特殊篇章（阿列夫数）

（阿列夫数）与阿列夫0（ℵ）：

阿列夫数

从阿列夫数开始，我们就进入了无穷大的概念。

通过不断地构造一个集合，或者说一个集合拥有无穷多个元素，比如{0，1，2……}，那么它的势（即它元素的个数），就是阿列夫零，阿列夫零可以被理解为最小的无穷基数。

既然有阿列夫零，那肯定还会有阿列夫一、阿列夫二……的确，阿列夫一就是大于阿列夫零的下一个最小的无穷基数，阿列夫二就是大于阿列夫一的下一个最小的无穷基数……以此类推。

不断地向下迭代，阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已经到达了无穷大的概念，单纯的数学运算已经不能将这些无穷大增强了。

就好像ω+1、ω+ω……这些运算是无法到达阿列夫一的。

因为你会发现，即使在无穷大的基础上，增加它的序数，是无法使得它的基数变大的，这两个数都是同样的无穷大，它们的元素依然可以一一对应。

所以，需要一些公理或者一些定理、假设来证明更大的阿列夫一。

连续统假设则认为2的阿列夫零次方等于阿列夫一，因为2的阿列夫零次方是对阿列夫零取幂集，一个集合的幂集的势，一般都比这个集合本身的元素个数多（空集除外）。

（正数、负数、有理数、分数、偶数、奇数等集合的势是阿列夫零，实数集的势是阿列夫一，因为实数集当中包含了无理数，无理数是有理数无法通过加减乘除一个不是无理数的数得到不动点。)

阿列夫0(ℵ)

ℵ₀

ℵ₀是最小的超限基数，阿列夫零也是阿列夫数中第一个也是最小的一个阿列夫数与超限序数不同，阿列夫数是一系列的超限基数：用于衡量一个集合大小所有的可数无限集合都与 ℵ0 等势。

ω 可作为 ℵ0 的第一个初序：

ℵ₀=card{ω，……ε₀……ζ₀……η₀……Γ₀…………}

P(ℵ₀)= ℵ₁

ℵ₀与ℵ₁中间没有别的基数这叫连续统假设(CH)

P( ℵₙ)= ℵₙ₊₁

这叫广义连续统假设(GCH)

在ZFC公理系统中，它不可证明真，也不可证明假(但是如果V=终极L，(广义)连续统假设成立)

如果连续统假设不为真我们也可以推出：ℵₙ=∩{x∈On：|ℵₙ₋₁|＜|x|}

ℵα=∪ₓ∈ₐ ℵₓ，其中α是一个极限序数ℵ₁是全体实数也就是直线(数轴)上所有点的集合ℵ₃是三纬中所有立体图形(以及曲线)的集合！(所有曲线的泛函)(准确来说并不是曲线集合)

ℵω={ℵ₀，ℵ₁，ℵ₂，……}相当于把ω中的元素一一对应成ℵ数这也是：

cf(ℵω)≠ℵω的原因(不是正则基数)cf是取最短长度……

在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称艾礼富数，阿列夫数是一连串超穷基数。

其标记符号为 ℵ （由希伯来字母 ‎א‎ ‎演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为ℵ0 ，下一个较大的势为ℵ1 ，再下一个是ℵ2，以此类推。

一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数。

构造性定义：

阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。

即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。

下面的构造型定义解决这个问题：

ℵ0定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；

如上定义的等价类有一个特点：

可比较，设ℵa已定义且是一良序集的基数，考虑：

由于ℵa是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；

一定还有其他基数为ℵa的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。

所有这些等价类将做成一集，记为Z(ℵa)。

Z(ℵa)也是良序集。

考虑良序集按照某种同构关系划出的等价类；

定义ℵa+1：= card(Z(ℵa))，它是一个良序集的基数。

然后我们来了解一个故事

基塔：““无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。

它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。

房间号从1开始，无限制地排下去。

一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。

尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。

他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。

于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。

第二天又来了五对夫妇渡蜜月。

无穷饭店能不能接待他们，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。

周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。”

赫尔曼：“我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？”

基塔：“很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。”

赫尔曼：“对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！”

关于无穷大还有很多悖论。

计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。

在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！

德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。

关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。

如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。

对于无穷集这—点就不成立了。

看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。

确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。

无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康托称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。

显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。

两根棒都刻了线，按厘米计数。

两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。

想象把一根棒向右移动n厘米。

移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。

如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。

移动的n厘米代表两棍棒长之差。

不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。

由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。

这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。

让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。

由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康托称之为阿列夫1。

康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一一对应关系。

阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。

康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；

与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。

阿列夫1又称为“连续统的势”。

阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。

因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。

同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。

康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。

当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。

因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

在阿列夫数之间有没有什么超限数？

比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？

康托确信不存在这种数。

他的猜测成为著名的广义连续统假设。

1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。

1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。

简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

科恩的研究结果是：集合论分为康托型和非康托型的。

康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。

非康托型集合论是假定有无限多个中介数。

情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。

希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分。

阿列夫0是自然数集的势。

连续统猜想认为存在一种势，它是所有大于阿列夫0的势中最小的，用阿列夫1表示，并且2的阿列夫0次方=阿列夫1。

然而已经证明连续统猜想独立于现有公理体系，不能被证明或证伪，它本身及其否定都不是数学定理。

基数在数学上，基数是集合论​中刻画任意集合大小的一个概念。

两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合​。

例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。

超限基数

超限基数亦称无限基数，是一类常见的基数，指与有限基数相对的一类基数，可数基数、不可数基数统称超限基数，超限基数又称为阿列夫(ℵ)。

将所有超限基数从小到大排列出来 ，得到正则超限基数序列：

ℵ0，ℵ1，ℵ2，ℵ3……ℵω……ℵα，这是一个无限上升的良序链，这里ℵ0=ω是可数基数，也是最小的超限基数。

当α＞0时，ℵα都是不可数基数。

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