数学论文（关于集合中新公理的自然性学说）

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要

本文分析了集合论中自然公理的概念。为此，我们回顾了内在-外在二分法，发现它在使用中既有理论上的困难，也有实践上的困难。我们将描述和讨论一个理论框架，我们称之为概念现实主义，其中通常采用标准的论证策略。在概述我们的观点时，我们建议，自然性的广泛使用需要对标准策略，支持同时考虑导致集合论形式化的历史过程。明确地我们会争辩说，当公理有助于对任意集概念的澄清。

介绍

集合论的基础是世界上最令人兴奋的研究领域之一形式科学领域，结合了两个具有挑战性的数学问题以及深刻的哲学反思。自从发现了G模型的不完全性——在Cohen发明强迫之后更是如此–很明显，如果集合论被认为是正确的基础对于数学来说，独立性结果的普遍存在必须是包含。因此，在他关于连续体问题的著名文章中（G¨odel，1983]）G¨del提出了现在被称为G¨del的新计划集合论中的公理，后来由Woodin在他的纲领性论文中完善关于连续体假说（[Woodin，2001]）。背景动机这两个程序的作用在于解释ZFC的极限，而不是内在的设置理论，但只是作为Zermelo的形式表示的一个缺陷Fraenkel等人对Cantor的集合理论给予了肯定。因此，G模型该程序建议用新的公理来补充ZFC，这些公理能够给出确定性独立问题的解决方案，从而恢复集合论。

[T] 这些公理[即大基数公理]清楚地表明目前已知的集合论的公理系统是不完整的，但是也可以用新的公理来补充而不具有任意性这只是迄今为止建立的那些机制的自然延续1。

从哲学上讲，这一举动引发了一场重大讨论论集合论的基础与新公理扩展的正当性ZFC。

在下文中，我们将试图理解“无任意性”的含义以及自然性概念如何在澄清这一表述中发挥作用。它事实上，提到数学的自然组成部分，一般来说，更具体地说，是将自然性归因于善公理候选者已经变得相当普遍。我们的目标在于数学原因的哲学背景。事实上，我们相信由于这门学科的技术性，哲学思想常常被遮蔽通过数学结果。在这样做的过程中，我们将批判性地讨论两个主要的差异-论证新公理的虚构性：首先是相信内在-外在的二分法有助于对问题的哲学阐释，第二个假设是，对于一个稳定且定义良好的集合概念，我们应该开发G模型或Woodin程序：

所有集合理论问题的分步解法。

这篇文章的结构如下。在第1节中，我们明确了哲学在何处寻求对新的正当性进行有意义的讨论的背景公理。在概念现实主义的名称下，我们将确定隐含在我们认为是标准中的理论假设2战略为新的理论原则辩护。为了澄清自然公理的概念，在第2节中，我们回顾了内在原因和外在原因之间的区别，在第3节中我们描述了理论和使用这种二分法的实际困难。然后，在第4节中，我们将讨论与概念现实主义有关的问题旨在追求G模型程序的公理的正当性。最后，在第5节中我们将提出一种不同的辩护策略：一种考虑到促使a公理化的理论和哲学原因学说然后，我们将解释在什么意义上我们认为公理应该是被认为是自然的，我们会在任意集的概念中发现关于这一点，可以争论支持新公理的自然性集合论。在讨论自然性归属的原因时，我们将描述一个新的理论框架，试图克服这两个限制内-外二分法与概念现实主义的困境集合论新的局部公理的证明中的遭遇。

1关于公理的正当性

现代公理学的一个主要入口是视角的根本改变关于数学中的真理和意义。我们协助逐渐脱离了将理论的基本原则视为表达不言自明命题的句子，转向一个更抽象的概念，将公理视为数学探究的合法组成部分。

旧的观念建立在一种通过参照来考虑真理的观念之上与理论主题的直接联系是两者的安全基础有效性和正当性。这一观点在古典思想中得到了体现公理的真理最终取决于它们捕捉本质的能力由理论描述的物体的性质。针对这种态度，我们发现不再将真理视为公理，而是作为一个依赖于内部或外部数学原因。作为这种观点的一个极端例子，我们可以找到希尔伯特的观点，根据这个观点，真理被认为是内在的公理系统的性质和真理的终极标准是这样的一致性。只要我一直在思考、写作和演讲这些事情，我一直在说完全相反的话：如果任意给定的公理不要互相矛盾，否则他们是真实的，并且由它们定义的事物是存在的。这是给我的真理与存在的标准。

尽管希尔伯特认为通过一种基于隐式广泛运用的数学哲学方法定义，然而集合论中普遍存在的独立性敦促在不兼容的公理候选者之间进行选择，因此证明我们的偏好。然而，如何调和现代视角关于公理和在没有任意性的情况下扩展ZFC的必要性？

