数学论文（集合论的自然公理与连续体问题）

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要

众所周知，Cantor的连续体问题，R的基数是多少？独立于集合论的ZFC公理。K.G模型（[12]，[13]）提出应该找到解决问题的公理，并暗示大基数公理。然而，在发明之后不久，关于强迫，Levy和Solovay[20]表明，即使在ZFC中添加了通常的大基数公理，比如可测量基数的存在，甚至超紧基数，当然，前提是这些公理一致的虽然已经提出了许多公理来解决Axiom的问题——尽管并不总是以同样的方式强组合公理的可构造性，强制Axiom或Martin的Maximum，到目前为止还没有被公认为一条自然公理，并被视为一条恰当的公理连续体问题的解决方案。在本文中，我们讨论了启发式原理，可视为集合的元公理理论，为评估集合理论公理。根据这个标准，我们评估类公理，特别强调最近引入的一类集合论原理，我们可以合理地认为它们构成了集合论非常自然的公理康托连续体问题。

1.简介

认识公理必须有第一步，[…]

使公理看起来值得考虑的步骤公理，而不仅仅是猜测或推测。

莱因哈特（[27]）

康托尔的连续体问题，即R的基数是多少？有一直是集合论发展的核心问题。自从康托尔1878年提出的连续统假说R的每个无限子集要么是可数的，要么具有相同的基数作为R（[8]），Set取得了非常戏剧性和出乎意料的进展，从理论上解决问题。众所周知，CH也不能用集合论的ZFC公理证明它的否定，只要它们是一致的。在G模型的可构造宇宙CH中，而Cohen的强制方法允许建立ZFC的模型，其中R的基数可以是任何基数，只服从必要的要求它具有不可计数的余数。

然而，这种情况远远不能令人满意。诚然，包括科恩本人（见[9]）在内的一些数学家表达了这样的信念：

没有比这更令人满意的解决方案了满足于独立的结果。但这在数学家中，尤其是集合论者中，对于连续体问题。借鉴现实主义的数学方法，到目前为止，数学家中最常见的是G¨odel和Cohen的结果表明，ZFC公理足以发展大多数古典数学，构成太弱一个解决康托尔问题的正式系统，因此，用额外的公理加以补充。事实上，G¨odel自己制定了一个寻找新的自然公理的程序（[12]，[13]），添加到ZFC公理，将解决连续体问题，他暗示基本公理可以做到这一点。这被称为G模型的程序。

然而，不幸的是，Levy和Solovay[20]很快就注意到通常的大基数公理，比如可测量基数的存在性，甚至超紧凑或巨大的基数都是不够的。但是这并不意味着G¨odel的计划不再具有可辩护性。恰恰相反。仍然完全有可能的是，新的大基数公理，与迄今为止所考虑的不同，可能是相关的到连续体问题的解决。事实上，Woodin最近的作品（[38]）表明，在大基数下，ZFC的任何合理扩展在一个强逻辑称为Ω-逻辑，会反驳CH（参见[15]的讨论Woodin在G¨odel项目上的工作的相关性）。但我们的目的这里并不是要讨论大基数公理对连续体的重要性问题，至少不是直接的，而是介绍和讨论一些启发式原则，可以被视为集合论的元公理为评价集合论公理的自然性提供了一个标准。

在这个标准下，我们评估了几种公理，包括大基数，特别强调一类集合论原理最近引入的，称为有界强迫公理，用于有人可以合理地争辩说，它们构成了集合论，并解决了Cantor的连续体问题。

2.集合论的自然公理

核心原则是反思原则，随着我们经验的增加，反思原则可能会被更好地理解。

K.G模型（[36]）

集合论的自然公理应该算什么？当然关于集合的任何直观明显的事实。在这里，我们将理所当然地认为ZF公理就是这样的。在这方面几乎没有分歧指向至于选择公理，一些数学家不愿意完全接受它，更多的是因为它的一些反直觉后果，而不是它在其他方面非常自然的性质（然而，见[16]）。这是一个事实，没有其他普遍的（或几乎普遍的）已经提出了被公认为关于集合的直观显而易见的原理，也许除了存在小的、大的基数之外，就像无法接近的大基数一样。

如果我们接受关于集合的直观显而易见的事实是集合论原理被视为公理的必要条件，那么除了ZF（或ZFC）公理之外，没有其他公理，也许还有一些大小基数存在公理应该被接受。所以，如果我们为了寻找更多的公理，我们应该首先努力提高我们的直觉关于集合，直到我们被迫直观地接受一些新原理显而易见，或者至少在直觉上是合理的。虽然这是先验可能的，发现这样一个新的。原则上，这种方法至少有两个实际困难。

