数学论文（大基数公理和终极-L）

新大-基数公理和终极-L程序鲁珀特-麦卡勒姆摘要 .

我们将考虑一些新的大基数构造 - erties，每个极限序数 ~＞0 的 α - 巨大基数，超 - 巨大基数，每个极限序数 α ＞0 的巨大基数，以及超 - 巨大基数。对于极限序数 α ＞0，α - 巨大基数和超巨大基数在 I3 和 I2 之间具有一致性强度。α-巨大基数和超-巨大基数的一致性强度大于10，以及Hugh Woodin关于合适扩展器模型的论文第二部分讨论的所有大基数公理，不知道与ZFC不一致并且一致性强度大于10。拉尔夫·辛德勒和维多利亚·吉特曼已经发展了虚拟大基道具的概念，并且可以清楚地理解“几乎是巨大的”和“几乎超巨大的”的概念。假设 V = HOD，一个可测基数可以证明是 vir - tually hyper - 巨大。使用在第 6 节中给出的终极 - L 的定义，声称是正确的定义，假设每个极限序数 α ＞0 存在一个适当的 α-巨大基数类，可以证明，如果 V 等于该定义意义上的终极 - L，那么可以得出一个几乎 w-巨大的基数是拉姆齐基数的极限。

我们可以引入超巨大*基数的概念，其强度略低于超巨大基数，并且可以证明，在不假设选择的上下文中，作为初等嵌入j：Vx +2＜Vx +2的临界点的基数必然是超巨大*基数。（假设依赖选择公理很可能也可以证明它是超的 - 巨大的，但前一个命题是接下来所需要的。基于这个见解，我们可以得到这样的基本嵌入的存在实际上与ZF完全不一致的结果。

最后，断言每个极限序数 α ＞0 都有一个适当的 α-巨大基数类，可以证明暗示了终极 - L 猜想的一个版本。

关键词：终极-L程序，大基数。MSC ：03E45，

03E55

致我心爱的妻子Mari Mnatsakanyan，没有她，这项工作是不可能的。

新的大基数公理和终极 - L 程序3

致谢 休·伍丁对这项工作的一些早期草案提供了非常有用的反馈，其中对A-巨大基数的概念提出了一些不令人满意的定义，我非常感谢他的帮助。

在下文中，我们将介绍一些新的大型 - 基数斧头 - ioms ，以及它们的应用。让我们首先介绍要考虑的新大基数属性的定义。

1. 新大基数属性的定义 定义 1.1.假设这是一个极限序数，使得 ＞0。我们说一个不可数的正则基数k是一个巨大的，如果存在一个递增的基数序列（kB ：β＜ a），使得Vx，＜ V对于所有B＜a，并且如果n＞1和（ß;：i ＜ n）是一个小于a的递增序数序列，那么如果Bo≠0，那么对于所有B'＜Bo有一个基本嵌入j：VrB ._.＜ VrB ._，临界点为1Kgr和j（kBr）= KB ，并且j（kB ）=kB1对于所有i使得0≤i＜n -2，如果Bo = 0则有一个基本嵌入j：Vrg ._ Vka ._， 临界点 k '＜ Ko 和 j （ k '）= ko 和 j （ kB ）=kB4，对于所有 i 这样的 0≤ i ＜ n -2。

定义 1.2.一个基数 k 使得 k 是 k - 巨大被称为超 - 巨大 .

定义 1.3.假设这是一个极限序数，使得 ＞0，并且 （ rg ： B ＜ α ） 与一个族一起

F的初等嵌入见证了这是一个 - 巨大的，只有一个嵌入在家族中

F 见证每个小于 α 的序数有限序列的 - 巨大性。假设给定任何小于 α 的序数 （B ： i ＜ w） 的 w-序列，有一个具有临界序列 （s ，： i ＜ w 的基本嵌入 j ：V1+1V1+1），通过将 F 中明显的 w-嵌入序列粘合在一起而获得，其中 入：= 上新 KiBn ·进一步假设有一个初等嵌入 k ： V ＜ M，固定所有大于 “ 的正则基数，VCMand （ Vα +1） Vα +1;和 kVα = jV .如果 B ：= suPnew Bn ＜ α ，则设 p ：= kg ，否则设 p ：= k 。假设，每当我们有 Vi +1 SCV 和 S E L （Vα + i ）[ X ] 其中 X ：=（ e ，“8;： i ＜ n ） 对于某个有限序数 n

