量子逻辑和概率论（三）

它有时被忽略了，即使测试空间A确实具有分离的无分散状态，也可能存在统计状态，这不能实现为这些混合物。 古典图像为这些状态提供了解释。 对于这种类型的非常简单的例子，考虑测试空间：

一个= {{一个，x，b}，{b，y，c}，{c，z，一个}}

和状态ω（a）=ω（b）=ω（c）=

1

2

，ω（x）=ω（y）=ω（z）= 0。 这是一个简单的练习，表明ω不能表示为A上的{0,1}的加权平均值。有关这一点的进一步示例和讨论，请参阅Wright [1980]。

6.2上下文隐藏变量

上述讨论的结果是，大多数测试空间不能嵌入到任何经典测试空间中，并且即使存在这样的嵌入，它通常无法解释一些模型的状态。 但是，有一个非常重要的模型，始终可能是令人满意的经典解释。 如果测试不重叠，让我们调用一个半古典的测试空间; 即，如果e∩f=∅for e，f∈a，用e∈F。

6.1 LEMMA：

让A成为半古典。 然后A具有分离的无分散状态，并且在A上的每个极端状态是无分散的。

只要是局部可数（即，在A中没有测试E的测试E），每个状态都可以以极端状态的合适意义表示为凸组合（Wilce [1992]）。 因此，局部可数半古典测试空间的每个状态都具有经典的解释。

即使硼尔测试空间和量子测试空间都不是半古典，也可能争辩说，在任何真实的实验室情况下，半古典性是规则。 通常，当一个人在一个人的实验室笔记本上写下一个已经执行了给定测试并获得了给定的结果时，一个人始终有一个测试的记录。 实际上，考虑到任何测试空间A，我们可以始终通过在A中形成测试的CO-MACTION（DISBOING UNION）来始终形成半古典测试空间：

6.2定义：

对于每个测试E，让e〜= {（x，e）|x∈e}。 A的半古典封面是测试空间

a~ = {e~|e∈a}。

我们可以将A从A〜缺失所产生的A，以删除进行测试以确保给定的结果。 注意，在A×（x，e）=ω（x）上定义一个状态ω_的状态ω_。 映射ω→ωa明显注射; 因此，我们可以识别A的状态空间A〜〜的状态空间。 请注意，A〜通常会有许多州，这些州不会下降到A上。我们可能希望将这些视为“非物理”，因为它们不尊重（大概，身体上积极的）结果标识，从而定义了A.

由于它是半古典的，A〜承认经典的解释，根据引理7.1。 让我们来看看这个。 s（a〜）的元素量为映射f：a~→x，分配给每个测试e∈a，结果f（e）∈e。 这是一个（相当的野蛮）的例子，其是由上下文（无分散的）隐藏变量的含义。 上面的施工告诉我们，这种上下文隐藏变量将适用于统计模型。 对于其他结果相同的结果，参见Kochen和Specker [1967]，胡说[1970]，Holevo [1982]，以及不同的方向PiTowsky [1989]。[19]

请注意，A上的简单随机变量完全对应于A〜上的简单随机变量，并且这些变量又对应于可测量的空间S（A〜）上的一些简单随机变量（在通常的意义上）。 因此，我们具有以下图片：通过省略一些随机变量，可以始终从经典模型获得模型（A，Δ），并识别不再被保留的那些识别不再区别的结果。

这一切可能表明，我们的广义概率理论无明显概念偏离古典概率理论。 另一方面，沿着前线构造的模型具有明显的临时字符。 特别地，上面构造的一个经典（或半传统）模型中的一组“物理”状态不是由任何独立的物理原理确定的，而是仅通过与原始非半定形模型的一致性来确定。 另一种反对意见是本节中介绍的上下文隐藏变量非常非本地。 现在普遍认识到，这种非局部性是量子（更通用的）概率模型中非经典的主要基因座。 （有关更多关于此，请参阅贝尔定理的条目。）

