交换代数：中山（Nakayama）引理

本篇笔记我们将讲述交换代数中一个至关重要的结论—— Nakayama 引理，又称中山引理；这一结论的证明不算复杂，并且有很多种证明思路，本文将选用 Atiyah 书上的“行列式法”，这也是交换代数中处理有限生成对象的一个重要的方法

定义1.1 一个 A– 模称为自由的，如果它模同构于若干个 A 的直积 ⨁A＝：A⁽ˡ⁾ ；

i∈l

若 |l|＝n＜∞ ，则也将其记为 Aⁿ

我们在之前的笔记中定义了有限生成模，并且自然有以下结论

命题1.2 设 M 是有限生成的 A– 模，如 M＝Ax₁＋· · ·＋Axₙ ，其中 x₁，· · ·，xₙ ∈ M ，当且仅当存在自由模 Aⁿ 的一个子模 N ⊂ Aⁿ ，使得 M 同构于 Aⁿ/N

现在我们给出 Nakayama 引理

定理1.3 设 M 为有限生成的 A– 模， l ⊂ A 是理想，并且 l 包含于 A 的 Jacobson 根 ℜ 中；如果有 lM＝M ，那么必有 M＝0

我们知道环A 的 Jacobson 根有以下等价刻画（参见第二篇笔记）

x ∈ ℜ ⇔ 对任一 y∈A ， 1 – xy 均为 A 中的单位；即任一满足 z ≡ 1 的 (mod ℜ) z∈A 都是单位，如果我们能找到一个满足“模 ℜ 余 1”这一条件的 z ，且使得 zM＝0 ，那么自然也就能证明 M＝0

将ℜ 推广至一般的理想 l ⊂ A ，即要证明以下结论

命题1.4 设 M 为有限生成的 A– 模， l ⊂ A 是理想，并且 lM＝M ，那么必存在一个 x ≡ 1(mod l) 使得 xM＝0

根据笔记（一）中的注记1.1.2，xM 本质上是一个 M 到自身的一个交换群同态，更进一步（利用交换环 A 的性质）它还是 A– 线性的；我们联想到有限维线性空间到自身的线性变换，线性代数的知识告诉我们，每个线性变换都可以被一个首一多项式零化，比如特征多项式，而多项式的系数总是在基域之中的；将线性空间替换为 A– 模，基域替换为 l ⊂ A ，那么自然也会有类似的结论

命题1.5 设 M 为有限生成的 A– 模， l ⊂ A 为理想， ф：M → M 是一个 A– 模同态，满足 ф(M) ⊂ lM，则 ф 满足环 Endᴀ(M) 中的等式

фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0，

其中 α₁，· · ·，αₙ ∈ l

Pf. 设 M＝Ax₁＋· · ·＋Axₙ ， ф 在 M 上的作用由 ф(x₁)，· · ·，ф(xₙ) 的值唯一确定；又 ф(M) ⊂ lM，故可以设

ф(xᵢ)＝αᵢ₁x₁＋· · ·＋αᵢₙxₙ，

其中 αᵢⱼ ∈ l ， 1 ≤ i，j ≤ n

所以有等式

ₙ

∑ (δᵢⱼф – αᵢⱼ)(xⱼ)＝0，1 ≤ i ≤ n

ⱼ₌₁

1，i＝j

其中δᵢⱼ＝{

0，i ≠ j

写成矩阵的形式就是

x₁

(δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ( · · · )

xₙ

用 (δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ 的伴随矩阵左乘上面的式子可得

x₁

det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) · lₙ×ₙ( · · · )＝0.

xₙ

用 (δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ 的伴随矩阵左乘上面的式子可得

x₁

det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) · lₙ×ₙ( · · · )＝0.(*)

xₙ

将行列式 det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) 在环 Endᴀ(M) 中展开，根据 δᵢⱼ 的定义以及行列式运算法则，可以得到一个首一的多项式，即 det(δᵢⱼф – αᵢⱼ)＝фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ ，利用 αᵢⱼ ∈ l 我们有系数 α₁，· · ·，αₙ ∈ l；又 x₁，· · ·，xₙ 是 M 的一组生成元，根据 (*) 式， det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) 视为 Endᴀ(M) 中的元素将恒等于 0 ，因此

фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0.

特别地，命题1.5中取ф＝idᴍ ，代入命题1.4的条件即有 ф(M)＝M＝lM ，所以存在 l 中的元素 α₁，· · ·，αₙ 满足 фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0. ，也即 1＋α₁＋· · ·＋αₙ 是环 Endᴀ(M) 中的零元，取 x＝1＋α₁＋· · ·＋αₙ ，则 x ≡ 1 (mod l)，并且 xM＝0 ，这就证明了命题1.4

综合以上结论，我们推出了定理1.3，即 Nakayama 引理

Nakayama 引理的结论是一个模为零模，而零模通常不会一开始就出现，一定是作为商模之类的对象产生的，所以猜想 Nakayama 引理通常会用于证明模的相等

推论1.6 设 M 为有限生成的 A– 模， N ⊂ M 为子模， A 的理想 l 包含在 Jacobson 根之中；如果 M＝N＋lM ，则 N＝M

Pf 我们考虑商模 M/N，

lM＋N

有 l · M/N＝l · ───

N

任一 x ∈ M ， x 可以写成 x＝n＋∑αᵢmᵢ 的形式，其中 n ∈ N， αᵢ ∈ l ， mᵢ ∈ M ；于是 x 在 M/N 中的像

ˉx＝x＋N

＝∑ αᵢmᵢ＋N

＝∑ αᵢ(mᵢ＋N)

lM＋N

∈ l · ───

N

lM＋N

因此 l · M/N＝l · ───＝M/N

N

利用 Nakayama 引理（注意到 M/N 也是有限生成的）即有 M/N＝0 ，故 M＝N

下面这个 Nakayama 引理在局部环中的应用也十分重要，局部环的定义见笔记（二）

命题1.7 设 A 为局部环， m 是其极大理想， k＝A/m 为剩余域；设 M 是有限生成的 A– 模，则 M/mM 上有自然的 k＝A/m 模结构，即 M/mM 是域 k 上的一个线性空间；现在如果有 M 的有限个元素 x₁，· · ·，xₙ ∈ M ，使得它们在商模 M/mM 中的像构成了 k– 线性空间 M/mM 的一组基，那么就有 {xᵢ}ᵢ∈ₗ 在 A 上生成 M

Pf. 记 N＝Ax₁＋· · ·＋Axₙ ⊂ M 为由 x₁，· · ·，xₙ 生成的子模，根据条件我们有

φ：N ↪ M ↠M/mM

是一个满同态，所以 M＝N＋mM ，利用推论1.6即可得到 N＝M.

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