其中每个 e 是临界点大于 ＞ 的基本嵌入，e 的临界序列的上确界和 d 是成对非重复，和 k（S） C S，那么我们有 k（S）＜ S。如果所有这些条件满足，则基数K称为-巨大。定义 1.4.一个基数 k 使得 k 是 k - 巨大被称为超 - 巨大 .

我们很快将确定 α - 巨大基数和超巨大基数相对于 I2 是一致的。我们还将确定 - lish α - 巨大基数和超 - 巨大基数比 I0 或任何其他已知与 ZFC 不一致的先前的 - 大 - 基数公理具有更大的一致性强度。最后一节将简要讨论定义原始表述的灵感来源，这可以作为假设这些大基数与ZFC一致的一些动机，续集中证明的结果可能会为假设一致性提供一些额外的动机。

让我们首先确定极限序数 ＞0 的 α - 巨大基数和超 - 巨大基数的一致性强度严格介于 13 和 I2 之间。

2. @- 巨大基数和超巨大基数的一致性强度 定义 2.1.基数 k 被称为 I3 基数，如果它是初等嵌入 j ：V2＜V2 的临界点。I3 是断言 - 断言 I3 基数存在，I3（k ，0） 是断言第一个语句对特定的序数对 k 成立，使得 k ＜ô。 定义 2.2.基数 k 被称为 12 基数，如果它是初等嵌入的临界点 j ： V ＜ M 使得 V2 C M 其中最小序数大于 k 使得 j （0）=8.I2 是断言 I2 基数存在，I2（ k ，） 是第一个语句对特定序数对 k 成立的断言，这样K＜8。

在本节中，我们希望证明 a - 巨大基数和超巨大基数的一致性强度严格在 13 到 12 之间。

定理 2.3.假设 k 是 w - 巨大的，如 （ ki ： i ＜ w ） 所见证的那样。然后有一个正规的超滤子 U 在 ko 上，使得所有 k'＜ ko 的集合使得 I3（k'，8） 对于大约 8＜ ko，是 U 的成员。

证明。假设 k 是 w - 巨大，并且 （ k ： i € w ） 到 - gether 与某个族 F 的基本嵌入见证 k 的 w - 巨大性。可以假设在不损失一般性的情况下，F中所有具有临界点ko的嵌入都产生相同的

新的大基数公理和终极 - L 程序 5

Ko 上的法线超滤子，在下文中用 U 表示。我们可以使用反射来显示 ko ＜ ko="" belonging="" to="" any="" fixed="" member="" of="" u="" ,="" such="" that="" (k2,="" ko="" ,k1...),="" together="" with="" a="" certain="" family="" fo="" of="" elementary="" embeddings="" ,="" witness="" w="" -="" tremendousness="" of="" k="" .="" then="" we="" can="" repeat="" this="" procedure="" to="" find="" a="" k1="" belonging="" to="" the="" same="" fixed="" member="" of="" u="" such="" that="" k=""＞＜＞＜ ko="" ,="" such="" that="" (k2,k1,k0,k1,...),="" together="" with="" a="" certain="" family="" fi="" of="" elementary="" embeddings="" ,="" witness="" w="" -="" tremendousness="" of="" k="" .="" we="" can="" continue="" in="" this="" way="" ,="" and="" we="" can="" also="" ar="" -="" range="" things="" so="" that="" there="" is="" a="" sequence="" of="" embeddings="" jn="" :="" v=""＞＜ vk="" ,="" with="" critical="" point="" 2="" for="" all="" n=""＞1 的存在，它可以通过诱导来选择，使得对于每个 n ＞1，对于所有 m 与 im 相干，使得1＜ m ＜ n ，以及来自 Fn 的临界序列以 （K，K1,...开头的嵌入K ，2） 可以选择，以便与 中相干。通过这种方式，我们得到一个序列 （，： n ＜ w） 和一个具有前面所述属性的嵌入 jn 序列。对于任何给定的 U 元素存在这样一对序列，就会产生所声明的结果。

