特殊玄宇宙第二版本篇章（数学模型）

来自[15]的原始论点，使用#生成的Jensen编码来证明更强原理SIMH#(ω1)的一致性；参见定理 15。

　　

推论 11. 假设 phi 是一个句子，它在某些 Vκ 中成立，并且 κ 可测量。

那么就有一个传递模型，它同时满足IMH和句子：phi。

证明。令 R 如定理 10 的证明中所示，并令 U 为 κ 的正规测度。

　　

结构 N = (H(κ+), U) 是；通过足够大的序数：∞ 迭代 N使得由 N 生成的下部模型 M = LP(N∞) 的序数高度为 ∞。

然后 M 是 # 生成的并包含真实的 R。因此 M 是IMH。此外，由于：M 是基本链的并集 Vκ = Vκ≺VN1κ1 ≺···

其中 phi 在 Vκ 中为真，因此 phi 在 M 中也为真。 ✷

请注意，在推论 11 中，如果我们将 ψ 视为任何大基数属性，保持一些 Vκ 且 κ 可测量，然后我们获得 IMH# 模型，其中也满足了这个大基数的属性。这意味着 IMH# 的兼容性具有任意强的大基数性质。

　　问题 12. 使用弱 # 代重新表述 IMH，如下所示：：V 是弱的#-生成并且对于每个句子 phi，如果表达 V 的理论有一个外部满足 phi 且具有 α 可迭代生成 pre-# 的模型对于每个 α 都是一致的，那么 phi 在 V 的内部模型中成立。这是一致的吗？

上述弱 # 代的 IMH# 公式采用以下形式

对于可数 V ：对于每个可数 α 和所有 phi，V 是 α 生成的，如果 phi 成立在 V 的 α 生成的外部模型中，对于每个可数 α，则 phi 保持在内部V 的模型。尚不清楚这是否一致。

评论。-：Generation 的更弱形式断言 V 只是 Ord(V ) +Ord(V ) 生成的、足够数量的迭代以获得序数最大值。

　　

然而，IMH 与这种非常弱的 # 代的合成产生了一致的结果与大基数相矛盾的原则（实际上存在 # 表示任意实数）。这些不同形式的 # 代及其与 IMH 的合成，都需要进一步的哲学讨论。

我们现在已经为 HP 奠定了基础，并讨论了两个最基本的问题

极大性原则、-：Generation 和 IMH。大部分数学工作

惠普仍有待完成。因此我将在剩下的时间里做什么

文章只是提出了一系列尚未完全确定的最大值标准

分析并给出了惠普打算如何进行的风格。这些

标准也称为 H 公理，表述为元素的属性

超宇宙 H，可表示为 H 内的极大性属性。

4.8 强IMH

　　

我们对 IMH 的讨论始终是关于没有参数的句子。如果我们引入参数，就会产生更强的形式。

首先注意将参数引入 IMH 的困难。例如

该声明

“如果一个带有参数 ω 的句子在1在V 的外模型中成立，那么它在内模型”

不一致，因为参数 ω在1外部模型中可以变得可数并且因此上述对于句子“ω在1是可数的”。如果我们然而要求 ω1 被保留，那么我们就得到了一致原理。

定理 13. 设 SIMH(ω1) 为以下原理： 如果一个带有参数的句子

　　

ω1 在保留 ω1 的外部模型中成立，然后在内部模型中成立。然后SIMH(ω1) 是一致的（假设基数很大）。

证明。再次使用 PD 得到实数 R，使得 M(S) 的理论，最小传递性包含 S 的 ZFC 模型对于 R 之上的所有 S 图灵来说是固定的。现在假设 phi(ω1)是 M(R) 的 ω1 保留外模型 N 中的句子为真，其中 ω1 表示M(R) 的 ω1。那么就像IMH的一致性证明一样，我们可以将N编码为M(S) 对于 R 之上的某个实 S 图灵，而且这种编码是 ω1 保留的。

