构造性数学（二）

现在我们转向实践中的直觉逻辑。如果我们认真地以这样一种方式发展数学，即当一个定理断言具有属性 P(x) 的对象 x 存在时，那么该定理的证明就体现了构造 x 和通过任何必要的计算来证明 x 具有属性 P(x)。这里是一些定理的例子，每个定理后面都有对其构造性证明的要求的非正式描述。

对于每个实数 x，x=0 或 x≠0。

证明要求：应用于给定实数 x 的算法，决定 x=0 或 x≠0。请注意，为了做出此决定，算法可能不仅使用描述 x 的数据，还可能使用显示 x 实际上是实数的数据。

上面有界的 R 的每个非空子集 S 都有一个最小上界。

证明要求：一种算法，应用于实数集合 S、S 的成员 s 以及 S 的上限，

计算对象 b 并显示 b 是实数；

表明对于每个 x∈S，x≤b；和

给定实数 b′＜b，计算 S 的元素 x，使得 x＞b′。

如果 f 是闭区间 [0,1] 上的连续实值映射，使得 f(0)⋅f(1)＜0，则存在 x 使得 0＜x＜1 且 f(x)=0 。

证明要求：一种算法，应用于函数 f、f 的连续模以及值 f(0) 和 f(1)，

计算对象 x 并显示 x 是 0 到 1 之间的实数；和

表明 f(x)=0。

如果 f 是闭区间 [0,1] 上的连续实值映射，使得 f(0)⋅f(1)＜0，则对于每个 ε＞0，存在 x 使得 0＜x＜1 且 | f(x)|＜ε。

证明要求：一种算法，应用于函数 f、f 的连续模、值 f(0) 和 f(1) 以及正数 ε，

计算对象 x 并显示 x 是 0 到 1 之间的实数；和

表明|f(x)|＜ε。

我们已经有理由怀疑 (A) 是否有建设性的证明。如果可以满足 (B) 的证明要求，那么，给定任何数学陈述 P，我们可以应用 (B) 的证明来计算集合的上界 σ 的有理近似 z

S={0}∪{x∈R:P∧x=1}

误差＜1⁄4。然后我们可以确定是否 z＞1⁄4（在这种情况下 σ＞0）或 z＜3⁄4（在 σ＜1 时）。在第一种情况下，存在 x∈S 且 x＞0，因此我们必须有 x=1，因此 P。在 σ＜1 的情况下，我们有 ØP。因此(B)蕴含着排中律。

然而，在Bishop的实数构造性理论中，基于预先指定收敛速度的柯西序列，我们可以证明以下构造性最小上界原理：

令 S 为上面有界的 R 的非空子集。那么 S 具有最小上界当且仅当它是上序定位的，即对于所有实数 α,β 且 α＜β，要么 β 是 S 的上界，要么存在 x∈S 且x＞α（Bishop & Bridges [1985]，第 37 页，命题 (4.3)）。

顺便提及，我们提到基于区间算术的 R 构造性理论的另一种发展；参见 Bridges & Vîşă [2006] 第 2 章。

陈述（C）和（D）在经典上是等价的，都是中值定理的一个版本。在这些陈述中，f 的连续性模是正实数有序对 (ε,δ) 的集合 Ω，具有以下两个属性：

对于每个 ε＞0 都存在 δ＞0 使得 (ε,δ)εΩ

对于每个 (ε,δ)εΩ，以及对于所有 x,y∈[0,1] 且 |x−y|＜δ，我们有 |f(x)−f(y)|＜ε。

陈述 (C) 包含另一个本质上非建设性的原则，即全知次要有限原则 (LLPO)：

对于每个最多有一项等于 1 的二进制序列 (a1,a2,…)，对于所有偶数 n，an=0 或对于所有奇数 n，an=0。

陈述（D）是（C）的弱形式，可以使用标准类型的区间减半论证进行建设性证明。使用近似区间减半论证证明了以下更强的构造性中间值定理，该定理足以满足大多数实际目的：

令 f 为闭区间 [0,1] 上的连续实值映射，使得 f(0)⋅f(1)＜0。还假设 f 局部非零，即对于每个 x∈[0,1] 且每个 r＞0，存在 y 使得 |x−y|＜r 且 f(y)≠0。那么存在 x 使得 0＜x＜1 且 f(x)=0。

