特殊篇章（哥德尔可构造宇宙）

序数:超限数

　　

I ∅是最小序数:这是0。

　　

I {∅}是下一个序数:这是1。

　　

{∅，{∅}}接下来依次是:这是2。

　　

如果α是序数，那么

　　

I α是所有序数β的集合，使得β小于α，

　　

Iα+1 =α∨{α}是第二大序数。

　　

ω表示最小无限序数​，它是所有有限序数的集合。

　　

集合的宇宙

　　

发电机组　

　　

假设X是一个集合。X的幂集​是集合

　　

P(X) = {Y Y是X的子集​}。

　　

集合的累积层次

　　

集合的论域V是通过归纳on定义Vα而生成的序数α：

　　

1.V0 = ∅，

　　

2.Vα+1 = P(Vα)，

　　

3.如果α是一个极限序数​，那么Vα =Sβ<α Vβ。

　　

如果X是一个集合，那么X ∈ Vα对于某个序数α。

　　

I V0 = ∅，V1 = {∅}，V2 = {∅，{∅}}.

　　

这些只是序数:0，1和2。

　

I V3有4个元素(很明显不是序数)。

　　

I V4有16个元素。

　　

I V5有65，536个元素。

　　

I V1000有很多元素。

　　

Vω是无限的，它是所有(遗传的)有限集的集合。

　　

Vω的概念在数学上等同于

　　

结构的概念(N，+，):

　　

一个结构可以在另一个结构中被解释。

　　

超越基本公理​:大基数公理​

　　

塑造V的概念

　　

一、集合论​的ZFC公理正式规定了集合论的创立v的概念原则。

　　

ZFC公理自然被附加的公理所扩充

　　

断言“非常大的”无限集合存在的公理。

　　

这样的公理断言大基数的存在。

　　

这些大枢机主教​包括:

　

一.可衡量的基数

　　

强壮的红衣主教

　　

我是红衣主教

　　

我是超强红衣主教

　　

我超级紧凑红雀

　　

I .可扩展的红衣主教

　　

我是大红雀

　　

Iω-巨大的红雀

　　

基数:测量集合的大小

　　

定义:当两个集合的大小相同时

　　

两个集合X和Y有相同的基数，如果有一个

　　

X元素与Y元素的匹配。

　　

形式上:如果有双射，X = Y

　　

f : X → Y

　　

假设选择公理​是ZFC公理之一：

　　

定理(康托尔)

　　

对于每个集合X，都有一个序数α，使得X = α。

　　

连续统假说：CH

　　

定理(康托尔)

　　

所有自然数的集合N和所有实数的集合R

　　

不具有相同的基数。

　　

I无穷大真的有不同的“大小”！

　　

连续统假说

　　

假设⊆ R是无穷大。那么要么：

　　

1.a和N有相同的基数，或者

2.a和R有相同的基数。

　　

这是康托的连续统假说。

　　

许多人试图解决连续统的问题假设并失败了。

　　

连续统假说的问题很快就出现了

　　

被广泛认为是所有问题中最重要的问题之一

　　

现代数学。

　　

1940年，G odel证明了它与集合的公理是一致的

　　

连续统假说为真的理论。

　　

没有人能反驳连续统假说。

　　

1963年7月4日，科恩​在伯克利的一次演讲中宣布

　　

这与集合论的公理是一致的

　　

连续统假设是错误的。

　　

没有人能证明连续统假说。

　　

科恩方法

　　

如果M是ZFC的模型，那么M就包含了虚拟世界的“蓝图”

　　

ZFC的模型N，它放大了m。这些蓝图可以从m内部构建和分析。

　　

如果M是可数的，那么在M内构造的每个蓝图可以实现为m的真正放大。

　　

科恩证明了ZFC的每个模型都包含一个蓝图

　　

对于连续统假设是假的。

　　

科恩的方法还表明，ZFC的每一个模型包含了一个扩大的蓝图

　　

连续统假说是真的。

　　

(Levy-Solovay)这些放大保存大基数

　　

公理：

　　