当然，真理仍然是数学研究的主要关注点，但它很明显，它不再是直观或明显的特性。此外集合论的新进展来自于集合与集合之间的相互作用概念分析与我们的期望与结果的对抗我们的一些发现与应用于纯数学的科学方法非常相似。因此，为了避免依赖新的理由关于所谓真理理论的公理，我们可以假设真理，将其视为一个极限概念，尽管它发挥着调节的作用在我们科学进步的某个特定时刻，不能认为这一想法是实现的。

换句话说，我们在公理的正当性和真理。

因此，在处理正当性问题时，我们不打算直接处理数学中的真理问题。我们确实相信仅凭这种正当性，并不能使人确信公理作为动态过程的一部分，所提出的理由只能被看到作为指向寻求真理的方向的建议。事实上，正当理由程序恰好被修改，这就要求资格真理在这个过程中的作用。

因此，区分公理是真实性及其与意义问题相关的原因是真的。尽管从当代的角度来看，公理的真理是与数学原因交织在一起的，更多的是哲学原因正是因为涉及到了意义的概念。

由于我们感兴趣的中心是新公理的正当性，我们设置，我们讨论的阶段选择了一个非形式主义的哲学视角。像事实上，要么我们的问题在哲学上微不足道&在形式主义者看来设定它确实是空洞地解决了——或者我们应该被允许假设语法和语义之间存在对应关系，能够告知正当理由的标准。做出这样的选择有很多原因：首先在处理集合论等基础理论时，要解决还原主义形式主义立场的困难，比如淘汰结构主义立场，但更多重要的是，因为我们认为，在这个特殊的问题上，一般的形式主义立场应该比简单地拒绝这个问题更实质正当性。

因此，它是在关于意义和指称的讨论的背景下我们可以解决集合论新公理的证明问题。

但一旦一个对应的理论被剥夺了真理的内容，剩下的是意义所赋予的语法和语义之间的联系数学命题。事实上，在非常普遍的层面上，我们可能当我们能够争辩时，接受公理的正当理由它符合理论形式化的基本思想或原则公理是属于的。因此，这里困难的哲学任务是确定这些思想或原则的理论地位。一个可能的简单解决方案包括，然而，在用客观概念代替对象时，正如我们稍后将讨论的那样，此举在许多方面都存在问题。

现在让我们回到设定理论上来。新公理的证明问题是由G¨odel的程序形成的：对ZFC的公理旨在找到具体数学问题的解决方案像连续统问题，即确定一组实数。近年来，这一项目已被采用Woodin提出了一个循序渐进的程序所有集合的宇宙的第一个初始段。

不致力于对G¨odel的一般哲学描述或者Woodin的立场，我们想在这里大致描述一下强调这两个项目的概念框架。人们对这个问题的普遍理解是，意义指向一个——并非普遍理解的–集合的概念，能够直接合法化集合论的公理或发挥作用抽象概念相对于更具体的理论现实的作用。这幅总体图由两个总体特征补充相关的辩护策略。

首先，我们相信存在一个清晰而稳定的概念集合的（例如集合的迭代概念：“集合”的概念）能够证明新的理论原则。换句话说，相信根据概念的基本性质赋予新公理以意义的。第二，确信集合的概念是充分成形的数学问题的解决取决于对这个概念的特殊性质。例如，我们可能认为需要直接分析的“集合”的概念以更数学的方式或间接的方式——寻找连续体问题。

这两种思想的结果是现实主义的薄弱形式，因为为了证明一个陈述的合理性，人们假设存在某种美德可以令人满意地进行正当化过程。由于它表明了公理和概念之间的对应关系，我们可以将这种态度称为概念态度现实主义。

此外，这种态度的结果是从全球角度来看论集合论把具体问题的解决与一般概念联系起来集合（无论这可能是什么）：只有它的澄清——通过概念分析或者通过对数学结果的理解——能够解决一组理论问题。即使问题是局部的连续体问题。因此反射原理所证明的集合宇宙的一致性是扩展到概念层面：是集合的一般概念决定了（甚至局部的）集合理论问题的解决。

正是关于这两个想法，我们将努力理解在论证过程中使用自然性。在此之前，让我们提供G¨odel的另一句有趣的话，将扩展的想法联系起来没有任意性的ZFC和自然公理的概念。我们强调