首先，众所周知，直觉很容易与熟悉混淆。因为无论我们有什么原则，我们最终都不会找到合理的使用了很长时间？我们是否急于欢迎我们投入了大量时间的任何原则成为一条新的公理和努力，毫无疑问，我们为此培养了强烈的直觉？

其次，原则上，不相容的直观合理的原则可能是建立是什么阻止了集合论直觉发展成几个不可调和的方式？可以回答的是，如果是这样的话，那么所有越好，因为我们会有几个不同的集合论，它们都是建立在直觉上，尽管每个人都有不同的直觉。如果是这样的话，那就这样吧。但我们会看到，除了直觉之外，还有其他标准可以被成功地用来寻找新的公理。

在他的论文《什么是康托的连续体问题？》？（[12]，[13]），G模型考虑了接受集合论新公理的两个标准。一是必要性还是非任意性。他用这个标准来证明无法访问的基数的存在。如果我们想扩大业务集合形成超出ZFC中可证明的，那么我们被迫假定存在一个不可接近的基数（参见我们对此的讨论下文第4节中的要点）。因此，一个无法接近的大基数的存在是一个必要的、非任意的假设，用于进一步扩展活动注意，不可访问的存在的假设基数类似于从ZF无穷开始的情况（即Zermelo-Frenkel集理论减去无穷大公理），我们假定存在一个无穷集。事实上，无论我们如何扩展ZF无穷公理通过断言新集合的存在，我们被迫断言无限集的存在，因此，在这个意义上，ZF是必要的，ZF无穷大的非任意扩展。一旦一个不可访问基数的存在被接受，那么自然就会导致这个基数的迭代原则，从而导致超可访问基数，甚至更高。但是可以更大的基数在必要性标准下是合理的吗？在什么意义上，如果有，可测量的基数是必要的吗？我们将回到这个问题上来。

G模型在[12]中使用的第二个接受公理的标准集合论原则的成功，即其结果的丰硕。这一标准是作为必要性或非任意性。经过半个多世纪对大型基数的持续研究，特别是自从发现大型基数之间的联系以来基数和确定性在80年代，可以说，大基数的存在，至少达到Woodin基数，应该被接受作为集合论的公理。事实上，Martin和Steel[25]证明了投影确定性的公理（PD），以及事实公理ADL（R），断言所有实数集都是可定义的form根据大基数的公理，确定了作为参数的序数和实数。Woodin证明了无限的存在。

许多伍丁枢机加上一个比所有枢机都大的可测量枢机足够了，而且，无限多的Woodin基数获得PD所必需的（参见[37]和[34]）。正如在70年代通过描述集理论取得的惊人进展，在PD的假设下，这一原则似乎是正确的，发展了实数投影集理论。事实上，PD射影集的一个基本完整的理论。此外，任何已知的集合论原理至少是PD的一致性强度——例如，适当强迫公理——暗示了PD，这有力地表明了它必然性大型基数公理的结果性进一步体现在它们在无穷组合数学中的众多结果（参见[18]）。现在显然，许多可取的结果，不仅在集合论中，而且在应用集合论方法的所有数学领域中，遵循大型基本假设。因此，强大的大型基本原则在硕果累累的标准下做得很好。但这足以接受它们作为集合论的公理？这可能是为了生成无数的伍丁基数，因为他们已经被证明是两者充分而必要地得到PD，从而产生了一个丰富而优雅的实数投影集理论，该理论扩展了经典ZFC描述集理论的定理。对于更强的大型基本原理，情况就不那么明朗了。接受大型基数公理的主要问题是它们的一致性。毕竟，一些大的基本原则被证明是不一致的，因此被拒绝。尽管如此所谓的内部模型程序，它试图建立规范模型对于大型基数，开发了非常复杂的显示方法至少对于大到无限多的Woodin基数来说，人们可以构建具有完善精细结构的规范内部模型，从而建立对其一致性的信心。所以，尽管意见分歧，我们可以公平地说，这是一个普遍的信念大型基本原理应被接受为集合公理的理论家理论前提是有一个足够完善的内部模型理论为他们。这已经是无限多的Woodin基数的情况了，但是目前还没有开发出这样的内部模型理论，例如超压缩大基数。

但正如前面所指出的，尽管他们非凡的成功不足以解决康托尔的连续体问题。因此，在没有任何进一步直观明显的公理的情况下，问题是，是否还有其他类型的公理是非轨道的，如果可能的话，也满足结果性标准。

