第五章数学玄宇宙计划篇章

玄宇宙计划能做到什么，玄宇宙计划将要做到什么

目录

　　省流大师 ▹

　　

　　玄宇宙计划的哲学原理 ▹

　　三类证据 ▹

　　第一类证据 ▹

　　第二类证据 ▹

　　第三类证据 ▹

　　完成主义和潜在主义 ▹

　　最大化协议 ▹

　　

　　玄宇宙计划的己知结论 （己被证明一致） ▹

　　扩展反射公理（ERA，Extended Reflection Axiom） ▹

　　#-生成（#-Generation） ▹

　　内模型假没（lMH，lnner Model Hypothesis） ▹

　　V-逻辑（V-logic） ▹

　　强内模型假设（SlMH，Strong lMH） ▹

　　全知（Omniscient）▹

　　玄宇宙计划的可能推论 （未被证明一致） ▹

　　弱-生成：▹

　　双参数强内模型假设 SlMH （\omega_1，\omega_2） ▹

　　基数绝对性 ▹

　　基数最大化 CardMax（\kappa^+）▹

　　M-基数越轨（M-cardinal Violation） ▹

　　基数绝对参数强内模型假设 SlMH（CΡ），CPSlMH ▹

　　宽度反射原理（WR，Width Reflection） ▹

　　总结陈词 ▹

　　举一反三 ▹

本文本质上是Evidence for Set-Theoretic Truth and the Hyperuniverse Programme的读书笔记。如无特别注释，都出自于此文。

本文的计划如下。首先，我将回顾一些流行的一阶公理，它们很好地满足了集合论实践的需要，并论证上述丰富性预测。其次，我将讨论在整个数学中的独立性鲜为人知的力迫公理作为上述基础性预测的证据的作用。而到目前为止，本文的主要内容和核心目标是第三部分，在这一部分中我将介绍玄宇宙计划，包括其哲学基础和最新的数学发展。

　　省流大师

• Hyperuniverse Programme, HP（玄宇宙计划）是对内模型的基本性质的另外一个方向的探寻纲领，使得内模型可以满足集合论哲学的最大化思想的要求。

• 玄宇宙计划目前依旧活跃。[1]

• 玄宇宙计划目前最好的成果是SIMH# = SIMH + #-生成。

• 玄宇宙计划提出的一部分候选者有能力决定连续统假设不成立。

　　玄宇宙计划的哲学原理

免责声明：这段数学哲学说书不代表本人的数学哲学观点，只是作者的观点的摘录

　　三类证据

集合理论实践的丰富性（第一类证据）。

集合论作为数学的一个分支，其发展是如此丰富，以至于对于哪些一阶公理（超越ZFC加小的大基数）最有利于这一发展，永远不会有共识。

• 一个基础性的需要（第二类证据）。

正如AC因其对数学实践的重要作用而被接受一样，对整个数学的独立性结果的系统研究将发现与CH（因此也包括V=L）相矛盾的一阶陈述，这些陈述最适合解决这种独立性。

• 一个最佳的最大化标准（第三类证据）。

通过玄宇宙计划，将有可能得出一个最佳的非一阶公理，表达集合论宇宙在高度和宽度上的最大化；这个公理将有与CH相矛盾的一阶后果（因此也包括V = L）。

• 集合论的真理论。

将会有一些集合论的一阶声明，它们能很好地满足集合论实践和解决整个数学的独立性的需要，而且这些声明可以从集合论宇宙的高度和宽度的最大化中推导出来。这样的陈述将被视为集合论的真实陈述。为了使一个与V=L相矛盾的一阶声明被视为真实，它必须很好地满足集合论实践和解决数学中的独立性的需要，而且它至少必须与最佳最大化标准所表达的集合论宇宙的最大化相一致。