例如，尽管在G模型之后的文献中已经使用了这个概念在【Bagaria，2004年】或【Friedman，2006年】中，但它并没有成为充分的理论澄清。

命题[V=L]。作为一个新的公理添加，似乎给出集合论公理的自然完备确定确定性中任意无穷集的模糊概念方式。

作为澄清自然性概念的第一次尝试，我们提出理解它在内在外在提供的分类中的位置一分为二事实上，后者被认为具有相互排斥的共同详尽的性格。尽管有许多不同的接受标准在过去的五十年里，新的公理被提出了（至少），我们选择讨论内在和外在的原因，因为这些标准并不具体——例如最大性、公平性或稳定性，但都是正当性的形式。出于这个原因，人们应该考虑一下通常不受其应用的特定上下文的影响。我们的其目的是揭示上述新公理论证标准策略背后的哲学思想，而不是将批评转向具体的。事实上，在文献中可以找到很好的论据——

通常在数学上见多识广&有时缺乏对激励他们的哲学思想的适当阐释。在处理支持新公理的理由重要的是要回忆起哲学仅受欢迎，但由于公理的主要地位，其有效性是必要的基于先前的严格数学原因无法确定公认的原则，如果我们希望它们是新的。

2自然是内在的还是外在的？

首先，回顾内在和外在之间的区别是有用的正当理由。这种二分法已经在G¨odel的工作中提出并讨论过在麦迪的报纸上。两位作者都有一个现实主义立场，包括在G¨odel的案例中，这是一种清晰而自豪的柏拉图主义，而在Maddy案中的立场。

•内在原因：公理的正当性源于概念集合本身。公理在康德意义上是由这个概念推导出来的关于集合，在公理中应该是已知的和可描述的背景在这种辩护行为中使用的理性论据借用了他们的合法性来自于理论的主题。

这样的论点建立在一个很明确的集合概念的稳定性上。

•外在原因：公理的辩护责任在于成功地将其用作一套理论原则。公理是外在的如果它的有效性被许多数学事实所证实，并且能够以给出新的有趣的数学结果。预测确认该模型是经验科学的典型，它在纯粹的数学环境中找到了自己的位置。在这种辩护行为中使用了一种更为归纳的推理-阳离子。论点的客观性取决于能否给出用数学方法解释数学现象法律。

一个由内在和外在原因隐含支撑的方面是辩护策略的描述性特征。事实上，两者都是内在的，当我们打算证明的原则是能够适当地描述集合或的概念的各个方面设定理论现实。出于这个原因，这种二分法完全符合上下文关于我们之前描述的概念现实主义：现实主义成分被表达出来，此处由描述性字符的引用组件表示，而概念的性质的存在，或者数学现实是可以通过其后果来描述，它预设了一个稳定的概念水平。

更具体地说，内在原因预设了一个概念的稳定性，客观性独立于我们的正式陈述，但这能够单独告知接受新公理的标准。事实上，内在原因通过概念的独立存在和通过形式化工具描述其本质特征的可能性。

此外，更有趣的是，我们认为外在的原因也预设了一种现实主义形式：一种将数学同化为自然的现实主义科学。事实上，被命名为外在论点的形式在纯粹的数学环境中，类似于最佳解释的推论。事实上，既定的理论原则有很多想要的结果由于他们的成功，迫使我们接受他们，这可以被视为一种确认通过实验得出的假设。公理由定理和而不是相反。在外在辩解的行为。公理是用来描述这样一个稳定的数学现实及其真理建立在反映概念之间独立有效关系的可能性之上。这种形式的正当性与罗素在1907年的演讲中对基础研究的描述发现数学前提的回归方法。

但当我们进一步推动分析，并达到更终极的前提时，明显性变少，与其他科学变得更加明显。各种科学的主题各不相同，但就方法而言，它们似乎只在三部分之间的比例上有所不同每门科学都包括（1）“事实”的登记是我所说的经验前提；（2） 归纳发现符合事实的假设或逻辑前提；（3） 扣除额来自事实和假设的新命题12。

数学语境中经验主义的这种形式是紧密联系在一起的与我们之前描述的概念现实主义。一个类比确实是假定的夹在数学现实和物理现实之间。Axioms旨在描述数学现象，就像自然中的定律一样，在这两种情况下，分别是数学概念和物理概念充当“现实”与其形式化之间的桥梁。

现在，把自然性放在哪里内在-外在二分法提出的概念和现实？我们的建议-手势的答案是公理的自然性是由内在的以及外在原因；这暗示了这种二分法的弱点以及自然性概念的独特性。事实上，明确的参考把一个自然的特性归于一个数学可以这里指的是集合概念的性质，在本质原因的情况下，或者，在外在原因的情况下，达到一个足够稳定的理论现实就像自然界一样，我们可以用一种归纳的方式来描述模仿推理得出最佳解释的推理。

将自然性归因于公理候选者似乎强调了接受现实主义视角以及与语义层面，其本质方面被公理化地描述。然而我们对自然性的讨论旨在传达这种描述性的一面只是显而易见的。事实上，我们会争辩说，自然性的归属是这意味着数学工作的一个规定性动作。事实上，浅析自然一词在数学实践中的运用这表明，即使从现实主义的角度来看公理需要一个动态的框架，而静态的概念现实主义则不能容纳