　　

由于 phi(ω1) 在 M(S) 的可定义内模型中成立，并且 ω1 在 M(R) 中是相同的，并且M(S)，由此可知 M(R) 也有满足 phi(ω1) 的内模型。✷

上述论点利用了 Jensen 编码保留 ω1 的事实。这是然而，除非 CH 成立，否则 ω2 不保持，因此我们有以下

开放式问题：

问题 14. 设 SIMH(ω1, ω2) 为以下原则：如果一个带有参数 ω1, ω2 的句子在 ω1 保留和 ω2 保留的外模型中成立，那么它成立在内部模型中。那么SIMH(ω1, ω2)是否一致（假设基数很大）？

SIMH(ω1, ω2) 意味着 CH 失败，因为任何模型都具有基数保留外部模型，其中有从 ω2 到实数的注入。有类似的吗

M∗

不满足CH的最小模型M(R)的(R)？有编码吗

定理表明 M* 的任何外部模型

(R) 保留 ω1 和 ω2 有M* 形式的进一步外部模型(S)，也具有相同的 ω1 和 ω2？如果是这样，那么我们可以建立 SIMH(ω1, ω2) 的一致性。

　　

SIMH 最通用的形式使用绝对参数。如果某个公式在保留的所有外部模型中定义了参数 p，则该参数 p 是绝对的基数达到并包括 p 的遗传基数，即p 的传递闭包。那么绝对参数 p 的 SIMH(p) 表明如果带有参数 p 的句子保存在保留基数向上的外部模型中到 p 的遗传基数，则它在内部模型中成立。完整的 SIMH（强内模型假设）指出这对于每个绝对参数都成立p。

SIMH 与莱维绝对性的增强密切相关。例如，

　　

将 Lévy(ω1) 定义为带有参数 ω1 的 Σ1 公式是绝对值的陈述，对于 ω1 保留的外部模型；这是从 SIMH(ω1) 得出的，因此是持续的。但Lévy(ω1, ω2)的一致性，即Σ1与参数的绝对性

保留这些基数的外部模型的 ω1、ω2 是开放的。

SIMH#

具有 # 代的 SIMH 的综合可以表述如下： V

如果 V 是 # 生成的并且每当句子 phi 具有绝对值时，则满足 SIMH#

　　

参数保存在 # 生成的外部模型中，其基数与 V up 相同

对于这些参数的遗传基数， phi 也适用于五。一个特殊情况是 SIMH#(ω1)，其中唯一涉及的参数是 ω1，我们只关心 ω1 保留的外部模型。

定理 15。 [15] 假设大基数，SIMH(ω1)：是一致的。

证明。假设有一个伍丁红衣主教，上面有一个不可访问的。对于每个实数R 令 M(R)：为 Lα[R]，其中 α 最小，因此 Lα[R] 是 # 生成的。伍丁上面不可访问的基数意味着有足够的投射确定性来启用

　　

我们使用马丁引理来找到一个实数 R，使得 M(S)：的理论是常数对于 S Turing-above R。我们声称 M(R)：满足 SIMH(ω1)：事实上，令：M 为# 生成的 ω1 保留 M(R)：的外部模型，满足某个句子 phi(ω1)。

令 α 为 M(R)：的序数高度（= M 的序数高度）。从结果来看，之前引用的 Jensen 的观点（[6] 的定理 9.1），M 有一个 # 生成的 ω1 保留

对于一些实 S，且 R ≤ T S，外模型 W 的形式为 Lα[S]。当然 α 是最小的

因此 Lα[S] 是 # 生成的。所以 W 等于 M(S)：并且 W 的 ω1 等于 ω1M#(R)。通过R的选择，M#(R)也有一个可定义的内模型，满足ψ(ω1).✷

　　