如果大基数公理能有所帮助

　　

我只能以某种意想不到的方式。

　　

科恩方法的范围:它不仅仅是关于CH

　　

一个挑战V概念的时代

　　

科恩的方法在过去的50年里有了很大的发展

　　

从科恩的原著开始。

　　

许多问题已经被证明是无法解决的，包括

　　

集合论之外的问题：

　　

I(群论)白石问题(Shelah)

　　

I(解析)卡普兰斯基猜想(Solovay)

　　

(实直线的组合学​)苏斯林的问题

　　

(索洛维​-坦**姆、延森、耶赫)

　　

I(测度论)Borel猜想(拉沃尔)

　　

I(算子代数)Brown-Douglas-Filmore自同构

　　

问题(菲利普斯-韦弗，法拉)

　　

这是对……概念的严重挑战

　　

数学无限。

　　

I这些例子，包括连续统假说，都是关于Vω+2的陈述。

　　

好吧，也许是时候放弃了

　　

要求

　　

I大基数公理是不可证明的；

　　

我根据哥德尔第二不完全性定理​。

　　

我但是，大基数公理是可证伪的。

　　

预言；预测；预告

　　

无限多伍德​因的存在并不矛盾

　　

红雀将在未来1000年内被发现。

　　

我绝对没有。

　　

我们无法触及的真相

　　

真正的说法当然是：

　　

我从无限的存在中没有矛盾

　　

许多枢机主教。

　　

要求

　　

I此类声明无法得到正式证明。

　　

这表明在进化过程中

　　

我们对数学的理解是不正式的。

　　

如果有数学知识，而不是完全基于证据。

　　

要求

　　

怀疑主义者认为宇宙的概念

　　

集是不连贯的，一定是错的。

　　

这些真相和随之而来的预言还能是什么

　　

解释？

　　

但是要么CH为真，要么CH为假。

　　

好，回到连续统假设的问题

　　

怀疑论者的挑战

　　

解决CH问题。

　　

我也许应该从更深入的理解开始

　　

自然的推测

　　

人们可以通过观察特殊案例来更深入地理解CH。

　　

可是哪个特例？

　　

这有意义吗？

　　

最简单的不可数集合

　　

定义

　　

集合A ⊆ Vω+1是射影集，如果：

　　

I A可以在结构中进行逻辑定义

　　

(Vω+1，∑)

　　

从参数。

　　

我们可以很容易地将定义扩展到Vω+1上的关系：

　　

定义

　　

集合A ⊆ Vω+1 × Vω+1是射影集，如果：

　　

I A在逻辑上可以定义为结构中的二元关系

　　

(Vω+1，∑)

　　

从参数。

　　

I . vω+1和Vω+1 × Vω+1的可数子集是射影集但Vω+1和Vω+1 × Vω+1本身也是，而这些集合是不可数的。

　　

连续统假设和投射集

　　

连续统假说

　　

假设⊆ Vω+1是无穷大。那么要么：

　　

1.a和Vω具有相同的基数，或者

　　

2.a和Vω+1有相同的基数。

　　

这是关于Vω+1的所有子集的陈述。

　　

投射连续统假说

　　

假设⊆ Vω+1是一个无限射影集。那么要么：

　　

1.a和Vω具有相同的基数，或者

　　

2.有一个双射体

　　

F : Vω+1 → A

　　

使得F是一个射影集。

　　

这是关于Vω+1的“简单”子集的陈述。

　　

选择的公理

　　

定义

　　

假如

　　

⊆ X × Y

　　

一项功能

　　

F : X → Y

是A的选择函数​，如果对所有a ∈ X：

　　

I如果存在b ∈ Y使得(A，b) ∈ A那么(A，F(a)) ∈ A。

　　

选择的公理

　　

对于每一组

　　

⊆ X × Y

　　

a有一个选择函数。

　　

选择公理与投射集

　　

选择的射影公理

　　

假设⊆ Vω+1 × Vω+1是一个射影集。然后是一个

　　

功能

　　

F : Vω+1 → Vω+1

　　

