翻译版（第三章）终极集合论宇宙（V=UltimateL）

终极集合论宇宙(V= Ultimate L):

MOSTOWSKI崩溃与内部模型程序

W.Hugh Woodin

Usiversity Caltosia Berkuey

2013年10月11日

MOSTOWSKI 坍塌

定理

设M是传递集，且X ≺ M，则存在唯一的传递集N和同构

π：N ≅ X。

MOSTOWSKI崩溃的一般化普遍存在于

集合论

集合的宇宙

发电机组

假设X是一个集合.X的幂集是

P(X)=(Y | Υ 是X的子集).

集合的累积层次结构

集合的宇宙V是通过定义Vα生成的，通过对序数 α 的归纳：

1.V₀=∅.

2.Vα₊₁=P(Vα)。

3.如果 α 是一个或多个Vα = ∪ᵦ＜α Vᵦ的极限

⇨ 对于一些序数α，每个集合都属于Vα。

　

　　

参数的逻辑可定义性

设 X 是传递集。子集Y ⊆ X在逻辑上可根据参数在(X，∈)中定义，如果对于某些公式

φ[x₀，. . .，x₀]和某些参数a₁，. . .，a₀∈ X.

Υ=(a ∈ X | (X ，∈)=╞ φ[a，a₁……a₀]}

可定义功率集

对于每个集合 X ，Рᴅel(X)表示所有Y ⊆ X的集合，使得X在结构(X，∈)中可从X中的参数逻辑定义。

⇨(选择公理)Рᴅel(X)=P(X)当且仅当X是有限的。

⇨Рᴅel（Vᴊ+1）∩Р（R）正好是射影集。

有效累积层次：L

哥德尔的可构造的宇宙。

通过对Lα的归纳法对α进行定义，如下所示。

1.L₀=∅.

2.(后继情况) Lα+1=Рᴅel（Lα）.

3.(极限情况)Lα=∪{Lᵦ丨β＜α）.

L是所有集X的类，使得X∈Lα，对于某些序数α。

定理(哥德尔)

设Χ ≺ Lα。则存在唯一的序数和 β 同构

π：Lᵦ ≅ Χ.

定理(Scott)

Assame V=L，设M是传递集，且

X ≺ M

是基本子结构，使得 Χ ≅ Vα。

则Vα=X.

Arioms，它断言X ≺ M的存在，其中M是传递的

X ≅ Vα

和X ≠ Vα产生了现代层次的大基数公理。

⇨这些轴子表示V≠L.

　　

无穷大的Stiorg公理：Lairge 公理的大基数公理lbate

基数 κ 是大基数，如果存在初等嵌入。

j：V→M

使得M是传递类，而 κ 是最小序数使得j(α) ≠ α。

⇨要求 M 接近 V 会产生一系列大的基数目标：

⇨最简单的情况是 κ 是可度量的候选数。

⇨ M=V与选择公理相矛盾。

内部模型程序寻求L的扩大，使这些大基数可以存在。

⇨随着层级的提升，问题变得更加困难。

大基数公理的层次结构-短版本

⇨ 有一类适当的可测量的Cardinas

⇨ 有适当级别的强壮红衣主教。

⇨ 有一种真的伍丁卡丁纳克类，有一种真的超强卡丁纳克类

　　

……………………　　

⇨ 有一类合适的超紧凑型针管

⇨ 有一类适当的可扩展Cardinas

⇨ 有一类合适的大型枢机主教

⇨ 有一类适当的w-巨大的cardinalk。

L的放大

定义

假设E是一个集合(或类)。然后

1.L₀[E]=∅.

2.(后继型) Lα+1[E]=Рᴅel (Z)式中

Z=Lα [E]∪{E∩Lα[E]}.

3.(极限情况) Lα[E]=∪{Lᵦ[E]丨β ＜ α}.

⇨L[E]是所有集合X的类别，使得X ∈ Lα[E]对于一些序数 α。

⇨ lf E ∩L=0 then L[E]=L

⇨ 每组 X 有一组 E ，使得X ∈ L[E].