中间值定理的情况是许多构造性分析中的典型情况，其中我们发现一个经典定理具有多个构造性版本，其中一些或全部在经典逻辑下可能是等效的。

有一种全知原理，其建构地位不如 LPO 和 LLPO 明确，即马尔可夫原理（MP）：

对于每个二元序列（an），如果矛盾所有项a都等于0，则存在等于1的项。

这个原理等价于一些简单的经典命题，包括：

对于每个实数x，如果x等于0是矛盾的，则x≠0（在我们前面提到的意义上）。

对于每个实数x，如果x等于0矛盾，则存在y∈R使得xy=1。

对于每个一对一连续映射 f:[0,1]→R，如果 x≠y，则 f(x)≠f(y)。

马尔可夫原理代表了无界搜索：如果你有证据证明所有项 a 为 0 都会导致矛盾，那么，通过依次测试项 a1,a2,a3,…，你一定会遇到等于 1 的项;但这种保证并不保证你会在宇宙终结之前找到所需的期限。大多数构造性数学的实践者即使不是完全怀疑，至少也持怀疑态度。克里普克模型表明 MP 不可建设性地推导，这一观察结果强化了这种观点（Bridges & Richman [1987], 137–138。）

3. 构造性数学的种类

保留计算解释可能性的愿望是使用我们上面给出的逻辑连接词和量词的建设性重新解释的动机之一；但这并不完全是数学建构主义先驱的动机。在本节中，我们将探讨过去 130 年来数学建构主义的一些不同方法。

3.1 直觉数学

十九世纪末，某些人——尤其是克罗内克和庞加莱——对同时代的一些人所使用的唯心主义、非建设性方法表示怀疑，甚至不赞成。但这是在 L.E.J. 的争论性著作中。 Brouwer（1881-1966）从他的阿姆斯特丹博士论文 Brouwer [1907] 开始，并在接下来的四十七年中继续，为精确、系统的构造性数学方法奠定了基础。在布劳威尔的直觉主义哲学中，数学是人类思想的自由创造，当且仅当它可以被（精神上）构造时，一个对象才存在。如果一个人采取这种哲学立场，那么一个人就会不可避免地被上述逻辑联结词和量词的建设性解释所吸引：因为证明某个对象x不存在的不可能性怎么能描述x的心理构造呢？

布劳威尔并不是他的思想最清晰的阐释者，正如下面的引文所示：

当时间流逝产生的二元性主题被从所有特殊事件中抽象出来时，数学就出现了。所有这些二元性的共同内容所剩下的空形式[n与n+1的关系]成为数学的原始直觉，并无限地重复创造新的数学学科。 （引自 Kline [1972], 1199–2000）

Errett Bishop 给出了 Brouwer 观点的现代版本（Bishop [1967]，第 2 页）：

数学最关心的是数字，这意味着正整数。我们对数字的感受就像康德对空间的感受一样。正整数及其算术是由我们智力的本质所预设的，而且我们很容易相信，也是由一般智力的本质所预设的。正整数从单位的原始概念、邻接单位的概念以及数学归纳过程的发展具有完全的说服力。用克罗内克的话说，正整数是上帝创造的。

无论布劳威尔的著作多么晦涩难懂，有一点总是很清楚的：对他来说，数学优先于逻辑。有人可能会说，正如赫尔曼·韦尔在下一段中所做的那样，布劳威尔认为经典数学的缺陷恰恰在于它对经典逻辑的使用，而没有参考基础数学：

根据布劳威尔的观点和对历史的解读，经典逻辑是从有限集及其子集的数学中抽象出来的。 ……忘记了这一有限的起源，后来人们误认为该逻辑高于并先于所有数学，并最终在没有理由的情况下将其应用于无限集的数学。这是集合论的堕落和原罪，它因此受到了二律背反的公正惩罚。令人惊讶的并不是这种矛盾的出现，而是它们在比赛的后期才出现。 （韦尔[1946]）

特别是，这种对逻辑的滥用导致了非建设性的存在证明，用韦尔的话说，“告诉世界宝藏存在而不透露其位置”。

为了描述直觉主义数学家使用的逻辑，必须首先分析心灵的数学过程，从中可以提取逻辑。 1930年，布劳威尔最著名的学生阿伦德·海廷（Arend Heyting）发表了一套形式公理，这些公理如此清晰地描述了直觉主义者所使用的逻辑，以至于它们被普遍称为直觉主义逻辑公理（Heyting [1930]）。这些公理捕捉了我们之前给出的连接词和量词的非正式 BHK 解释。

直觉数学（INT）在对“序列”一词的解释上不同于其他类型的构造性数学。通常，构造性数学中的序列是由预先确定如何构造其每一项的规则给出的。这样的顺序可以说是有规律的或预先确定的。布劳威尔将序列的概念概括为包括逐一构建术语的可能性，每个术语的选择是自由的，或者仅受到预先规定的某些限制。大多数序列操作不需要它们是预先确定的，并且可以在这些更一般的自由选择序列上执行。

因此，对于直觉主义者来说，实数 x=(x1,x2,…)——本质上是有理数的柯西序列——不需要通过规则给出：它的项 x1,x2,…只是有理数，依次构造，仅受某种柯西限制，例如 Bishop [1967] 使用的以下限制：

∀m∀n[|xm−xn|≤(

1

米

+

1

n

)]

