皮尔斯的演绎逻辑（一）

查尔斯·桑德斯·皮尔斯是一位哲学家，但由于他的工作范围很广，因此很难将他归类为哲学家。（请参阅查尔斯·桑德斯·皮尔斯条目的目录。）逻辑是皮尔斯写作的主要主题之一。然而，如果我们关注逻辑，就会发现皮尔斯的逻辑概念和他的逻辑工作都比他的前辈、他的同时代人和我们的要广泛得多。首先，皮尔斯将逻辑定位在他庞大的哲学建筑框架中，这就是为什么有些人坚信，如果不理解他的实用主义和符号学（仅举他的另外两个贡献），就无法正确理解皮尔斯的逻辑。即使在传统的逻辑领域内，皮尔斯的贡献也太多了，无法在一篇文章中概述。

认识到这项几乎不可能完成的任务的性质，我们挑选出皮尔斯对现代逻辑的各种贡献的共同主题——扩展逻辑，其特点是三个不同的维度：

形式主义的范围（从单子到关系）、

系统类型（从符号到图解系统）和

语义值（从二价到三值）。

本条目的主要目标不仅是介绍皮尔斯在这三个扩展中的成就，而且还要探索这些新发展之间的关系（如果有的话）。 条目的三个部分将分别介绍皮尔斯扩展演绎逻辑视野的这三种方式。

皮尔斯在形式演绎逻辑方面的旅程始于布尔微积分和德摩根的相对逻辑。布尔代数开辟了一条推广亚里士多德三段论的道路，而德摩根对关系形式化的野心则开辟了一个新的领域。然而，皮尔斯的谓词逻辑既不是现有逻辑的机械扩展，也不是这两者简单的结合。正如条目所解释的那样，皮尔斯从他当代逻辑中飞跃到现在，这在质量上足以称皮尔斯为现代演绎逻辑的创始人。第一部分探讨了皮尔斯在其几篇著名论文中提出的谓词逻辑的发展，通过定位皮尔斯引入量词和绑定变量的根源。虽然皮尔斯一阶逻辑的形式细节和符号可能令人不知所措，但人们不应该忽视更大的图景，而应该关注皮尔斯寻求新逻辑的主要动机。通过用新的形式符号征服新领域——关系，皮尔斯的冒险进入了另一个维度——一种新的表示方式，即图解表示。这是第二部分的主题。虽然介绍了两种 Peirce 的存在图系统（以下简称“EG”），但以下观点是背景：Peirce 的存在图并非只是作为随机替代方案而发明的，在逻辑上等同于他自己的谓词逻辑符号，而是 Peirce 对逻辑和形式化的新方法的反映。随着 Peirce 对谓词逻辑的不懈尝试为我们带来了更强大的形式符号，Peirce 对更好地表示关系状态的探索也超越了他自己的符号系统。空间符号（与线性符号相反）对我们中的某些人来说仍然不熟悉，第二部分介绍了 Peirce 的存在图的基本符号方面，并讨论了存在图和符号系统之间的根本区别。关于三值逻辑的第三部分考察了 Peirce 的另一项新事业，不是句法符号，而是语义值。皮尔斯学者提出了皮尔斯三值语义学背后的各种动机，我们将简要讨论这些不同的观点。

虽然第一个贡献，即从单子逻辑到谓词逻辑的扩展，使皮尔斯与弗雷格一起成为现代逻辑的创始人，但皮尔斯的其他成就花了很长时间才得到逻辑学家或哲学家的适当关注。本条目旨在为皮尔斯在演绎逻辑方面的旅程绘制路线图，以便人们认识到他的成就是相互联系的。更具体地说，皮尔斯在演绎逻辑方面的成就是累积性的。在能够用新的符号表示法形式化多元关系后，皮尔斯设计了一种全新的表示形式——图解系统。我们可以形式化的东西得到了扩展，我们如何形式化我们可以形式化的东西也得到了扩展。皮尔斯探索了我们的形式化所代表的内容，并提出了比二进制真值或假值更细粒度或更大的语义值领域。

1. 从一元逻辑到多元逻辑

1.1 关系和量化形式化

1.2 布尔传统——代数和模型论

2. 从符号表示到图像表示

2.1 实用主义格言应用于关系逻辑

2.2 Alpha 系统

语法

词汇表

格式良好的图表

内孔阅读算法

多重阅读算法

示例

语义

重新表述的转换规则

2.3 Beta 系统

3. 从二元逻辑到三元逻辑

3.1 三值系统的真值表

3.2 为什么是第三个值？

参考书目

A. 主要来源：本条目引用的 C. S. Peirce 的作品

B. 次要来源

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 从一元逻辑到多元逻辑

Peirce 和 Frege 各自独立地将我们从传统的亚里士多德逻辑带到了现代逻辑——这是一个巨大的飞跃。没有人能否认形式化的力量，它使 20 世纪早期的数学家取得了令人惊讶的成就和成果。[1] Peirce 和 Frege 所取得的飞跃的本质是什么？这仅仅是引入新的形式符号（即量词和变量）的问题，以便我们可以轻松地形式化我们的推理吗？如果是这样，现代逻辑只是用量词/变量修饰亚里士多德逻辑。这将等同于 Peirce 在逻辑方面的主要贡献之一，即形式词汇的增加。

