第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL）

终极集合论宇宙（V=UltimateL）

　　TheMostowskiCollapse and the lnner Model

　　program

　　w.Hughwoodin

　　usiversity of CaEtyaia BerLeley

　　October 11.2013

　　TheMostowskiCoollapse

　　Theorcm

　　Suppose Mis atransitivesetandΧ≺M.Tbenthereisa unique transitve set Nand isomorphism

　　π：N≅Χ.

　　ThegentrallＩatiorsof the Mostowski Collapseareubiquitousin set Theory.

　　The Universeofsets

　　Thepowersct

　　suppose Χ is a set 。The powerset of Χ is the set

　　Р（X）={Y丨Y is a subset of Χ}.　

　　　CumuJativeHierarchyofScts　TheunherseVofsetsisgeneratedbydeflningVαbyinductionontheordinalα：

　　1.V₀=∅.

　　2.Vα+1=Ρ（Vα）.

　　3.ifαisalimitordinalthenVα=Uᵦ＜αVᵦ.

　　⇨EverysetbeloegstoVαforsomeordinalα.

　　Logicaldefinabilityfromparameters

　　BchedDooset

　　SupposeΧisatransitiveset.AsubsetΥ⊆Χislogicallydeflnablein（Χ，∈）fromparmetersifforsomeformula φ[x₀……x₀]andforsomeparametersa₁……a₂∈Χ，

　　Υ={a∈Χ丨（Χ，∈）╞ φ[a，a₁……a₀]}

　　Thedefinablepowerset

　　ForeachsetΧ，Рᴅel（Χ）denotesthesetofallΥ⊆ΧsuchthatΧislogicallydtfinableinthestructure（Χ，∈）fromparametersinΧ.

　　⇨（AxiomofChoice）Рᴅel（Χ）=Р（X）ifandonlyifΧisflnite。

　　⇨Рᴅel（Vᴊ+1）∩Р（R）isexactlytheprojectivesets.

　　Theeffectivecumulativehierarchy：L

　　Gōdd＇sconstructibleuniverse.L

　　DefineLαbyinductiononαasfollows.

　　1.L₀=∅.

　　2.（Successorcase）Lα+1=Рᴅel（Lα）.

　　3.（Limitcase）Lα=∪{Lᵦ丨β＜α）.

　　ListheclassofallsetsΧsuchthatΧ∈Lαforsomeordinalα.

　　Theorem（Gōdel）

　　SupposeΧ≺Lα.Thenthereisauniqueordinalβand

　　isomorphism

　　π：Lᵦ≅Χ.

　　Theorem（Scott）

　　AssumeV=LSupposeMisatransitivesetandthat

　　Χ≺M

　　isanelementarysubstructuresuchthatΧ≅Vαforsomeα.ThenVα=Χ.

　　AxiomsewhichasserttheexistenceofΧ≺MwhereMistransitive.

　　Χ≅Vα

　　andΧ≠Vαyieldthemodernhierarchyoflargecardinalaxioms.

　　⇨TheseaxiocnsimplyV≠L.

　　Stiongaxcmsofinfinity：largecardinalaxioms

　　BzrJmpJateforlargecardinalaxioms

　　Acardinalκisalargecardinalifthereexistsanelementaryembedding.

　　j：V→M

　　suchthatMisatrarsitiveclassandκistheleastordinalsuchthatj（α）≠α.

　　⇨RequiningMbeclosetoVyitldsahierarchyoflargecardinalaxioms：

　　⇨simplestcaseiswhereκisameasurablecardinal.

　　⇨M=VcontradictstheAxiomofChoice.

　　ThelnnerModelprogramseeksenlargementsofLinlargecardinalscanexist.

　　⇨Theproblembecomesmorediffrcultasoneascendsthehierarchy.

　　Thehierarchyoflargecardinalaxioms-shortversion

　　⇨Thereisaproperclassofmeasurablecardinals.

　　⇨Thereisaproperclassofstrongcardinals.

　　⇨Thereisaproperclassofwoodincardinals.

　　⇨Thereisaproperclassofsuprstrongcardinals.

　　…………………

　　⇨Thereisaproperclassofsupercompactcardinals.

　　⇨Thereaproperclassofextendiblecardinals.

　　⇨Thereaproperclassofhugecardinals.

　　⇨Thereaproperclassofw-hugecardinals.

　　EnlargementsofL

　　Deflnition

　　SupposeEisaset（orclass）.Then

　　1.L₀[E]=∅.

　　2.（Successorcase）Lα+1[E]=Рᴅel（Z）Where

　　Z=Lα[E]∪{E∩Lα[E]}.