尽管公理的价值最终将由其成功，成功的标准很难足以接受新的公理它只能用于评估公理的后验价值，这必须根据其他标准来找到。

H.王在[35]和后来的[36]第8.7节中引用了G¨odel 1972年的话回答了集合论中引入新公理的原则应该是什么的问题。根据G模型五个这样的原则：直觉范围，封闭原则，反射原则、外延和一致性。第一，直觉范围，是直觉集合形成的原理，它体现在ZFC中公理。封闭性原则可以归入Re原则-反射，可以概括如下：所有集合的宇宙V不能通过任何合理逻辑中可表达的任何性质来唯一地表征，即，与所有初始段区分开来成员关系。这个原理的一个弱形式是ZFC可证明Montague和Levy的反射定理（参见[18]）：

集合论一阶语言中的任何句子在V中成立在一些Vα中也成立。

G模型的反射原理正是将这个定理推广到高阶逻辑、无穷大逻辑等。

外延化原理断言V满足外延置换公理的形式，引入它是为了证明无法访问的基数的存在。我们将在下一节中解释其作用部分一致性原理断言宇宙V是一致的，在感觉它的结构在任何地方都是相似的。用G¨odel的话来说（[36]，8.7.5）：

同样或类似的情况一次又一次地出现（也许在更复杂的版本中）。他还说，这个原则也可能是称为宇宙比例原则，类似于小基数的性质会产生大基数。G模型声称这一原则使得引入可衡量或强紧基数，只要这些大基数概念通过将ω的一些性质推广到不可数基数得到。

因此，在G模型之后，在寻找ZFC之外的新公理时，我们是以必要性、成功性、反思性、广泛性和一致性的标准为指导，我们应该在这些标准上加上一致性的。

G¨odel当然认为这是理所当然的。新的公理在为了将集合形成的运算扩展到ZFC，他们应该采取反思原则的形式，他们应该暗示宇宙中所有集合的某种一致性，它们应该都是其结果始终如一且富有成果。

在下一节中，我们将讨论并尝试进一步澄清这些标准，以便它们可以实际应用于测试和搜索for–新的公理。我们认为，所有标准基本上都可以简化为两个：

最大性和公平性。始终如一与成功相辅相成角色，第一个作为调节器，第二个作为价值的最终测试。全部的。

总之，这些标准可以被视为试图定义什么是集合论的自然公理实际上意味着。它们也可以被查看作为对必要性或非任意性的检验，因为任何集合论陈述，如果我们希望扩展ZFC。

3.集合论的元公理

我们正在寻找扩展ZFC的集合论的附加公理，也就是说，对于一阶中的一个句子（或递归句子集）集合论的语言。这样的句子应该满足什么标准为了被认为是公理？

第一个标准当然是一致性。我们想要新的公理以与ZFC一致。显然，根据G模型的第二个不完全性定理，我们只能希望得到相对一致性的证明。也就是说，我们应该能够证明如果ZFC是一致的，那么ZFC加上新的公理。有许多不兼容的例子，例如CON（ZF C）和CON（ZF C）、可构性公理或其否定、连续统假说或其否定，Suslin假说或其否认等。

因此，一致性不能成为唯一的标准。此外，我们还应该接受其一致性（模ZFC）不能在ZFC中被证明，一致性，比ZFC更强，但仍然满足其他标准。因此，一致性标准只能起到调节作用在寻找和证明新公理方面。它使关节受到约束其他标准的作用。一个集合论原理可以显示为与ZFC一致，不会自动使其公理。但与ZFC的一致性无疑是一个必要的要求。

此外，如果新公理被证明是模某个大基数假设的一致性，那么这样一个大基数的一致性必须遵循ZFC加上新公理，从而证明其对于新公理的必要性公理的一致性证明。

第二个标准是极大性。也就是说公理断言存在越好。G¨odel已经声明：。。。只有一个极大性似乎与集合的概念相协调。。（参见[13] ）。最大化的想法得到了许多人的辩护P.Maddy（参见[21]和[22]）在上下文中进行了广泛讨论她的自然主义哲学集合论。最大性标准通常用于提供拒绝Axiom的理由可构建性，但在这里我们打算系统地应用它作为指导寻找新公理的标准。

所有大基数公理和所有强制公理都满足极大性标准，在微弱的意义上，它们都暗示着新集合的存在。

因此，在这种普遍性中，这显然是一个过于模糊的标准，因此绝对没用。因为如果ZFC是一致的，那么我们可以很容易地找到一致的语句，模ZFC，并断言一些新的集合，但不兼容。以CON（ZF C）为例，它断言ZFC模型的存在，以及CON（ZF C）断言存在来自ZF C的矛盾的（非标准的）证明。