不可否认，量词/绑定变量的采用对逻辑和数学世界产生了巨大影响。然而，这不应掩盖皮尔斯对新扩展形式主义的洞察力。本节将探讨皮尔斯对关系逻辑的新颖性的信念如何促使他引入量词/变量。因此，根据皮尔斯的说法，量化理论不是形式词汇的线性扩展，而是扩展到与亚里士多德逻辑所涵盖的性质不同的领域。同时，我们不应忘记，皮尔斯以布尔逻辑代数的精神扩展了逻辑领域。

在《布尔逻辑演算的改进》（1867 年）中，皮尔斯暗示需要改进布尔逻辑，不是在谓词逻辑的背景下，而是在它无法在术语逻辑的背景下表达存在性陈述。他在 1870 年发表的论文《相对逻辑符号的描述，源于对布尔微积分概念的扩展》（DNLR）表明了他想将布尔的代数符号与德摩根在关系表示方面的努力结合起来的雄心。许多人都认为这篇论文有史以来第一次引入了一阶谓词逻辑的基本词汇。随后，皮尔斯在《论逻辑的代数》（1880 年）中研究了两种关系运算——相对和与相对积，而发表在他主编的《约翰霍普金斯大学成员的逻辑研究》（1883 年）中的《相对逻辑》（称为“注释 B”）展示了量化方面的重大进展，这受到了 O.H. 米切尔（他的学生）工作的影响。最后，皮尔士 1885 年的论文“论逻辑代数：对符号哲学的贡献”被认为是皮尔士完整提出他的量化理论的地方。

第一小节从 DNLR 开始，研究了皮尔斯的后续步骤，直到他在 1885 年的论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》中提出了他的一阶逻辑的最终形式。（有关这两篇论文之间撰写的许多手稿，请参阅 Beatty 1969；Dipert 2004：297-299；和 Merrill 1978。）第二小节将皮尔斯的一阶谓词逻辑工作置于更大的背景中。

1.1 关系和量化形式化

皮尔斯的量化理论与公理般的“图标”一起在他的 1885 年论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》中得到了全面介绍。皮尔斯对现代逻辑的不短旅程始于他试图扩展形式化的领域。在这一方面，皮尔斯受到了德·摩根为关系表示而奋斗的启发，同时皮尔斯也得到了布尔微积分的启发，布尔微积分将亚里士多德的术语逻辑形式化。也就是说，皮尔斯把德·摩根的野心当作了路线图，同时还掌握了布尔的方法和符号。本节将通过检查皮尔斯的主要站点，来追踪他的旅程，看看他是如何到达目的地的。

皮尔斯 1870 年的论文《对布尔微积分概念的扩展，得出相对逻辑符号的描述》（DNLR）的标题在论文的开头是这样写的：

[我] 有兴趣探究它 [布尔的逻辑代数] 是否不能扩展到整个形式逻辑领域，而不是局限于该主题最简单、最无用的部分，即绝对术语的逻辑，……本文的目的是表明可以对这个问题给出肯定的答案。（DNLR [CP 3.45]）

皮尔斯指出，如果我们想覆盖整个形式逻辑领域，布尔逻辑需要“扩展”。皮尔斯所说的“整个形式逻辑领域”是什么意思？皮尔斯回答说：“如果不研究亲属逻辑，就无法真正理解演绎逻辑”（1911a [CP 3.641]）。[2]

皮尔斯受到布尔逻辑代数的鼓舞，但同时也认真对待他的父亲本杰明·皮尔斯教授对逻辑的负面看法，[3] 皮尔斯探索了将布尔方法应用于我们更大的推理领域的方法，以便将关系形式化。

什么是关系？为什么关系如此特殊？让我们比较三个句子：“约翰是美国人”、“约翰比汤姆高”和“约翰在汤姆和玛丽之间”。第一句有一个一元谓词“是美国人”，第二句有一个二元谓词“比...高”，第三句有一个三元谓词“在...和...之间”。一元谓词代表属性或质量，而二元或三元谓词代表关系。如果一阶逻辑系统只有一元谓词，那么我们就说它是单子的。否则，谓词逻辑就被假定为具有二元或其他更高级的谓词。