定理 2.4.假设 k 是 I2 基数。然后有一个 nor - mal ultrafilter U on k 专注于超 - 巨大的基数.证明。假设 k 是 I2 基数，并让初等嵌入 - 丁 j ： V ＜ M 与临界点 K 见证，即 I2 基数，临界序列的上确界为 。如果我们让 U 是 k 上的 ul - 遍历过滤器，我们可以很容易地证明 k'＜ k 的集合使得存在一个基本嵌入 k ：V3V8，其临界序列由 k' 组成，后跟 j 的临界序列，是 U 的成员（以下用 X 表示）。然后属于这个集合的序数序列，连同可以从嵌入序列（k：K'€ X）导出的嵌入集合，证明k是超巨大的。由于 k 在 M 中也是超巨大的，因此期望的结果如下。

这完成了a-巨大基数和超-巨大基数严格在I3和I2之间的一致性强度的证明。在下一节中，我们将讨论 - 巨大和超 - 巨大基数的一致性强度。

3. @- 巨大和超 - 巨大基数的一致性强度

我们希望证明 A - 巨大基数和超 - 巨大基数的一致性强度大于任何先前的 con - 边形大 - 基数公理，不知道与 ZFC 不一致。

麦卡勒姆

我们将从定义[2]中讨论的一些大基数公理开始。

定义 3.1.我们说序数＞满足拉沃公理，如果以下条件成立。有一个集合 N，使得 V1+1CNCV+2 和一个初等嵌入 j ： L （ N ）＜ L （ N），使得：

（1） N = L （ N ） N Vx +2 和 crit（ J ）＜ x ;(2） NN C L （ N ）;（3） 对于所有 F ： VA +1→ N \{ W } 使得 F ∈ L （ N ） 存在 G ： Vx +1→ Vx +1 使得 G € N 并且对于所有 A €V1+1， G （ A ）€ F （ A ）。

我们将在第6节末尾陈述一个引用拉沃公理的主张，但在本节中不再进一步提及。定义 3.2.我们将序列 （ Ea （ VA + i ）： a ＜ Tva +1） 定义为最大序列，使得以下序列成立。

（1） E （ Vα +1）= L （ Va +1） N Va +2 和 E （ Vα +1）= L （ Va +1））：NVa +2.（2）假设一个＜ Tv，而a是极限序数。那么 E （V1+1）= L （ U { Eg （ VA +1）： B ＜ a }） NVa +2.

（3）假设一个+1＜ Tv”。然后对于一些 X € E +1（ V +1），E （ Vi +1）＜ X ，其中我们的意思是存在一个超射π：Vα +1→ E （ Vi +1） 与 T E L （ X ， V +1），E +1（ Vi +1）= L （ X ，V1+1） N V1+2，如果 +2＜ Tvs +1，则 Eα +2（ Va +1）= L （（ X ， Vx +1）*） N Vx +2。

（4）假设一个＜ Tv 那么存在XCVi +1，使得E（Vi +1）CL（X，V1+1）并且有一个适当的基本em - 床上用品j ： L （ X ， VA +1）＜ L （ X ， VA +1），这意味着J是临界点低于＞的非平凡，对于所有X'€ L （ X ，V1+1） NVX +2，存在一个Y € L （ X ，V1 + 1） N Vi +2，使得（X，： i ＜ w ） E L （ Y ，V1+1），其中Xo = X ' and Xt4+1= j （X1） 对于所有i ≥0。

（5）假设一个＜ Tv“是一个极限序数，设N = E（Vx +1）。

Then either

（ 一 ）（ cof （ OM ））L （ N ）＜入，或

（ 二 ）（ cof （⊕ N ））2（ N ）＞》 和某些 Z € N ， L （ N ）=（ HODv ，1u（2））2（ N ）。

这里 ON = sup { OL （ X .V +1）： X € N } 其中 OXVx +1） 是序数 y 的上确界，可以作为域 V1+1 的超射的余域，其中射是 L （X， Vi +1） 的元素。

