Hilbert基定理与代数集

本文介绍Hilbert基定理，并给出它的一个几何背景

为介绍从几何的角度来看这个定理，我们先定义代数集

本文中我们设k 为代数闭域

Def 1

kⁿ 的代数集 V(S) 为 k[X₁，. . .，Xₙ] 的子集 S 的零点集

即

V(S)＝{(α₁，. . .，αₙ)∈kⁿ|f(α₁，. . .，αₙ)＝0，∀f∈S}

此处我们没有约定S 有限，事实上，我们可以证明任意代数集都可视为有限个多项式的零点集，这就是Hilbert基定理

Thm 2

环k[X₁，. . .，Xₙ] 是notherian的

我们证明下面的引理

Lem 3

若A notherian，则 A[X] 亦然

pf

我们通过证明A[X] 的每个理想都是有限生成的来说明其是notherian的

设α 为 A[X] 的真子理想，记 α(i) 为所有出现在 i 次多项式的首项系数中的 A 的元素

容易验证，α(i) 为理想，且 α(i) ⊂ α(i＋1)

任取含于α 的一个 A[X] 的理想 b ，显然 b(i) ⊂ α(i)，∀i

我们先证若上式中对任意的 i 均有等号，则 b＝α

任取f∈α

由于b(deg f)＝α(deg f) ，则存在 g∈b 使得 deg(f – g)＜deg f

于是f＝g＋f₁ ，且 deg f₁＜deg f

同理f₁＝g₁＋f₂ ，且 deg f₂＜deg f₁

于是存在m∈ℤ≥₀ 使得

f＝g＋g₁＋. . .＋gₘ ∈ b

下面我们构造一个有限生成的b 满足 b(i)＝α(i) ，∀i

注意到α(1) ⊂ α(2) ⊂ . . .

由于A notherian，则存在 d∈ℤ≥₀ 使得 α(d)＝α(d＋1)＝. . .

对任意i ≤ d ， α(i) 有一个有限生成集，记为 {αᵢ₁，. . .，αᵢₙᵢ}

对一组(i，j) ，存在 fᵢⱼ ∈ α 使得其首项系数为 αᵢⱼ

取b 为生成集是 {fᵢⱼ} ，其中 1 ≤ i ≤ d ， 1 ≤ j ≤ nᵢ

此时b(i)＝α(i)，∀i

于是我们有α＝b 为有限生成的

由Lem 3，显然得到Thm 2

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