为了获得更具体和有用的形式的极大性标准在模型方面考虑最大化将是方便的。即假设V是ZFC给出的所有集合的宇宙，并将V视为被适当地包含在一个理想的更大的宇宙W中，它也满足ZFC，当然包含一些不属于V的集合——它可能甚至包含V本身作为一个集合——因此，它的存在不可能是仅在ZFC中证明。现在，新的公理应该意味着存在于W中的集合已经存在于V中，即一些存在陈述在W中保持的也在V中保持。由于V中的集合已经给定，我们可以以及允许存在语句具有V中的参数。因此最大性导致反思原则，即存在性陈述保持在理想扩展W中的（具有参数）反射到V。

通过反复应用反射标准迫使我们这样做，所有集合的宇宙变得更加统一。对于

例如，如果某个集合A是存在句的解在V的某个理想扩展W中成立，那么我们可以考虑这个句子（ξ（x）∧-x=A），其中包含A作为参数，并通过应用Re-反射再次获得不同于A的另一个Γ（x）的解。或者如果α是A的秩，则通过考虑句子（ξ（x）∧秩（x）＞α），我们获得另一个更高秩的ξ（x）的解，等等。因此，反射导致对于任何给定存在陈述的许多解的存在。，

任意高阶的解。模型将统一性列为单独的道德原则他认为这是推断更大小基数的一些性质的基数，比如ω。我们没有认为这本身就是一个合理的标准，因为我们认为没有任何必要ω的任意性质对一些较大的基数成立。一些它的属性当然不适用于较大的基数，比如是可计数的。因此，应该给出一些标准来进行选择独特的特性。在我们下面关于特定类型公理，我们将从极大性准则的系统应用。

请注意，并不是所有的存在性陈述都是最大化中的原则同样的意义。事实上，CH是一个存在主义的陈述，它断言ω1上一个函数的存在性，该函数列举了所有实数，但在同时断言存在少数实数。那么，CH断言更多集合的存在还是更少集合的存在？另一方面，不是CH也是一种存在性陈述，它断言ℵ1许多雷亚尔，同时暗示，例如，没有菱形序列。因此，再次不清楚，先验地，CH是否是最大化或者最小化原理。那么我们应该选择CH或其否定中的哪一个根据最大性标准接受？这个问题的难度最好的例子是，通过强制三个ZFC的模型，M1⊆M2 \8838 M3，使得CH在M1和M3中都成立。并且在M2中失败。问题是CH和它的否定都是∑2陈述和∑2句子，同时断言某些集合的存在，事实上可能是有限的。这同样适用于更复杂的存在主义句子。唯一无疑最大化的存在句是∑1。

最大性准则的另一个直接结果是G模型的扩展性原则。这可以说如下：我们应该要求V满足具有的函数的替换公理的所有实例域V中的某个集合和V中包含的范围V的理想扩展。这在多大程度上是一个合理的假设？是的，这是合理的，因为这是我们希望V本身的。具有V问题是，除了集合函数之外，再也没有这样的函数了除了那些在V中可定义的函数之外的可用函数。但是当更多的功能变得可用，即使它们是理想的功能，也有没有任何理由，先验地，为什么他们应该被排除在外。

因此，我们可以得出结论，G模型的反射性、扩展性和一致性原则自然产生于最大性准则。

我们需要第三个标准来帮助我们在所有可能的集合中进行分类，在V的一些理想扩展中成立的存在性陈述被视为新的公理。这样的标准可以称为公平。我们可以也可以称之为平等机会标准。可以表述为：

一个人不应该歧视逻辑相同的句子

复杂性

这一标准的基本原理是，在缺乏明确直觉的情况下，对于选择，在某些集合论宇宙的理想扩展，关于集合，我们先验地没有理由接受一个或另一个。所以，有一次我们接受一个，我们也必须接受所有具有相同逻辑的复杂性给出了集合论语言中一个公式的逻辑复杂性通过Levy层次，即∑n和πn类公式（见[17]）。

如果我们要在公式中允许参数，那么我们也应该要求

即：

人们不应该歧视具有相同复杂性的集合。

现在，集合的复杂性可以用不同的方式定义，但集合复杂性的最自然的度量是它的秩和它的遗传性基数。

因此，一个公平的存在句类将是∑n类之一参数在一些Vα，α是序数，或一些Hκ，κ是基数。类别高阶公式，如∑mn，或者与一些无穷大逻辑有关的公式也可以被考虑。此外，语言也可以是通过允许新的常量或谓词等进行扩展。