　　3.（Limitcase）Lα[E]=∪{Lᵦ[E]丨β＜α}.

　　⇨L[E]istheclassofallsetsΧsuchthatΧ∈Lα[E]forsomeordinalα.

　　⇨lfE∩L=0thenL[E]=L

　　⇨ForeverysetΧthereisasetEsuchthatΧ∈L[E].

　　⇨ThisisequivalenttotheAxiomofChoice.

　　Thebuildingblocksforinnermodels：Extenders

　　supposethat

　　j：V→M

　　isarelementaryembeddingwithcniticalpointκ，κ＜η.andthat

　　Р（η）⊂M.

　　The（strong）extcnderEoflengthηdcrivedfromj

　　TheextenderEoflengthηdefinedfromjisthefunction：

　　E：Р（η）→Р（η）

　　whereE（A）=j（A）∩η.

　　TwoordinalsassociatedtotheextenderE：

　　⇨CRT（E）=min{α丨E（α）≠α}=κ.

　　⇨LTH（E）=ηwheredocn（E）=Р（η）.

　　Largecardinalaxiomsintermsofextenders

　　δ isastrongcardinalif

　　⇨foreach γ＞δ thereexistsanextenderEsuchthat

　　CRT（E）=δandLTH（E）≥ γ.

　　δisasupercompactcardinalif

　　⇨foreach γ＞δ thereexistsanextenderEsuchthat

　　E（CRT（E））=δandLTH（E）≥γ.

　　δisanextendiblecardinalif

　　⇨foreachγ＞δ thereexistsanextenderEsuchthat

　　CRT（E）=δ，E（δ）＞γ.andLTH（E）＞E（γ）.

　　weakextendermodelsandextendermodels

　　Foralargecardinalaxiom Φ：

　　Deflnition

　　AtrarsitiveclassNisaweakextendermodelforΦifΦiswitnessedtoholdinNbyextendersEofNsuchthat

　　E=F丨N

　　forsomeextenderF.

　　⇨lfΦholdsinVthenVisaweakextendermodelforΦ.

　　Deflnition

　　AtransitiveclassNisanextendermodelfor Φ ifforsomesequenceEofextenders：

　　1.N=L[E].

　　2.Nisaweakextendermodelfor Φ andthisiswitnessedbytheextendersonthesequtnceE.

　　ThelnnerModelprogram

　　ForaLargecardinalaxiom Φ andextendermodels.thesimplestgoalofthelnnerModelprogramistoanswerthequestion：

　　Question

　　Assumethat Φ holds.MustthereexistanextendermodelsuchthatN≠V？

　　Theorem（Martin-Steel）

　　Supposethereisaproperclassofwoodincardinals.ThenthereisanextendermodelNforaproperclassofwoodincardinalssuchthatN≠V.

　　Theorem（Martin-Steel）

　　SupposethereisaproperclassofsuptrstrongcardinalsandthelterationHypothesisholds.ThenthereisisanextendermodelNforaproperclassofsuperstrongcardinalssuchthatN≠V.

　　Beyondsuperstrong：theUniversalityTheorem

　　Thcorem（UniversaΓtyTheorcm）

　　SupposethatNisaweakextendermodelforδissupercompact.

　　supposethatFisanextendersuchthat：

　　⇨CRT（F）≥δandNisclosedunderF.

　　ThenF丨N∈N.

　　⇨ForanyextendtrF.LisclosedunderFbutF丨L∉L

　　⇨AnyweakextendermodelforδissupercompactinhenitsallLargecardinalsfromVwhichoccuraboveδ.

　　Conclution

　　TheextensionofthelnnerModelprogramtothelevelofonesupercompactcardinalmustyieldtheultimateinnermodel

　　⇨itmustyieldanultimateversionofL.

　　Gödel’stransitiveclassHOD

　　⇨ForeachsetΧ，TC（Χ）isthesmallesttransitivesetMwithΧ∈M.

　　Deflnition

　　Foreachordinalα.HODα+1isthesetofallsetsΧ⊆Vαsuchthat：

　　1.ΧisdefinableinVαfromordinalparameters.

　　2.lfＹ∈TC（Χ）thenＹisdtfinableinVαfromordinalparameters.

　　⇨ThedefinitionofHODα+1isamixtureofthedefinitionofLα+1andVα+1.

　　OefinlenM（Gödel）

　　HODistheclassofallsetsΧsuchthatΧ∈HODα+1forsomeα.

　　whatabutextendermodelsforsupercompactcardinals？

　　Deflnition

　　supposethatE=（Eα：α∈Ord）isasequence.

　　ThenEisweakly∑₂-definableifthereisaformua φ（x）suchthatforallβ∈ord.

