无穷基数定理

Theorem(ZF)：假设α，b 是无穷集合且存在 ω – 的函数 f：b → α ，则不存在 b 到 Pα 的满射。其中 ω – nαrrοω 是指 bₓ＝{y ∈ b：f(y)＝x} ≱* ω，即不存在 bₓ 到 ω 的满射。

这个定理的证明很长，需要拆分成几个引理。

Lemma 1：令b 是无穷集合， α 是无穷序数， f 是 α 到 b 的finite-to-one function，即 f⁻¹(x)，x ∈ b 是有限集，那么可explictly define α 到 b 的单射。

Proof of lemma 1: 令bₓ＝f⁻¹(x) ∈ [α]＜ω ，由于 [α]＜ω 是良序集，则 {bₓ：x ∈ α} 是良序集，设其序型为 β ，则可定义单射 i：α → β × ω ，满足 i(γ)＝(θ，k) 当且仅当“ γ ∈ bₓ 且在 {bₓ：x ∈ α} 的良序 R 中最小的满足 γ ∈ bₓ 的 bₓ 在 R 中排在 θ 位，且 γ 是 bₓ 的第 k 个序数”。由于 β × β 可单射进 β ，因此可定义单射 e：α → β ，进一步可以诱导出 α 到 α 的单射，因此Lemma 1成立。 ⊣

Lemma 2：令α，b 是无穷集合，如果存在 ω – nαrrοω 的函数 f：b → α 和满射 g：b → α ，那么可以用 f，g explictly define满射 h：α → α ，其中 α 是无穷序数。

Proof of lemma 2：定义bₓ＝f⁻¹(x)，x ∈ α 和 bᵧ＝g⁻¹(γ)，γ＜α 。由于 f 是 ω – nαrrοω ，因此每个 bₓ 只与有限个 bᵧ 的交不为空集：否则 bᵧ₁，· · ·，bᵧₙ，· · · 都与 bₓ 的交不为空，则定义 s：bₓ → ω 满足 y ∈ bₓ∩bᵧₙ → s(y)＝n ，显然 s 是满射，矛盾。

定义t：α → [α]＜ω ，其中 t(x)＝{γ＜α：bᵧ∩bₓ ≠ ∅} 。由于 [α]＜ω 是良序集，因此 rαn(t) 也是良序集。定义 q：α → rαn(t) ，使得 q(γ)＝ “在 rαn(t) 的良序下最小的满足 γ∈t(x) 的 t(x) ”；这样 q 就是从 α 到 rαn(t) 的finite-to-one function。根据Lemma 1知可explictly define从 α 到 rαn(t)的单射，即 α 到 {t(x)：x ∈ α} 的单射，令该单射为 p ，那么 x ↦ α，p(α)＝t(x) 就是 α 到 α 的满射，Lemma 2得证。 ⊣

在证明定理之前还得引入一个定理：

Kuratowski theorem：α ≥* ω ↔ Pα ≥ ω 。 ⊣

Proof of Theorem：假设g：b → Pα 是满射。定义函数 j：Pα → ω ，其中 j(α')＝n ↔ |α'|＝n，α' ⊂ α ，不难看出 j 是满射，因此 Pα ≥* ω ，则 j◦g：b → ω 是满射。根据Lemma 2，我们可以explictly define满射 h：α → ω 。根据Kuratowski theorem知 Pα ≥ ω 。

下面我们利用Specker的技巧诱导出单射H：ON → Pα ，进而导出矛盾：假设单射 Hα：α → Pα 已经定义，其中 α 是无穷序数且 Hα 是 H 在 α 上的限制，那么可根据 f，Hα 得到 b 到 α 的满射，根据Lemma 2可explicitly define α → α 的满射，不妨设该满射为 r ；那么 Hα◦r：α → Pα 是一个函数，根据Cantor 的方法，令 α'＝{x ∈ α：x ∉ Hα◦r(x)} ⊂ α ，显然 α' ∉ rαn(Hα◦r) 。由于 α' 是可定义的，因此可以令 H(α)＝α' ，递归上述过程可得 H ON → Pα ，矛盾，最终得到定理成立。 ⊣

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