逻辑论文

注：（Ω-逻辑），（2/2）章节！

2.33，我们有Mα|=B∈MCåM。因此：

（1） MCåM|=ξ（CåM，θ）

（2） MCåM|=ξ（B，θ）。

设N∈MCåM是ZF c的一个Ct.M，它既是cåM-闭的又是Bclosed的（见注2.30）。那么，对于任何β，如果Nβ|=ZF c，则

Nβ|=θ∧，θ，这是不可能的。

一个完全对称的论点会在

假设ZF C`Ω θ，从而表明θ是不可判定的

在ZF C inΩ-思维方式中关于证明长度的一个更精细的概念Ω-逻辑由Wadge提供

实数集的层次结构（参见[9]和[16]）。

我们现在将看到Ω 在强迫下也是不变的。在里面

为了证明这一点，我们将使用以下结果（见[6]，第3.4节）。

定理2.34。假设存在一个适当的Woodin基数类，δ是Woodin基数，j:V→ M[G]是嵌入派生的

从P＜δ的强迫。则V[G]中所有实数的泛Baire集是

普遍存在于M。

定理2.35。（[17]）假设存在一个适当的Woodin类大基数。然后对于所有P，

T`Ω ξiff

V P²“T`Ω “

证明：⇒) 让A成为ΩT-证明。

则L（A，R）²M（M是ZF c∧Mα|=T→ Mα²ξ）。

假设G⊆P是V-泛型。根据V〔G〕中的推论2.20，

L（AG，RV[G]）²M（M是ZF c∧Mα|=T→ Mα²ξ）。

由于A是uB，根据备注2.6，AG是V[G]中的uB。因此，AG是ΩT-在V[G]中的Γ的证明。

⇐) 假设V P²“T`Ω “。设γ是一个强不可及基数P∈Vγ。选择一个Woodin基数δ＞γ。考虑a=Pω1（Vγ）∈P＜δ

（见事实1.4）。强迫P<δ低于a使Vγ可数，因此存在

偏序的P-名称τ，使得P＜δ（a）强迫等价于P*τ。

固定G⊆P＜δ（a）V-泛型，设j:V→ M是诱导嵌入。

那么j（δ）=δ和V[G]²M＜δ⊆M。我们有V[G]=V[H0][H1] H0⊆P，V-属。因此，V[H0]²“T`Ω “，由一些uB集合A见证。

根据这个定理的另一个方向，V[G]²“T`Ω “，由AG见证。

因此

V〔G〕²“AG是uB∧N∀α（N是ZF c∧α∈关于∧Nα|=T→ Nα²ξ）“。

根据定理2.34，AG是M中的一个uB集，并且由于M在可计数序列，

M²“N（N是ZF c∧→Nα²ξ）“。因此，M²“T`Ω “。通过应用诱导初等

嵌入，我们有V²“T`Ω “。

2.5.A-闭合与强A-闭合。

回想（定义2.16）对于A⊆R，（A

的片段）ZF C是强A闭的，如果对于所有偏序集P∈M和所有M属G⊆P，M[G]∈A∈M[G]。

我们将看到Ω 如果我们使用

在其定义中用强A-闭包代替A-闭合。

回想一下一组实数上尺度的定义（参见[9]）：

定义2.36。如果A是一组实数，那么A上的标度就是一个序列

满足以下性质的A的预序的h≤i:i＜ωi

hxi：i＜ωi是a中包含的收敛到实x和f:ω的序列→ ω是这样一个函数

ω）（xf（i）≤i xj∧xj≤i xf（i）），

则x在A中，并且对于所有i＜ω，我们有x≤i xf（i）。

如果Γ是在连续预映象下闭的点类，a∈Γ，且h≤i:i＜ωi是a上的一个标度，则h≤i:i＜ωi称为Γ-标度，如果存在集合X，Y⊂ω×ω×ωΓ（用对应的常数函数），使得

X={（i，X，y）|X≤i y}=（ω×ω。

我们说Γ具有标度性质，如果每个A∈Γ都有一个Γ-标度

　　

