哥德尔不完备定理（解释一）

题主的理解没有错，而且题主的问题非常棒！（但

@Ivony

的解释也对）

甚至当时很多专家误解哥德尔定理时也产生这个问题，因为数学家之前根深蒂固的概念是一个命题要说明它真，必须通过证明，那既然不能证明，怎么知道它真？一般教科书是无法准确回答这个问题的，实际上直到哥德尔不完备定理产生，这个问题才被澄清，“可证明”和“为真”才被区分。

不完备定理有哪些显著的哲学影响？ - mathiq galory 的回答

1、什么是真命题

对于一个公理系统，可以有很多个结构（也可能只有唯一的结构），这指的是，这些结构都满足这个公理系统的每条命题，但它们之间却不一定相同，就是说会有命题在其中一个结构中为真，而在另一个结构中不真。以自然数论为例，它有一个最常见的模型，你熟悉的标准自然数结构，包含1,2,3……。但它还有其他结构，这些结构中，包含比所有标准自然数都大的非标准自然数。甚至有自然数结构，它包含实无穷多个自然数，但皮亚诺公理的每一条仍然成立。也有研究只满足一部分皮亚诺公理系统的算数模型的。具体内容可以google。

一个命题为真指的是在某个结构中为真，不完备定理中说的真命题，指的是在标准自然数结构中为真的命题。（由于标准自然数结构被认为是真实的、真正的自然数结构，因此哥德尔本人以及现在都直接用true arithemetical statement，但实际上指的是在标准算数结构中为真的命题）

既然公理系统[公式]无法推出也无法证伪哥德尔构造的命题[公式]，那么（根据完备性定理）一定存在某个[公式]的结构U，其中哥德尔构造的那个命题为假，那么哥德尔构造的命题，是在哪个结构中为真？

2、哥德尔命题在什么结构中为真？

针对自然数论公理系统（皮亚诺公理系统，包含加法结合律，加法交换律，乘法交换律，各个命题的归纳法等），哥德尔构造的命题在标准自然数结构中为真。当然，在某些非标准模型中也真。

我的另一个答案具体解释了哥德尔的证明

如何简单清晰的解释哥德尔不完备定理？ - mathiq galory 的回答

不完备定理对任何能够解释算数系统的公理系统都成立。针对这样的，语言L上的公理系统Σ，它解释自然数论的方式诱导Σ的结构编码自然数结构的方式（解释和编码的区别，就像语言+公理，和结构的区别），哥德尔构造的自然数论命题，按照Σ解释自然数论的方式自动地转换为L表述的命题A，A在编码标准自然数结构的Σ的结构中为真。

还可以有另一种理解不完备定理的方式。哥德尔构造了一个命题，并分两种情况讨论。一种情况该命题在标准自然数结构中为真，另一种情况该命题在标准自然数结构中不真。对于前者，哥德尔证明该命题无法被给定的公理系统证明。对于后一种情况，他证明给定的公理系统有矛盾。

小结：实际上不完备定理的确让“为真”、“结构”这两个概念受到怀疑。数学上一般认为关于一个结构的命题要么为真要么不真，这也是结构这一概念的定义所包含的。这种观点叫柏拉图主义。但由于没有万全的确定一个命题为真的手段（之前认为证明是这样的手段），于是柏拉图主义受到一定的怀疑（但大多数数学家还是相信自然数结构的确定性的），而如果柏拉图主义“不对”，那结构这个概念也就没意义了。本质上也就是题主问的问题。

额外补充：什么是哥德尔命题

说一个命题无法被证明，需要指出在哪个系统中无法被证明。所谓哥德尔命题，指的是无法通过皮亚诺算数公理证明的自然数论命题。自然数论的无矛盾性就是这样的命题之一。好像暂时没有发现自然产生的数论的哥德尔命题。有一些数学家觉得NP问题、黎曼猜想、哥德巴赫猜想等一些著名的难题是哥德尔命题。但没有人证明（一个命题独立于皮亚诺系统不代表无法证明它独立于皮亚诺系统，连续统假设独立于ZFC，但ZFC可以证明它独立于ZFC）。集合论的哥德尔命题指无法通过ZFC系统证明的命题。有很多自然产生的集合论命题都是独立于ZFC系统的。比如连续统假设。

(至于什么是命题，能判断对错的句子都是命题。数学命题的定义，谷歌"proposition"即可。)

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