• 超越一阶。

对于与V=L相矛盾的拟议的一阶公理的真实性，永远不会有共识；相反，真正的一阶语句将仅仅作为真正的非一阶公理的后果出现。

• 第一类证据

即使我们产生了一个很好的公理[2]，其形式为 "有（一切）大基数，V是L的典型泛化"，这样做也会使我们在一个类似L的环境中进行集合论。事实上，在集合论上还有其他令人信服的观点，它们将我们引向非类-L环境，并相应地引向完全不同的第一类公理。

• 力迫公理有很长的历史，可以追溯到马丁公理(MA)，这个简单的公理可以用来一举建立大量集合论语句的相对一致性。自然地，人们对MA的强化有兴趣，一个流行的强化是恰当力迫公理（PFA），它把这个公理强化到更广泛的恰当偏序类。而PFA自然的和类-L公理不兼容

• 在研究实数集的可定义理论和组合学特性时出现了大量的自然的基数，他们都是至多为连续统的不可数基数。这些特性提供了一个低于连续统的独特的不可数基数的大谱系，因此连续统确实相当大，与类-L性和力迫公理相矛盾。

　　因此，我们有三种不同类型的公理，具有出色的第一类证据：具有大基数的内模型公理、力迫公理和基数特征公理。它们相互矛盾，但每一个都与其他公理的内模型的存在一致。在我看来，这清楚地表明第一类证据不足以确立集合论公理的真实性；它也不足以决定CH是否为真。

第二类证据

• 除了V=L和力迫公理，对集合论之外的数学产生了重大影响，大基数公理（如超紧致）和基数特征公理(Cardinal Characteristic Axioms)的影响很小，而 ADᴸ[R]的影响至今不存在。

• 作者预测，在解决整个数学的独立性的集合论公理的选择中，V=L和力迫公理将是绝对的赢家。但是，由于V=L与集合论宇宙的宽度的最大化相冲突，它不适合作为集合论真理论的实现，使得力迫公理成为目前领先的候选人。

笔记作者的评论：只要你接纳 canonicity ，V=L和力迫公理都不需要好吧，直觉一念起刹那天地宽，施主只使用数学的实践需求来作为公理的第二类证据的话为何不速速皈依我构造主义类型论门下？

我Cubical TT修炼范畴论内功可以继承布尔巴基之名，外功可通达一切可计算数学，一切数学的证明自动检验（形式化）和整个计算机科学，你个L公理力迫公理也敢上门来和我斗实践需求的阵？

第三类证据

• 高度（或序数）最大化。宇宙V是尽可能高的，即序数序列是尽可能长的。

• 宽度（或幂集）最大化。宇宙V尽可能地宽（或厚），即每个集合的幂集尽可能地大。

• 如果M是宽度最大的，那么M的一个“增厚”性质在M的某个内部模型中也必须成立。在一阶属性的情况下，这被称为内模型假设，或者IMH(Inner Model Hypothesis)。

完成主义和潜在主义[3]

• 幂集迭代的结果有一个 "极限"，还是总是可以进一步扩展到更长的迭代？前者称之为高度完成主义。反之为高度潜在主义。

• 幂集运算的结果是确定的还是总是有可能通过增加更多的子集来进一步扩展它？前者称之为宽度完成主义。反之为宽度潜在主义。

• 玄宇宙计划将遵循高度潜在主义和宽度完成主义：尽管我们有一个明确而连贯的方式通过迭代过程生成序数，但目前还没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集。

为啥宽度潜在主义是不太合理的？考虑这样的公理：

• 任何序数都是潜在的可数：对于V的任何序数α，我们可以将V增厚到α是可数的内模型M。

　　激进潜在主义：高度潜在论 + 宽度潜在论

• 即使只是宽度潜在主义（允许宇宙被加厚），也会迫使我们进入高度潜在主义：如果我们继续加厚以使V的每个序数都是可数的，那么在Ord(V)步骤之后，我们也被迫加长以达到一个满足幂集公理的宇宙 ᴹ⁰ 。在那个宇宙中，原来的V看起来是可数的。但是，我们可以用这个新的宇宙 ᴹ¹ 重复这个过程，直到 ᴹ⁰ 也被看作是可数的。之所以这满足了高度潜在主义，是因为我们不能以所有宇宙的联合来结束这个过程，否则这将不是ZFC的模型（幂集公理将失效），因此必须在高度上延长。