（6）假设一个+1是极限序数，并设N = E（V3+1）。

Then either

新的大 - 基数公理和终极 - L 程序

（ 一 ）（ cof （ ON ））L （ N ）＜）， 和 Eo +1（ VA +1）= L （ NA ， N ） N Vα +2， 或

（ 二 ）（ cof （ ON ））Z（M ）＞ l 和 Eα +1（ VA +1）= L（（N）， N ） N VA +2，其中 E（N） 是初等嵌入 k ： N ＜ N 的集合。

定义 n ：= l （ u { e （ v +1）| α ＜ TV }） N V +2. 假设 cof （ ON ）＞入 和 L （ N ）≠（ HODvs + IU （ Z ） E （ M ） 对于所有 Z E N，并且进一步存在一个带有crit（J） ＜＞ 的基本嵌入 j：L （ N ） L （N）。然后我们说＞满足伍丁公理。

定理 3.3.假设 k 是 w - 巨大的，如 se - quence （ kin ： n ＜ w ） 所见证的那样。那么Vro是一个模型，用于断言有一个满足Woodin公理的X的适当类。

证明。假设定理陈述中给出的假设和符号。如果我们让 入 ：= sup { kn ： n ＜ w }，则存在一个具有临界序列 （ Kn ： n ＜ w ） 的基本嵌入 j ： Vα +1＜ Vx +1 ）。显然，它足以证明满足伍丁公理，也可以证明满足拉沃公理，假设 V = OD，ixinVie

假设一个集合序列（E（V1+1）：一个＜B）满足伍丁公理定义的要求（1）-（6），相对化为Vk，对于某些β≤电视，并定义N为Eg的唯一可能候选日期（如果存在）。超限归纳法可以证明L（j（N）UV +1） NV = L（N）NV。然后，考虑到j对这样一个N的元素的作用是由j决定的|V，并且使用w-巨大性的假设，可以通过超限诱导证明j对L（N）V的限制是L（N）nVk＜L（N）n Vk的基本嵌入，在B＜TVa + i的情况下是合适的＞：这样就完成了论证。

这完成了一个 - 巨大和超 - 巨大的基数比任何以前未知不一致的 ZFC 的边扩展具有更大的一致性强度的证明。

4. VIRTUALLY a - ENORMOUS AND HYPER - ENORMOUS CARDINALS

拉尔夫·辛德勒（Ralf Schindler）和维多利亚·吉特曼（Victoria Gitman）在[4]中引入了虚拟大基数性质的概念。给定任何大的 - 基数属性。

参考定义一个集合大小的基本嵌入j：V V3或此类嵌入的族，对应的虚大基数。

McCALLUM

属性以相同的方式定义，除了通过基本 em - 床上用品 j :(Va ）＜（ VB ） 其中 j E VG 表示 V 的集合泛型扩展。实际上是一个 - 巨大或超 - 巨大基数概念是明确的。我们将在本节中陈述一个关于几乎超 - 巨大基数的结果，并将在第 6 节后面陈述一个关于几乎 w - 巨大基数 - nals 的结果。

定理 4.1.如果 k 是一个可测基数，并且 V = HOD，则在 k 中有一个序列共尾见证 k 的虚拟超巨大性。

证明。假设临界点 K 的 j ： V ＜ M 见证了 k 的可测性。然后有一个基本嵌入j'：Ve +1Y（MNV2（）+1），它出现在M的泛型扩展中（这里使用假设V = HOD）。迭代反射产生所需的结果。

5. INCONSISTENCY OF THE CHOICELESS CARDINALS

很有可能，非平凡初等嵌入 j ： Vα +2＜ Vα +2 的临界点可以证明是超 - 巨大的假设 - 取决于选择公理（但显然不是完整的选择）。然而，在下面的内容中，我们只需要使用一个较弱的陈述，它可以在没有任何形式的选择的情况下证明。