在提出我们对自然性的看法之前，讨论一下论证标准策略的难点。现在“标准”可能是从理论上更准确地理解为一种基于概念现实主义，并利用内在-外在的二分法对论据进行分类，以支持新的候选公理。

我们讨论的标准策略的局限性将有助于我们展示需要一个新的、理论负载较小的、能够考虑的框架从布景的历史发展看更多的现实思考学说事实上，与第节所述的现代观点一致

1，我们认为新公理的证明过程是数学研究。

然而，重要的是要澄清，从现在起，我们并没有提出自然性作为新公理论证的新标准，而是作为一种语言学标准指示修订标准战略的指标。事实上，将公理的自然性视为内在的可能性作为一种外在的理由，并不意味着自然是一种新的正当性的形式，但内在外在的二分法未能给予对正当性标准的现成分类。原因在于，正如我们将在下一节中看到的，一方面二分法不是二分法，另一方面，它是预设的论证过程的结果，它意味着分类。

在展示标准理由的局限性时，我们还将讨论-概念现实主义所基于的基本假设：

集合的一个定义良好的概念，能够直接告知正当性的标准。

后一种批评不仅会影响基于内在原因的辩护策略，还会影响概念现实主义的整个框架。这是因为对外在标准的最佳理解，我们可以通过类比来提供从数学现象的规律性中寻找线索的自然科学基本数学现实的同质性。因此对集合论概念成分的重视或不重视只与关于集合论本质的更为内涵或外延的观点。在里面换句话说，尽管内在原因直接依赖于集合的概念，但我们相信外在理性现在也间接地涉及集合的概念，通过其扩展。事实上，在日常数学工作中观察到的稳定特性被认为表明了相干和数学现实的确定的组织，因此可以通过集合的客观概念抽象地描述，就像物理的一样模型应该描述现实。

我们现在可以继续介绍标准策略的两个主要困难，我们将命名为教条，因为它们可以被视为标准战略，而在我们看来，这是没有根据的。

3.第一法则

正如预期的那样，我们现在开始展示标准的主要困难辩护策略。我们开始讨论内在外在的极限二分法，体现在以下原则中。

事实3.1。第一条教条：不仅可以明确区分内在原因和外在原因，并将其有意义地应用于每一个。此外，这种二分法为论证新公理的过程。

我们认为，一种纯粹基于内在或外在的辩护策略原因虽然被广泛使用，但在许多方面都存在问题，既有来自理论和实践的观点。

3.1理论难点

让我们首先试着阐明以下问题：我们什么时候可以说公理本质上是合理的？既然这些论点的来源是可以在集合概念的性质中找到，或者至少在一致行为中找到对于数学现象，我们需要支持句法实体（公理）和概念实体（集合的概念）。这样的由于普遍的问题，一种关系原则上很难确定在正式和非正式双方之间找到一座安全可靠的桥梁数学。此外，在集合论的特殊情况下，这个任务甚至更困难。事实上，集合概念的本质是对一系列无休止的规范开放的，即使在这个层面上也很难捕捉到这些规范二阶逻辑。除了这些问题，如何可能匹配公理和概念？

虽然可能很模糊，但我们可以假设公理有概念内容，或者换句话说，它们表达的命题能够忠实地描述一些集合概念的相关方面。但我们可以在什么基础上说公理捕捉集合概念的各个方面？不吸引不透明的人G–odel直觉的概念，Frege的旧警告很贴切：“我们是当我们无法产生任何其他东西时，我们都准备好调用内心的直觉知识的基础”13——在布洛斯可以找到一个有趣的可能答案关于集合的迭代概念的著名文章（[Boolos，1971]）。

然而，似乎有可能的是，无论有什么理由接受外延公理，都更有可能类似于接受大多数经典分析句例子的理由，比如“所有单身汉都未婚”或“兄弟姐妹有兄弟姐妹”集合论的其他公理这个建议似乎很有启发性：在处理内在的外在问题时区别我们不是再次提出分析和综合判断？

我们相信这一点，因为我们使用了类似的概念工具和论证策略，分别将原因识别为内在原因，将判断识别为分析原因，外在的原因和综合的判断。有趣的是，这个想法可以追溯到G¨odel对分析和合成的，如吉布斯讲座中所述。

我想重申，这里的“分析”并不意味着“由于我们的定义”，而是“由于[其中]出现的概念的性质而成立”，与“由于属性和事物的行为”。

我们在这里清楚地概述了一个分析判断的概念，它指的是概念的本质，正如内在原因所做的那样，与合成概念相反关于事物性质的判断，完全符合用集合概念的性质证明公理的思想后者允许证明。

