康托尔悖论

数学悖论

康托尔悖论，亦称“最大基数悖论”，是集合论悖论之一。

由集合论创始人、德国数学家康托尔于1899年提出。

考虑一切集合所构成的集合V，设它的基数是λ。

因为V是最大的集合，所以λ应是最大的基数，但由集合论的康托尔定理知：每一个集合的幂集具有比该集更大的基数，于是V的幂集将有比V更大的基数，这与λ是最大基数矛盾。 [1]

中文名康托尔悖论提出者康托尔提出时间1899年 [1]应用学科数学

目录

1 理论实例

2 集合理论

3 理论影响

理论实例

一年一度的某中学艺术节又要到来了。

本次艺术节共设三项：书画比赛、歌咏比赛和围棋比赛。

初二·三班的文艺委员孟娟对本班参赛人员进行统计，结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25人，但使孟娟百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。

关于集合的理论是19世纪末开始形成的。

当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。

集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。

简单说来，集合就是一组事物。

例如“中华人民共和国的直辖市”、“星期二数学课迟到的人”、“张三穿过的鞋”等都是集合。

物以类聚，人以群分，同类的人或事物总有共同的特点或性质，根据这种特点或性质就可以决定一个类，这个类就是集合。

构成一个集合的东西均属于这个集合，属于这个集合的个体称为集合的元素，比如“小于7的正奇数”就是一个集合，构成这个集合的1、3、5就是这个集合的元素。

给出一个集合，就规定了这个集合是由哪些元素组成的。

显然，对于任何事物来说，它要么属于一个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一。

如1和3属于“小于7的正奇数”这一集合，而6和8则不属于这个集合。

在算术中我们常比较一些数，找出其中哪一个数较大。

集合也可以进行比较，而比较的方法之一就是把一个集合的元素与另一个集合的元素进行比较。

集合{1，3，5，7}与集合{2，4，6，8}不同，因为二者的元素不同。

而集合A={a，b，c}与集合B={c，b，a}则是相同的，这是因为这两个集合有着相同的元素，这时我们记作A=B。

至于元素排列的次序是否一样，倒是没有关系的，只要两个集合具有相同的元素，它们就是相等的。

集合之间还可以采用一一对应的方法进行比较。

古时有一人遭诬陷后被关进了漆黑一团的地下室里，他一心想着能早日出去报仇，但在这幽暗的世界里，没有黑夜与白天的分别，当然更没有天数的概念、怎么能知道自己在这里呆了多少天呢？他发现了一个窍门，原来狱卒每隔一天倒一次马桶。

于是每当狱卒倒马桶时，他就用石块在墙上划一道线，这样马桶的集合与线的集合就形成一一对应，而马桶的集合又与日期的集合形成一一对应，因此，从线的多少就可以知道天数的多少。

要对任何两个集合进行比较，只要用一个集合的元素去对应另一个集合的元素就可以了。

如果两个集合有一一对应的关系，那么我们就说两个集合是等价的，如上述线的集合、马桶的集合、日期的集合相互之间都是等价的。

但值得注意的是两集合等价与相等不是一回事。

例如在初一·二班中有张三和李四两位同学，张三的老师的集合A与李四的老师的集合B是相等的，因为两集合的元素是完全相同的；也就是：

A={王五，赵六，周七}

B={王五，赵六，周七}

但假如张三与李四不是同一学校的，张三的老师的集合A与李四的老师的集合C就不是相等而可以是等价的，因为两集合的元素只是一一对应，而不是相同的，也就是：

A={王五，赵六，周七}

C={吴八，郑九，陈十}

判断若干个集合是否等价最简单的办法就是看每个集合内元素的个数是否相等，一集合的元素的个数称为此集合的基数，例如{北京，天津，上海}这一集合有三个元素，故其基数为3，而{《孔乙己》，《风波》，《阿Q正传》，《一件小事》}有四个元素，则基数为4。

