被一些人目睹D.假设有一个不可达的伍德因极限红衣主教，我们可以找到一个C×D-封闭式中医M关于ZFC带着强烈地

　　难以接近的红衣主教α，这样M满足对于每个实数子集A.广告⁺坚持住L(一，稀有)，以及中的每一组实数L(一，稀有)是uB(见2.28)。

　　通过反射，让α∈M∩在如此C∩M∈Mα，Mα╞“C∩M是uB”，以及

　　Mα╞ZFC＋∀A（A是uB→L(一.稀有)╞广告).

　　然后，Mα╞θ和

　　Mα╞“∀A(φ(α，θ)→∃B(φ(b，￢θ)∧κʙ＜κᴀ))”

　　此外，Mα╞φ(C∩m，θ).因此，在Mα那儿有B到这样的程度φ(B，￢θ)和κʙ＜κc∩M.但是自从Mα╞“L(乙，丙∩M，稀有)╞广告”，通过引理2.33，我们有eMα╞B∈Mc∩ᴍ.由此可见：

　　(1)Mc∩ᴍ╞φ(C∩m，θ)

　　(2)Mc∩ᴍ╞φ(b，￢θ).

　　让普通∈Mc∩ᴍ做一个中医。关于ZFC即bothC∩M-关闭和B-关闭(见备注2.30)。那么，对于任何β，如果普通ᵦ╞ZFC，我们会的普通ᵦ╞θ∧￢θ，这是不可能的。

　　一个完全对称的论点w可能会产生矛盾

　　假设ZFC⊢Ω￢θ，从而表明θ不可判定

　　ZFC在ω逻辑中。

　　提供了ω逻辑中证明长度的更精细的概念ytheWadge实数集的层次结构(见[9]和[16])。

　　W我们现在应该看到的关系⊢Ω也是inv受力变化。在···里对这一点的证明，我们将使用下面的结果(见[6]，3.4节)。

　　定理2.34。假设存在一个公共关系Wo的oper类奥丁c阿迪-纳尔斯，δ是一种拉拢餐车迪娜尔和j：V→M[G]是一个embe添加导出的从...开始与...打交道P＜δ.那么每个宇宙李拜尔r集eαlsinV[G]是世界各地都有M.

　　定理2.35。([17])假设存在一个公共关系Wo的oper类欧丁神汽车迪纳尔斯。那么对艾尔来说P，

　　T⊢ΩφiffVᴾ⊨“T⊢Ωφ”

　　赞成的：⇒）让A做一个ωᴛ-证明φ.

　　然后L(一，稀有)⊨∀M∀α（M是一个A-封闭式中医关于ZFC∧α∈M∩在∧Mα╞T→Mα⊨φ).

　　假设G⊆P是V-普通的。根据推论2.20，在V[G]，L(Aɢ，稀有ⱽ[G])⊨∀M∀α(M是一个Aɢ-封闭式中医关于ZFC∧α∈M∩On∧Mα╞T→Mα⊨φ).

　　因为A根据备注2.6，uB，AɢuB在吗V[G].因此，Aɢ是ωᴛ-证明φ在V[G].

　　

　　ω逻辑初级读本19

　　⇐）假设Vᴾ⊨“T⊢Ωφ”，让γb一个很难接近的红衣主教那P∈Vγ.选一个W乌丁红衣主教δ＞γ.认为α＝Pω₁(Vγ)∈P＜δ(参见F法案1.4)。F与...合作P＜δ在下面α做Vγ可数的，所以有一个P-名字τ对于部分订单，这样P＜δ(α)是强制的──相当于P*τ.

　　固定G⊆P＜δ(α)V-通用，让j：V→M做诱导嵌入。

　　然后j(δ)＝δ和V[G]⊨M＜δ⊆M.我们有V[G]＝V[H₀][H₁]，与H₀⊆P，V-普通的。因此，V[H₀]⊨“T⊢Ωφ”，由某uB集见证.A.根据这个定理的另一个方向，V[G]⊨“T⊢Ωφ”，见证人Aɢ-因此，

　　V[G]⊨“Aɢ是uB∧∀普通∀α(普通是一个Aɢ-封闭式中医关于ZFC∧α∈普通∪在∧普通α╞T→普通α⊨φ)”，

　　根据定理2.34，AɢuB是否已设置M，而且由于M在下关闭可数序列，

　　M⊨“∀普通∀α(普通是一个A-封闭式中医关于ZFC∧α∈普通∩在∧普通α╞T→普通α⊨φ)”，因此，M⊨“T⊢Ωφ”，通过应用诱导的基本嵌入，我们有eV⊨“T⊢Ωφ”. □

　　2.5.A-封闭与强大A-结束了。

　　回想一下（定义2.16）对于A⊆稀有，一个及物∈-型号M(的)的

　　的片段)ZFC是强有力地A-关闭如果对于所有偏序集P∈M等等M-一般的G⊆P.M[G]∩A∈M[G].