仔细观察，这种相似性更加引人注目。例如，如果我们感兴趣的是给出我们可能认为内在的理由诉诸于客观事物之间的直接联系（不一定是直觉）数学现实和我们将其形式化的能力。因此，数学概念（或参考）本质特征的独特性对独立存在的数学对象）使概念中的分析集合——能够捕捉概念的一些基本方面的公理。

此外，内在的理由有直接的理由支持分析性陈述的真实性标准。

相反，如果我们坚持我们与集合概念的关系是总是以形式化为中介，因此只有形式化的集合论能够塑造集合的概念，那么任何试图给出其内在原因的相信公理会遇到典型的循环论证问题分析性陈述的正当性。事实上，如果公理对于我们对集合概念的理解，那么它们的正当性最终取决于关于公理本身。

外在原因和综合判断之间的相似性更大令人信服，因为在这两种情况下，他们的理由都取决于外部现实——概念的或具体的——能够表达形式表达的含义（一个公理）与一个非正式的领域（集合的概念）有关。

我们提出的平行是为了表明内在或外在的使用理据预设了对公理的意义或方式的了解这个意义与数学现实有关。但这是有问题的，因为要么在使用这些形式的理由之前，我们提出一个完整的描述集合的概念，以及分别解释意义是如何产生的连接公理和概念，或任何使用内在或外在的尝试理性失去了很多吸引力。然而，即使假设已经达到这样的知识，一旦我们对集合的概念有了充分的描述，或者对集合理论表达的意义与之相关，我们怀疑正当性仍然是不平凡的，并且具有一定的实用性。

内在与外在论证与分析之间的联系综合判断并不意味着完全取消这种二分法的资格，但这只是为了强调，这些概念应该谨慎处理。在尝试中理解论证策略集合论中的一些新公理数学哲学难题。事实上，不仅G？odel直觉是一种需要哲学澄清的工具，也是内在与外在的区别应该考虑到尖锐的批评，在其他方面，奎因走向了分析综合二分法。作为后果对内在和外在正当性概念的粗心使用在数学背景下，提出的哲学问题比它提出的问题更多有助于解决。

3.2实际困难

我们在最后一节中所讨论的仍然停留在理论层面。然而，我们相信在实践中，如何应用内在或外在的判断。让我们从ZFC的公理开始。这些公理是通常被认为是理所当然的，一旦主要关注点是新的公理。这是的课程合理，完全符合希尔伯特对数学发展的描述：这门科学的大厦是在没有首先保障的情况下建造的它的基础，但只有当问题出现时，人们才能回到它们。然而从下一句话中可以看出，ZFC的公理并不总是被认为是内在正当的；恰恰相反。

我将从Zermelo-Frenkel集合论的众所周知的公理开始，与其说是因为我[…]有什么特别新的东西谈论它们，但更多的是因为我想抵消这样一种印象，即这些公理享有优先的认识论地位，而不是由新公理候选人共享。

当然，麦迪的自然主义与内在原因是正交的，但接下来Boolos的一句话取自同一篇论文，在该论文中，可拓性公理在集合的概念中被认为是解析的。

尽管它们不是从迭代概念中派生出来的采用替换公理很简单：它们许多可取的结果，（显然）没有不可取的结果。

因此，如果即使在在ZFC的情况下，那么本质的性质似乎是一个极限概念，更具体的性质，我们可以归因于新的集合理论公理。事实上，外在原因的主要存在本身就是我们在赋予公理内在特征时遇到困难的标志。

此外，在应用内在原因方面缺乏共识并不是在应用外在策略时采用明确的策略加以平衡。以下内容这个例子是为了说明在两个表面上同样外在合理的集合理论原则之间进行区分是多么的不确定。我们将讨论选择公理，这通常被认为是ZFC中最外在合理的公理，以及确定性公理，其富有成效这些申请代表了Woodin项目第一步的成功。

定义3.2。（确定性公理（AD））设A⊆ωω（即长度为ω的自然数序列），并让GA是其中玩家I然后我选择自然数

I x（0） x（2） x（4）……

II x（1） x（3） x（5）……

在ω-多个步骤后结束，并满足以下获胜条件：玩家当x=hx（I）：I∈ωI∈A时，I获胜，否则玩家II获胜。那么AD就是以下语句：对于每个A⊆ωω，则确定游戏GA；即，在那里无论是对玩家I还是对玩家II来说，都是一种制胜策略。

这个表面看来与集合论实践相距甚远的公理对现代集合论的许多基本问题产生了巨大的影响。在Woodin和其他人展示了大量有趣的结果之后关于这一公理，AD成为了一个公理的典范这取决于接受它的外在原因。然而，AD并不与所有ZFC公理兼容。特别是AD意味着对公理的否定选择（AC），因为它意味着实数的所有子集都是勒贝格可测量，而通过AC可以建立R的不可测量子集。然后如何在两个明显外部合理的和不相容的公理？