如果存在一个适当的Woodin基数类，那么uB集具有标度性质（这一事实是由于Steel；例如，

[6]第3.3节）。

如果h≤i:i＜ωi是实数集a上的一个标度，并且对于每个i∈ω和x∈a

我们设ρi（x）表示x的≤i秩，则数

S={（S，σ）∈ω

＜ω×Ord＜ω|∃x∈A x¼|s|=s∧hρi（x）：i＜|s|i=σ}

投影到A.我们称之为与比例相对应的数。

下面的论点来自[11]。

定理2.37。设A是一个普遍的Baire实数集，并假设

M是ZFC的A闭合c.t.M。设B表示A的补码

h≤iA:i＜ωi是由uB集X和Y见证的a上的uB标度，设h≤iB:i＜ωi是由uB集W和Z见证的B上的uB标度，并且

设M是X×Y×W×Z闭合的。那么M是强A闭合的。

证明：首先注意，对于任何一个有充分基础的模型N，如果｛N∈X，N∈Y A} ∈N，则h≤iAåN:i＜ωi在N中，并且是AåN在N中的一个标度（并且类似地，对于W、Z和B）。此外，如果N是X×Y×A闭的，那么对于N中的每一个偏序P，都有P名χP、υP和αP，使得对于相当多的N一般滤波器g⊂P，X∈N[g]=χg，Y∈N[g]=υg

且A≠N[g]=αg（这一点的证明类似于引理2.11和2.13的证明）。

设γ是M中的序数。由于Coll（ω，γ）是齐次的，并且M是X×Y×A-闭合，对于Coll（ω，γ）中的每一对条件p，q，都存在Coll（ω，γ）中包含的M-一般滤波器gp和gq使得p∈gp，q∈gq，M[gp]＝M[gq]，igp[χColl（ω，γ）]igq[χColl（ω，伽马）]=M[gp]≠X，igp[υColl（ω，γ）]igq[υColl（ω、γ）]=M[gp]≠Y，和igp[αColl（ω，γ）]igq[αColl[ω，γ]=M[gp]åA。

因此，对于每对（a，b）∈ω＜ω×Ord＜ω，中的空条件Coll（ω，γ）决定（a，b）是否在与尺度对应的数中与χColl（ω，γ）和υColl（Ω，γ）相关，因此数Tγ对应

在Coll（ω，γ）的任何M-一般扩展中，这个尺度已经存在于M中。

由于存在一个模型N，使得{N∈a，N∈X，N≠Y}∈N和Tγ是N，p[Tγ]V⊂（因为X和Y定义了a上的比例）。以上备注适用于B、W和Z、 M中有一个数Sγ，它在V中投影到一个子集

此外，Tγ和Sγ在所有强迫中投影为补码Coll（ω，γ）对M的推广。

设P是M中的偏序，则P正则嵌入到某个偏序中形式Coll（ω，γ）的阶，γ∈OnåM。修复这样一个γ，我们有M的任何P-一般扩张N，P[Tγ]N=A∈N和P[Sγ]N=B∈N，让关系`Ω− 定义为`Ω （定义2.29），但要求A-闭包而不是A-闭合。即

T`Ω− 如果存在一个uB集a⊆R，使得：

1） L（A，

2） （A，R）中的每个集合都是uB，

3） 对于ZF c的所有强A-闭c.t.m.m和所有α，

如果Mα|=T，则Mα|=ξ。

由于对于任何uB集A和任何c.t.m，m强A-闭包意味着闭（见引理2.11），因此Ω ξ表示T`Ω− ▪。

现在假设T`Ω− 由uB集合a见证。我们希望看到存在一个uB集合B，使得所有B闭模型都是强a闭合的。

定理2.37给出了这一点，假设

普遍的Baire集具有标度性质，如上所述，当存在适当的类——许多伍丁枢机主教时，情况确实如此。即使没有这个假设可以证明这样的B是存在的，尽管有证据证明，但是它超出了本文的范围。这是一张草图。首先注意，M是强A闭c.t.m，当L（A，R）|=“m是强A闭的c.t.m”时，在L（A，R）中，A在集合X⊆R上满足以下谓词P（X）：

α（M是ZFC∧

关于∧Mα|=T→ Mα|=ξ）。

现在我们将Woodin对Martin Steel定理的推广应用于 L（R）[8]中的标度和索洛维基定理（见[3]）AD+，说明如下。

定理2.38。（ZF+DCR）如果AD+保持并且VL（P（R）），则

•点类∑2

1.