　　W我们应该看到这种关系⊢Ω不会改变，如果我们使用前强烈的A-关闭代替A-在其定义中关闭。

　　回想一下一组实数的标度定义(见[9])：

　　定义2.36。如果A是一组实数，然后是规模在A是一个序列

　　〈≤我：i＜ω我的预订购A满足以下性质：无论何时

　　〈x我：i＜ω我是包含在中的序列A汇聚成一个真实的x和f：ω→ω

　　是这样一个函数

　　∀i＜ω∀j∈[f(我)，ω)(xf(我)≤我хj∧хj≤我хf(我))，

　　然后х在A，并为所有人i＜ω我们有eх≤我хf(我)，

　　如果γ是在连续原像下闭的点类，A∈Γ.和〈≤我：i＜ω我有秤吗A，那么〈≤我：i＜ω我叫做γ射线南卡罗来纳州麦芽酒如果有布景х，Y⊂ωω×ωω×ωω在γ中(用相应的常数函数)使得

　　X＝{(我，х，g)│х≤我g}＝(ω×ωω×ωω）\Y∩(ω×ωω×A).

　　W我们说γ有比例公关财产如果对每一个A∈γ有一个γ标度在A.如果在红衣主教中存在一个适当的木类，那么uB集具有标度属性(这一事实是由于钢：比如说，[6]的第3.3节)。

　　如果〈≤我：i＜ω我是一组实数的标度A，并且对于每个我∈ω和х∈A

　　我们让ρ我(х)表示≤我-排名х，然后是树

　　S＝{(s，σ)∈ω＜ω×或者d＜ω│∃х∈一个х⨡|s|＝s∧〈ρ我(х)：我＜|s我＝σ}

　　项目至A.我们称之为treecorr响应sc麦芽酒.

　　下面的论证来自[11]。

　　

20琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森

　　定理2.37。让A是r的一个通用贝尔集eals和supp那是什么M是一个A-封闭式中医ZFC的。L和B表示···的补充A。让

　　〈≤ᴬ我：i＜ω我做一个uBsc麦芽酒A正如uBsets所见证的X和Y，让

　　〈≤ᴮ我：i＜ω我是一个uB尺度B作为证人由uB集合定义W和Z，以及假如M是X×Y×W×Z-关闭d.然后M强烈地A-关门了。

　　赞成的：首先注意，对于任何有充分根据的模型普通，如果{普通∩х，N∩g，N∩A}∈普通，那么我〈≤ᴬ∩普通：i＜ω我在普通这是一个衡量A∩普通在普通(还有类似地，用于W，Z和B).此外，如果普通是X×Y×A-那就关门吧

　　对于每个部分订单P在普通有P名字χᴘ.υᴘ和αᴘ到这样的程度对于大多数人来说普通-通用滤波器g⊂P.X∩普通[g]＝χg.Y∩普通[g]＝υg

　　和A∩普通[g]＝αg(这一点的证明类似于第二部分引理2.11和2.13的证明)。

　　让γ在···中是序数M.因为C壶(ω，γ)是同质的，并且M是X×Y×A-关闭，针对每一对条件p，q在C壶(ω，γ)存在M-通用滤波器gp和gq。包含在科尔岛(ω，γ)这样p∈gp，q∈gq，

　　M[gp]＝M[gq]，

　　我gp[χ科尔岛(ω，γ)]我gq[χc壹(ω，γ)]＝M[gp]∩х，

　　我gp[υ科尔息(ω，γ)]我gq[υc壶(ω，γ)]＝M[gp]∩Y，

　　和

　　我gp[α科尔岛(ω，γ)我gq[αc壶(ω，γ)]＝M[gp]∩A.

　　因此，对于每一对(甲，乙)∈ω＜ω×Ord＜ω，中的空状态C壶(ω，γ)决定是否(甲，乙)在树中对应于刻度关联到χc壶(ω，γ)和υ科尔岛(ω，γ)，因此树Tγcorresp翁丁到这种程度M-通用扩展由科尔岛(ω，γ)已经存在于M.

　　因为存在一个模型普通到这样的程度{普通∩一个，N∩х，N∩Y}∈普通和Tγ

　　树的尺度是否对应于普通∩X和普通∩Y在普通，p[Tγ]ⱽ⊂A(自从X和Y定义···的标度A).ab的评论适用于B，W和

　　Z，以及，所以有一棵树Sγ在M哪些项目在V到子集关于B，此外，Tγ和Sγ赞成服从所有强制的补充的扩展M经过科尔岛(ω，γ).

　　让P是...的部分订单M然后P定期嵌入到一些部分表单的顺序C壶(ω，γ)，γ∈在∩M.修复这样一个γ，我们有任何的P-通用扩展普通关于M，p[Tγ]普通＝A∩普通和p[Sγ]普通＝B∩普通. □

　　让关系⊢ˉΩ被定义为⊢Ω(定义2.29）但要求坚固A-结束而不是.A-结束了。即，

　　T⊢ˉΩφ如果存在uB集A⊆稀有使得：

　　1)(一，稀有)╞广告⁺，

　　2)每一集都在P(稀有)∩L（一，稀有)是uB，

　　3)强烈地为所有人A-封闭式中医M关于ZFC为了所有人α∈M∩在，如果Mα╞T，那么Mα╞φ.

　　因为对于任何uB集A和任何中药。M强烈的A-结束意味着A-闭包(参见引理2.11)，显然T⊢Ωφ暗指T⊢ˉΩφ.

　　现在假设T⊢ˉΩφ.由uBset见证A.我们w我想看看有一个uB集B这样所有的B-封闭模型强烈地A-关门了。

　　定理2.37给出了这一点，假设

　　Baire集普遍具有标度性质，正如我们提到的above！

　　

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