组合逻辑（四）

也许与基本算术操作的粗略类比可以使情况有所了解。自然数的添加和乘法始终产生自然数。但是，如果包括划分，那么所有数值表达式都不再是自然数量的，因为7/5是一个自然的数字，而N/0是不确定的（即使n是真实的） 。也就是说，某些数值表达不会评估（自然）数。尽管与组合术语的类比不是很紧，但这很有用。例如，n/0（假设函数\ lambda n。\，n/0的代码域扩展以允许r以允许r为合理）在计算机上通过循环实现（如果n，则在执行n时永远不会终止\ ne0）将通过试图找到R \ cdot0 = n的理性数字进行列举。

组合术语\ textsf {www}和\ textsf {wi}（\ textsf {wi}）也许是没有正常形式的术语的最简单示例。这两个术语都诱导了无限的还原序列，即连续的一步减少的无限链。为了使示例更加透明，让我们假设一会儿\ textsf {w}，\ textsf {i}，\ textsf {c}等。未从\ textsf {k}和\ textsf {s}，\ textsf {c}等定义但是原始常数。 \ textsf {www}中唯一的redex的收缩返回相同的术语，这表明唯一性并不意味着该术语在nf中。 \ textsf {wi}（\ textsf {wi}）中唯一的redex的收缩给出\ textsf {i}（\ textsf {wi}）（\ textsf {wi}），进一步降低了我们开始的术语。一个仅具有无限还原序列的术语的一个稍微复杂的示例是\ textsf {y}（\ textsf {cki}）。该术语具有一个降低序列（其中每个收缩的redex由\ textsf {y}）牵头，其中包含无限的许多不同术语。也可以创建以\ textsf {y}（\ textsf {cki}）开头的无限减少序列，也有各种循环。总而言之，教会定理总体而言，不能保证Q一词的独特性。但是，如果M具有正常形式，那是独特的。

教会 - 越野定理通常如下所示。

教堂 - 越野定理（ii）。如果n和p相等，则n和p都会降低一个项q。

图2

图2。教堂 - 五角形定理的插图（ii）

教会定理的第二种形式在假设中与第一个形式不同。从平等的定义为减少的超集，很明显，定理的第一种形式是第二种形式。然而，尽管教会定理的第二次表述中的假设较弱，但两个定理是等效的。平等是瞬态的，对称的还原闭合，这意味着，如果两个术语相等，则有一个有限的路径，包括还包括还原和扩展步骤（分别分解为一步减少和一步扩展）。然后，通过第一个教会定理的许多应用（即，通过连接n和p的路径的诱导），第一个教会定理意味着第二个公式。

教会的现代证明与CL的现代定理间接进行，因为一步减少没有钻石财产。当Xry和Xrz暗示某些V的YRV和ZRV时，二进制关系R（例如，还原）具有钻石性质。为了利用教会定理的证明证明这一见解，必须找到合适的减少子关系。追捧的子关系应具有钻石特性，其反身及其及时闭合应与减少相吻合。

以下反例表明，一项术语的一步降低可能会产生一个未在一个步骤中进一步减少到共同项的术语。 \ textsf {skk}（\ textsf {kks}）\ triangleright_1 \ textsf {skkk}和\ textsf {skk}（\ textsf {kks}）\ triangleright_1 \ triangleright_1 k}（\ textsf {kks}）），然后一些潜在的还原序列如下。

\ textsf {skkk} \ triangleright_1 \ textsf {kk}（\ textsf {kk}）\ triangleright_1 \ textsf {k}

\ textsf {k}（\ textsf {kks}）（\ textsf {k}（\ textsf {kks}））\ triangleright_1 \ textsf {kks} \ triangleright_1 \ triangleright_1

\ textsf {k}（\ textsf {kks}）（\ textsf {k}（\ textsf {kks}））\ triangleright_1 \ textsf {kk} {kk}（\ textsf {kk} textsf {kk}（\ textsf {kk}）\ triangleright_1 \ textsf {k}

\ textsf {k}（\ textsf {kks}）（\ textsf {k}（\ textsf {kks}））\ triangleright_1 \ textsf {k} {k}（\ textsf {kks}） textsf {kks} \ triangleright_1 \ textsf {k}

\ textsf {k}（\ textsf {kks}）（\ textsf {k}（\ textsf {kks}））\ triangleright_1 \ textsf {k} {k}（\ textsf {kks}） textsf {kk}（\ textsf {kk}）\ triangleright_1 \ textsf {k}

一旦我们注意到\ textsf {skkk} \ triangleright_1 \ textsf {kk}（\ textsf {kk}）（仅），但是\ textsf {k}（kk}（\ textsf {kks}（kks}（kks}））（\ textsf {kks}（kks}）， textsf {k}（\ textsf {kks}））在一个步骤中降低到\ textsf {kk}（\ textsf {kk}）。