定义 5.1.假设 α 是一个极限序数，使得 α ＞0，并且 （k3：β＜@） 与基本嵌入的族 F 一起见证 k 是一个巨大的，族 F 中只有一个嵌入见证了 α - 对于每个小于 α 的有限序数序列的巨大性。假设给定任何小于 α 的序数 （B;： i ＜ w） 的 w-序列，有一个初等嵌入 j ： Vi +1 Vi +1 与临界序列 （kB ，： i ＜ w），通过将 F 中明显的 w-嵌入序列粘合在一起而获得，其中 入：= suPnew KBn ·然后基数 k 被称为 - 巨大的 *。

定义 5.2.假设基数 k 是 k - 巨大的 *。然后 k 被称为超 - 巨大的 *。

在本节中，我们希望证明以下定理。

定理 5.3.与 ZF 不一致的是存在序数 X 和非平凡初等嵌入 j ： Vi +2 Vi +2。

证明。同样的推理表明每个 I2 基数 k 都有一个正态超滤子 U 集中在超巨大基数上，在 ZF 中也表明，如果 k 是初等嵌入 VA +2＜ VA +2 的临界点，那么有一个正态超滤子 U 集中在序列 （ k 。：一个＜k），它见证了k是超的 - 巨大的*。

在[6]中，加布里埃尔·戈德堡也使用迭代坍缩强迫证明，如果这种嵌入的存在与ZF一致，那么它也与V是良可排序的一致（使用井-排序，如果m＜n和（K ： i E w）是j的临界序列，映射jn-m映射井的限制-排序为V。 对井的限制 - 订购到 V \ Vg ）。

所以假设这两个假设的合相，在ZF中，设k是嵌入的临界点，设S是前面提到的序列（kα：α ＜k）。对于每个 α ＜ k，设 E 。是 [α] w 上的等价关系，它持有两组小于 k 的序数。其元素按顺序构成两个可数无限长度的序列，当且仅当所讨论的两个序列具有相同的尾巴。有一个序列（ C .：α ＜ k） 使得对于每个 α ＜ k，Cα 是 Eα 等价类的选择集合，并且对于每个具有 ＜ B 的对 （α， B），当一个人从一个见证 k 的超巨大性的固定嵌入族中选择一个初等嵌入 j' 时，我们可以在不损失一般性的情况下选择它，使得 j'（Cα ）= CB。然后使用嵌入j可以将其扩展到选择集合（Cα：α ＜＞），这样如果一个＜B＜K，那么可以选择一个基本嵌入j'，它是见证的固定嵌入集合的一部分。

这允许人们为 [ X ]“ 上的相应等价关系 E 构造一个选择集 C”。方法如下。给定一个 X E [ X ]“，根据我们陈述的假设，对于任何给定的 n ＞0，人们可以找到一个 X'∈ V，使得 X'∈[ p ] w 对于 k1 和 k 之间的共尾性 w 的 p，以及嵌入 ex ， n ： Vp +1 Vi +1，它携带一系列超巨大的 * 基数共尾在 p 到 j 的临界序列或其尾部， 使得 ex ， n （ X'）= X 。这可以与选择集序列（C：α ＜》）一起使用，以选择X等价类的成员，取决于n。使用前面提到的不同选择集合 Cα 之间的关系，我们可以争辩说，这些数据可以以这样的方式选择：映射到 X 等价类的选定成员的函数映射实际上是最终常数，并且等价关系 E 的选择集可以通过这种方式构造。

然而，这引起了使用库能不一致性定理的证明方法的矛盾。这个矛盾是从一组假设中获得的，这些假设通过仅强制相对于ZF加上基本嵌入VA+2＜VA+2的存在来证明是一致的。因此，基本嵌入 VA +2＜V1+2 的存在实际上与 ZF 不一致。

6. A PROOF OF THE ULTIMATE - L CONJECTURE

在本节中，我们将寻求证明休·伍丁的终极-L猜想。休·伍丁的终极-L计划最重要的来源是[1]，[2]和[3]。我们必须首先给出公理 V = 终极 - L 的陈述，遵循 [3] 的定义 7.14。

定义 6.1.公理 V = 终极 - L 被定义为断言 - tion

（1） 存在一类适当的伍丁基数。

（2）给定任何在V中为真的∑2-句子o，存在实数A的单向-萨利贝尔集合，使得，如果⊕（4.R）被定义为最小序数，使得在L（A，R）中没有从R到Θ的超射，则句子ф在HOD nVOL（A）中为真。R ).