　　最大化协议

　　本协议旨在将高度和宽度最大化的研究，分成三个阶段。

　1.将序数最大化（高度最大化）。

2.在实现了序数最大化之后，再实现基数最大化。

3.在对序数和基数进行最大化之后，对幂集进行最大化（宽度最大化）。

　　阶段1通过#-生成完成，阶段3通过类-IMH公理完成；对于基数最大化，我们希望对于一切基数 ᴷ，ᴷ⁺ 尽可能大。

玄宇宙计划的已知结论（已被证明一致）

　三阶反射公理是不一致的[3]。但我们可以换个方式定义α阶反射原理。

　　扩展反射公理(ERA, Extended Reflection Axiom)

　• 如果V对ERA成立，那么存在一个ZFC的模型V*(称之为V的延展)，满足

P是一阶公式，P(A)在V*中成立，A是V的子类，存在V上的序数 α＜β，

使得 ⱽᵦ ╞ P （A ∩ Vα）.

　　到此，使用ERA，对于V*上的所有序数α，都可以描述V的α-反射。

　　-生成：(#-Generation)[1]

　　#-生成断言存在一种特殊的集合，叫做a# (sharp)，通过迭代“生成”V。一个最佳的反射原理产生了，因为这个迭代也为V产生了一个封闭的无界的不可知类，足以见证任何显然成立（V=L之内）的反射原理。至关重要的是，生成V的#不能是V的一个元素，否则这种最优性就不可能实现。

　　首先，设想V可以被看作是一个初等宇宙链 Vᴋᵢ ： ᵢ＜Ord的最后一步，我们设定 V=Vᴋord。我们可以继续构建这个 "超越 "V本身的链条，产生一个向上的初等宇宙链V=Vᴋord ≺ Vᴋord+1 ≺ Vᴋord+2 ≺… .

　　

即便允许V 、Ord 这样的对象是完成的对象，可以使用，但让人难以理解的是“Ord + 1”、“ Vord 之外”这样的概念。毕竟，除了它们没有良好的定义之外，我们还很难想象 V 之外的所谓“类似集合的对象”是什么样。[3]

　　V是不可辨认生成(indiscernibly-generated)的，如果

　1.有一个长度为 Ord 的连续序列 ᴷ⁰＜ᴷ¹＜…，使得 ᴷOrd=Ord，并且有换元初等嵌入 π i，j：V→V，其中 π i，j有临界点 π i，j有临界点 ᴷⁱ 并 sends ᴷⁱ to ᴷʲ. (没理解，不知道怎么翻译)

2.对于任何 ⁱ ≤ j，V的任何元素在V中都是可以被 π i j 和 {ᴋ* ：i ≤ *＜j}内的元素一阶定义。

　　这等价于#-生成。以后也用#-生成来称呼该公理。

　　#-生成意味着所有与V=L兼容的反射形式。如果0#存在，那么#-生成一致。因此，作者认为#-生成表达了最强的高度反射原理，因此可以合理地声称#-生成是表达V的高度最大化的最佳原则。

#-生成并不满足宽度完成主义：为了得到一个足以生成V的#-生成，我们必须要构造一个Rank小于Ord(V)的不属于V的集合。为了解决这个问题，引出了弱#-生成。

　　内模型假设(IMH, Inner Model Hypothesis)

• 如果一个一阶句子在V的某个外模型中成立，那么它在V的某个内模型中也成立。

　　

在这个版本的表述中，我们可以把外模型理解为一个包含V的、与V的序数相同的、满足ZFC的传递集合V* ，内模型是指一个V的可定义子类，其序数与V相同，并且满足ZFC。根据激进潜在主义，ZFC的任何传递模型在更大的这类模型中是可数的，由此我们可以推断出V的丰富的外模型的存在。