7.复合系统

量子力学的一些最令人费解的特征与描述复合物理系统的尝试有关。 例如，它在这种情况下，测量问题和以贝尔定理为中心的非途径结果。 有趣的是，耦合系统对量子逻辑程序也提出了挑战。 我将结论本文，描述了两个结果，表明量子逻辑模型的耦合倾向于从希尔伯特空间量子力学的领域进一步移动我们。

7.1 Foulis-Randall示例

在这方面的一个特别引人注目的结果是观察Foulis和RandAll [1981A]，任何合理的（且相当一般）的正交果实的张量产物将不能保持正交连贯性。 考虑测试空间

5号= {{一个，x，b}，{b，y，c}，{c，z，d}，{d，w，e}，{e，v，一个}}

由五个粘贴在循环中粘贴的三个三个结果测试组成。 该测试空间绝不是病态; 它既是正交和代数，其逻辑都是正面的晶格。 此外，它承认无分离的分散状态，因此是经典解释。 它也可以嵌入在任何三维希尔伯特空间H的测试空间啊。现在考虑我们如何模拟由A5所建模的两个分离的子系统组成的复合系统。 我们需要构建测试空间B和一个映射⊗：x×x→y =∪b满足，微小;

对于所有结果x，y，z∈x，如果x⊥y，那么x⊗z⊥y⊗z和z⊗x⊥z⊗y，

对于每对状态α，βω（A5），B上存在至少一个状态ω，使得ω（x⊗y）=α（x）β（y），用于所有结果x，y∈x。

禽流群和兰德尔表明，没有这样的嵌入，B是正弦的。 实际上，假设我们有一个测试空间B和嵌入令人满意的条件（a）和（b）。 考虑一组结果

s = {a⊗b，b⊗e，c⊗c，d⊗a，e⊗d}。

by（a），该组是成对正交的。 现在，让α是A5上的状态，在结果A，B，C，D和E上取值1/2，以及x，y，z，w和v的值0。按条件（b），b上存在状态ω

ω（s⊗t）=α（s）α（t）

对于所有结果，在X中。但这种状态在集合S上取得恒定值为1/4，因此，它在此设置为5/4＞1中。 因此，S不是事件，B不是正交的。

重要的是在这里强调测试空间A5具有完全不上面的量子机械解释，因为它可以实现为三维希尔伯特空间H中的一组正式基础。然而，状态ωFoulis-Randall示例不能在机械上出现量子 - 机械 - 更不慢）。 （实际上，这是从示例本身之后的：规范映射H×H→h⊗h提供满足上面条件（a）和（b）的映射。由于L（h⊗h）是正反声的，因此设置s对应于成对正交的突起族，其中量子 - 机械状态必须总和到不超过1.）

7.2 AERTS的定理

具有稍微类似的力的另一种结果是αerts[1981]。 如果L1和L2是两个PIROR格子，则返回的方式以相当自然的方式构造一个表示两个分离系统的格子L，每个晶格L由给定的格子之一建模。 这里“分离”意味着较大系统L的每个纯净状态完全由两个分量系统L1和L2的状态确定。 然后αers显示L再次是Piron晶格IFF，两个因子L1和L2中的至少一个是经典的。 （此结果最近有几种方式得到了Ischi [2000]的加强。）

7.3后果

这些禁止结果的推动力是复合系统的合理模型的直接结构破坏了规则性条件（在禽流兰德的情况下，正交性和求求性的覆盖法的正交关系）广泛用于推销通常量子机械形式主义的重建。 这有疑问是任何这些条件是否可以被视为具有最乐观的麦克斯计划的普遍性的普遍性要求。 当然，这并不排除这些条件在特别简单的物理系统中可能有动力的可能性。