现在让我们回顾一下 [3] 中的一组定义。

定义 6.2.假设 N 是 ZFC 的传递真类模型，它是 V 中的超紧基数。我们说N是超紧的弱扩展模型，如果对于所有y＞，在Po（Y）上存在一个正常的精细S-完全测度/μ，μ（N nP6（A））=1，μ N N ∈ N。

定义 6.3.一个序列 N ：=（ Nα ： α € Ord ） 是弱 E2- 可定义的，如果有一个公式 p（x） 使得

（1） 对于所有 B ＜ n ＜72＜73，如果 （Nα） Vn |B =（ Nα ） VNS |B 然后 （ Nα ） Vhn |B =（ ng ）Vn2|B =（ Nαo ）Vn3|B ;

（2） 对于所有 BEOrd ， N |B =（ N ） V |B 表示足够大的 n，其中 ，对于所有 y ，（N6） h ={ α E V ，： V =0[ α ]}。假设 NCV 是一个内部模型，使得 N = ZFC 。则 N 是弱∑2- 可定义的，如果序列 （NN V ：@€ Ord） 是弱 E2- 可定义的。

我们现在可以陈述我们计划在本节中证明的结果

定理 6.4.假设有一个适当的类 α - 每个极限序数 α ＞0 的巨大基数。那么以下版本的终极-L猜想，在[3]中给出为猜想7.41，成立。

假设这是一个可扩展的基数（事实上，人们甚至可以假设d是一个超紧基数）。然后有一个弱扩展器模型N，用于超紧性，使得

（1）N是弱E2-可定义的，并且N C HOD ;

(2） N = V = Ultinate - L”。

（3） N = GCH 。

定理证明 6.4.让我们给出期待已久的终极定义 - L 。我们声称接下来是终极 - L 的正确定义，假设在 V 中有足够多的大基数，如在定理 6.4 的假设中排列。当我们进行较弱的大 - 基本假设时，定义它的正确方法仍有待发现。

假设k是w-巨大的，如一个序列（kn：n ＜w）所见证的那样，显然我们可以在不损失一般性的情况下假设后一个序列在HOD中，我们将这样做。 然后我们可以考虑所有形式的序数集合 j“＞其中 ＞：= sup { kn ： n E w } 对于一些序列 （n ： n E w） 具有前面描述的性质，j 是具有临界序列 （Kn ： n € w） 的基本嵌入 Vx +1＜ VA +1。其中一些序数集将成为 HOD 的成员。我们将 Ultimate - L 定义为 L 的最小扩展，包含 HOD 中此类序数集合的真类长度序列的每个成员，以这种方式从 w-巨大基数 k 获得，对于 ＞ 的每个可能值，序列中正好有一个这样的序数集合 j“A。

它将从本节的结果以及关于终极 - L 猜想的已知结果中得出，如此定义的终极 - L 实际上并不依赖于序列的选择。在这个模型中，对于每一个可能的临界序列，确实存在至少一个初等嵌入j：Vα +1 Vα +1，临界序列（Kn ： n E w）。

HOD 由嵌入部分见证 V 中某个基数的巨大性产生。模型中必要的基本嵌入可以使用与 Section 类似的参数来构造

3. 因此，这个模型仍将是一个模型，用于断言每个极限序数 α ＞0 存在一个适当的 α 类 - 巨大的卡纳尔。更清楚地看，这个内模型将满足GCH，并且很容易看到它是弱E2-可定义的，并且是HOD的子类，并且是任何在V中超紧的基数的超紧性的弱扩展模型，给定所述的大基数假设在V中成立。为了看到最后一点，有必要观察到给定所述的大基数假设，任何超紧基数必然是超巨大的，并且所有必要的 elementary12 嵌入来见证这一点确实下降到模型 Ultimate - L。我们现在必须证明，这个模型确实是本节开头所述的公理 V = 终极 - L 的模型。