当我们从单子逻辑转向多元逻辑时，会发生实质性的变化。以下三个变化位居榜首。首先，从属性到关系的转变是一种领土扩张。注意到亚里士多德三段论仅限于一元谓词，人们期望多元逻辑能够代表亚里士多德三段论所涉及的推理，即术语逻辑。其次，单子逻辑是可判定的，而多元逻辑是不可判定的，正如丘奇定理所证明的那样。从某种意义上说，随着领土的扩大，我们正在失去它的控制力。第三，符号的变化是不可避免的，这需要现代量化理论。皮尔斯是如何处理这三个重要方面的？

关系领域是德·摩根在逻辑方面进行大量创造性和新颖研究的前沿领域。[4] 然而，他对这个主题的探究局限于传统三段论的模式。[5] 更重要的是，德·摩根没有足够的工具来形式化这个新扩展的领域。[6] 因此，德·摩根的关系仅限于适合三段论推理的某一组，这并不奇怪。正如梅里尔指出的那样，

德·摩根只将关系的一般逻辑发展到可以用于他熟悉的三段论目的的程度。这意味着他对可转换和/或可传递的关系特别感兴趣……（Merrill 1990：113）

皮尔斯对关系逻辑的兴趣是否独立于德·摩根在该主题上的工作，这一点尚不清楚且存在争议。[7]无论皮尔斯对关系的探究起源于何处，许多人都一致认为，成功地将关系逻辑形式化的人是皮尔斯（而不是德·摩根）。德·摩根学者梅里尔对这个问题的看法如下：

这种命题观点（德·摩根处理关系论证的方式）最明显的问题是它似乎不够普遍。如果我们可以通过关联两个术语将他们统一为一个命题，那么为什么不可以关联三个、四个或十个术语呢？德·摩根对关系三段论的关注似乎排除了这种普遍化；但原则上没有理由说它不能实现。然而，为此，我们必须等待弗雷格和皮尔斯。 （Merrill 1990: 110）

有趣的是，皮尔斯在 1870 年 DNLR 之前的著作表明，皮尔斯也试图用传统的三段论推理规则来解决关系论证，[8] 但 DNLR 中采用的方法完全不同——不是在三段论框架内，而是通过引入布尔代数符号。皮尔斯一定意识到了布尔符号可以提供的泛化能力。布尔的代数形式化了亚里士多德的范畴三段论，为术语逻辑的泛化开辟了道路。[9] 皮尔斯对布尔对亚里士多德三段论的数学处理印象深刻，毫不奇怪地旨在将这种方法应用于关系。从这个意义上说，现代谓词逻辑始于皮尔斯 1870 年的开创性工作。因此，皮尔斯项目的目标——即拓宽逻辑中形式化的范围——是引入量词和约束变量的新词汇的主要动机。如果是这样的话，皮尔斯早期对关系推理重要性的洞察，是理解皮尔斯和弗雷格对一阶逻辑发展差异的关键因素。[10] 此外，下一节将展示皮尔斯对关系逻辑的痴迷如何导致他发明了存在图。

关系逻辑比单子逻辑形式化了更大的领域，但获得额外的表达能力需要付出代价：虽然单子逻辑是可判定的，但多元逻辑不是。尽管我们需要等到丘奇定理才能看到一阶谓词逻辑的不可判定性，但皮尔斯直觉地认识到非关系逻辑与关系逻辑之间的根本区别。以下是皮尔斯对单子逻辑和关系逻辑的比较的启发性想法：

关系逻辑是高度多样化的；它的特点是无数的直接推理，以及从同一组前提得出的各种不同结论。（1883a [CP 3.342]）

并且：

[T]旧的三段论推理可以通过机械进行，但典型的相对推理不能通过任何单纯的机械规则来执行。（1896：330）

正如迪珀特正确指出的那样，皮尔斯的评论揭示了他“对关系给逻辑带来的丰富性和难度的理解”（Dipert 1984a：63）。[11]

为了提高表达能力，皮尔斯放弃了传统的三段论模式，引入了逻辑的布尔代数。以下评论强调，皮尔斯对符号的选择明显背离了德·摩根对关系逻辑的追求：

德·摩根的方法论受三段论逻辑的支配，而皮尔斯的方法论则完全是代数的。这种从布尔那里继承下来的代数模型对德·摩根的方法来说是陌生的。这种方法论上的差异反映了定义层面上的显著差异。（Brunning 1991：36）

在意识到关系逻辑的复杂性之后，皮尔斯探索了布尔演算之外的新符号。这一举动在以下段落中得到了预测：

这些特性（相对逻辑的非机械性质）的影响不能像布尔演算那样受到严格的规则的约束。 （1883a [CP 3.342]）

这是从单子逻辑到多元逻辑转变的第三个方面：关系给我们的推理带来的复杂性显然促使皮尔斯开发了一种新的符号系统。正如本节其余部分所示，从 DNLR 到“论逻辑代数”的 15 年历程相当复杂。重要的是，皮尔斯引入量词和绑定变量可以看作是他扩大形式化范围以涵盖关系的雄心勃勃的目标的必然结果，正如梅里尔所说“许多关系语句的量化复杂性迫切需要量词”（1997：158）。