在一些季度，最传统的量子逻辑模型缺乏合理的张量产品已经被视为覆盖整个量子逻辑企业的崩溃。 这种反应过早。 例如，Foulis-Randall示例表明，在所有正交晶格或正交晶片（即Orthochoherent Orthoalgebras）和所有州的所有矫形器上都没有表现得可以正确的一般张量产品在那里 但这并不排除了大于正交胚层的结构的令人满意的张量产品，或者小于正交晶格的类或小于正交晶格或具有限制状态的POSETS的类别空间。 量子力学本身提供了一个例子。 对于另一个，随着Foulis和Randall在Foulis和Randall [1981a]中显示的，非暴力正常的阶级 - 即，每个命题在某些状态下都有概率1的正向布拉斯 - 确实支持规范张量产品满足其条件（a）和（b）。

沿相反方向移动，可以将其作为一个公理要求，使得在一些合理的设备下封闭令人满意的物理理论，用于耦合分离系统。 这表明是系统，即物理理论，与个人系统不同，作为关注的焦点。 事实上，这正是当前关于量子力学基础的大量工作的趋势。

由于Abramsky和Coecke的一种特别富有成效的方法[2009]采用物理理论，由对称的单侧类别 - 粗略地表示，一个配备有自然对称和关联张量产品的类别。 受到一些进一步的约束（例如，紧凑封闭），这些类别表现出正式的性能，激烈地让Quantum Mechanics联想。 有趣的是，它最近通过HARDING显示了[2009]，在每个强大紧凑的封闭类别中，每个物体都与“弱预测”的正交POSET PROJ（A）相关，并且该PROJ（a⊗b）的行为许多尊重作为Proj（A）和Proj（B）的合理张量产品。 从这种观点来看，FR示例简单地表现出一种病理示例 - A5和状态α - 这不能在这样的理论中容纳，建立单套筒要求对个体系统的结构施加了非动力限制。

最近强调互动的系统是远离各州和观察到的静态结构以及物理系统可以参与的过程中更一般的注意力转变的一部分。 这一趋势不仅在Abramsky和Coecke的类别 - 理论制定中，也很明显（参见Coecke [2011]），也可以在几个最近的量子理论的公理重建中（例如，Hardy [2001年，其他互联网资源]，RAU [2009年，Dakic-Brukner [2011]，Massanes和Mueller [2011]，Chiribella-d'Ardo-Perinotti [2011]，Wilce [2018]），其中大多数涉及物理系统如何结合的假设。 在不同的方向上，BALTAG和SMET [2005]丰富具有明确动态元素的PIROR型格式理论框架，到达命题动态逻辑的量子类似物。

8.效果代数

另一个最近的发展是在20世纪90年代初的介绍介绍了称为效果代数（Foulis和Bennett [1994]）概括了第4.1段讨论的正常凝视。 定义几乎相同，除了较弱的条件a⊥a⇒a= 0被弱势条件替换为弱状态a⊥1= 0。 与正向布拉斯一样，通过为一些c⊥a设置≤biffb =a∈c，部分地排序效果代数。[20]

一个简单但重要的例子是函数f：e→[0,1]的效果代数[0,1] e，与f⊥gf +g≤1，在那种情况下，f⊕g= f + g。 一个可以将[0,1] E的元素视为指示灯函数的“unsharp”或“模糊”版本f：e→{0,1}。 指示器功能的集合{0,1} e被认为是[0,1] e的子效代数，是正常的BRA，当然，对E的子集的布尔代数同构。[21]

效果代数存在于丰富。 特别地，如果ω是作为概率模型的状态空间产生的凸面集，则边界染轴（凸线）函数f：ω→[0,1]的设定e（ω）形成效果代数如果f +g≤1，则f⊕g= f + g。 该想法是f∈e（ω）的函数表示“原则上”测量结果，状态ανω的概率f（α）。 如果F0 +⋯+ fn = 1的f0，...，fn∈e（ω），那么序列（f0，...，fn）rpresents的“原则上”可观察到的值i = 0，...，n，用概率i造成概率i（α）。