使得：

　　

I F是a的选择函数。

　　

I F是一个射影集。

　　

在20世纪早期，人们曾多次试图解决这两个问题

　　

投射连续统假设的问题和

　　

选择的投影公理问题；

　　

在最简单的情况下获得成功。

　　

然而，到1925年，这些问题看起来都没有希望了。

　　

这两个都是没有希望的问题

　　

G odel和Cohen的实际结构表明

　　

问题在形式上是无法解决的。

　　

我在G odel的宇宙L：

　　

选择的射影公理成立。

　　

I投射连续统假设成立。

　　

我在科恩对L的放大中(实际给出的科恩为ch的失败定义的蓝图)：

　　

选择的射影公理是假的。

　　

投射连续统假设是错误的。

　　

这解释了为什么这些问题如此困难。

　　

但是直觉告诉我这些问题是可以解决的

　　

正确。

　　

意外的纠缠

　　

定理(1984年)

　　

假设红衣主教中有无限多的伍德。然后：

　　

I投射连续统假设成立。

　　

定理(1985年：马丁-斯蒂尔​)

　　

假设红衣主教中有无限多的伍德。然后：

　　

选择的射影公理成立。

　　

我们现在有了Vω+1和射影几何​的正确概念

　　

集合。

　　

这个概念产生了射影集的公理。

　　

I这些(决定性)公理反过来又与

　　

(并由此而来)大基数公理。

　　

但是Vω+2呢？甚至是V本身？

　　

逻辑可定义性

　　

可定义的幂集

　　

每个集合x，PDef(X)表示所有y个⊆ X的集合，使得y

　　

在结构(X，∑)中可由X中的参数逻辑定义。

　　

I PDef(X)是X的子集的集合

　　

X本身固有的，

　　

I对P(X ), P是X的所有子集的集合。

　　

Vω+1的所有射影子集​的集合恰好是

　　

给出者：

　　

PDef(Vω+1)

　　

有效累积层级：L

　　

集合的累积层次

　　

累积层次由α上的归纳定义​如下。

　　

1.V0 = ∅.

　　

2.Vα+1 = P(Vα)。

　　

3.如果α是一个极限序数，那么Vα =Sβ＜α Vβ。

　　

I V是所有集合X的类，使得X ∈ Vα对于某个α。

　　

哥德尔的可构造宇宙，L

　　

通过对α的归纳定义Lα如下。

　　

1.L0 = ∅.

　　

2.Lα+1 = PDef(Lα)。

　　

3.如果α是一个极限序数，那么lα=∞{ lββ＜α}。

　　

i1是所有集合X的类，使得X ∈ Lα对于某个α。

　　

V缺失的公理？

　　

公理：V = L

　　

假设X是一个集合。那么X ∈ L。

　　

定理(哥德尔:1940)

　　

假设V = L，那么连续统假设成立。

　　

我假设V = L有一个科恩蓝图​，那么：

　　

公理V = L必须成立，蓝图是琐碎的。

　　

要求

　　

采用公理V = L完全否定了

　　

科恩的方法。

　　

我想这可能是解决办法吗？

　　

不，有一个严重的问题。

　　

公理V = L和大基数

　　

定理(斯科特​：1961年)

　　

假设V = L。那么就没有可测量的基数。

　　

事实上没有(真正的)大枢机主教。

　　

我假设V = L。那么红衣主教中没有伍德。

　　

显然：

　　

公理V = L是假的。

　　

自然的推测

　　

也许关键是通过使用

　　

扩展可定义幂集运算的大型基数。

　　

但是有一个替代的方法，它基于简单的利用大基数直接推广射影集合。

　　

射影集的另一种定义

　　

观察

　　

Vω+1与康托集同胚，拓扑是开的

　　

集合给定的Vω+1

　　

On，a = {X ⊆ Vω X ∩ Vn = a}

　　

作为基本开集，其中n ＜ ω，a ∈ Vn+1。

　　

I vω+1的射影子集恰好是生成的集合

　　

从开集和收盘下操作：

　　

I .通过连续函数​拍摄图像

　　

F : Vω+1 → Vω+1。

　　

我接受补充。

　　

这个定义适用于任何拓扑空间​。

　　

特别是，这将射影集的概念扩展到

　　

欧几里得空间 Rn.