具有规模性质，

•每一个真正的∑1-句子都有一个∆～

2.

1.

一组real。

然后我们可以让B是∆～

2.

1.

（在L（A。请注意，通过（2） 上面，B是uB，根据定理2.27，它也是T`−Ω ▪。自从 L（A，R）|=AD+，B及其补码都有∑～

2.

1.以L（A，R）表示。

这些标度是uB（同样，通过上面的（2））。因此，在定理2.37中，我们可以找到C∈L（A，R），使得如果M是C闭合的C.t.M，则M是强 B闭合。因此，C见证了T`Ω ▪。

可以公式化一个性质，它大致捕捉a闭包和强a闭包之间的区别。我们将把这个性质称为A-完备性，尽管这个术语不是标准的。

定义2.39。设A是一组实数。让我们打电话给ZFC的c.t.m.m

A-完全如果对于每个强迫概念P∈M，实τ∈MP的每个名称，

并且每个p∈p:

（1） 如果对于相当多的M-一般G⊆P，P∈G意味着iG[τ]∈A，

则对于每个M-泛型G⊆P，P∈G意味着iG[τ]∈A。

（2） 如果对于相当多的M-一般G⊆P，P∈G意味着iG[τ]6∈A，

则对于每个M-一般G⊆P，P∈G意味着iG[τ]6∈A。

A-闭合和A-完备性的结合意味着强A-闭合。

引理2.40。设M是一个c.t.M，a是一个uB集。如果M都是A-闭合的

和A-完全，那么它是强A-闭合的。

证明：固定M和A，并假设M是A-闭合的和A-完备的。

允许σ={（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和p°

五、Pτ∈A

▪G}。

根据命题2.9，σ是一个属于M的P-名称。

我们声称，对于每一个M-泛型G⊆P，iG[σ]=M[G]≠A。

因此，假设G⊆P是M-一般滤波器。如果τ∈M是一个简单的P-名称

对于实和iG[τ]∈a，则对于一些p∈p，对于一组广义滤波器g，如果p∈g，则iG[τ]≠a。通过2.13，p°Vτ∈a

▪G

因此

iG[τ]∈iG[σ]。

现在假设iG[τ]∈iG[σ]。因此，对于某些p∈G，p°Vτ∈A

▪G

通过

2.13，M-一般滤波器g⊆P的集合使得P∈g和ig〔τ〕∈A是comeager。但由于M是A-完全的，对于所有M-泛型g⊆P，使得p∈g，ig[τ]∈A。特别地，ig[τ]≠A。

然而，强A-闭包并不意味着A-完全性。为了看到这一点，

注意，如果x是实数并且a={x}，那么每个c.t.m.m都是强a闭的。但如果x是M上的Cohen泛型，则M不是A-完全的，

如果P是Cohen强迫，并且τ∈MP

是x的名称，则集合D={p∈p:p°τ6=x} 是P的稠密子集（尽管D6∈M！）。所以M上有一组P-一般滤波器，使得集合iG[τ]6=x，即iG[τ]6∈A。但对于某些M-一般G，iG[σ]=x∈A。

类似地，A-完全性并不意味着强A-闭包（它也是也不意味着A-闭合）。举个例子，让M满足ZFC+“0]不存在，”并且设A=0]（即{n|n∈0]}）。那么M显然不是A-闭合的，由于M[G]åA=A对于所有M-一般G⊆P，所有P。但是M是A-完全的。当看到这个，固定P，P和τ，并假设对于相当多的M-一般G，如果p∈G，则iG[τ]∈A。因此，X={n:∃p0≤p（p0°τ=n）}包含在A中，这反过来意味着所有M-泛型的iG[τ]∈A过滤包含P的G⊆P。