有一些集合，它们的元素是有穷的，如{1，4，9，……100}，{里根，布什，克林顿}，这种集合称为有穷集合。

而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合、宇宙中星体的集合等，这种集合称为无穷集合。

无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。

由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。

康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。

还有一种集合与无穷集合恰好相反，这种集合不包含任何元素，例如“能被2整除的奇数的集合”、“活到1200岁的人的集合”等，这些集合叫空集。

在我们讨论具有某种性质的对象时，把具有这种共同性质的一切元素组成的集合叫做全集。

例如在某运动会中，参加某一项目竞赛的共有10名运动员，那么这10名运动员组成的集合就是参赛运动员的全集。

在一集合中，我们可以拿出一部分元素来组成新的集合。

在本节开始所述的例子中，“初二·三班的学生”是一集合，而在这些学生中，又可以分出几种不同类型的学生，如参加歌咏比赛的学生、参加书画比赛的学生、参加围棋比赛的学生等。

这几类学生是初二·三班学生组成的几种集合，这些集合都是初二·三班学生集的子集。

显然，子集是包含于原来集合的子集的元素，如张三既是参加书画比赛学生集的元素，同时也是初二·三班学生集的元素。当然，我们还可以按其他条件组成不同的子集。

如男学生集、女学生集、团员学生集、参加英语学习小组学生集等等。

那么给定一个集，能组成多少个子集呢？我们具体看一下，例如：

{1}可有{}、{1}2个子集；

{1，2}可有{}、{1}、{2}、{1，2}4个子集；

{1，2，3}可有{}、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}8个子集。

依次类推，可以看出，一个含有n个元素的集合有2^n个子集。

需要注意的是，在集合论中，对于集合有多少元素没有限制，所以会出现只有一个元素的或没有元素的子集（空集），原集本身也是自己的子集。

所以当我们问原集能有多少个子集的时候，空集和原集也须计算在内。

一个集合的所有子集也可以组成集合，这个集合叫做原集的幂集。

例如{张三，李四}这一集合的幂集就是

{{}{张三}，{李四}，{张三，李四}}。

两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。

例如英语考试优秀的学生集A={赵丽，王芳，陈凤}，数学考试优秀的学生集B={朱军，王铭，王芳}。

这两个集可以相加组成集C，它既包含了A的元素，又包含了B的元素，这个集就是{赵丽，王芳，陈凤，朱军，王铭}。

这个集称为A和B的并集。

注意的是，王芳在上面的集中不必写两次，只要写一次就说明她是C的元素了。

因此C的基数并不等于A的基数加B的基数，而是二者相加后再减去共同的元素。

文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集进行相加，但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二·三班的总人数。

而孟娟只是简单相加，忘记了应减去相同的元素，难怪要多出8人了。

集合A和B还可以相乘得一新集合D，D是由于A、B中共同的元素组成的集即{王芳}，D称为A和B的交集。

以上是康托尔集合论的一些基本概念。

当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。

他说：“康托尔走进了超穷数的地狱。”

他有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”

就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。

甚至不承认康托尔为他的学生。

在这种情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位，他郁郁不得志，一度精神崩溃，放弃数学的研究，后来终于在一家精神病院去世。

然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑，它标志着人类经过几千年的努力，终于基本弄清了无穷的性质。

因此越来越多的人开始承认它，并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。

大家认为，集合论确实是数学的基础。

而且，由于集合论的建立，数学的“绝对严格性已经取得”。

这时，数学的王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。

然而正当人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆“百牛宴”时，数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。

这些悖论的出现，可以说是康托尔集合论的必然结果。

实际上在19世纪末，康托尔本人就已发现自己理论中有不少矛盾，但他没有声张，而是悄悄地在利用。

由上可知，有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2^n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。

