特殊篇章（数学解释）十三

无端点线性稠密序不是κ范畴的

我们称一个可数语言的理论 T 是 ω 范畴的，当且仅当，对于任意可数模型 N，M ⊨ T 都有 M≅N 。

定理：无端点线性稠密序理论 T 是 ω 范畴但不是 κ 范畴的，其中 κ＞ω 。

证明：不妨假设 κ=c 。由于 ℝ⊨T 且 |R|=c ，我们就用实数集 R 来证明定理（如果 κ＜c 的话，向有理数集中加入 κ 个无理数就好）。任选 f∈2ω ，定义 f′=∏ₙ＜ω{n}×𝕬f(ₙ) ，其中 𝕬₀=Q 且 𝕬₁=R ；定义 f′ 上的字典序为： (i，α)＜f′(j，b) 当且仅当 i＜α 或者 i=j∧α＜𝕬f(ᵢ)b 。 f′ 可以理解为将 ℚ，ℝ 按照 f 规定的次序串接起来。不难看出 f′ 仍然是无端点线性稠密序。

下面证明有 c 个不同构的 f′ 。首先注意到 ℝ 并不同构于 2 个 R 的串接，即 ℝ≇{(0，r)，(1，s)：r，s∈R}=𝓞 ：如果 ℝ≅𝓞 ，令 f：𝓞 → ℝ 是同构映射，那么存在 α∈R 满足 ∀r∈R，f(0，r)＜α ；由于实数集的完备性，设 α 是 {f(0，r)：r∈R} 的上确界，此时无论 ∃r∈R，α=f(0，r) 还是 ∃r∈R，α=f(1，r) 都与 R 是无端点线性稠密序矛盾，因此 ℝ≇𝓞 （这就是为什么我们特意选用 ℝ 而不是任意基数为 c 的无端线性稠密序， ℝ 的序完备性真的好用；注意到这里我们已经证明了 T 不是 c 完备的了）。用相同方法可证 ℝ 不同构于 δ 个 R 的串接，其中 2 ≤ δ ≤ ω 。其次注意到任意可数个有理数集的串接仍然是可数稠密集、仍然与有理数集同构，因此不妨把 δ 个有理数集的串接看作是一个有理数集，其中 2 ≤ δ ≤ ω 。根据这两个引理不难看出 c 个不同构的 f′ ，定理成立。 ⊣

引理：假设 𝕸 是非标准算术模型，那么 𝕸≅N∗(𝕺×ℤ) ，其中 ∗ 表示串接、 𝕺 是一个无端线性稠密序、ℤ 是整数集。

证明：只需证明 𝕺 的稠密性。任选两个 ℤ 链 Z₁，Z₂ 且 Z₁ 在 Z₂ 之前，任选 c₁∈Z₁，c₂∈Z₂ ，不妨设 c₁，c₂ 都是偶数，那么 c₁＜

c₁＋c₂ c₁＋c₂

────＜c₂且 ────∉Z₁，Z₂，那么

2 2

c₁＋c₂

────

2

所属的 ℤ 链就在 Z₁，Z₂ 之间，因此 𝕺 稠密。 ⊣

定理：假设 𝕸 是非标准算术模型且 |𝕸|=c ，那么 𝕸≅N∗(𝕺×ℤ) ，其中 ∗ 表示串接、 𝕺 是一个无端线性稠密序且 |𝕺|=c 但 𝕺 ≇ ℝ、 ℤ 是整数集。

证明：如果 𝕺≅ℝ ，现在任选非标准自然数 m ，注意到 {k×m：k∈ω} 在 𝕸 中有上界，因此存在实数 r 和对应的 ℤ 链 Zᵣ 满足 ∀x∈Zᵣ∀k(k×m＜x) ，令 r 是所有这样的实数中最小的那个，注意到此时没有非标准自然数 n 满足 n×m＞x ，其中 x∈Zᵣ 。任选 z∈Zᵣ 满足 m 不整除 z （尽管 z 大于所有 k×m ，但仍可能有非标准自然数 n 满足 n×m=z ），定义公式 ψ(x) 为“ x×m＜z ”，那么 ψ(x) 就在 𝕸 中定义了自然数集，这与自然数集不可定义性矛盾，反证 𝕺 ≇ ℝ。⊣

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