　　⇨for all β＜η₁＜η₂＜η₃ .if

　　（E）ᵛᵉˢ丨β=（E）ᵛᵉˢ丨β

　　then（E）ᵛᵉ¹丨β=（E）ᵛᵉ²丨β=（E）ᵛᵉ³丨β.

　　where（E）ᵛ⁷={a∈Vα丨Vγ╞φ [a]}.

　　⇨Thesequtnce（HOD∩Vα：α∈Ord）isweakly∑₂-dtfnable.

　　Aseriousobstruction

　　⇨Assumethereisaproperclassofsupercompactcardinals

　　Byclassforcingonecanarrangethatthefollowinghold

　　1.V=HODandthereisaproperclassofsupercompactcardinals.

　　2.SupposeEisanextendersequencesuchthat

　　（a）L[E]isanextendermodelforδisasupercompact

　　（b）Eisweakly∑₂-deflnable.

　　ThenV⊆L[E].

　　Ramiflcations

　　RulesoutdeVelopingthelnnerModelprogramtothelevelofconstructingextendermodelsfor δ issupercompact.

　　⇨lnfactonecannotgobeyondtheMartin-Steelextendermodelsinanyessentialway.

　　Рartial-extendersandpartial-extendermodels

　　A partial-extender E of length η isobtainel from an elementary embedding.

　　j：N→M

　　whereN∩Р（η）=M∩Р（η）：

　　1.E has domain N∩P（η）：

　　2.E（A）=j（A）∩η.

　　Deflnition

　　AtransitiveclassNisapartial-extendermodelsequenceEofpartial-extenders：

　　1.N=L[E].

　　2.Nisaweakextendermodelfor Φ andthisiswitnessedbythe ∽₁：alextendersonthesequenceE.

　　Goodpertial-extendermodels

　　⇨Eveyweakextendermodelcanbere-organiＩedasapartial-extendermodel.therefore：

　　⇨ReguireagererakＩationoftheMostowskiCollapse.

　　Defmition

　　SupposeL[E]isapartial-extendermodel.ThenL[E]ispartial-extendermodelifforall

η＜α.if

　　X≺（Lα[E].E∩Lα[E]）

　　istheelementarysubstructuregivenbytheelementswhicharedeflnablewithparametensfromηthen.

　　Χ≅（Lᵦ[E].E∩Lᵦ[E]）

　　for some β.

　　⇨lfL[E]isagoodpartial-extendermodelthenthecontinuumHypothesisholdsinL[E].

　　Mitchell-Steelmodels

　　⇨Thebasicframewcrkforgoodpartial-extendersmodelsforlargecardinalsuptothelevelofsuperstrongcardinalsoriginatesintheconstuctionsofMitchellandSteel.

　　⇨ThereisanimportantvaiationduetoJensenwhichisequivalentbutyiekjsmodelswithstrongercondensationproperties.

　　Theeorem（MitchellSteeletal）

　　Assumethereisaproperclassofwoodincardinals.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]foraproperclassofwoodincardinalssachthat

　　（1）Eisweakly∑₂-definable.

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　Theorem（Mitchell-Steeletal）

　　AssumetheltenationHypothesisandthatthereisaproperclassofsuperstrongcardinals.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]foraproperclassofsuperstrongcardinalssuchthat

　　（1）Eisweakly∑₂-definable。

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　Conjecture

　　AssumethelterationHypothesisandthatthereisanextendibiecardinal.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]forasupercompactcardinalsuchthat

　　（1）Eisweakly∑₂-definable.

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　Afirststep

　　Theorem

　　AssumethereisasupercompactcardinalandthatthelterationHypothesisholds.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]suchthat

　　（1）Eisweakly∑₂-deflnable。

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　（3）L[E]isaweakextendermodelfortheexistenceofκsuchthatκisκᵒⁿ-supercompactforalln＜ω.

　　⇨Thetheoremshowsthattheobstructionscanbesuccessfullydealtwith.

　　⇨Theconstructionsseemtoindicatehowtohandlethegeneralcase.

　　TheGeneric-Multiverse

　　Definition

　　SupposethatMisacountabletransitivesetandthat

　　M╞ZFC.

　　Thegeneric-multiversegeneratedbyMisthesmallestsetVᴍofcountabletransitivesetssuchthatforallpairs（N₀，N₁）ofcountabletransitivesetsif

　　1.N₁isagenericextensionofN₀

　　2.eitherN₀∈VᴍorN₁∈VᴍthenbothN₀∈VᴍandN₁∈Vᴍ.

　　（meta）Definition

　　TheGeneric-Multiverseisthegeneric-multiversegeneratedbyV.

