V -logic多元宇宙（第二版本）篇章

目前大多数关于V -logic多元宇宙的工作源自/扩展了之前在超宇宙计划中进行的工作(其中，

[Antos et al.， 2015]，[Friedman, 2016]，

[Barton and Friedman， 2017]，[Antos etal.，nd])

我们还要感谢约翰·斯蒂尔、茹科·维纳宁和托比·梅多斯提供的进一步见解

我们的研究项目将追求一个主要目标：

阐明多元宇宙的正式理论

比较以下两种主要策略：

ZFC公理(或任何其他集合T理论，就此而言)是不完整的。我们怎么知道的？

通过“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理论中，我们可以讨论(并研究)集合论的多元宇宙。

集合论的宇宙是一种特殊的对象。

多元宇宙理论的主要任务是不仅提供集合的解释，还提供宇宙的解释(这意味着我们的理论应该有目的地设计成也包含宇宙的描述)。

集合的概念是充分确定的，以生成结构(V，∈)，以及“描述”它的公理集合(ZFC)。

此外，集合的所有性质没有被ZFC唯一地阐明(通过集合的概念)‘共存于’V([Väänänen，2014]).

因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以说V继承了集合概念的不确定性。

设Vmult是所有V的集合，使得它们中的每一个都满足ZFC，并且每一个在“边缘”都不同于另一个。

我们多元宇宙理论的目的是cisely

Vmult

我们多元宇宙理论的目的是ciselytodescribeVmult.

特尔努洛·德切利 加

The V -logic Multiverse

我们多元宇宙理论的目的是cisely

Vmult

HP1设法证明Vmult是正确的，假设：

1.V是可数的。

2.V的宽度延伸可以通过“围绕”V构建的结构中的“理论”来处理(见下一张幻灯片)。

挑战假设V是不可数的。

我们的项目旨在：

1.保持V的“宽度扩展”的可定义性。

2.断言各种各样的“宇宙”的存在。

1参见[Antos et al.， 2015]，[Friedman，2016]，[Barton and Friedman， 2017]，[Antos et al., nd]详情请见。

2在一些与惠普相关的工作中，已经表明惠普的策略与关于V的各种本体论立场是一致的([Antos et al.， 2015]，

[Barton and Friedman, 2017]).

特尔努洛·德切利 加

The V -logic Multiverse

给定V和V的a(宽度)延伸W，V和W在我们的理论中应该是‘标准的’(不需要的解释应该被排除)。

通过“标准”推理，每当我们有W |= ϕ，对于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我们的“基础理论”，那么我们的公理应该能够陈述w是多元宇宙的一员。

设Lκ，λ是无限语言(λ ＜ κ)，允许形成：

1.长度＜κ的合取和析取

2.＜λ个变量的量化

无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1：“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。

v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了：

1.＜κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数＞ω

2.＜ω量词

3. 一个特殊的常数V，表示地面宇宙

4.一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型

5.长度小于κ+的无限合取和析取

我们知道证明可以用集合来编码。在V-逻辑中，证明是由Hyp(V)中的集合编码的，这是V之后最不允许的集合。

M上的容许集是KPU的模型AM，其形式为

AM =(M；一，∈，...).M上的纯容许集是容许集，M没有u元素(A集合A s.t. KP|= A)。

M上的最小容许集(记为HypM)是M上所有容许集的交集(并且等价于可构造论域的第α级Lα，其中α是M上最小容许序数)。

因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V+)只是一些Lα(V)。

V -logic中的证明代码在V +中。

现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。

我们从句法上进行：这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明：

Con(T + ϕ)

其中t是我们的基础理论(BST)，ϕ= w的w性质。

|= ψ”，而ψ是一些对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。

属性ψ可以这样选择，以便表达所讨论的模型的某些相关特征。

(例如，对于W是基论域的集泛扩张，我们可以将W刻画为‘包含V上的P-泛滤子G并满足ψ’)。

对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。

特别是，我们可能有：

集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G超过V并满足ψ’)

1.类通用扩展(如上，有一些修改)

2.超类-泛型扩展(同上)

3.V的各种强制扩张

4.1中定义的所有模型的内部模型。-4

通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。

因此，约束2也将被满足：所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。

在v-逻辑中，我们有：如果BST + ϕ(其中BST是我们的基础理论)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。

非正式地说，多元宇宙可以被视为一棵树：在树根处，我们选择了BST，在每个节点处，一个

Con(BST + ϕ)陈述，其中ϕ断言ψ是一些集合论真理的进一步片段

提醒一句：在这个阶段，我们并没有假设W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理论T来处理

假设γvϕ和γv(ϕ→ψ)则γvψ。

推广如果γv(ϕ→ψ(vn))和VN在ϕ有界γv(ϕ→∀vnψ(vn)).

v法则如果γv ϕ(m/v0)对于每一个m ∈V那么γv ∀v0(m(v0)→ϕ(v0)).