还原的适当下属是同时减少一组非重叠的重新换饰，这用\ triangleright _ \ textrm {sr}表示。 “非重叠”意味着两个redexes之间没有共享的子术语出现。 \ triangleright_ \ textrm {sr}包括\ triangleright_1，因为可以将redex的一步减少视为\ triangleright_ \ textrm {sr {sr {sr}，这是一组单身的redexes。 \ triangleright_ \ textrm {sr}显然包含在\ triangleright中（即减少）。这两个事实暗示\ triangleright_ \ textrm {sr}的反射性传递闭合是减少的 - 当考虑了反射性传递闭合操作（由 ^*）的张力时。

（1） - （3）总结了提到的关系之间的关键夹杂物。

(1)

\ triangleright_1 \ subseteq \ triangleright_ \ textrm {sr} \; \ rightarrow \; \ triangleright_1^*\ subseteq \ triangleright_ \ textrm {sr}^**

(2)

\ triangleright_ \ textrm {sr} \ subseteq \ triangleright \; \ rightarrow \; \ triangleright_ \ triangleright_ \ textrm {sr}^*\ subseteq \ subseteq \ subseteq \ triangleright^**

(3)

\ triangleright_1^*\ subseteq \ triangleright^*\ quad \ textrm {and} \ quad \ triangleright^*= \ triangleright。

我们需要的\ triangleright_ \ textrm {sr}的中心属性是以下定理的内容。

定理。 （\ triangleright_ \ textrm {sr}的钻石物业如果m \ triangleright_ \ textrm {sr} n和m \ triangleright_ \ triangleright_ \ textrm {sr {sr} p，则有一个术语q，因此n \ triangleright _ \ triangleright_ \ textrm {和p \ triangleright_ \ textrm {sr} q。

该定理的证明是对术语M的简单归纳。其他。

Cl的一致性遵循教会 - rosser定理以及（至少两种）不同的正常形式的存在。

定理。 （一致性）Cl是一致的，也就是说，有些术语不会彼此减少，因此它们不相等。

但是，并非所有术语都有NF。首先，包括\ textsf {s}和\ textsf {k}。 （如果包含在内的变量，其中\ aleph_0都在NF中。）这些术语都不包含redex，因此每个术语仅减少为自身。根据教堂 - rosser定理，排除某个术语可以减少到x和\ textsf {s}（制作\ textsf {s}等于x）。

但是，无限还原序列与NFS之间的相互作用值得更加仔细的检查。 \ textsf {www}，\ textsf {y}（\ textsf {cki}）和\ textsf {wi}（\ textsf {wi}）仅具有无限减少序列。但是，该项的无限还原序列的存在并不意味着该术语没有正常形式（当组合基础完成或包含取消器时）。 \ textsf {y}（\ textsf {ki}）还原为\ textsf {ki}（\ textsf {y} {y}（\ textsf {ki}）），\ textsf {ki} }（\ textsf {ki}））），\ textsf {ki}（\ textsf {ki}（\ textsf {ki}（\ textsf {y} {y}（\ textsf {ki}））），\ ldots），\ ldots \ textsf {i}。

一个术语在具有NF时弱归一化，而当其所有还原序列导致该术语的NF（因此，NF）时，术语会强烈归一化。强烈正常化项的计算类似物是一个（非确定的）程序，该程序终止了每个计算分支，而至少一个分支的终止类似于弱的归一化。

标准化的重要性导致了一系列问题（以及广泛的答案文献）。还原步骤的顺序（即减少策略）如何影响找到NF（如果有）？是否有组合性碱可以保证该基础上的每个组合者都存在正常形式？为了快速说明我们的示例问题的可能答案，我们首先要注意，如果没有组合在基础上具有重复效果的组合，则该基础上的所有组合者都会强烈正常化。这是一个非常简单的答案，作为一个具体的基础，我们可以例如，例如\ {\ textsf {b}，\ textsf {c}，\ textsf {k} \} \}或\ {\ textsf {b} \ textsf {c}，\ textsf {i} \}，它在与简单键入计算的连接时具有独立的兴趣。但是，这些基础远非远距离完成，即使是固定点组合器也无法定义。

我们可能会问一个稍有不同的问题：如果我们从base \ {\ textsf {s}开始，\ textsf {k} \}，并且我们省略了\ textsf {s}，那么我们获得了base \ textsf {k k} \}和所有组合符都非常归一化，但是如果我们省略\ textsf {k}怎么办？ \ {\ textsf {s} \}上的组合器是否强烈归一化或至少正常化？答案是“否。”一个术语（由Henk Barendregt在1970年代初发现）表明缺乏强范围的术语是\ textsf {sss}（\ textsf {sss}）（\ textsf {ssss}）。第一个\ textsf {s}是A（确实是唯一的）redex的头，该术语的头还原顺序是无限的。由于\ {\ textsf {s} \}不包含任何具有取消效果的组合符，因此术语中的无限还原序列的存在意味着该术语没有NF。基础上的组合\ {\ textsf {s} \}没有nf，例如，\ textsf {s}（\ textsf {ss}）\ textsf {sssss}仅包含\ textsf {s} ssf {s}的八个出现。