　　

泛拜尔集

　　

定义(冯-马吉德​-伍丁)

　　

一套一套⊆ Rn

　　

是普遍拜尔如果：

　　

I对于所有的拓扑空间ω

　　

I对于所有连续函数π:ω→Rn;π乘A的原像在ω空间中具有Baire性质。

　　

我普遍认为拜尔集具有拜尔性质

　　

我简单地取ω= Rnπ是恒等式。

　　

我普遍认为贝尔集​是勒贝格​可测的。

　　

定理

　　

假设V = L，那么每一个集合A ⊆ R都是a的普遍象

　　

由连续函数构成的集合

　　

F : R → R。

　　

其中⊆ R

　　

将l相对于⊆ R

　　

假设一个⊆ R .通过对α的归纳定义Lα(A​，r)如下：

　　

1.L0(A，R)= vω+1 ∨{ A }，

　　

2.(后继情况)Lα+1(A​，R) = PDef(Lα(A，R))，

　　

3.(极限情况)Lα(A，R)= ∨{ lβ(A，R) β ＜ α}。

　　

i1(A，R)是所有集合X的类，使得X ∈ Lα(A，R)为

　　

一些序数α。

　　

I P(R) ∩ Lω1

　　

(A，R)是包含A和的最小σ-代数

　　

由连续函数f : R → R在向下闭。

　　

I如果B ⊆ R和B ∈ L(A，r)那么L(B，R) ⊆ L(A，r)。所以：

　　

I P(R) ∩ L(A，R)在连续函数的向下是闭的

　　

F : R → R。

　　

泛拜尔集是终极推广

　　

投射集的

　　

定理

　　

假设在红雀和红雀中有一个适当的类

　　

假设⊆ R是万能的贝尔。

　　

那么每一个集合B ∈ L(A，R) ∩ P(R)都是泛Baire。

　　

这样，每一个射影集都是泛贝尔的。

　　

我清楚地知道在红衣主教中存在着一个适当的阶层。

　　

定理

　　

假设在红衣主教中有一个适当的木类。

　　

(1)(马丁-斯蒂尔)假设⊆ R是泛拜尔。

　　

我那时一副志在必得的样子。

　　

(2)(钢)设一个⊆ R × R是泛拜尔。

　　

那么A有一个选择函数，这个函数是通用的。

　　

I因此L(A，R) = AD，其中AD是确定性公理。

　　

度量泛Baire集​的复杂性

　　

定义

　　

假设A和B是r的子集。

　　

1.A是弱Wadge可约为B，A ≤Wadge B，如果有

　　

一个函数π : R → R使得：

　　

I π在R Q上连续。

　　

我要么A = π−1

　　

或A = R π−1[B]。

　　

2.a和B是弱Wadge双可约的，如果B and B≤沃奇​。

　　

3.A的弱Wadge度是所有的等价类

　　

用a弱Wadge双可约的集合。

　　

如果一个弱Wadge可简化为B and B是普遍拜尔

　　

那么A是万能的拜尔。

　　

深层构造的标志

　　

定理(马丁-斯蒂尔，马丁，瓦奇)

　　

假设在红雀中有一个适当的类。

　　

那么泛Baire集的弱Wadge度为

　　

按弱Wadge可约性线性排序，而且这是一个秩序井然。

　　

投机

　　

也许投射集的这种最终推广可以导致

　　

我们对公理V = L的最终概括

　　

我怎么会？

　　

定义公理：V = L而不定义L

　　

一个句子ϕ是一个σ2句子，如果它的形式是：

　　

I存在一个序数α，使得vα=ψ；

　　

为了某句话ψ。

　　

对于每个序数α，设

　　

Nα = ∩{M M是传递的，M = ZFC幂集，

　　

OrdM = α}。

其中：　　

　　

如果对每个a ∈ M有一个⊂ M，则集合m是传递的

　　

引理

　　

以下是等效的。

　　

(1) V = L。

　　

(2)对于每个σ2-句子ϕ，如果V = ϕ，则存在一个

　　

可数序数α使得Nα = ϕ.