⇨ 这相当于选择的阿里翁。

　　　　

内部模型的构建块：扩展器

假设

　　 j：V→M

是具有临界点κ，κ＜η的初等嵌入，并且

Р（η）⊂ M.

长度η的（强）扩展器E由j定义长度η的扩展器E由j定义为函数：

由j定义的长度为n的扩展器E是函数：

E：Р（η）→Р（η）

其中 E(A)=j(A）∩η.

与扩展器E关联的两个序数：

⇨CRT（E）=min{α丨E（α）≠α}=κ.

⇨LTH（E）=η wheredocn（E）=Р（η）.

关于扩充量的大基数公理

δ是强基数，如果

⇨ 对于每个 γ＞δ，存在一个延长器 E 使得

　　CRT（E）=δ and LTH（E）≥ γ.

δ是超紧凑基数如果

⇨ 对于每个 γ＞δ，存在一个延长器 E 使得

E（CRT（E））= δ and LTH（E）≥ γ.

δ是可扩展基数如果

⇨ 对于每个 γ＞δ 存在一个延长器 E 使得 CRT（E）=δ，E（δ）＞γ.并且 LTH（E）＞E（γ）.

弱扩展器模型和扩展器模型

对于一个大的公理来说 Φ：

定义

传递类N是Φ 如果 Φ 由N的扩展器E在N中加粗，使得

E=F | N

对于一些延长剂 F.　　

⇨ 如果Φ 在V中成立，则V是的弱扩展器模型 Φ.

传递类N是的扩展模型 Φ。如果对于扩展器的某个序列E：

1.N=L [E].

2.N 是的弱扩展器模型 Φ，这由　

序列E上的扩展器。

比利西

内部模型程序

对于大基数公理 Φ 和扩充器模型，lener模型程序的最简单gooul是回答以下问题：

Quntion

假设它成立 Φ。是否存在N≠V的扩张模型 Φ ？

定理(Martin-Steel)

假设有一类合适的伍丁枢机主教。然后，对于Woodin基数的适当cass，存在一个扩张模型N，使得N≠V。

定理(马丁·斯蒂德)

假设存在一类合适的超荣基数，并且Iteraticn假说成立。然后，对于一类适当的超容基数，存在一个扩张模型N，使得N≠V。

超越超容：普遍性定理（University Theorem）

定理（普遍性定理）

设N是弱扩张子模型，δ是超紧的。

假设 F 是一个扩展器使得：

⇨CRT（F）≥ δ 并且 N is closed under F.

然后F | N ∈N.

⇨对于任何扩展器F.L在F下是闭合的，但是F丨L∉L

⇨δ的任何弱扩展器模型都是超紧的，所有来自V的大基数都出现在δ之上。

将内模型程序扩展到一个超级计算机基数的水平，必须产生一个高度内模型

⇨必须生成L的最终版本

哥德尔传递类HOD

⇨对于每一个组 X，TC（X）都是最小的传递集M，其中，X ∈ M。

定义

对于每个序数α.HODα+1是所有集合X ⊆ Vα的集合使得：

1.X 可根据序数参数在Vα中定义。

2.如果 Y ∈ TC(X)，则Y可从序数对在Vα中定义。

⇨（HOD）α+1的定义混合了

Lα+1和Vα+1.

　　　

(Gsdel)

HOD是所有集合X的类，使得X ∈ HODα+1 对于某些α。

超紧凑型红雀的扩展器型号呢？

定义

设E=（Eα：α∈Ord）是一个序列。

则E是弱E₂-可定义的，如果存在公式 φ(x)这样的对于所有 β ∈Ord.

⇨适用于 β＜η₁＜η₂＜η₃ .if

　　（E）ᵛᵉˢ丨β=（E）ᵛᵉˢ丨β

　　则（E）ᵛᵉ¹丨β=（E）ᵛᵉ²丨β=（E）ᵛᵉ³丨β.