因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。

据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。

显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。

对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。

悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。

1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！

悖论

《古今数学思想》书中 (第四册289页)指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。

在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。

塔斯基不可定义定理

社会科学术语

塔斯基不可定义定理，库尔特·哥德尔在1931年发表了著名的哥德尔不完备定理，他一部分是透过一阶算术逻辑的语义表达技巧来完成定理的证明。

中文名

塔斯基不可定义定理

提出者库尔特·哥德尔

目录

1 发展历史

2 定理的内容

3 探讨

发展历史

在他的算术语言中，每条表达式都配有各自的编码。

这个过程称为“哥德尔编码”，而每组表达式也可配有各自的编码组。

如此一来，各种语义属性（例如：当成式子或当成句子）变成可计算的。

我们就可透过算术式定义任何可计算的编码组，具体而言，我们可用算术语言中的某些式子（即公理）为算术句子及可证明的算术句子定义出编码组。

塔斯基不可定义定理则表明：这种编码不能带给我们语义的概念，例如：真理的概念。

这表明：世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。

我们可推论出，元语言必须具备超越对象语言的表达能力，才可表达出对象语言的语义。

元语言具有对象语言所没有的原始概念、公理及规则，使得某些定理在对象语言中不可证明，在元语言中却可证明。

一般认为不可定义定理是由塔斯基给出的。

尽管哥德尔在1930年证明不完备定理的期间也发现了不可定义定理，远早于塔斯基的发表，但是哥德尔并未发表自己有关不可定义性的发现，仅在1931年致约翰·冯·诺伊曼的信中提到它。

塔斯基在1929至1931年间完成了他大部分的论文成果，并向波兰的听众演说。

这篇论文就是1936年发表的《形式化语言中的真理概念》（DerWahrheitsbegriff in den formalisiertenSprachen）。

然而，正如他在论文中所强调的，不可定义定理was the only result notobtained by him earlier.根据论文中不可定义定理的注解（Satz I），这个定理及其证明的草稿是在送印前才加进论文中的。

他在1931年3月21日向波兰科学院（Warsaw Academy of Science）进行论文演说时，仅写下一些猜想，而没有提到他基于自己的研究与哥德尔的简报所完成的《元数学的完备性与相容性的一些结果》（Einigemetamathematische Resultate überEntscheidungsdefinitheit undWiderspruchsfreiheit）。

定理的内容

我们在这个小节会给出塔斯基定理的简易版，接着在下个小节才会论及塔斯基在1936年的完整证明。

令L为一阶算术语言，令N为L的标准结构。这样，(L,N)就是“一阶算术直译语言”。

L中的每个句子x都有各自的哥德尔数g(x)。

令T为L中基于N为真的句子的集合，而T*为T中的句子的哥德尔数的集合。

现在的问题是：一阶算术的句子可否定义出T*？

塔斯基不可定义定理的回答是：没有任何L中基于N为真的式子定义出T*，亦即，没有任何L中基于N为真的式子使得对任何L中的式子A，有g(A)为真若且为若A为真。

简单来说，这个定理告诉我们：我们不可透过任何形式算术本身的表达能力定义出这种形式算术中的真理概念。

这指出了自指范围的主要限制。

我们不可定义出extension为T的基于N为真的式子，不过我们仍可透过表达能力超越L的元语言来达到这点。

例如：二阶算术可定义出一阶算术的真谓词。

可是元语言只可定义出对象语言中的句子的真谓词。

我们必须以更高阶的元语言（即元语言的元语言）来定义元语言的真谓词，这样的定义方式是永无止尽的。

这个定理算是波斯特定理（Post'stheorem）在算术阶层中的引理。

这个定理是继塔斯基不可定义定理发表数年后完成的。

在波斯特定理的基础下，我们可透过归谬法给出塔斯基定理的语义证明如下： 假设T*是算术上可定义的，那么，我们可透过自然数n将T*定义在算术阶层的第阶。

然而，对任何k，T*都是。

这样，算术阶层就在第n阶崩溃，违反波斯特定理。

探讨

以谓词与函数符号定义出自身中所有语义概念的直译语言，就具有“语义上强自我表达”能力。

其中，必要的函数包括：“语义评估函数”，用以将式子A映射到它的真值||A||，及“语义表示函数”，用以将用语t，映射到它所表示的物件。

最终，塔斯基定理总结道：“没有任何语言具有语义上强自我表达能力。”

无论如何，塔斯基不可定义定理并未禁止以较强的理论去定义较弱的理论中的真理。

例如，透过二阶算术可定义一阶算术基于N为真；而透过一阶策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）可定义二阶算术（直到n阶算术）的真式子。

雷蒙·史慕扬（Raymond Smullyan）强烈建议人们将目光从哥德尔不完备定理转移到塔斯基不可定义定理上，因为后者主要涉及数学，而在哲学议题的范畴中效果不显著。

反之，塔斯基定理并不直接涉及数学，却涉及任何形式语言在充分表达能力上先天限制，使我们深感兴趣。

这种语言借由对角线引理（diagonallemma）的作用产生充分的自指能力。

引进塔斯基定理对哲学领域的扩展效果更加显著。

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