最后，还有成功的标准。如前所述主要用途是评估通过以下方式找到的公理其他标准。一个新的公理不仅应该是自然的，而且应该也很有用。现在，有用性可以用不同的方式来衡量，但有用的新公理必须至少能够决定一些自然问题ZFC尚未决定。此外，如果新的公理提供了一个更清晰的集合论宇宙的图片，或为模糊区域提供新的线索，或者为已知结果提供新的更简单的证明，那么就更好了。

总之，一旦我们就V的理想扩展达成一致应考虑同时应用上述三个标准（一致性、最大性和公平性），关键问题变成：

找到存在句的（最大可能的）公平类∑，使得断言∑中的所有句子都保持在理想扩展中的原理are true可以在集合论的一阶语言，与ZFC是一致的。

一旦找到这样一个原则，我们就可以合理地认为它构成了集合论的一个自然公理。就存在而言，它作为一条新的公理而存在集合论者所接受和使用的，将在很大程度上由它的成功。

我们现在将在大型基本公理的情况下检验我们的标准。

4.大基数公理的自然性

无论我们对现存的东西有什么理论，都应该是与我们对我们的理论的理解相一致现存事物的总和应该是一个集合。

莱因哈特（[27]）

大基数公理可分为两类：强公理

无穷大的，以及从V到可传递真类的初等嵌入中产生的大基数公理，即可测量基数和在上面

4.1.无穷大的强公理。无穷大的强公理起源于当我们考虑所有集合的宇宙V的理想扩展时，如给定的通过ZFC，其中所有序数的超限序列，因此功率设置操作）被进一步继续。在这个理想的扩展中，V中所有序数的类ORV将是序数κ，V本身将是一套。因此，我们假设V实际上是一个更大的使得Vκ|=ZF C。

我们可以引入新的公理，说明给定公平类中的句子∑反射到Vκ。这些公理，即使它们满足我们的标准，他们可能没有任何大的基本力量，他们的后果可能相当贫穷。例如，断言Vκ满足ZFC的公理并且反映了∑n的所有句子，对于某些固定的n，从存在开始关于一类平稳的序数α，使得Vα满足ZFC，一个原理它没有大的基数强度，并且与可施工性。

通过要求κ是普通大基数。注意，如果Vκ是ZFC的模型，那么h Vκ，∈，κi|=“κ是一位普通的大基数”。但是κ甚至不需要是V中的基数。要求κ是V中的正则基数，相当于要求Vκ满足二阶替换Axiom的位。即全部更换域中序数小于κ的函数和κ中的值，需要在Vκ中不可定义。事实证明，由于Vκ|=ZF C，满足二阶置换位意味着Vκ满足全二阶置换公理。这种形式的外延置换正是G模型的扩展性原则的内容，我们已经在上一节中讨论过了；我们在最大性标准。

现在，对于κa正则基数，以下是等价的：

（1） Vκ|=ZF C

（2） Vκ≺∑1 V

即，Vκ反映了所有带参数的∑1句子，这意味着对于每a1。。。，ak∈Vκ和每一个∑1-公式ξ（x1，…，xk），Vκ|=Γ（a1，…，ak）iffΓ（a1，…，ak）。

满足上述（1）或（2）的正则基数是不可访问的。因此，根据根据我们的标准，不可接近基数的存在是一个自然公理集合论。如果我们想继续，再多走一步构造V，我们被迫接受一个不可接近的存在大基数无法接近的基数的存在是第一个基本公理。

不能在ZFC中证明不可访问基数的存在性，因为如果κ是不可访问的，则Vκ是ZFC的模型。因此，ZFC的一致性不能暗示ZFC的一致性加上不可访问的大基数断言存在无法接近的大基数的句子κ、 与其他所有大型基本公理一样，具有比ZFC。因此，它的基本性质不能满足一致性标准

形式，但它当然平凡地满足它模大基数。确实如此

然而，满足一类∑1公式，其参数为Vκ=Hκ。

下一步是考虑∑2句子的类别，即，假设κ是不可访问的，并且Vκ≺2 V，即它反映了所有带参数的∑2句子。那么κ是不可访问的基数，无法访问的基数的限制，等等。

更一般地说，对于每个n，可以考虑正则基数κ使得Vκn V，这样的基数被称为n-反射。断言存在的公理n个反映基数确实满足极大性和公平性的标准。

但如果n

注意，由于对于n

对于每个n，句子：存在一个反映基数的n，可以是作为一个一阶句子写的。然而，根据Tarski关于真理是不可辩驳的，不可能有一个可定义的κ，使得Vκ反映所有句子。此外，这句话：存在一个反映所有∑n个句子，所有n个，甚至不能用一阶语言写成集合论。