　　Mitchell-SteelmodelsandtheGeneric-Multiverse

　　Lemma（V=L）

　　VistheminimumuniverseoftheGeneric-Multiverse.

　　Thcorem

　　SupposeL[E]isan（iterable）Mitchell-Steelmodeland

　　L[E]╞ＴbctelsawoodincardinΓ.

　　ThenthereisaMitchell-SteelmodelL[F]⊂L[E]suchthatL[E]isageneΙcextensionofL[F].

　　ThesametheoremappliestotheextensionofMitchell-Steelmodelsbeyondsuperstrong.

　　lsUltimate-LageneralizedMitchell-Steelmodel？

　　AssumetheHerationHypothesisholdsinVandthatthereisaproperclassofmeasurablewoodincardinals.

　　⇨ltisnotknownifthereexistsaMitchell-SteelmodelL[E]foraproperclassofmeasurablswoodincardinalswithinwhichEisdefinablecevenfromparameters）.

　　⇨SupposeL[E]isaMitchell-Steelmodelwithinwhichthereexistsawoodincardinal.TheinductivefirstorderrequirementsonLα[E]arevtrycomplicated：

　　⇨thingsoelygetworseforthegentraliＩedMitchel-Steelmodels.

　　Twoquestions

　　1.lsthereasimplecandidatefortheaxiomⅤ=Ultimate-L”？

　　2.lsUltimate-Levenagoodpartial-extendermodel？

　　UniversallyBairesets

　　Definition（Feng-Magidoe-woodin）

　　AsetA⊆RisuniversallyBaireifforalltopologicalspacesΩandforallcontinuousfunctions：Ω→R.thepreimageofAbyπhasthepropertyofBaireinthespaceΩ.

　　⇨UniversallyBairesetsareanabstractgeneraliＩationoftheborelsets.

　　Theorcm

　　SupposethatthereisaproperclassofwoodincardinalsandthatA⊆RisuniversallyBaire.Theneveryset

　　B∈L（A，R）∩Р（R）

　　isuniversallyBaire.

　　HODᴸ（ᴬᴿ）andlargecardinalaxioms

　　Definition

　　SupposethatA⊆RisuniversallyBaire.

　　ThenΘᴸ（ᴬᴿ）isthesupremumoftheordinalsαsuchthatthereisasurjection.π：R→α.suchthatπ∈L（A，R）.

　　⇨Θᴸ（ᴬᴿ）isameasureofthecomplexityofA.

　　Relnrme

　　SupposethatthereisaproperclassofwoodincardinalsandthatAisuniversallyBaire.

　　ThenΘᴸ（ᴬᴿ）isawoodincardinalinHODᴸ（ᴬᴿ）.

　　HODᴸ（ᴬᴿ）andthelnnerModelprogram

　　Theorcm（Steel）

　　Supposethatthereisaproperclassofwoodincardinalsandletδ=Θᴸ（ᴿ）.

　　ThenHODᴸ（ᴿ）∩VδisaMitchell-Steelmodel.

　　Theorcm

　　Supposethatthereisaproperclassofwoodincardinals.

　　ThenHODᴸ（ᴿ）isnotaMitchell-Steelmodel.

　　Thereisanotherclassofsolutionstotheinnermodelproblemforlargecardinals.

　　⇨strategicpartial-extendermodels

　　⇨previouslyuhknown.

　　TheaxiomforV=Ultimate-L

　　（meta）Conjecture：TheaxiomforV=Ultimate-L

　　⇨Thereisastrongcardinalandaproperclassofwoodincardinals.

　　⇨Foreach∑₃-sentence φ，if φ holdsin V thenthereisauniversallyBairesetA⊆Rsuchthat

　　HODᴸ（ᴬᴿ）∩VΘ╞φ

　　where Θ=Θᴸ（ᴬᴿ）.

　　⇨Theaxiomsettles（moduloaxiomsofinfinity）allsentencesaboutp（R）（andmuchmore）whichhavebeenshowntobeindependentbyCohen’smethod.

　　Theorcm（V=Ultimate-L）

　　TheComtinuumHypothesisholds。

　　MoreconsequencesofV=Ultimate-L

　　Theorem（V=Ultimate-L）

　　Foreachcardinalκ.ifV[G]isaset-genericextensionofVthenthereexistsanelementaryembedding

　　π：（H（κ¹））ᵛ→N

　　u：kN+1（π，N）∈VandsuchthatN∈HODᵛ[ᶜ].

　　corollary（V=Ultimate-L）

　　V=HOD.

　　corollary（V=Ultimate-L）

　　Vistheminimumuniverse of the Generic-Multiverse.

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