然而，与 SIMH(ω1, ω2) 一样，SIMH(ω1,：ω2) 的一致性是开放的。

4.9 极大值协议

该协议旨在将高度和宽度最大值的研究组织为三个阶段。

第 1 阶段。最大化序数（高度最大值）。

第 2 阶段。最大化序数后，最大化基数。

第 3 阶段。最大化序数和基数后，最大化幂集（宽度最大）。

第 1 阶段由 # 代负责。所以我们现在关注第二阶段，即基数最大化。

根据第一阶段，我们现在假设 V 是 # 生成的，并且在讨论时，V 的外部模型我们只考虑那些也是 # 生成的模型。

我们想要一个标准，它表示对于每个基数 κ, κ+ 一样大

尽可能。首先，让我们考虑 κ = ω 的情况，因此我们想要最大化ω1。当然，基本问题如下。作为 -：的集合通用扩展生成的模型也是 # 生成的：

事实。V 有一个 # 生成的外部模型，其中 ω在1是可数的。

　　

但我们肯定想要这样的东西： ωL[x]1

对于每个实数 x 都是可数的。

这样做的原因是 ωL[x]1，与 ω 不同在1，一般来说，在 V 和所有的之间是绝对的

它的外部模型。

定义 16. 令 p 为 V 中的一个参数，P 为 V 中的一组参数。然后如果存在参数来自 P 的公式 phi，则 p 相对于 P 是强绝对的

定义 V 中的 p 以及所有 # 生成的 V 保留基数的外部模型

直到并包括 中提到的参数的遗传基数

10.

　　

通常我们会取 P 由某个无限基数 κ 的所有子集组成，在这种情况下，上述定义中的基数保留指的是基数最多并包括κ。

k最大(κ+)（对于 κ 来说是无限基数）。假设序数 α 是强的

相对于 κ 子集的绝对值。那么 α 的基数最多为 κ。

可以证明，如果 κ 是正则的，则在哪个CardMax(先生+) 成立。

问题 17. CardMax 是否一致，其中 CardMax 表示 CardMax(κ+) 为所有无限基数 κ，无论是正则基数还是奇异基数？

内部基数极大性

　　

实现基数极大性的另一种方法是将 V 的基数与那些相关联其内部模型。两个大的内部模型是HOD，遗传性的阶级

序数可定义集，以及较小的内部模型 S，即 [13] 的稳定核心。V 是每个模型的类通用性。

令M表示内部模型。

M-基本违规。对于每个无限基数 k, k+ 大于 κ+ M。

在[9]中表明HOD-基数违规是一致的。我们能否加强

这？

　　

问题 18. 对于每个无限基数 κ, κ 是否一致+ 无法访问，HOD 中可测量甚至超紧凑？这与 HOD 替换为一致吗

稳定核心S？

Shelah 的结果表明，对于某些固定的情况，κ 的所有子集都属于 HODx，当 κ 是不可数共尾性的奇异强极限基数时，κ 的子集 x。

根据[8]，这在可数共尾性上不一定成立。

问题 19. 对于每个无限基数 κ, κ 是否一致+ 大于K+ Sx（相对于 x 的稳定核心）对于 κ 的每个子集 x？

10我们感谢一位裁判指出早期版本的基数极大性

　　

较弱的参数绝对性假设是不一致的。类似的现象与弱绝对参数出现在[18]的定理10中。

HOD 和 S 之间的一个主要区别是，虽然任何集合都是集合通用的，HOD，S 的情况并非如此。

问题 20. 对于每个无限基数 κ，κ 的某个子集是否一致+对于 κ 的任何子集 x 来说，Sx 不是集合通用的吗？

对这三个问题中任何一个的积极回答都会产生强大的内部影响力。

　　