如果我们需要在一个(2)的改写。

　　

G odel的传递类HOD

　　

定义

　　

HOD是所有集合X的类，使得存在α ∈ Ord和M ∈ Vα使得

　　

1.X ∈ M，M是传递的。

　　

2.M的每个元素在Vα中从序数可定义参数。

　　

对于每个集合b，都有一个最小传递集TC(b ),它包含b作为元素。

　　

为什么是霍德​？

　　

假设N是ZF的一个模型。让霍登·⊆​被定义为

　　

那么对于每个b ∈ N，以下等式是等价的：

　　

1.b ∈ HODN。

　　

2.(TC(b))N的每个元素

　　

可在N中用参数定义

　　

从n的序数中。

　　

HODL(阿拉伯文​)

　　

和可测量的枢机主教

　　

定义

　　

假设一个⊆ R .然后HODL(A，r)

　　

这个班被称为

　　

定义在L(A，R)内。

　　

选择的公理必须在HODL成立

　　

I即使L(A，R) = AD。

　　

定理(索洛维：1967年)

　　

假设⊆ R和L(A，R) = AD。

　　

然后Vω1

　　

在HODL是一个可度量的基数(A，R).

　　

索洛维定理给出了第一个联系

　　

决定性公理(AD)和大基数公理。

　　

HODL(阿拉伯文)

　　

和红衣主教中的伍德

　　

定理

　　

假设在红衣主教中有一个适当的类

　　

a是全球通​用的Baire。

　　

我然后Vω1

　　

是HODL最不可测的基数(A，R).

　　

定义

　　

假设⊆ R是泛贝尔。

　　

那么θL(A，R)

　　

序数α的上确界​是这样的吗

　　

一个满射，π : R → α，使得π ∈ L(A，R)。

　　

IθL(A，R)是衡量一个

　　

定理

　　

假设在红衣主教中有一个适当的类

　　

a是全球通用的Baire。

　　

I然后θL(A，R)

　　

是HODL的伍丁枢机主教.

　　

公理V =终极-L

　　

在基数中，一个伍德的存在可以用一个σ2-句。

　　

I Woodin枢机主教明显存在于V；如果⊆ R是泛贝尔的，并且有一个适当的类

　　

那就去找红衣主教吧

　　

HODL(阿拉伯文)

　　

=“红衣主教中有一个伍德”。

　　

V =极限-L的公理

　　

在红衣主教中有一个适当的等级。

　　

对于每个σ2句子的ϕ，如果ϕ在v中成立，则有一个

　　

贝尔普遍设定了一个⊆ R

　　

HODL(阿拉伯文)

　　

|= ϕ.

　　

这只是等级相似

　　

假设在红雀中有一个适当的类。然后是

　　

以下是等效的：

　　

I V =终极-L。

　　

我假设ψ是一个句子，并且存在一个序数α

　　

那Vα = ψ。

　　

那么存在一个普遍的贝尔集合​⊆ R，使得

　　

HODL(阿拉伯文)

　　

= "存在α使得Vα = ψ"

　　

V = Ultimate-L的一些结果

　　

定理(V =极限-L)

　　

连续统假说成立。

　　

定理(V =极限-L)

　　

V = HOD。

　　

定理(V =极限-L)

　　

设γ∞是⊆ R的所有泛贝尔集​的集合。那么

　

Γ∞6 = P(R)∩L(γ∞，R)　

　　

如果V =极限-L，则：

　　

I选择公理在L(γ∞，R)中成立。

　　

I这是对V = Ultimate-L的事实的概括

　　

如果V = L，则存在实数的射影良序​。

　　

公理V = Ultimate-L和Cohen方法

　　

我想V = Ultimate-L有一个科恩蓝图。

　　

然后：

　　

