补丁版第（5）章格罗滕迪克

注：格罗滕迪克（3/3）篇章。

11　

这是Riemann Zeta函数ς(s)；当 X＝ℙ¹时， 1

ς(X，s)＝∏ₚ ────── ＝ς(s)ς (s―1).

　　 (1— p⁻ˢ)(1— pˡ⁻ˢ)

考虑 ℚ 上的椭圆曲线 E .对好的 p ，有

(1― αₚt)(1― αₚt)

Z(Eₚ，t)＝──────────，αₚ +αₚ ∈ Z，αₚ αₚ=p，|αₚ|=p¹/²　

(1― t)(1― pt)

(见5a，5b).故

ς(s)ς(s ― 1)

ς(E，s)＝──────────

L(E，s)

其中

1

L(E，s)＝∏ₚ ─────────

　　 (1― αₚp⁻ˢ)(1― α ₚp⁻ˢ)

母题的Zeta 函数

首先考虑 𝔽ₚ 上的母题.我们不能用一个母题 M 的坐标在域𝔽ₚᵐ中的点来定义 𝔽ₚ 上的母题 M 的 Zeta 函数，因为这根本没有定义，然而，我们知道M (𝔽ₚ) 是 Tannaka 范畴.在任何 Tannaka 范畴中，对象的自同态具有特征多项式.如果 i 是奇数，则我们定义 𝔽ₚ 上权的为 i 的纯粹母题 M 的 Zeta 函数Z(M，t)为 M 的Frobenius 映射的特征多项式，如果 i 是偶数则定义 Z(M，t) 为其倒数.首先，此特征多项式的系数在 ℚ 中，如果 M 是有效的，则系数在 ℤ 中.对于有相同权的母题 M₁ 和 M₂ 有

Z(M₁⨁ M₂，t)＝Z(M₁，t) · Z(M₂，t), (7)

用此公式即可将定义扩展到所有的母题.

这是如何与簇的 Zeta 函数相联系的呢？设 X 是 𝔽ₚ 上 n 维光滑射影簇.如上所知，Grothendieck 和他的合作者们证明了Z(X，t)＝P₁(t) · · · P₂ₙ₋₁(t)/P₀(t)· · · P₂ₙ(t)其中Pᵢ(t) 是 X 的 Frobenius 映射作用在 Étale 上同调群Hⁱₑₜ. (Xғ，ℚℓ) 上的特征多项式（这里是对任意素数 ℓ ≠ p；因此，Pᵢ(t)可能依赖于 ℓ) .现假设对ℓ-adic Étale 上同调猜想 D 成立，则存在函子ω：M(𝔽ₚ) → Vecℚℓ，使得ω(hⁱ X)＝Hⁱₑₜ(Xғ，ℚℓ).此函子保持特征多项式，这表明有 ¹⁶ Z(hⁱ X ，t)＝Pᵢ(X，t)⁽⁻¹⁾ⁱ⁺¹.故，

Z(X，t)＝Z(h⁰ X ，t) · · · Z(h²ⁿ X，t).

由 (4) 和 (7)，我们知道此等式右边等于 Z(h X，t)，故 Z (X，t)＝Z(hX，t).

ℚ上的母题 M 可以由一个 ℚ 上的射影光滑簇 X，一个 X × X 上的代数链 γ ，和一个整数 m 所刻画.除去有限多个以外，对所有的素数 p，约化 X 和 γ 可给出 𝔽ₚ 上的母题 Mₚ，因此我们可以定义

ς(M，s)＝∏ Z(Mₚ，p⁻ˢ).

好的p

例如，

ς(h⁰(ℙ¹))＝ς(s)，ς(h²(ℙ¹))＝ς(s ― 1).

对椭圆曲线 E，

h E=h⁰ E ⨁ h¹ E ⨁ h² E.

＿＿＿＿＿＿＿　　

¹⁶ 特别是，Pᵢ(X，t)是 ℤ 系数的多项式，其不依赖于 ℓ.这表明由猜想 C 和 D 可推出 (6a)，这独立于 Deligne 的工作. 一原注

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故

ς(h E，s)＝ς（h⁰ E，s) - ς(h¹ E，s) · ς (h² E，s)＝ς(s) · L (E，s)⁻¹ · ς(s ― 1).

注意，在没有假设任何未被证明的猜想的情况下，我们定义了 ℚ 上的母题范畴，并对此范畴中的每个对象赋予一个 Zeta 函数.这是一个复变量 s 的函数，人们猜想它有许多奇妙的性质.如此产生的函数你为母题的 L― 函数 (motivieL-function).另一方面，可以用完全不同的方法，即从模形式，自守形式，或更一般地，从自守表示来构造函数工 L (s) ― 称为自守 L― 函数，其定义不用代数几何，下面是 Langlawls 纲领中的一个具有指导意义的基本原则：

模性大猜想 (Big Modularity Ccnjecture) 每个哥题的 L- 函数都是自守L― 函数的交错积(alternating product).

设 E 是 ℚ 上椭圆曲线.模性 (小) 猜想说的是，ς(h¹ E，s) 是模形式的Mellin.变换.

　　Wiles (等人) 对此猜想的证明是Rrmat 大定理的证明中的主要步骤.