IMH是一个非常“魔怔”的模型，它的一致性可以从PD（投影决定性），也就是ω个Woodin基数得出；但如此强力的模型之内却并不含有不可达基数。

IMH不满足宽度完成主义，为了实现宽度完成主义，接下来会转移到V-逻辑上。

V-逻辑(V-logic)

V-逻辑具有以下的常元符号：

1.α表示V的每一个集合a

2.V表示宇宙全体集合容器V

在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：

∀b，b ∈ α，ψ（b）

1.├ ∀ X ∈ α，ψ（X）

　Vα，b ∈ V，ψ（α）

　├ ∀ X ∈ V，ψ （X）

　　　

作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 α 和表示V本身的常元符号 V ，而且还有一个常元符号 W 来表示V的 "外模型"。

类似于力迫法的发明路程，一个同时接受柏拉图主义和高度完成主义的人也会遇到类似的问题。[4]

我们增加以下新公理。

1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。

2. W是ZFC的一个传递模型，包含 V 作为子集，并且与V有相同的序数。

因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V 被正确地解释为V， W 被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V⁺=Lα（V）内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。

最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：

• 假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。

　　最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V⁺ 中定义使得满足宽度潜在主义。

在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。

最终，我们结合IMH和#-生成，便得到了满足激进潜在主义的宽度/高度最大化的形式系统。当然，理论上还能更进一步的增强这些公理。在这里将这些公理命名为H公理，它们展现了玄宇宙 H的最大化性质。

强内模型假设(SIMH, Strong IMH)

• SlMH（ω₁）：带有一个绝对参数的句子如果在尊重这些参数的外模型中成立，那么在某个V可定义的内模型中也成立。

　　该公理同样可以使用PD获得一致性证明。

全知(Omniscient)

　　塔斯基真不可定义也可以改写成以下的定理：

在V中成立的带参数句子的集合在V中是不可被一阶定义的。

但V的外模型理论，OMT(V)，是可以通过V-逻辑被 V⁺ 定义的。甚至于存在许多V，OMT(V)是在V上是一阶可定义的。这样的V被称之为全知。

拉姆齐基数可以给出“ Vᴋ[G] 是全知的模型”的一致性。“V是全知的”和#-生成之间配合得相当好。

玄宇宙计划的可能推论（未被证明一致）

弱#-生成

• 预-是一个结构(N,：U)，其中U在最大基数k上测度了N的子集，并且对于任意序数α，(N, U)的α步超幂迭代依旧是良基的。

• 如果对于超过V的高度的每一个序数α，表达存在一个生成V的α-可迭代的预-的理论：Tα 是一致的，那么V就是弱#-生成的。

双参数强内模型假设 SlMH（ω₁，ω₂）

• 带有两个绝对参数的句子如果在尊重这些参数的外模型中成立，那么在某个V可定义的内模型中也成立。

　　这个公理直接给出连续统的否定。

基数绝对性

• 设p是V中的一个参数，P是V中的参数集。

　　将p称之为对P强绝对的，如果存在带有参数集P的在V上定义的公式 ψ，在V的所有#-生成的外模型上的基数都保持，包括 ψ 中提到的参数的遗传基数。

Definition 16. Let p be a parameter in V and P a set of parameters in V . Then p is strongly absolute relative to P if there is a formula ϕ with parameters from P that defines p in V and all -generated：outer models of V which preserve cardinals up to and including the hereditary cardinality of the parameters mentioned in ϕ.

我都不知道有没有翻译对。我的工地英语超载了。

　基数最大化 Cαrd MαX（ᴋ⁺）

• ᴋ是无限基数。如果序数 α 对 ᴋ 的子集是强绝对的，那么 α 的基数最多为 ᴋ .