3Ω-猜想

定义3.1。

i） 一个句子是ΩT-可满足如果T2Ω ，即存在α和B使得VαB²T+。

ii）一组句子T是Ω-如果存在一个c.B.a.B和一个序数α，其中VαB²T。

iii）句子Ω如果T为0，则T一致Ω ，即，对于所有uB集合A⊆R满足定义2.29的1）和2），存在一个可数传递A-闭集M使得M²ZF C，并且存在使得Mα²T+Γ。

iv）一组句子T是Ω-一致，如果T0Ω ⊥, 其中Γ是任何矛盾，即，如果对于满足定义的1）和2）的所有A⊆R uB

2.29，存在一个c.t.m.a-闭的m²ZF c和α∈m使得Mα²T。

v） T是Ω-如果不是，则不一致Ω-一致的观察到如果AD+在L（R）中成立，并且L（R）中的每一组实数都是uB，然后每ΩT一致句与T一致。

事实3.2。以下内容相当于一组句子T：

i） T是Ω-一致的

ii）T 0Ω 对于一些。

iii）T 0Ω 对于所有的Γ∈T，即对于所有的ξ∈T，Γ为ΩT-一致。

证明：i）⇒ ii）琐碎。

　　

ii）⇒ iii）在不失一般性的情况下，我们可以假设对于某个uB集A、 定义2.29的1）和2）成立。给定这样一个A，根据那里的假设存在一个A-闭的c.t.m.m和α∈måOn使得mα²t+。自从Mα²ψ对于所有ψ∈T，相同的M和α证明T 0Ω ψ

ψ∈T。

iii⇒ i） W.l.o.g.，我们可以假设定义2.29的1）和2）适用于某些情况

uB集合A。此外，我们还可以假设T6=∅。因此，设ξ∈T

假设存在一个A-闭的c.t.m.m和α∈m∈On使得Mα²T+。由于Mα²T+，则相同的M和α见证了T0Ω ⊥.

定理3.3（健全性）。（[12]）假定存在一个适当的类无法访问的基数。对于每一个T∈｛ξ｝∈Sent，T`Ω ξ表示T²Ω ▪。

证明：设A为uB集A见证T`Ω ▪。固定α和B，并假设

设λ＞α是一个强不可及基数，使得a，B，T∈Vλ和Vλ|=“B是c.B.a.”。取X≺Vλ可数，其中a，B，T∈X ，M是X的传递坍缩，并且设B是B的传递坍缩。

由引理2.18M是A-闭的。因此，如果MαB|=T，然后MαB|=ξ。自从Vλ|=“VαB|=T”，通过元素性，M|=“MαB|=T“。因此，M|=“MαB|=“。因此，再次通过元素性，Vλ|=“VαB|=ξ”。因此，VαB|=ξ。

存在一类适当的不可访问基数的假设

在上面的定理中是不必要的。然而，没有这一点的证据，假设不再是基本的，它将使我们超越这篇论文。

因此，如果存在κ使得Vκ²ZF C+ξ，那么ZF C0Ω 。即 ξ为ΩZF C一致性。

全面性的另一个结果是，对于ZF CΩT可证明的句子不能通过V上的强迫而变假。

以下等价性可以在不使用定理3.3的情况下得到证明。

事实3.4。对于每个T⊆Sent，以下是等价的：

i） 对于所有ξ∈Sent，T`Ω ξ表示T²Ω ▪。

ii）T为Ω-可满足蕴涵T是Ω-一致的

证明：i）⇒ ii）假设T不是Ω-一致，即T`Ω ⊥. 通过假设，T²Ω ⊥ 对于所有c.B.a.B和所有α∈On，VαB2 T，因此T不是Ω-令人满意。

ii）⇒ i） 假设T2Ω ▪。设B和α使得VαB²T和VαB。

则TŞ｛Ω-可满足的，因此Ω-一致的如果T`Ω 那么TŞ`Ω ▪。但是`Ω 一个矛盾。

因此，根据定理3.3和事实3.4，如果T是Ω-则T是可满足的Ω-一致的，即，如果存在α和B使得VαB²T，则对于每个uB集A上存在ZF c和α的A-闭c.t.m.m，使得Mα²T。

推论3.5（`的非紧性Ω). 假设L（R）|=AD

L（R）中的实数集是普遍的Baire。然后有这样一句话

ZF C`Ω 和所有S⊆ZF C有限，S 0Ω ▪。

证明：以定理1.12的句子为例。假设ZF C0Ω ▪。然后对于每个uB集A，存在一个A-闭的c.t.m.m和Mα²ZF C+。与定理1.12的证明中的论点相同，应用于Mα，我们得到了一个矛盾。