如果我们观察集合理论实践的后续自主发展，我们可以看到，已经考虑了具有选择函数的可能性不可避免，因此AD被认为需要重新制定。作为事实集理论家将他们的焦点转移到了这一公理的限制版本上；特别是ADL（R）这就是确定性公理可由所有序数和实数构造的内部模型。在大型基数这个结构是ZF公理的模型，以及依赖选择：一个比AC弱的选择原则。尽管AD有一个则优选ADL（R）21，后者是较低的稠度强度。这从AD到ADL（R）的撤退并不是出于明确的内在或外在原因，而是出于不同形式的考虑容纳一种理论的目标，在这种理论中，最具确定性与大多数选择一起。换句话说，尽管AC在ZFC的上下文中通常被认为是外在的，但当面对富有成效的公理时扩展ZFC的内在组合价值被提出作为不放弃选择所给予的自由。

至于我们之前讨论过的理论困难，在这里我们也面临着在实践中，预设正当性结果的问题适用其标准；换言之，我们从一开始就假设某些要素的相关性，先于正当性标准，独立于正当性标准我们打算使用。此外，AD和AC的案例清楚地表明集合论的历史发展可能会影响准则的应用。

因此，这些标准并不是一劳永逸的，但是可以根据具体情况而变化。

这些考虑开启了非数学元素——可能来自历史或哲学——在选择过程中的作用问题新公理。此外，我们认为，我们可以从AC和AD之间的相互作用中得出的一个结论是，内在的外在二分法不会与正当理由的形式有关，因为这些理由是合理的根据其应用的上下文，因此需要确定其有效性根据具体情况。换句话说，对AC和AD的讨论表明，外在理性的概念并不能单独解决正当性的问题，因为，那么，我们需要其他理由来接受这样的理由。但是什么样的我们正在寻找的元理由？

我们在使用内在和外在原因方面发现的困难绝非如此意思是既不被理解为认为这些理由是无用的，也不是否认在某些情况下这种二分法可以有意义应用我们在这里讨论的是混合物为了将平衡推向双方。然而，我们相信当集合的新公理的正当性理论是哲学辩论的主题，那么这些类别在很大程度上是松散的他们的吸引力，似乎新集合理论的支持者或反对者原则并没有从它们的使用中获得多少好处。

4.第二条教条

在介绍我们对自然性的看法之前，讨论论证的框架，现在与新公理的范围联系在一起。

正如我们在第1节中所暗示的，除了概念现实主义之外论证认为集合的一般概念决定了新的公理。这种态度的一个例子可以在PD的正当性（即确定性公理仅限于投影集）。

由于其后果的丰富性和连贯性我想从关于集合的更基本的原则中得出PD本身，这些原则的理由更直接。

我们知道ZFC的一个适当的扩展，它也是合理的作为ZFC本身，即ZFC+“ZFC是一致的”。外推疯狂地，我们被引导到强烈的反思原则，也被称为大原则基本假设[…]反射原理有一些类似于ZFC公理本身的动机，事实上ZFC的无穷大公理和替换等价于反射方案。

然后，这个想法推动了对全局公理的搜索，并支持集合论的新进展只能通过澄清一般概念。由于我们认为这种态度是有问题的，我们将再次称之为教条。

事实4.1。第二条教条：一般概念之间存在直接联系集合与特定集合理论问题的解决；因此它只与关于集合的一般概念，我们可以证明集合中的一个新公理学说。

这种教条的效果是使地方的正当性成为问题公理，因为我们相信它不是一般的概念，而是一个具体的例子这需要成为他们辩护的理由。

让我们更详细地讨论这一点。首先，明确我们的分析集中在集合的迭代概念上是有用的通常被认为是集合的概念，它能够确定和证明集合论的公理。原因是，通常情况下为了支持扩展ZFC的公理，ZFC的预期解释的特征性质的存在，通常称为累积层次结构V。例如，它所谓的不可描述性，即除了ZFC公理，适用于所有集合的集合，而不仅仅适用于初始集合V的分段。事实上，迭代概念被认为是像V这样的累积层次结构的概念基础，有人认为这个概念能够（在康德的意义上）推导出ZFC的大多数公理（见[Bolos，1971年]）。

可以在概念层面和形式层面之间建立这些联系一方面考虑Levy-Montague反射原理（通常被认为是表达V的不可描述性）可以是在ZFC中证明了它等价于无穷大公理的合另一方面，Zermelo的ZFC的拟范畴性定理告诉累积层次是这些公理的正确模型，即使是二阶逻辑也无法区分在累积层次结构的不可访问级别之间。