　　可以证明，如果κ是正则基数，那么就有一个集合力迫，其中 CαrdMaX（ᴋ⁺）成立。但对于任意基数则尚不明确。

　　M-基数越轨(M-cardinal Violation)

• 存在一个内模型M，对于一切基数 ᴷ ， ᴷ⁺ 大于M的 ᴷ⁺ 。

　　HOD-基数越轨是一致的。 ᴷ⁺ 在HOD中是不可达的基数越轨还不能清楚是否一致。

基数绝对参数强内模型假设

SlMH（CP），CPSlMH

• 带有一个基数绝对参数的句子如果在基数绝对外模型中成立，那么在某个V可定义的内模型中也成立。

宽度反射原理(WR, Width Reflection)

我们可以仿照#-生成的成功来开发“宽度不可辨认性”。

• j是可调和的，如果 j | （Vᵦ）ᵛ⁰对于 ∀β：ordinal，β ∈ V

• 对于任意序数α，存在非平凡初等嵌入 j：V₀→V，crit（j）＜α并且j是可调和的

　　WR相对于拉姆齐基数的存在性是一致的。WR可以轻易的拓展到任意有限链 V₀＜V₁＜…＜Vn，但要实现无限链是困难的。要实现宽度不可辨认性，我们希望链长度达到Ord+1.

总结陈词

预理论宽度完成主义激进潜在主义

ERAIMH + 弱#-生成IMH#

-生成*SIMH：+ 弱#-生成*SIMH#

弱-生成*CPSIMH：+ 弱#-生成*CPSIMH#

IMHOmniscient + 弱#-生成Omniscient + #-生成

SIMH

CPSIMH

WR

Omniscient

带有*的理论可以证明CH不成立。

理论 一致性强度

-生成： 0# → Con(#-生成)

IMH 存在一个Woodin并 有一个不可达基数在其之上 → a Con(IMH)

SIMH PD → Con(SIMH)

SIMH → 一个存在强基数的内模型

WR 拉姆齐基数 → Con(WR)

Omniscient 拉姆齐基数 → Con("V_k[G]是全知的")

[5]

玄宇宙计划是目前依旧活跃的关于集合论哲学的研究计划。通过允许“Ord + 1”之类的对象在理论中被使用，简单粗暴的解决了高度潜在主义者的需求。而类-IMH公理所提供的外模型性质内模型化也解决了宽度潜在主义者的需求。宽度完成主义虽然更易被理解，但更难被一致地刻画出来。最后，本论文探讨了基数最大化的候选公理，以及在脱离HOD猜想的真值下将类-IMH公理一阶化的可能性（Omniscient）。

举一反三

虽然笔记作者并不是很接受这系列论文集合论哲学说书，但是毫无疑问的基数最大化和宽度最大化本身是很有研究意义的；IMH本身也非常有趣。

值得注意的是，玄宇宙计划的主要纲领和类型论哲学是可以产生对应的：

• 数学实践的丰富性：构造主义类型论需要死守canonicity，似乎注定了不会过于丰富。但即使不考虑Harvey Friedman's grand conjecture这种东西，“所有证明的规约都必须有一个绝对的有穷长度的停机的结果”似乎是一个对于所有数学家显然和必然的要求。

• 数学实践的基础需求：如前所注，类型论可通达范畴论进而通达布尔巴基，也可通达一切可计算数学，一切数学的证明自动检验（形式化）和整个计算机科学，构造主义类型论在基础需求上完胜。

• 数学的真理论，和数学的最大化：对于真理论，构造主义类型论自然还是完胜。类型论哲学不关心最大化，但我们可以进一步的讨论。

（独立性）一个典范的类型论应该是一个对 ∑¹₂（α）∪Π¹₂句子绝对，或者至多 ∑ ¹₂（R）∪ Π¹₂（R）句子绝对的canonicity理论

这个很容易理解，如果有一个对 ∑ ¹₃ 句子绝对的canonicity理论，就意味着存在一个自然数理论下的可计算函数，给出了一个 ∑ ¹₃句子的证明，同时又存在另一个自然数理论下的可计算函数，给出了这个 ∑ ¹₃句子的否证，这相当于给出了无限多个不等价的自然数理论，这是非常魔怔的（虽然从超幂这种非标准自然数理论来看很正常）。