V 的基数极大原则。

第三阶段：最大化序数和基数后，最大化幂集。

这是我们重新审视 SIMH 的地方，但仅限于 # 代和基本保存。再次假设 V 是 # 生成的。

如果存在无参数公式，则 V 中的参数 p 是基数绝对的

在 V 的所有 # 生成的外部模型中定义 p ，这些模型与 V 具有相同的基数。

SIMH(CP)（保留基数：SIMH）。假设：p 是绝对基数参数，V∗

是 # 生成的 V 的外部模型，与 V 和具有相同的基数

是一个带有参数 p 的句子，它在 V 中成立∗。那么 ψ 在内模型中成立V 的。

问题 21. SIMH(CP)：是否一致？

请注意，SIMH(CP)：意味着 CH 的严重故障。

4.10 宽度不可辨

极大协议的替代方案（理想情况下应与它）是宽度不可辨别性。动机是提供 V 宽度的描述

类似于 -：Generation 提供的高度描述。

回想一下，通过-：Generation，我们得出以下结论：

　　

V0≺V1≺···≺V=V∞≺V∞+1≺···

其中i ＜ j，Vi

是 Vj 的排名初始段。此外，型号 Vi

形成一个强烈意义上的难以辨别的模型的集合。这张照片的结果是从高度反射开始的分析，首先是 V 必须有无限多个初始段 Vi ，它们是 V 中的基本段。

类似地，我们引入宽度反射。我们想说 V 有正确的内部模型是“V 中的基本模型”。当然，这不可能是字面上的意思正确，就好像 V0 是 V 的基本子模型，其序数与 V 相同，那么它是容易看出 V0 等于 V 。相反，我们使用基本嵌入。

宽度反射。对于每个序数 α，都有一个适当的基本子模型 H

　　

V 使得 Vα ⊆ H 且 H 是服从的，即 H ∩ Vβ 对于每个序数都属于 Vb.

同等效果：

宽度反射。对于每个序数 α，都有一个不平凡的基本嵌入

j : V0 → V ，临界点至少为 α ，使得 j 是可以接受的，即 j ⨡ (Vβ)

V0

对于每个序数 β 都属于 V。

如果存在一个不平凡的服从 j ： V0 → V ，如第二个所示，我们写 V0 ＜ V

宽度反射的公式。这种关系是传递性的。

命题 22. (a) 如果 V0 ＜ V 则 V0 是 V 的真内模型。

　　

(b) 宽度反射相对于拉姆齐基数的存在是一致的。

证明。(a) 这是根据库南定理得出的，即不存在非平凡的

从 V 到 V 的基本嵌入。

(b) 假设 κ 是拉姆齐。那么可以得出以下形式的任何结构

M = (Vκ,ε, . . .) 具有无界的不可辨别集合，即无界子集

I 的 κ 使得对于每个 n，来自 I 的任意两个递增 n 元组满足相同的条件

M 中的公式。现在将其应用于 M = (Vκ,ε, ＜)，其中 ＜ 是 Vκ 的良序

长度κ。令 J 为 I 的任意无界子集，使得 I \ J 为无界且对于任意 α ＜ κ，设 H(J ∪ α) 表示 M 中 J ∪ α 的 Skolem 壳。则 H(J ∪ α) 为Vκ 的基本子模型，不等于 Vκ，因为 I \ J 中没有元素

大于α就属于它。由于 Vκ 包含 κ 的所有有界子集，因此可以得出以下结论

H(J ∪ α) 是可行的。✷

上面 (b) 中的参数的一个变体产生任意长的一致性

有限链 V0 ＜ V1 ＜ · · · ＜ Vn。但获得无限这样的链似乎更困难，我们甚至可以更雄心勃勃地问：

问题 23. 长度 Ord + 1 的 V0 ＜ V1 ＜ ...... ＜ V 是否一致

Vi 的联盟等于 V 吗？

　　

后者将是制定一致的标准的良好开端。

宽度不可辨别性，类似于宽度最大值的标准

-：Generation 提供的高度最大值。

4.11 全知

通过 OMT(V )，即 V 的外模型理论，我们指的是具有V 中的任意参数在 V 的所有外部模型中都成立。我们已经看到使用 V 逻辑，OMT(V ) 可在 V 上定义+。然而对于许多宇宙 V ，OMT(V ) 实际上是 V 上的一阶可定义的。据说这些宇宙是无所不知。