我们在此处说明的各种问题（或更确切地说，对它们的答案）可能会变得有些技术，因为它们通常涉及图理论，自动机理论和术语练习理论中的概念和技术。

2.3存在固定点和组合完整性

schönfinkel证明\ textsf {s}和\ textsf {k}足以定义他介绍的其他组合物，我们在\ \ text {cl} _ \ triangleright的定义中提到了一组常数限制为\ textsf { }和\ textsf {k}，因为可以从它们定义其他组合剂。

为了证明这里理解可确定性的含义，我们以\ textsf {b}的示例为例。 \ textsf {b}的公理是\ textsf {b} xyz \ triangleright_1x（yz），如果我们服用\ textsf {s}（\ textsf {ks}）（ks}）然后是以下还原序列结果。

\ textsf {s}（\ textsf {ks}）\ textsf {k} xyz \ triangleright_1 \ textsf {ks} x（\ textsf {k} x）yz \ triangleright_1 yz \ triangleright_1 \ textsf {k} xz（yz）\ triangleright_1x（yz）

\ textsf {s}（\ textsf {ks}）\ textsf {k}在nf中属于nf，但是在nf中并不是确定性的要求。使用NF中的定义术语更方便，因为不在NF中的组合器的应用可以从将组合器减少到其正常形式的情况下。 （此外，总有许多组合剂将减少到组合器。）但是，请注意，在NF中选择组合器的偏爱并不意味着意味着组合器不能由NF中的两个或多个术语定义。下面我们给出了两个定义（仅涉及\ textsf {s}和\ textsf {k}）。

如果常数为\ textsf {s}和\ textsf {k}，则组合器都是从\ textsf {s}和\ textsf {k}形成的所有术语（无变量）。一旦我们将\ textsf {b}定义为\ textsf {s}（\ textsf {ks}）\ textsf {k}，我们可以在进一步的定义中使用\ textsf {b}作为一个abbreviation，我们主要是为了减少以下来减少的做法结果术语的大小以及保留定义的透明度。

以下列表为我们前面提到的其他知名组合提供了定义。 （在这里，“ =”位于定义友好和定义之间。）

\ textsf {i} = \ textsf {sk}（\ textsf {kk}）\ textsf {t} = \ textsf {b}（\ textsf {si}）\ textsf {k} b}（\ textsf {t}（\ textsf {bbt}））（\ textsf {bbt}）

\ textsf {w} = \ textsf {csi} \ textsf {m} = \ textsf {sii} \ textsf {y} = \ textsf {bw} textsf {bw}（\ textsf {bb}^\ prime \ textsf {m}））

\ textsf {v} = \ textsf {bct} \ textsf {b}^\ prime = \ textsf {cb} \ textsf {j} = \ textsf {w} textsf {b}（\ textsf {bc}））（\ textsf {b}（\ textsf {bb}））（\ textsf {bb}））））））））））））））

很容易看出这些定义意味着所有这些组合剂都取决于\ textsf {s}和\ textsf {k}，但是从定义的组合剂是相互独立的定义来看，这并不明显组合可以从另一个组合定义。 （显然，某些子集足以定义某些组合者。）我们不打算在这些组合者的各个子集之间提供详尽的互算性列表，而是要暗示此类定义的多重性和复杂性，我们列出了其中的少数。我们还介绍了另外两个组合剂\ textsf {s}^\ prime和\ textsf {r}。

\ textsf {i} = \ textsf {skk} \ textsf {i} = \ textsf {wk} \ textsf {i} = \ textsf {ck}（\ textsf {kk}）

\ textsf {b} = \ textsf {cb}^\ prime \ textsf {s}^\ prime = \ textsf {cs} \ textsf {s} = \ textsf {cs}^^\ prime

\ textsf {w} = \ textsf {s}^\ prime \ textsf {i} \ textsf {w} = \ textsf {b}（\ textsf {t} ）（\ textsf {bbt}）\ textsf {w} = \ textsf {c}（\ textsf {s}（\ textsf {cc}）（\ textsf {cc}））

\ textsf {r} = \ textsf {bbt} \ textsf {y} = \ textsf {bm}（\ textsf {cbm}）\ textsf {y} = \ textsf {y textsf {b} \ prime \ textsf {m}）\ textsf {m}

如果固定点组合\ textsf {y}不是原始的，那么有多种定义它的方法 - 到目前为止，我们已经列出了三个。

固定点定理。对于任何函数m，都有一个项n，使得mn = n。

使用固定点组合器，该定理的证明很容易，因为一个可以播放n的rôle的术语是\ textsf {y} m。

\ textsf {y}的某些定义相对于还原具有略有不同的属性。但是，固定点组合器的重要性在于，它确保所有功能都具有固定点，并且可以求解所有递归方程。

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