一旦自由选择序列被纳入数学，也许令人惊讶的是，某些强选择原则也会出现。设 P 为 NN×N 的子集（其中 N 表示自然数集合，对于集合 A 和 B，BA 表示从 A 到 B 的映射集合），并假设对于每个 a∈NN 都存在 nε N 使得 (a,n)∈P。从建设性的角度来看，这意味着我们有一个适用于序列的过程，可以为任何给定的 a 计算 n。根据 Brouwer 的说法，神经网络的元素的构造永远是不完整的：通用序列 a 是纯粹外延的，从某种意义上说，在任何给定时刻我们除了 a 的有限项集之外对 a 一无所知。由此可见，我们的过程必须能够从 a 项的某个有限初始序列 (a0,…,aN) 计算出一个自然数 n，使得 P(a,n)。如果 b∈NN 是任何序列，使得 bk=ak（对于 0≤k≤N），那么我们的过程必须为 b 返回与 a 相同的 n。这意味着 n 是 a 相对于由度量给出的 NN 上的拓扑的连续函数

ϱ:(a,b)⇝inf{2−n:ak=bk 对于 0≤k≤n}。

因此，我们得出以下连续选择原则，我们将其分为连续部分和选择部分。

CC1 ：从 NN 到 N 的任何函数都是连续的。

CC2 ：如果 P⊆NN×N，并且对于每个 a∈NN 存在 n∈N 使得 (a,n)∈P，则存在一个函数 f:NN→N 使得 (a,f(a)) εP 对于所有 aεNN。

如果 P 和 f 与 CC2 中一样，那么我们说 f 是 P 的选择函数。

在假设 CC1-2 下，全知原理 LPO 和 LLPO 显然是错误的；但MP与此一致。 CC1-2 的显着后果如下。

从 NN 或 2N 到度量空间的任何函数都是点连续的。

从非空完全可分度量空间到度量空间的每个映射都是点连续的。

从实线 R 到自身的每个映射都是点连续的。

设 X 是一个完全可分的赋范空间，Y 是一个赋范空间，以及（un）从 X 到 Y 的线性映射序列，使得对于 X 的每个单位向量 x，

ψ(x)=sup{‖un(x)‖:n∈N}

存在。则存在 c>0，使得对于所有 n∈N 和 X 的所有单位向量 x 来说 ‖un(x)‖≤c （统一有界性原理）。

这些陈述中的每一个似乎都与已知的经典定理相矛盾。然而，与经典数学的比较不应该作表面化的比较：为了理解这里并不存在真正的矛盾，我们必须认识到直觉数学中“函数”甚至“实数”等术语的含义是截然不同的从古典环境中开始。 （在实践中，直觉数学不能轻易且直接地与经典数学进行比较。）

布劳威尔对函数本质和连续统的反思使他得出了第二条原则，与连续选择的原则不同，该原则在经典上是有效的。这个原理需要更多的背景知识来解释。

对于任何集合 S，我们用 S* 表示 S 的所有有限序列元素的集合，包括空序列 ( )。如果 α=(a1,…,an) 在 S* 中，则 n 称为 α 的长度，记为 |α|。如果 m∈N，且 α 是 S 中长度至少为 m 的有限或无限序列，则我们表示为

ˉ

α

(m) 由 α 的前 m 项组成的有限序列。注意

ˉ

α

(0)=( ) 和 |

ˉ

α

(0)| = 0 。如果 α∈S* 且 β=

ˉ

α

(m) 对于某个 m，我们说 α 是 β 的扩展，而 β 是 α 的限制。

S 的子集 σ 被认为是可分离的（从 S 中），如果

∀x∈S(x∈σ∨x∉σ)。

N* 的可分离子集 σ 称为扇形，如果

它在限制下是封闭的：对于每个 α∈N* 和每个 n，如果

ˉ

α

(n)∈S，则

ˉ

α

(k)∈S 每当 0≤k≤n 时；和

对于每个 α∈σ，集合

{α*n∈S:n∈N}

是有限的或空的，其中 α*n 表示通过将自然数 n 与 α 的项相连而获得的有限序列。

扇形 σ 中的路径是一个序列 α，有限或无限，使得

ˉ

α

对于每个适用的 n，(n)εσ。如果路径 α 的某些限制在 B 中，我们就说路径 α 被子集 B 阻塞；如果 B 中没有 α 的限制，我们就说 α 错过了 B。如果 σ 的每条无限路径都被 B 阻挡，则扇形 σ 的子集 B 称为 σ 的条；如果存在 n∈N 使得长度为 n 的每条路径都被 B 阻塞，则 σ 的条 B 是均匀的。

最后我们可以陈述布劳威尔的下一个直觉主义原理，可拆卸杆扇形定理（FTD）：

风扇的每个可拆卸杆都是统一的。

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