回想一下塔斯基关于真理的不可定义性的结果的以下版本：

命题 24. 参数来自 V 且在 V 中成立的句子集合为

　　

在 V 中不能用参数（一阶）定义。

然而令人惊讶的是，麦克·斯坦利证明了 OMT(V ) 确实可以是 V -可定义的。

定理 25. (M.Stanley [30]) 假设在 V 中存在一个真类可测基数，并且该类实际上是 V+-平稳，即 Ord(V ) 是正则的，相对于V+-可定义函数，此类与 Ord(V ) 中的每个俱乐部相交

这是V+-可定义。那么 OMT(V ) 是 V 可定义的。

证明。使用 V 逻辑，我们可以翻译这样的陈述：一阶句子 phi

（参数来自 V ）在 V 的所有外部模型中都适用于句子的有效性∗

在 V 逻辑中，可以通过 V 表达的事实

　　

+ 由 Σ1 句子组成。使用这个我们表明V 的所有外部模型中都成立的 phi 集合是 V 可定义的。

由于 Ord(V ) 相对于 V 是正则的

+-可定义的功能我们可以组建一个俱乐部

Ord(V ) 中的 C，使得对于 C 中的 κ，存在来自 Hyp(Vκ) 的 Σ1 基本嵌入

进入V+（具有临界点 κ，将 κ 发送到 Ord(V )）。事实上C可以选择为在+-可定义。

对于 C 中的任意 κ 令 phi∗

κ 是 Vκ 逻辑的句子，使得 phi 在所有外部都成立Vκ 当且仅当 phi 的模型∗K

　　

有效（Hyp(Vκ) 的 Σ1 属性）。通过基本性， phi∗K

已验证

当且仅当

∗

已验证。

　　

现在假设 phi 在 V 的所有外部模型中都成立，即 phi∗

已验证。那么 ψ∗K是对于 C 中的所有 κ 均有效，并且由于可测量值形成 V

+-固定类，有一个可测量 κ 使得 phi∗K

已验证。

相反，假设 ψ∗K

对于某些可测量的 κ 是有效的。现在选择正常的

　　

测量 κ 上的 U 并迭代 (H(κ+), U) 用于 Ord(V ) 步骤以获得有根据的结构（H*，U*)。（这个结构是有根据的，对于任何可接受的集合A，任何A 中的测量可以迭代，而不会失去 α 步骤的有根据性，对于任何A 中的序数 α。）然后 H*等于 Hyp(V∗）对于一些V＊ ⊆ V 。根据基本原理，句子 ψ

∗V ∗ 断言 phi 在 V 的所有外部模型中都成立∗

已验证。但作为

在∗是 V 的内部模型， phi 也适用于 V 的所有外部模型。

因此，如果对于某个可测量的 κ 属于 OMT(Vκ)，则 phi 恰好属于 OMT(V )，并且这是一阶可表达的。✷

　　

全知需要可测量的基数吗？事实上，斯坦利能够

只使用拉姆齐红衣主教，但就全知的一致性而言，我们有

下列的：

定理 26. ([16]) 假设 κ 不可访问且 GCH 成立。然后有

Vκ[G] 形式的全知模型，其中 G 是 V 的泛型。此外，Vκ[G]带有可定义的井序。

全知证明可以用任意的外在来对待真理

以类似于集合泛型扩展中的真值的方式进行内部建模

　　

使用集合强制的标准可定义性和真值引理来处理。事实上，情况甚至更好，因为整个外模型理论是一阶可定义的，不仅仅是该理论对有限复杂性句子的限制，强制设置的情况。（主要区别在于，在强制设置的情况下，地面模型 V 在其集合通用扩展中是统一可定义的，因此完整的OMT(V ) 不能由命题 24 在 V 中一阶可定义。全知 V出于同样的原因，不能在其任意外部模型中统一定义。）