我们得出结论，所有形式的句子的集合：存在n-反映基数，n是整数，形成自然公理的递归集合集合论的（模化其与ZFC的一致性）。事实上论点，并遵循最大性原则，我们被引导到作为自然递归公理集的接受形式：存在一个适当的n-反射基数类，n是一个整数（模化其与ZFC的一致性）。

马赫洛枢机主教强化了不可接近的概念：

κ是Mahlo基数，如果它是正则的并且是不可访问基数的集合κ以下是平稳的，即κ的每个闭子集和无界子集都包含难以接近的大基数。注意，由于不可访问的基数是规则的，我们不能指望在κ以下有一个无法接近的基数Club，但我们可能会有下一个最好的东西，那就是一组静止的它们。这是根据最大性原理的自然假设。要点是的，在ZFC中可以证明，V中的每一个句子Vα的Club类。因此，应该有一个不可访问的基数κ，这样Vκ满足ξ。一旦不可访问基数的存在被接受，我们也应该接受他们中有尽可能多的人，而这意思是它们的一个固定类。

一个Mahlo基数κ是不可访问的，在Vκ中有一个静止的一类∑ω-反映基数，即∑n-反映每个n。注意κ是Mahlo iffκ是正则的，Vκ|=ZF C，并且正则集λ＜κ使得Vλ|=ZF C是静止的。因此，曾经不可访问的基数和反射基数被接受，Mahlo基数是扩展所有集合的宇宙的反射性质的过程。

通过允许高阶公式，可以得到所谓的不可描述基数，根据复杂性和顺序形成层次结构所反映的公式中：κ是∑mn-不可描述（πmn-不可描述）如果用于每个A⊆Vκ和每个∑mn-句子（πmn-句子）ξ，如果hVκ，∈，Ai|=Γ，则存在λ＜κ使得hVλ，∈，A∈Vλi|=Γ。

κ是∑1

1.-无法描述，如果无法访问。最小这个性质的加强产生了π1

1.-难以形容的红衣主教。π1

1-不可描述基数也称为弱紧致基数。每一个弱紧基数κis Mahlo及其下的Mahlo基数集κ是静止的。

最重要的是那些无法形容的大基数。即。，κ是完全不可描述的，如果对于每一个A⊆Vκ和每一个句子复杂度和任何阶，在hVκ，∈，Ai中成立hVλ，∈，AåVλi，λ＜κ。

完全不可描述的基数似乎是通过考虑序数序列的理想扩展而获得的V的反射性质在扩展方向上的终点。我们可能有一个完全固定的类无法形容的基数，但似乎不可能有更强烈的反思形式。

可以证明，如果到目前为止考虑的大基数公理是与ZFC一致，那么它们也与ZFC加V一致=L.这并不奇怪，因为这些公理产生时没有做出任何公理关于ZFC之外的V的结构的假设，以及我们所知道的V可能只是L。

4.2.大基数公理。通过考虑V的另一种理想扩展，我们得到了更强的公理。即使V包含所有集合，我们可以认为V包含在一个更大的传递宇宙M中与V相同的序数，因此M比V大，因为每个序数α，Vα都包含在Mα中，对于某些α，因此也适用于所有序数大于α–包含是适当的。根据公平标准，我们想说，每个∑1句子，可能有V中的参数，在M中成立，在V中已经成立。但这是不可能的。

与M不同的传递真类V不可能是M的∑1-初等子结构。原因是如果是这样的话，那么Mα=Vα，对于所有的α，与M比V胖的假设相矛盾。问题这是双重的。一方面，我们假设M包含一些不包含属于V，同时具有相同的序数。另一方面，我们允许∑1语句中的任意参数。但还有一个更基本的问题：在考虑包含相同序数的V的理想扩展时，我们只是不知道M中存在但不存在的理想集是什么在V中。在无穷大的强公理的情况下，当我们考虑理想时扩展，其中序数扩展到V的所有序数之外，我们知道新集合可能是什么样的，即构建的可构造集合在理想有序阶段。但在目前的情况下V和M是相同的，V包含在M中，我们只是没有关于M中的理想集可能是什么的任何线索。换句话说，对于我们所有人来说知道V，因此M，可能只是L。

解决这个困难的一个可能的方法是将M作为V的子类，因此实际上没有新的集合，但仍然将V视为正确包含在M中。如果我们认为V嵌入到M中，这是可能的我们可以假设M是可传递的。所以，假设M是一个传递类，并且存在一个嵌入j:V→ M不是恒等式和是∑1-初等的，即，对于每一个∑1句子，ξ（x1，…，xn），并且每a1。。。，一Γ（a1，…，an）iff M|=Γ（j（a1）。。。，j（an））。