具体说明我们所说的本地和全局的含义也很有用。按全局公理我们指的是一个公理，它处理V中的所有集合，或者至少处理一个它们的无界类，而对于只处理集合的局部公理位于累积层次结构的适当初始段中。换句话说全局公理处理累积层次的高度，而局部公理其宽度。因此，我们对使用为局部公理和全局公理的正当性而设置的集合可以被重述，询问：

我们使用与产生了累积层次（即迭代概念）支持不影响集合宇宙高度的公理，而只影响集合宇宙的高度它的宽度？

更确切地说，如果我们接受集合的一个稳定概念的存在，并且接受ZFC公理是正确的（但部分地，如Zermelo定理所示）描述一下，我们如何用同样的概念来证明公理只对累积层次结构的最低级别产生影响？虽然为了论证，我们假设迭代概念能够证明ZFC23的合理性，并告诉我们集合是什么——在证明原则的合理性方面非常有用像大型基数公理一样表达集合的宇宙的高度，怎么能我们使用与迭代概念相关的论点来证明新概念的合理性局部原理，能够对初始布局中的集合进行更详细的描述累积层次结构的片段，在第一个不可访问的基数之下？

将这一点推到更概念化的层面，我们发现了一个相关的问题。作为事实上，即使接受集合的概念也可以证明ZFC公理的合理性以及其预期模型的一般性质，基于什么理论基础我们是否可以认为，同样的概念可以决定“存在于累积层次结构的初始段”在辩论过程中，诉诸前一个概念可能是决定性的处理后一个概念的公理的正当性？

我们不仅相信，支持基于集合的一般概念是一个欺骗性的推论，不需要进一步的论证，但是我们还认为，这样的争论将面临以下实际问题。

如果我们把集合的局部概念称为一，它旨在描述集合的铺设在累积层次结构的初始段中，则局部概念应该与全局规格不同。事实上，正是因为V的不可描述性，表征一个初始片段的主要可能性告诉它的公理化应该不同于普适类的公理化。

因此，如果我们的目标是对V通过逐步指定其初始分段，我们最终将面对概述特定于特定集合而非特定集合的属性的可能性设置一般–至少在V的初始段中铺设的属性。

拒绝第二种教条的一个有趣的结果是，有可能对我们所说的对集合论的模糊性。我们指的是以下论点：

集合论中普遍存在的独立现象的发现（例如CH的独立性）告诉我们集合的概念是一个模糊的概念；因此，有充分的理由相信像连续体这样的问题问题无法解决，尤其是由于概念的模糊性我们可以推断CH并没有一个定义明确的真值。这个论点在[Feferman，1999]中得到了完美的例证，在[Martin，2001]中也受到了批评，其结构考虑与Zermelo的类似，针对论证的后半部分：从集合概念的模糊性推断其不足真理价值观。相反，如果我们意识到第二个教条“一个费尔弗曼”的论点在一开始就被阻止了。

从CH的独立性不可能推断出集合的一般概念。尽管随后可能会对关于可数集的概念，我们认为模糊性的吸引力在于上下文，不太有说服力，因为一方面ZFC公理并不意味着形式化了可数集的概念，而另一方面，我们对可数集比一般的集有更好的理解。的确在过去的五十年里，对它进行了深入细致的研究关于强迫方法（一种适用于可数结构的工具）所谓强迫公理的兴起：能够给出清晰画面的局部公理关于可遗传可数集，并决定连续体的基数。

这就是为什么我们认为这不是可以确定局部公理的意义的集合，而且可以能够确定集合的宇宙宽度，因此是合适的为旨在追求的原则辩护的理论框架G¨odel或Woodin的程序。因此，不全球化也就不足为奇了公理像大基数，但局部公理像Forcing公理给出连续统基数问题的答案。

5.自然再现

内在外在的二分法和基于集合的一般概念。我们对这些理由的批评在关于接受新公理的哲学讨论中显示了它们的局限性。然而，我们认为这些不足一方面是典型的理解自然性概念在数学中的应用，以及另一方面，提出不同的辩护策略。

为了阐明这一点，我们首先扩大分析范围明确我们对该概念的作用和重要性的总体看法自然性在当代数学中已被假定。我们从下表显示了术语“自然”和1940年至2009年间，美国数学学会数据库（MathSciNet）中的“自然性”。



San Mauro和Venturi[2015]中的进一步统计证据证实近六十年来数学著作中自然成分的提法显著增加，但没有标志着术语“自然”，如表达式中的“自然数”或“自然变换”。相反，诸如“自然”或像“看到那是很自然的”这样的表达，清楚地表明了这种倾向对数学非正式组成部分的概念。