请注意，在符号V ϕ中，如果γvϕ表示T= ∅.，则句子可由v法则证明

就约束3而言，我们有以下内容：

给定任意无限语言Lκ，λ，其中λ ＜ κ，且κ ≥ ω1，对于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏为任意长度，则|=σ不隐含▎σ

V-逻辑的不完全性是一个特例。

我们有以下内容：

1.如果v是不可数的，那么有γ，ϕ使得γ| = vϕaγv ϕ.

2.如果v在我们的v-逻辑多元宇宙理论t中是不可数的，那么就没有“真正的”外部模型w . s . t . v .⊆w，也就是说，没有断言其存在的v-逻辑理论的v-逻辑语义对应物。

3.因此，如果V是不可数的，约束3不满足，约束2仅在语法上完全满足：我们只能通过断言它们存在的理论来表示V的扩展。

4.如果v在我们的v-逻辑多元宇宙理论t中是不可数的，那么就没有“真正的”外部模型w . s . t . v .⊆w，也就是说，没有断言其存在的v-逻辑理论的v-逻辑语义对应物。

因此，如果V是不可数的，约束3不满足，约束2仅在语法上完全满足：我们只能通过断言它们存在的理论来表示V的扩展。

修正1(超宇宙)：最简单的解决方案是假设V是可数的(V-逻辑对于V可数是完整的)。

然而，这在哲学上是有问题的。

修正2：我们满足于(公理化的)理论。由于各种原因，这种修复似乎更好，因为：

多元宇宙将在没有任何‘直觉’的情况下发展

我们仍然有多元宇宙成员的清晰表述

从历史上看，关注公理而不是语义在许多方面已经被证明是足够的

对于ϕ的每一个陈述和地面宇宙的每一个外部模型m，如果M |= ϕ，那么在v-逻辑中有一个ϕ的证明

任何相容的V-逻辑理论T都有V中的模型。

这个公理将解决“不完全性问题”，确保每个纯语义陈述的V-逻辑中存在一个证明V

然而，目前还不清楚该公理应如何表述以显得“自然”，以及为什么它应被接受

更正式的说法是，∀m[γm∀ϕ| =ϕ= ϕ].

因此，V逻辑多元宇宙理论可以被视为下列公理的集合：

1.基础集合理论(BST)

2.(宽度多元宇宙)对所有ψ，和ϕ=“w

⊆(英国夏令时+ ϕ)

|= ψ”(其中进一步的公理？例如：IMH(和细化)，完整性等。

如前所述，语言是Lκ+，ω，具有单独的常数：V

对于V和W，每个a ∈ V。

对于W，和无穷多个单独的常数a

增加一个高度多元宇宙(由顶端延伸的五)

使用更强的无穷逻辑：Lκ，ω且κ(至少)a

难以接近的红衣主教(见下一张幻灯片)

附加公理：例如，多元宇宙公理，如IMH(极大性)

考虑“替代的”V-逻辑：例如，如果V = L，考虑L-逻辑多元宇宙:这看起来是一个人可以拥有的最广泛的基于V-逻辑的多元宇宙概念(因为所有与L兼容的宇宙也与L的任何扩展兼容)

考虑Vω逻辑。这相当于V-逻辑，只是这里V

仅仅是秩初始段Vω

这个逻辑是完整的(因为Lω1，ω中的ω-完备性定理)

现在，考虑下一个完整的无限逻辑Lκ，ω，其中κ

至少是很难接近的。

问：有可能基于Lκ，ω定义一个vκ-逻辑吗

也是完整的。

后一点导致以下可能的约束/原则：

给定v的一个延拓，比如说v∫，s . t . v.⊆v∫，每当有一个w延拓V s.t. W |= ϕ，我们就有一个对应的w∫，延拓v∫s . t .w∫| = ϕ.

CUH断言，如果我们用一个更大的V *代替V，围绕一个更大的V *构建的多元宇宙不会减少与V兼容的真理集，也就是说，V *拥有与V一样多的兼容宇宙。

CUH也可以被看作是V的一个独立的和新的极大性原理(可能导致V成为V逻辑多元宇宙的‘极大核心’？).