之所以可以将 ∑ ¹₂ （α）∪ Π¹₂ （α） 的 a 设定为实数集是因为可计算分析用的就是实数集；可计算超实数分析学不可能位于P（R） 而至多只能是 R→R 上的可计算函数的可计算函数

1.（最大性）一个典范的类型论应该包括所有canonicity的反射原理

综合以上全部：一个典范的类型论，应该是一个V=L或者L(R)的canonicity片段，并且包括V=L或者L(R)所容许的全部反射原理。或许还能有些许提升，但决不能超过0#：人类目前已知的绝大多数超图灵机，想要在0#之上多走一步都是没有希望的。

这意味着IMH，SIMH#，：SlMH#（ω₁，ω₂）的canonicity片段很有可能就是我们想要的候选者。

如果不考虑死守canonicity，那么Lean也就是高配的Morse–Kelley set theory，我除了范畴论还没见过哪一个数学细分领域声称自己MK集合论不够用的，因此和集合论哲学上的结论也不会有区别。

反思的反思(本节和玄宇宙计划无关)

2024/01/31： Proof Assistants Stack Exchange 上的回答宣称

presheaves ... is the computational interpretation of intuitionistic forcing, so you can use it e.g. to negate CH.[11]

预层...是直觉主义力迫的计算解释，所以你可以用它来(构建) ¬CH (的计算解释).

此人是Coq的核心开发者之一。如果此话属实，那么几乎所有的，除了高等力迫公理（也就是所谓的无穷组合学）之外的一切集合论成果都能移植到类型论上并且拥有计算解释。

• 对于外模型：这至少包括了苏斯林假设 SH，马丁公理 MAκ ， 但不包括 PFA，马丁最大化 MM，

• 对于内模型：包括了终极L，L(R)，...， L[U]，没有Woodin基数的核心模型K，... 但不是所有带有(弱)覆盖引理的内模型/核心模型都可以，有不少构造都需要一个比 ZFC 强得多的预延展系统。

• 所有其他弱于ZFC + Mahlo, [公式] - 反射, [公式] - 反射, ... 的一致性结果

这可以说是一个美妙到无法令人相信的图景。

版本修改

2024/01/31：处理了一些理解错误的注释，改进格式，加入了对反思的反思。

2014/02/15：改进翻译和格式，添加一些对全知原理的补充。

参考

1. [SD Friedman, 2018] Explaining Maximality Through the Hyperuniverse Programme

2. 这里说的就是Woodin的终极-L

3. 翻译者的评论：如果只讨论「对集合论之外的数学产生了重大影响」，那我就要提议模态逻辑，构造主义类型论作为候选者了。集合论的影响力远不能和后两者比较。

4. [寇亮，2020] 反映原理作为大基数内在辩护的不可行性

5. [寇亮，2020] 反映原理作为大基数内在辩护的不可行性

6. [SD Friedman, 2018] Explaining Maximality Through the Hyperuniverse Programme

7. 即便允许V 、Ord 这样的对象是完成的对象，可以使用，但让人难以理解的是“Ord + 1”、“ V_Ord 之外”这样的概念。毕竟，除了它们没有良好的定义之外，我们还很难想象 V 之外的所谓“类似集合的对象”是什么样。[寇亮，2020]

8. 类似于力迫法的发明路程，一个同时接受柏拉图主义和高度完成主义的人也会遇到类似的问题。[杨睿之, 2016] 作为哲学的数理逻辑，P124

9. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-62935-3

10. Friedman, SD. (2018). Evidence for Set-Theoretic Truth and the Hyperuniverse Programme. In: Antos, C., Friedman, SD., Honzik, R., Ternullo, C. (eds) The Hyperuniverse Project and Maximality. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-62935-3_4

11. http://www.logic.univie.ac.at/~sdf/jtf.hyper.description.pdf

12. http://www.logic.univie.ac.at/~sdf/jtf.hyper.description.pdf

13. http://www.logic.univie.ac.at/~sdf/jtf.hyper.description.pdf

14. [SD Friedman, 2018] On the consistency strength of the inner model hypothesis

15. https://proofassistants.stackexchange.com/a/997/673

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