自然性使用的扩展也确实伴随着数学向抽象和专业化的发展。我们的理解是，为了达成更加具体和共同的基础一个领域的结果，自然性的归属意图稳定各方面缺乏直观处理的数学运算。出于这个原因我们认为，与对自然的提及相反，这个概念明确地随之而来的是，自然性的归属体现了一个规定性的组成部分一方面，其目的是颠倒抽象过程，有利于与数学现实更直接的联系，而另一方面使用可以获得的特定数学工具的习惯仅适用于特定领域的工作人员。事实上，正如San Mauro和Venturi[2015]中所述，数学中自然性的一个基本特征，是它的动力学特征，也就是说，它在时间上的变化：清楚地表明实质性地偏离了自然的静态意义，即对自然的指涉。

换句话说，尽管对自然的提及似乎依赖于对现实主义框架的接受，但自然性判断的使用并不包括对一段数学的描述性特征的识别，但相反关于给定理论的相关性的规定性归属与其他数学片段相比同样相关。

语境的作用在那图的归属中起着根本性的作用ralness。事实上，称自然事物具有指定的效果

关于一个主题的观点，只要后者有度

允许不同澄清的自由。

该法案具有明确哪些是

一个主题，而该行为正是在

需要这个方向；当一个域的抽象性

使得直观考虑的使用变得困难。此外，语境的作用还决定了自然性的范围。因此，毫不奇怪数学中自然成分引用的增加与学科的专业化相结合。事实上，越小越多使在职数学家的特定科学团体脱节

是的，在一小群人看来，一段数学越自然具有共同背景并致力于类似问题的研究人员。

这里不涉及数学社会学的问题，我们只想强调语境在自然性认知中的作用。因此承认一个通用框架，其中对自然成分的识别有意义的（即自然性判断可能涉及的思想归因），自然性概念在数学中的使用带来了规定性和历史性（或上下文）组成部分，不仅仅是描述自然种类，还意味着指定关于意图的一般想法以及数学家的目标。

现在回到集合论中新公理的自然性问题，内在-外在二分法的缺陷表明，一种有效的策略正当性不应以一个完全特定的集合概念为前提，分别指向同一概念的完全确定的现实对等方——如果我们想保存论证过程的价值——以及，

因此，接受新公理的理由不能是描述性的性格相反，我们看到了不同的务实和历史证明新的富有成效的原则的理由，如ADL（R），意味着具体说明了集合理论现实的相关方面。重要性语境原因在集合论中更为相关组成部分伴随着预期解释的存在。在里面换句话说，在集合论的公理化中存在非数学的在正式句子的意义归属中起作用的成分。

总结我们的观点，我们认为公理应该考虑形式化的三个不同方面。在我们发现形式理论的最低层次，其中纯形式方法可以用于确定一致性等特性。在不同的层面上，我们发现概念层面，集合的概念所在（即语义对应物形式理论的）。与概念现实主义相反，我们认为层次不是一个独立的领域，概念是完全指定的种类我们可以用公理来描述。事实上，我们的立场是接受开放概念在数学中的存在：具有度的实体可自由选择进一步的规格24。在第三个层次上，我们发现了一般性的想法为数学实践提供信息。与概念层面相反，它在这里我们发现数学工作中的人的组成部分，能够连接语法和语义，并规定与实践有关的开放概念。因此公理的自然性是在形式层次和理想层次。公理获取一般信息的能力我们在实践中发现的想法能够构成公理，从而影响其语义对应物，指定开放概念25.换句话说，当公理能够使我们的科学实践正规化，进而修改基本概念一种理论。然而，概念和理想之间的联系级别在另一个方向上也是活动的。事实上在数学实践中起作用的概念能够改变实践它本身迭代概念的效果给出了一个明确的例子现场理论实践。将布景视为“布景铺设”的习惯在累积层次中”不仅成为集合论的一个隐含命题，但在反射原理方面提出了新的公理，能够描述所有集合的类的不可描述性。这种辩证运动来自数学实践的一般思想、一致公理和开放概念是集合论发展的核心。

因此，我们在这里提出的是对自然性作为需要新的正当理由战略和公开概念的指标概念作为克服概念静态特征的框架现实主义和内在外在的二分法。自然度的概念确实指向移动目标的存在（就像集合的历史概念），而没有提出其固定性可能很快就过时了，但这表明理论上目标和数学实践。此外，我们认为概念也能够克服论证策略所给出的限制通常与集合的一般概念联系在一起。事实上，公理的自然性体现在形式化和数学实践之间的联系不一定取决于对所谓的集合的一般概念的基本性质的承认，但可能取决于特定的实践和集合的局部概念的知识（即集合的概念对应物位于累积层次结构的初始段中的集合）。

现在，随着我们对自然性概念使用的理解在数学中，我们应该要求接受集合公理的主要问题是：“关于哪些思想，与集合论的历史发展及其形式化在目前的实践中，我们可能会提出有利于公理？”。

呼唤历史，我们需要弄清楚我们指的是什么不要在这里描绘集合论发展的历史图景

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