显然，我们的终极 - L 版本是断言存在适当类的伍丁基数的模型。假设某个 ∑2- 句子在终极 - L 中为真，因此我们需要在终极 - L 中找到实数 A 的 univer - sally Baire 集合，使得有问题的 ∑2- 句子在 （HOD ）（ AR） N V2L（ A .从众所周知的泛型绝对性结果中，假设伍丁基数的适当类成立，足以证明这确实在某个集合中获得 - 终极 - L 的泛型扩展。因此，选择一个序数f，使得（V2）终极-L是终极-L的E2-基本子结构，并选择＜B的y，使得（Vn）Uimate - b建模∑2-句子。现在考虑 Ultimate - L 的泛型扩展，其中 A 是选择包含足够数据的通用 Baire 集合，因此，在泛型扩展中，OL （AR ）≤ B 和 （HOD ） L （A .R ） n V，在泛型扩展中等于地面模型的极限-L和V2的交集。这可以通过确保每个小于f的序数在泛型扩展中被折叠为可数，并且生成（Ultimate - LnV）V所需的小于y的序数集合的所有数据都被编码到泛贝尔集合A中，该集合在泛型扩展中显示为一组实数。在这个泛型扩展中，得到 de sired 结果，所以前面提到的泛型绝对性结果暗示它在我们的基模型中也得到。这样就完成了定理6.4的证明。

我们还应该注意，如果 V = 终极 - L，那么如果 k 是 w - 巨大的，如 （k ： i ＜ w） 所见证的，则 Vk 模拟了存在满足拉沃公理的适当类＞的断言，如第 3 节所定义，如果 k 实际上是 w - 巨大的，如 （kr ： i ＜ w ） 所见证的，则 Vro 模拟了存在一类适当的拉姆齐基数的断言。

7. CONCLUDING REMARKS

新的大基数受到维多利亚·马歇尔在[5]中关于反射原理的工作的启发，并且似乎是她在那部作品中证明的反射原则的正确概括，暗示了n个大基数的存在。用于证明终极 - L 猜想的大 cardi - nal 公理当然具有相当实质性的一致性强度，并且对其 consis - tency 在现阶段肯定是相当合理的，但它可能是新的大 - 基数公理和终极 - L 程序 13

进一步研究终极 - L 的内在模型理论和从内部近似它的内在模型将提供新的视野和增加一致性的信心。同时，很可能终极-L猜想可以像休·伍丁最初设想的那样，从一个可扩展的基数来证明，所以在这个意义上还有很多工作要做。

如果这些新的大基数确实是一致的，那么对它们的研究似乎是相当富有成效的，并且可能是在ZFC中添加一个公理模式，断言每个n＜w存在一个超-巨大的基数k使得V E，V，连同公理V = Ultimate - L， 最终将被接受为V的正确“有效完备”理论，假设置信度随着时间的推移而发展，证明这个理论是一致的。

参考文献

[1] 休·伍丁 .合适的扩展构造 I .Journal of Mathematical Logic ， Vol .10， Nos 1&2（2010）， pp .101-339.

[2] 休·伍丁 .合适的扩展构造II：超越w-巨大。数学-数学逻辑杂志，第11卷，第2期（2011），第.151-436页。

[3] 休·伍丁 .寻找终极 - L ： 第19届米德拉沙数学讲座 .符号逻辑通报，23（1），1-109.

[4] 维多利亚·吉特曼和拉尔夫·辛德勒。有效大基数，预打印。

[5] 米 .维多利亚·马歇尔·高阶反射原理，《符号逻辑学报》，第54卷，第2期，1989年，第474-489页。[6] 加布里埃尔·戈德堡 .关于莱因哈特基数的一致性强度，预印。　　

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