则存在一个最小基数使得j（κ）≠κ、 称为jκ是第一个序数，其中j00V和M开始不同。事实上，我们已经κ是同一性。这样的基数是可测量的，即存在κ上的两值κ-完备测度U，即U＝{X⊆κ：κ∈j（X）}。在里面，事实上，可测量基数的存在等价于∑1-初等嵌入，与恒等式不同，V嵌入到传递函数中M类是超幂Vκ，嵌入由j（x）=π（[cx]U）给出，其中cx:κ→ {x} 是常数函数x和π是Mostowski传递坍缩函数。

如果κ是一个可测量的基数，那么它是第κ个不可访问的基数。

然而，它甚至不需要是∑2-反射的。

事实证明，如果j:V→ M是∑1-初等的，则它是完全初等的，即，对于每个公式ξ（x1，…，xn）和每个a1。。。，一Γ（a1，…，an）iff M|=Γ（j（a1）。。。，j（an））。

尽管句子There存在从V到M的嵌入一阶可表达的，我们可以断言从V到某个类M的初等嵌入的存在性，只需断言可测量基数κ，它是一阶可表达的。

因此，我们得出结论，断言可测量基数存在的公理满足极大性和公平性的标准，并且是，因此，集合论的一个自然公理（模其与ZFC的一致性）。

M本身不可能是V，因为根据库宁的一个著名结果（见[17]）不能有非平凡的初等嵌入j:V→ 五、M不能是L，或者，因为正如斯科特所观察到的那样（见[17]），否则我们会使得V=L，如果κ是最不可测量的，j是相关嵌入，则通过元素性，在Lj（κ）中是最不可测量的基数，因此与κ

M越大，离V越近，得到的公理就越强。

这并不奇怪，因为M越丰富，任何子结构都越丰富上界是当M本身是V时，Kunen的结果导致了不一致性。一些可能的强化如下：首先，我们可以要求M任意包含V的大的初始片段，有一个基数κ，这样对于每个序数α都有一个初等嵌入j:V→ M、 M传递，具有临界点κ和Vα⊆M。

这样的基数κ被称为强基数。如果κ很强，那么它是第κ个可测量基数。与可测量基数的情况不同，强基数κ的存在不能用κ上某个测度的存在性。然而，集合论一阶语言的公式仍然是可能的，尽管更多涉及（参见[18]）。如果存在一个强基数，那么V≠L（A），用于每个集合A。特别地，V≠L（Vα），对于每个α。因此存在对于强基数，仅仅通过理想地扩展有序序列。进一步加强的措施如下：

有一个基数κ，这样对于每个序数α都有一个初等嵌入j:V→ M、 M传递，具有临界点κ和αM⊆M这样的κ被称为超压缩基数。如果κ是超压缩的，那么它是坚强的就一致性而言，超压缩基数的存在是非常重要的比强大基数的存在更强大。许多其他变体进一步的强化是可能的（参见[18]），产生更强大的公理。它们在描述集理论中的重要作用是Woodin基数，在强和超压缩基数。

我们已经注意到这类公理的上限由Kunen关于不可能存在非平凡初等嵌入j:V的证明给出→ 五、但通过将这两种迄今为止考虑的V的理想扩张，即序数的扩张序列和V的初等嵌入到一些传递类中的存在性，我们可以要求一些非平凡初等的存在性嵌入j:Vα→ Vα，对于某些α。事实证明强公理，尽管到目前为止还没有从中推导出不一致性。

但这个公理确实满足了极大性和公平性两个标准，因此，模其一致性，是集合论的一个自然公理。

与强无穷大公理一样，在大公理的情况下大基数们，一旦我们被引导去接受某个大基数，通过应用最大性原则，我们自然会被引导到接受一类（静止的）适当的它们。

让我们停止讨论大基数的公理，因为上面的例子对于我们目前的目的是足够的。我们只是想说明通常的大基数公理不是别的但自然公理——它们满足最大性和公平性——一个人通过断言这些的存在而获得存在于V的理想扩张中的集合有序序列或通过将V视为嵌入在更大的宇宙中具有相同的序数，但实际上是V的一个子类。一直以来反复论证了一个显著的事实，即大基数公理尽管最初引入它们的动机不同显示为属于线性有序的层次结构，赋予它们自然性和有助于它们作为集合论的附加公理的正当性。但是这个是一种误导性的观点。事实上大型基数公理属于线性层次，因为这是直接的它们等同于更强的反射原理的结果从宇宙的理想膨胀到V。在任何方面都有什么了不起的案例，是将它们描述为反射原理的结果，因此揭示了他们的真实本性。