正如标题“代数符号在逻辑中的应用”所述，DNLR 的第三部分是布尔代数符号和关系逻辑首次结合在一起的地方之一。在第一小节中，皮尔斯明确表示他想要涵盖的领域是关系型的，他通过以下方式包含多元谓词：

（DNLR [CP 3.63–64]；该条目采用了我们的现代术语，而不是皮尔斯的术语。）

代表所有男人和黑色的东西，而不暗示除了男人外的黑人。 （DNLR [CP 3.67]）

因此，Peirce的略微修改的添加标志+，表示包容性分离。 “f +，你”表示所有那些是法国人或小提琴手的人。 符号并不意味着没有法国人是一个小提琴手或没有小提琴手是法国人。 尽管PEIRCE的示例仅限于偶然谓词，但我们可以将该想法扩展到二进制文件。 使用现代符号，

l +，s = {⟨x，y⟩|lover（x，y）∨servant（x，y）}。

也就是说，它对应于关系联盟。

当乘法标志进入图片时，关系的逻辑变得强大，这里是Peirce的乘法解释的符号：

我将采用乘法的概念应用关系，以这样的方式，例如，LW应该表示任何女人的情人。...... S（M +，W）将表示，无论是由男性组成的类别的任何仆人和女性一起占用。 （DNLR [CP 3.68]）

当多adic谓词在图片中，如何形成新关系时变得更加有趣和复杂。 这就是为什么相对产品的乘法运算对于进一步的关系逻辑的工作非常重要。 两者之间的产品比两种之间的添加更有趣，这取决于涉及的谓词类型：

两个属性之间的产品是另一个属性，是两个属性之间的交叉点，

关系的产品和属性是另一个新属性，而且

关系之间的产品产生了一种新关系。

让我们试图了解Peirce在现代术语方面的相对产品的概念：

让我们

“w”成为一位偶然的谓词，是一个女人，

“你”是一位巨大的谓词，是一个小提琴手，

“l”是一个二进制谓词，是一个情人，而且

“s”是一个二进制人，是一个仆人。

然后，

w，u = {x|woman（x）∧violinist（x）}。[12]

lw = {x|∃y（情人（x，y）∧woman（y））}。

ls = {⟨x，z⟩|∃y（情人（x，y）∧servant（y，z））}。

在这个现代化的翻译中，存在的存在量词是明显的，即使Peirce自己并没有在DNLR中提及它。

隐藏量化在下面的参与操作中变得更加明显。

我将参与这样的感觉，即XY将表示y的每个人的一切。 因此，LW将是每个女人的情人。 （DNLR [CP 3.77]）

也就是说，lw = {x |x|∀y（女人（y）→lover（x，y））}。 这里，存在通用量化！

在我们进入Peirce的量词的细节之前，让我们总结代数标志Peirce用于处理多adic谓词：

代数

标志的含义/

操作的例子

- ＜包含w- ＜u

∀x（女人（x）→小提琴手（x））

左旋＜s

∀x∀y（情人（x，y）→仆人（x，y））

+，联盟w +，u

{x|woman（x）∨violinist（x）}

l +，s

{⟨x，y⟩|lover（x，y）∨servant（x，y）}

，路口w，u

{x|woman（x）∧violinist（x）}

（没有逗号）相对产品。lw（有些女人的情人）

{x|∃y（情人（x，y）∧woman（y））}

ls = {⟨x，z⟩|∃y（情人（x，y）∧servant（y，z）}

XY。每岁的x。lw（每个女人的情人）

{x|∀y（女人（y）→情人（x，y）}

让我们专注于隐藏但假设存在量词在乘法和指数的情况下：LW被解释为“某个女人的情人”，并将LW作为“每个女人的情人”。 有趣的是，在引入多adiC谓词的过程中，Peirce最终会带来量词，一些和每一个。 另一方面，考虑到亚里士多德的三段论有两个量词，Peirce对量词的代数表示法 - 有些和每一个 - 不应该让我们感到惊讶。 然而，这一发展的关键方面是，Boole不满意的存在命题（而不是普遍主张）推动Peirce和他的学生O. H. Mitchell以超越Bole的逻辑。[13] Peirce解释了一个相对产品的方式 - “LW”意思是“某个女性的情人” - 所有在乘法方面都隐含地表达的存在量化。

让我们看看Peirce以更明确的方式追求几种不同的方式。 在上面的“LW”中，存在量化符以关系L应用于一元谓词“W”，但不明确地执行。

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