假设现在存在S有限，使得S`Ω ▪。然后通过Soundness，S²Ω 这产生了一个矛盾，如定理1.12的证明。

这个Ω-猜想说：如果存在一类合适的Woodin基数，则对于集合论的语言的每个句子，∅²Ω ⏴iff ∅`Ω ▪。

“如果”方向由“健全”给出。所以Ω-猜测只是的完整性Ω-逻辑，即如果∅²Ω ξ，然后为∅`Ω 对于每个ξ∈Sent。

引理3.6。以下内容相当：

i） 对于所有ξ∈Sent，∅²Ω ξ表示∅`Ω ▪。

ii）对于每一个r.e.集TŞ｛ξ｝⊆Sent，T²Ω ξ表示T`Ω ▪。

证明：i）⇒ ii）固定T r.e和ξ，使T²Ω ▪。设ξ*：=“T²Ω “。

引理1.9，∅²Ω ⏴*，因此通过i），∅`Ω ⏴*

因此，存在一个uB集合a使得对于每个A-闭合c.t.m.m|=ZF c，m²“∅²Ω ξ*”。然后使得所有α∈M，MᲓT²Ω “。由于M²ZF C，通过反射，M²“T²Ω “。

这表明A见证了T`Ω ▪。

这个Ω-猜想在强迫下是绝对的：

定理3.7。假设存在一个适当的Woodin基数类。

那么对于每一个c.B.a.B，

V B²Ω-猜想

iff

V²Ω-猜想

证明：根据定理1.8和2.35，对于每个c.B.a.B，∅²Ω 如果且仅当

如果V B²“∅²Ω “和∅`Ω 当且仅当V B²“∅`Ω “。因此，如果V B²Ω-推测，则V²“∅²Ω ξ“iff V B²”∅²Ω “iff V B²”∅`Ω “iff V²“∅`Ω “。反之亦然。

备注3.8。i） 假设L（R）²AD+，并且L（R）中的每一组实数为uB。如果T是r.e.和ZF C²“T²Ω “，然后T`Ω ξ，由∅见证。

ii）假设ZF C++存在一个强不可访问基数

一致的设ξ=“存在一个不可构造的实数”。然后ZF C 6`（（ZF C²Ω ξ）→ （ZF C²）Ω ξ”）。

对于假设V²ZF C++“存在一个不可构造的实”+|=zfc）。然后ZF C²Ω ξ在V中成立。如果γ是序数且Vγ，则VγB²ξ，因为VγB包含V的所有实数。但是，由于ZF C加上强不可访问基数的存在是一致的，在V中存在ZF C++的一个模型“存在一个强不可达基数”+V=L。

该型号满足ZF C6|=Ω φ。

iii）假设ZF C是一致的。那么，对于任何句子，

ZF C 6`（（ZF C²Ω ξ）→ （ZF C²）Ω ξ”）。

既然有ZF C+的车型，“就没有ZF C的车型”。

回想一下：

i） T是Ω-可满足当存在一个c.B.a.B和一个序数α

VαB²T。

ii）T为Ω-一致iff T 0Ω⊥.

以下重述了Ω-猜想

事实3.9。以下是每个T⊆Sent的等价项：

i） 对于所有ξ∈Sent，T²Ω ξ表示T`Ω

ii）T为Ω-一致意味着T是Ω-令人满意。

证明：i）⇒ii）假设T不是Ω-令人满意。那么对于所有c.B.a.B和所有α，VαB2 T。因此，对于所有B和所有α，如果VαB²T，则VαB平方Ş，为空。因此，T²Ω ⊥. 根据假设，T`Ω ⊥, 我们知道T是Ω-不一致的

ii）⇒i） 假设T0Ω ▪。则TŞ｛，ξ｝0Ω ξ，否则为T`Ω → ξ，然后T`Ω ξ∧ξ，给出了一个矛盾。因此，TŞ｛Ω-一致的。

根据假设Ω-可满足的，存在B和α使得VαB²。因此T2Ω ▪。

最后，我们注意到Ω-猜测是正确的，正如Woodin已经表明，它适用于具有适当类别的精细结构模型Woodin基数。

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