另一种可能的解决寻找公平公理困难的方法出现了由包含相同序数的V的理想扩展提供强迫的方法。强迫实际上是我们所知道的唯一通用方法。其中，从ZFC的模型开始，可以构建一个更大的新模型ZFC。

5.苏斯林假说与强迫公理

强迫是一种对我们一无所知的事情做出真实陈述的方法。

K.G模型（[36]）

可以说，Set发展的第二个最重要的问题理论（首先当然是康托尔的连续体问题）

Suslin假说：每一个完全稠密且无端点的线性具有可数链条件的序同构于R詹森对其在L中失败的证明导致了他发现♦ 原理和L中所有后续的组合原理，精细的发展结构理论等。另一方面，通过Solovay和Tennenbaum[30]提出了迭代强迫理论及其所有的发展和应用。Suslin的特殊相关性我们讨论的假设在于，正如我们将看到的集合论类起源的一致性证明我们要讨论的原则。

用迭代强迫法证明Suslin假说的一致性导致D.Martin[24]孤立了一个集合论原理被称为马丁公理（MA）。不管它的名字如何，乍一看这一原则很难被公认为公理。声明如下：

对于具有可数链条件的每个偏序集P，以及对于基数小于连续体基数的每个集合D对于P的稠密开（在序拓扑中）子集，存在一个滤波器F⊆P

它与D中的所有集合相交。

这个公理也可以看作是拜尔范畴的一个推广定理，因为它等价于以下内容：

在每个紧致Hausdorff ccc空间中，小于连续体稠密开集的基数是稠密的。

自1970年制定以来，MA不仅在集合论，但它也成功地应用于组合数学、一般拓扑、测度论、实数中的许多问题分析等（参见[10]）。尽管它作为一种技术工具取得了成功，普遍的观点是，这绝不是一条公理感觉其他ZFC公理是，即，一个直观明显的事实关于集合（例如，参见[19]）。

70年代末，作为他对詹森强迫行为研究的结果用来证明Suslin假说与广义连续统假说，Shelah引入了本体的概念强制（参见[28]）。属性是偏序集较弱的一个性质。而不是可数链条件（ccc）。这是一个相当自然的概念当想要使用部分排序执行强制迭代时出现。如果不塌陷ω1，它们就不是ccc。

一些比ccc更弱的概念已经在Shelah的适当性概念之前的文学，以及相应的已经制定并应用了更强形式的MA。特别成功的是Baumgartner的公理A，偏序性质弱于ccc包含了强制中使用的许多偏序涉及连续体的结构。由于适当性更弱条件比AxiomA性质，Baumgartner自然公式真强迫公理（PFA），即一类真偏序集的MA具有稠密开子集的集合D偏序P至多具有基数ℵ1.无此限制该公理将与ZFC不一致。鲍姆加特纳也展示了PFA与ZFC一致，假设ZFC与超压缩基数的存在。

Shelah在[28]中提出了一个比适当性更弱的概念，即半适当性，它本质上是偏序必须具有，以便在不折叠ω1的情况下对其进行迭代。这个相应的公理，半真强迫公理（SPFA），随后由Shelah公式化，并被证明是模超紧基数的一致公理。然而，在一个相当令人惊讶的结果中，Shelah[29]显示SPFA实际上相当于MA的最大可能扩展，由Foreman、Magidor和Shelah在[23]中介绍，被称为Martin的最大值（MM）。这是MA，用于不ω1的坍缩平稳子集（并且对于基数至多为Dℵ1，a如前所述的必要假设）。

MM在[23]中得到了证明，就我们的目的而言，最引人注目的是连续体的大小为ℵ2.

因此，MM，MA的最强一致性（模超紧基数的存在）推广解决了连续体问题，并且G模型已经预测到的一种方式，即其大小为ℵ2.这个Todor的cevi´c和Veli的ckovi´c后来改进了结果，表明PFA（实际上是一个比公理a偏序小得多的类的MA，一个模弱紧存在性的原理一致基数，足矣）已经暗示连续体具有大小ℵ2（见[7]）。

因此，问题来了，这些在多大程度上是集合论。

一方面它们是ZFC可证明语句的推广，因为他们推广了MAℵ1，它本身就是Baire范畴定理的推广。此外，它们已经被证明是一致的模大型基本公理。但是推广一些ZFC定理当然应该不应被视为被视为公理的充分条件，因为ZFC定理可以在不相容中推广的简单原因方式。要算作自然公理，我们需要看到它们满足最大性和公平性标准。

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