9 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想和一些神秘的平方

　设 E 是 ℚ 上的椭圆曲线.大约从1960年开始，Birch 和Swiunerton-Dyer 便使用一种早期的计算机 (EDSAC 2) 研究 L(E，s)在 s＝1 附近的情况，计算结果激发了他们的著名猜想. 记 L(E，1)* 为 L(E，s) 关于s ― 1的幂级数展开式中的第一个非零系数：则他们的箭想断言

L(E，1)* ＝{已知项} · {神秘项}.

其中神秘项被想是 E 的Tate-SLafarevich群的阶数，已经知道其 (如果是有限的) 为平方数.

大约与此同时，他们研究了

1

L₃ (E，s)＝∏ₚ ──────────

　　 (1―α³ₚp⁻ˢ)(1― α³ₚP⁻ˢ)

在 s＝2 附近的情况，通过计算，他们发现：

L₃(E，1)* ＝{已知项} · {神秘平方}.

其中神秘的平方项可以很大，例如2401.这究竟是什么呢？

如上所知，L(E，s)⁻¹＝ς(h¹ E，s).我们可将 Birch-Swinnerton-Dyer 的猜想看做是关于 h𝕀 E 的断言. 此猜想已被扩展到ℚ 上的所有母题.可以证明存在母题 M 使得：

h¹(E) ⨂ h¹ (E) ⨂ h¹ (E)＝3h¹ (E， Δᴇ，― 1) ⨁ M

以及

ς(M，s)＝L₃(E，s)⁻¹.

因此，这神秘的平方项被猜想是母题 M 的 “Tate-Shafarevich 群”.

10后注

严格地讲，M(k) 应该被称为 纯粹 母题范畴.其对应于 k 上非奇异射影簇.Grothendieck 还预言存在混合母题(mixed motive) 范畴，其对应于 k 上所有的簇构成的范畴.此范畴不再是半单的，但是每个混合母题应有一个滤链，其因子 (quotient) 皆为纯粹母题，目前尚无混合母题范畴的明确定义，甚至连猜想的定义已没有，但是一些数学家已经构造了一些三角化范畴以作为混合母题范畴的导出范畴的候选范畴；当然还需在这些候选范畴之一上定义一个 t- 结构以使其中心为混合母题范畴自身. 13

相关文献

Grothendieck 自己并没有发表任何关于母题的文章，但是在他未发表的手稿17 中以及他和 Serre [GS] 的通信中却经常提到母题，最早解释这一理论的是 Demazure 的文章 [Dem] 和 Kleiman的文章 [Kl].会议论文集 [Mot] 则综述了到1991年为止关于母题的所知结果和进展.特别是，其中 Kleiman 的文章讨论了 Grothendieck 的标准猜想，Scholl 的文章论述了母题范畴的构造，作者的第一篇文章 (特别是2.48) 解释了标准猜想对 Weil 猜想的应用.著作 [Ma] 以及 Geisser 和Levine 在 [KT] 中的文章论述了混合母题方面的最新工作，另外，André 的书 [An]是目前关于母题理论的最好的一般性导引.

参考文献

[An] André, Y.，Une introduction aux motifs (motifs purs，mtifs mixtes， périodes). Panoramas et

Syntheses,17. Societé Matlematique de France，Paris, 2004.

[Del] Deligne, P.，La conjecture de Weil. I. Inst.Hautes Etudes Sei. Publ. Math. No.43 (1974), 273-307

MR0340258

[Dem] Demazure，M.，Motifs des varités algfbriques, Sem Bour 1969/70,365, 20pp.

Gr Grothendieck，A.，Standard conjectures on algebraic cycles. 1969 Algebraic Geometry (Inter

nat. Colloq.，Tata Inst. Fund. Res., Bombay，1968) pp. 193-199 Oxford Univ. Press，London

MR0268189

[GS] Correspondance Grothendieck-Serre. Edited by Pierre Colmez and Jean-Pierre Serre. Documents

Matbématiques (Paris), 2. Société Mathématique de France，Paris，2001. (English translation

published by the AMS, 2004).

[K1] Kleiman，S.L.，Motives. Algebraic geometry, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in

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[KT] Handbook of K-theory. Vol.1，2. Edited by Eric M.Friedlander and Daniel R. Grayson. Springer-Verlag，Berlin，2005.MR2182598

[Ma] Mazza，C.，Voevodsky，V.，and Weibel，C.Lecture notes on motivic cohomology. Clay Mathemat-

ics Monographs，2.American Mathematical Society，Providence，RI； Clay Mathematics Institute，

Cambridge，MA，2006.MR2242284

[Mi] Milne，J. S.，Polarizations and Grothendieck's standard conjectures. Ann. of Math. (2) 155 (2002)，

no.2，599-610.MR1906596

[Mot] Motives. Proceedings of the AMS-IMS-S1AM Joint Summer Research Conference held at the

University of Washington，Seattle, Washington，July 20-August 2，1991. Edited by Uwe Jannsen,

Steven Kleiman and Jean-Pierre Serre. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics，55. Amer-

ican Mathematical Society，Providence， RI，1994.

[Mu] Murre，J.P.，On a conjectural filtration on the Chow groups of an algebraic variety. I.The general

conjectures and some examples. Indag. Math.(N.S.) 4 (1993)，no. 2,177-188.MR1225267

[Me]Weil，A.，Numbers of solutions of equations in finite fields. Bull. Amer. Math.Soc.55, (1949).

497-508.MR0029393

(翻译：徐克舰；校对：付保华)

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