8.1量子效应和Naimark的定理

在ω=ω（h）的特殊情况下，Hilbert空间H上的密度运算符集可以表明，对于具有≤1的独特的正自相伴随操作员A，可以表明每个效果F具有F（W）= TR（WA），其具有≤1。 相反，这样的操作员通过刚刚给出的公式定义效果。 因此，识别E（ω（h））与0≤a≤1的所有正自相互伴算子的设置e（h）），也称为效果。

随着实际实验结果的模型，任意量子效应和任意效果值可观察结果非常自然。 考虑与Hilbert Space Ha的隔离量子系统A，以及与Hilbert Space HB的辅助系统B保持在由密度操作员W表示的参考状态

b

o

。 如果A处于由密度操作员WA上所示的状态，则关节系统的特殊状态由wa⊗w表示

b

o

。 如果我们在hab =ha⊗hb上由投影运算符pab表示的ab上的yan-ne测量，那么获得阳性结果的可能性是tr（pab（wa⊗w

b

o

））。 这定义了WA的有界凸线函数，因此，具有TR的唯一效果a（（wa⊗w

b

o

）pab）= tr（waa）。 这种效果A被称为PAB压缩到HA。 换句话说，我们可以理解A代表组合系统AB上测量PAB的结果，在州W中保持B

b

o

然后，“忘记了”辅助系统B.并不难以表明在这种方式中，从HA 1HB的投影来到合适的Hilbert空间HB，这是不困难的。 更一般地，经营者理论的经典结果被称为Naimark的定理置于任何效应值可观察到的A1，......，A在A上，通过压缩适用的量子系统B的普通投影值可观察P1，...，AB上的PN。因此，所有效果和实际上都是所有效果值的可观察到，都是物理可实现的。 鉴于此，很难看出，为什么效果代数应该对“量子逻辑”的状态不那么少于“量子逻辑”，比如矫正标题。

8.2顺序效果代数

自然问题是人是否可以表征特殊形式E（h）的那些效果代数。 自然出现的一种方法是在顺序测量的背景下。 如果P是投影，则对应于密度操作员W的状态的P的测量留下了与密度操作员对应的状态的系统

wp：=

压力波法

tr（wp）

。

随后在该状态下测量Q，然后用概率产生肯定结果

tr（wpq）=

tr（qpwpq）

tr（wp）

=

tr（wpqp）

tr（wp）

。

除非P和Q通勤，否则操作员PQP不是投影，但始终是一种效果。 如果我们为TR（A | W）为TR（A | W）进行任意效果A，那么上述可以重写，也许更透明地重写，如

Pr（Q | WP）Pr（P | W）= Pr（PQP | W）。

因此，PQP表示P和Q的顺序测量中的“（是，是）”的结果（以该顺序）。

更一般地，顺序产品a⊙b：=

√

一种

b

√

一种

两种效果是另一种效果，表示在顺序测量中观察第一A，然后B的结果（并假设根据W∞（TR（WA）） - 1的状态更新

√

一种

w

√

一种

测量a）。 从这个例子中抽象，S. Gudder和R. J. Greeechie（[2002]）定义了一个顺序效果代数是一种配备二进制操作的效果代数（l，⊕，0,1）⊙：l×l→l令人满意对于所有A，B，C 1L的以下条件，其中a | b表示a⊙b=b⊙a：

如果b⊥c，那么a∘b⊥a∘c和a∈（b⊕c）=（a∘b）⊕（a∘c）

1∘a=一个

如果a∘b= 0，则b∘a= 0

如果a | b那么a | b'，和a∈（b∘c）=（a∘b）∘c

如果a | b和a | c，那么（i）a |b∘c和，（ii）如果b⊥c，c |a⊕b

J.Van de Wetering的最近结果（[2019]）显示了订单间隔[0，U]在第一变量中连续的二进制操作下的大海的任何有限阶数单元空间，是欧几里德（等效，正式真实）Jordan代数是一种自然的方式。[22]

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