另请注意，根据定理 25，全知与 # 代可以很好地综合：

我们只需要使用具有足够多可测量基数的模型。

4.12 惠普的未来

　　

我们已经讨论了类型 1 的证据，它来自集合论作为集合论的一个分支数学，以及类型 2 的证据，来自集合论作为基础的作用，对于数学。在第一种情况下，证据是根据其对集合论数学发展的价值来判断的，在第二种情况下，证据是根据其价值来判断的

解决数学其他领域的独立性（并为其提供工具）。

在这两种情况下，证据的权重都是由研究人员的共识来衡量的

在外地工作。

第 3 类证据还通过一组研究人员的共识来衡量

理论（及其哲学），而是源于对内在本质的分析

　　

由最大迭代概念表示的集合概念的极大性特征。超宇宙计划提供了一种推导数学的策略这种观念的后果。

为了更清楚地说明 HP 如何得出最大值的结果V 的我将讨论-：Generation 的情况以及对最佳最大值的搜索标准。

#一代是惠普的一大成功。它为高度最大值提供了强大的数学标准，这意味着所有先前已知的高度最大值原理并提供了关于如何最大化 V 的高度的优雅描述

类似于通过大基数的存在（或等效地，通过 0# 的存在）使 L 的高度最大化的方式。有充分的理由相信

-：Generation 将被集合论学家和哲学家社区接受

　　

集合论作为高度极大值的明确表达。

宽度最大值当然比高度最大值困难得多，各种可能的宽度最大值的制定、分析和综合标准尚处于早期阶段。基本的 IMH 是一个好的开始，但必须综合起来

与#一代。目前最大的挑战是处理配方

使用参数的宽度最大值。最大协议是一个有前途的方法。但需要强调的是，数学上宽度最大原则的分析具有挑战性，并且肯定存在一些问题

程序开发中出现错误，导致网络原则不一致

（这种情况已经发生过好几次了）。这种错误的转弯不会损害

该计划，而是提供对本质的有价值的进一步理解

　　

最大化。

HP 的目标是经过大量数学工作后得出最佳结果

集合域的高度和宽度的极大值准则，提供最大迭代概念的完整数学分析。正如已经说过的，这种标准是否最佳的验证取决于研究人员的共识

研究集合论及其哲学。最大迭代的可导性

概念指的是这种广受追捧的最佳标准的形式推导性的

最有趣的是从极大性导出的一阶陈述，但它是

已经明确该计划中正在制定的标准，例如

　　

本文提到的几乎都是非一阶的。我的预测是

最佳标准将包括某种形式的 SIMH，因此意味着

CH 的（一阶）失效。

我仍然乐观地认为，当这个计划的发现结合起来时

随着集合论的进一步研究及其在解决其他数学领域的独立性问题中的应用，论文所表达的预测

集合论真理将得到令人满意的实现。但首先有很多工作要做做完了。

　　

参考

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R.Solovay 和 H.Woodin）。

已收到\j已收到

补充说明

玄宇宙计划将宇宙V序数，基数，幂集最大化。

　　

序数最大化，遵循高度潜在主义。

基数最大化，有一个序数阿尔法，它对基数k的子集是强绝对的，如果基数k是一个无限的且正则的基数，那么阿尔法的基数最多为k，这里会有一个集合力迫，cardmax（k+）（基数最大化k+）成立。

序数最大化，遵循宽度完成主义。

而IMH内模型假设不满足宽度完成主义。

所以要转移到V-逻辑，也就是逻辑多元的公理上。

V-逻辑能满足宽度完成主义，且它的常元符号W-能够间接地表示V的外模型，而逻辑多元是所有可传递模型的集合（-是在W上面的)。

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