　　其中（E）ᵛ⁷={a∈Vα丨Vγ ╞ φ[a]}.　　

⇨序列（HOD∩Vα：α∈Ord）是弱∑₂-dtfnable。

　　　

　　　　

严重阻碍

⇨假设存在一类适当的超紧基数　　 通过课堂强制，可以安排以下内容

1.V=HOD，有一类合适的超紧凑基数。

2.假设E是一个扩充子序列，使得

(a)L[E] 国是超紧凑型坎迪努尔的展延机型号.

(b) E是弱∑₂-可定义。

然后V ⊆ L[E]。

分支

排除了将lnner模型程序开发到为δ 是超压缩构建扩展模型的水平.

⇨事实上，在任何必要的方面都无法超越Martin-Steel扩展器型号。

部分扩展器和部分扩展器模型

长度为η的部分扩展器E是从初等嵌入得到的。

j：N→M

其中 N ∩ P(η)=M ∩ P(η)：

1.E具有域N ∩ P(η)：

2.E(A)=j(A) ∩ η .

定义

传递类N是如果对于部分扩展器的某个序列E的部分扩展器模型：

　　

1.N=L[E].

2.N是Φ的弱扩展器模型，这一点可以由∽₁：序列E上的扩展器

良好的部分扩展器型号

⇨每个弱扩展器模型都可以重新组织为

部分延长剂型号，因此：

⇨ 要求MOSTOWSKI崩溃的一般化。

定义

设L[E]是部分扩张子模型。则L[E]是一个很好的偏扩展模型如果对所有η＜α. 如果

X≺（Lα[E].E∩Lα[E]）

是由可由η参数定义的元素给出的初等子结构，则

Χ≅（Lᵦ[E].E∩Lᵦ[E]）

对于某些 β.

⇨ 如果 L[E]是一个很好的部分扩张模型那么在L[E]中，Geoeralized Continuum假设成立。

Mitchell-Steel 模型

⇨ 用于大到超强基数水平的大基数的良好部分扩展器模型的基本框架源于Mitchell和Steel的构造

⇨ 由于Jersen，存在一个重要的变化，即

等价，但产生模式与更强的共凝聚性质的模型。

定理(Mitchell-Steel等入)

假设有一类合适的伍丁红衣主教。然后，对于一类适当的伍丁基数，存在一种部分扩展模L[E]，使得

(1)E 是弱E₂-可定义的.

(2)L[E]是一个很好的偏扩展模型。

定理(Mitchell-Steel等入)

假设迭代假设，并有一个适当的超级强心脏类。然后，对于一类适当的超强基数(如thut)，存在一个偏扩张模型L[E]。

(1)E 是弱Σ₂-可定义的，

(2)L[E]是一个很好的部分扩张模型。

猜想

假设迭代假设存在一个可扩展的cardieg，那么对于一个　

soiperCompact Cardinal，使得

(1)E是弱Σ₂-可定义的，

（2）L(E)是一个很好的部分扩展模型。

第一步

定理

假设有一个超紧凑的基数，并且teration假设成立。则存在部分扩展模型L[E]，使得

(1)E是弱Σ₂-可定义的，

(2)L[E]是一个很好的偏扩展模型。

(3)L[E]是κ存在的弱扩展模型，因此κ是κᵒⁿ-所有n＜ω的超压缩

⇨该定理表明，障碍物可以被成功地处理。

⇨结构似乎表明了如何处理一般情况。

广义多元宇宙

定义

设M是可数传递集，

M╞ ZFC.