(问题1)考虑不同的基础理论，例如：

T1 = ZFC + LCs，或者T2 = ZF + AD等等。围绕T1和T2构建的V -logic多元宇宙会有什么不同？(提示：使用前面提到的与V = L相关的兼容性概念)

(问题2)考虑不同的V，其中V /= L。例如，假设V = Vκ，其中κ是“大”的大基数。vκ-逻辑多元宇宙会是什么样子？(该问题与提到的扩展Lκ，ω的目标有关)

这是其他版本的V逻辑

V-逻辑(V-logic)多元

V-逻辑(V-logic)V-逻辑具有以下的常元符号：

a¯ 表示V的每一个集合a

V¯ 表示宇宙全体集合容器V

在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：

∀b，b∈α，ψ(ˉb)

1. ────────

⊢∀x∈ˉα，ψ(x)

∀α，b∈V，ψ(ˉα)

2. ────────

⊢∀x∈ˉV，ψ(x)

作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。

然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。

考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号W¯ 来表示V的 "外模型我们增加以下新公理。

1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。

2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯作为子集，并且与V有相同的序数。

因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。

请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。

由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。

最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。

那么P在V的一个内模型中成立。

最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。

在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。

通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。

与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。

以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……

逻辑多元

（设k至少是一个不可达基数（根据所选取的k不同，得到的不同V-逻辑在完备性上具有不同表现，另外，通过V*对V进行一阶考察，可以将所选取的k看作宇宙V的高度根据）

定义语言L_kω，该语言与常规的一阶语言(L_ωω)具有同样的推理规则与逻辑符号，但允许k多次的公式合取(∧)与或取(∨)

接下来，向语言L_kω中加入：

1.1个非逻辑符号V*，作为对地基宇宙V的指称

2.k个非逻辑符号α*，作为对每一个α∈V的指称

3.k个非逻辑符号W*_1,W*_2,W*_3...,W*_k，用于指称V的扩张/外模型

4.二元序关系符号∈

将这个新的语言系统记为L_V，即V-逻辑

V-逻辑的证明关系用├v表示，它拥有以下几条规则：

1.分离规则

2.集合规则：{φ(α*)：α∈V}├v ∀x φ(x)

3.V规则：{φ(b*)：b∈A}├v ∀x∈α*φ(x)

此外，除了一阶逻辑具有的公理之外，V-逻辑具有以下公理：

1.对于任意α∈V，有α*∈V

2.对于所有L_V∪{α*：α∈V}中的原子公式φ和它的否定～φ，若其在V中为真，则其是V－逻辑的一个公理

填添以下新公理

1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。

2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯作为子集，并且与V有相同的序数。

因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。

请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。

由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。

最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：

假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。

那么P在V的一个内模型中成立。

最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。

在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。

通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)

也就是逻辑多元

设k是一个不可达基数，定义语言L_k+ω，该语言与常规的一阶语言(L_ωω)具有同样的推理规则与逻辑符号，但允许k多次的公式合取(∧)与或取(∨)

接下来，向语言L_k+ω中加入：

i.1个非逻辑符号V*，作为对地基宇宙V的指称

ii.k个非逻辑符号α*，作为对每一个α∈V的指称

iii.k个非逻辑符号

W*_1，W*_2，W*_3...，W*_k，用于指称V的扩张/外模型

iv.二元序关系符号∈

将这个新的语言系统记为L_V，即V-逻辑

根据所选取的k不同(k至少是一个不可达基数，也可以是马洛基数，可测基数等)，得到的不同V-逻辑在完备性上具有不同表现，另外，通过V*对V进行一阶考察，可以将所选取的k看作宇宙V的高度

V-逻辑的证明关系用├v表示，它拥有以下几条规则：

i.分离规则

ii.集合规则：{φ(α*)：α∈V}├v ∀x φ(x)

iii.V规则：{φ(b*)：b∈A}├v ∀x∈α*φ(x)

此外，除了一阶逻辑具有的公理之外，V-逻辑具有以下公理：

i.对于任意α∈V，有α*∈V

ii.对于所有L_V∪{α*：α∈V}中的原子公式φ和它的否定～φ，若其在V中为真，则其是V-逻辑的一个公理

M₃、

M₂、

M₁

M

Linearinevitability

S4.3

N

M'

M''

M

Directedconvergence

S4.2

M₁₀

M₁₁

M₀

M₁

M

Branchingpossibility

S4

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