M生成的一般多元宇宙是最小的集合Vᴍ 可数传递集，使得对于所有对（N₀，N₁）的可数传递集如果

1.M₁是M₀的通用扩展

2任何一个 N₀ ∈ Vᴍ 或N₁ ∈ Vᴍ

然后两者N₀ ∈ Vᴍ和M₁ ∈ Vᴍ。

(元)定义

广义多元宇宙是由V生成的广义多元宇宙。

Mitchell-Steel模型与广义多元宇宙

引理(V=L)

v是广义多元宇宙的最小宇宙。

定理

假设L[E]是一个(可迭代的)Miachell-Steel模型，并且

L[E]╞ “有一个伍丁候选人”。

然后有一个Mitchell-Steel模型L[F]⊂ L[E]，使得L[E]是L[F]的一个基因扩展。

同样的定理也适用于Mitchell-Steel模型超越超容的推广。

Ultimate-L是广义Mitchell-Steel模型吗？

假设迭代假说在V中成立，并且存在一类适当的可测量的Woodin Cardinak。

⇨不知道是否存在一类适当的可测量Woodin基数的Mitchell-Steel模型L[E]，其中E可定义(甚至从参数)。

⇨假设L[E]是Mitchell-Steel 模型，其中

存在着一位伍登红衣主教。关于Lα[E]的归纳一阶要求非常复杂：

⇨对于通用和Machtl-Steel车型，情况只会变得更糟。两个问题

1.公理“V=Ukimate-L”公理有没有简单的候选？

2.Utimate-L 是否是一种好的部分扩展器模式？

普遍Baire集

定义(Feng-Magidor-Woodin)

一个集合 A ⊆ R是泛Baire，如果对于所有拓扑空间 Ω 和所有连续函数π：Ω→ R π 对 A 的预象在 Ω 空间中具有Baire性质。

⇨统一Baire 集是Borel 集的抽象推广。

定理

设Woodin Cardinals存在一个适当的类，A ⊆ R 是泛Baire. 然后每一套

B∈L(A，R) ∩ P(R)

是全能的贝尔。

HODᴸ⁽ᴬᴿ⁾和大基数公理

定义

假设A ⊆ R普遍是Baire。

然后θᴸ(ᴬᴿ）是序数α的上确界，使得存在满射。π：R→α.使得π ∈ L（A，R）.

⇨Θᴸ⁽ᴬᴿ⁾是A复杂性的度量。

项

假设有一类正统的伍丁红衣主教

A泛指Baire。

然后Θᴸ⁽ᴬᴿ⁾是HOD 的Woodin红衣主教ᴸ⁽ᴬᴿ⁾

然后HoDᴸ⁽ᴬᴿ⁾与内模程序

定理(Seel)

假设有一类适当的伍丁枢机，让

δ=Θᴸ⁽ᴬᴿ⁾

则HODᴸ⁽ᴬᴿ⁾ ∩Vδ，是一个Miechell-Steel模型

定理

假设有一类合适的伍丁枢机主教。　　然后HODᴸ⁽ᴿ⁾不是Mitchell Steel模型

对于大基数的内模问题，还有另一种解决方案。

⇨战略党派/延伸者模型

⇨之前未知.

V=Ultimate-L的公理

(元)猜想：VUtimatesL的anom

⇨有一位强壮的红衣主教和一位正统的伍丁红衣主教。

⇨ 对于每个Σ₃-语句 φ，如果 φ 在V中成立，则存在一个通用Baire集合A ⊆ R，使得

HODᴸ⁽ᴬᴿ⁾∩ VΘ╞ φ

其中Θ=Θᴸ⁽ᴬᴿ⁾

⇨这个公理解决了所有关于P(R)(及更多)的句子(无穷模公理)，这些句子已被Cohen方法证明是独立的。

定理(V-UkinsteL)

连续体假说成立。

V=Ultimate-L 的更多后果

定理(V=Ultimate-L)

对每个基数 κ，如果V[G]是V的集广属扩张，则存在初等嵌入=

　　π：（H（κ⁺））ᵛ→N

　　u：k N+1（π，N）∈ V 使得N∈HODᵛ[ᶜ].

　　推论 (V-Uirinate- L)

V=HOD。

推论(V-Uhimate- L)

V是广义多元宇宙的最小宇宙。

　　　　　　　

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