I公理V =终极-L必须成立，蓝图是琐碎。

　　

I公理V =终极-L解决(模公理infinity)所有关于“小”集合(如Vω+2)的句子

　　

已经被科恩的方法证明是独立的。

　　

要求

　　

采用公理V = Ultimate-L完全否定了科恩方法的衍生。

　　

但是，公理V = Ultimate-L与所有大的相容吗

　　

基本公理？

　　

是否存在V =极限-L的Scott定理？

　　

大枢机主教的语言：基本嵌入

　　

定义

　　

假设X和Y是传递集。函数j : X → Y是一个

　　

初等嵌入if对于所有逻辑公式

　　

ϕ[x0，。。。，xn]

　　

和所有的a0，.。。，一个∈ X，

　　

(x，∑)= ϕ[a0，。。。，an]当且仅当​(y，∈) = ϕ[j(a0)。。。，j(an)]

　　

同构是基本嵌入，但也是唯一的嵌入

　　

(X，∑)和(Y，∑)的同构是平凡的。

　　

引理

　　

设j : Vα → Vβ是初等嵌入。然后是

　　

以下是等效的。

　　

(1) j不是同一性​。

　　

(2)存在一个序数η ＜ α使得j(η) 6= η。

　　

I CRT(j)表示最小序数η，使得j(η) 6= η。

　　

可扩展基数和超紧基数

　　

定义(莱因哈特​:(1974年))

　　

假设δ是一个基数。

　　

那么δ是可扩基数，如果对于每个λ ＞ δ

　　

存在初等嵌入

　　

j : Vλ+1 → Vj(λ)+1

　　

使得CRT(j) = δ并且j(δ) ＞λ

　　

定义(索洛维，莱因哈特:由马吉德(1971)重新表述)

　　

假设δ是一个基数。

　　

那么δ是一个超紧基数，如果对于每个λ ＞ δ 存在δ ＜ λ ＜ δ和一个初等嵌入　

j : Vλ +1 → Vλ+1

　　

使得CRT(j) = δ并且j(δ ) = δ。

　　

弱扩张模型

　　

定义

　　

假设N是一个传递类，N包含序数，并且n是ZFC的典范。

　　

那么N是δ的弱扩张模型是超紧的，如果对于每个γ ＞ δ，存在δ ＜ λ ＜ δ和一个基本的

　　

把...嵌入

　　

π : Vλ +1 → Vλ+1

　　

使得CRT(π) = δ¯, π(δ)= δ，并且使得

　　

I π(N ∩ Vλ ) = N ∩ Vλ。

　　

I π (N ∩ Vλ ) ∈ N。

　　

假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且α ≥ δ+.

　　

I N由N ∩ Vα唯一指定。

　　

I N是σ2-可由N ∩ Vα定义的。

　　

弱扩张模型理论​是v理论的一部分。

　　

δ以上的大基数是向下绝对到弱

　　

δ is超紧的扩张模型

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型，κ ＞ δ，并且κ是可扩基数。

　　

那么κ是n中的可扩展基数。

　　

定理

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型，κ ＞ δ，而且κ是一个超紧基数。

　　

那么κ是n中的超级基数。

　　

对于所有大的基本概念，都有这种概括。

　　

普遍性定理

　　

定理(普遍性定理)

　　

假设N是δ是超紧的弱扩张模型，

　　

α ＞ δ是一个极限序数

　　

j : Vα+2 → Vj(α)+2

　　

是一种初等嵌入，使得δ ＜ CRT(j)。然后：

　　

I j(N ∩ Vα) = N ∩ Vj(α).

　　

I j (N ∩ Vα) ∈ N。

　　

一.结论:斯科特的观点不能一概而论

　　

定理对任何公理成立在一些弱扩张δ的模型是超紧的，对于任何δ。

　　

终极L猜想

　　

终极L猜想

　　

(ZFC)假设δ是可扩基数。然后(可证明地)

　　

有一个传递类N，使得：

　　

1.n是δ是超紧的弱扩张模型。

　　

2.N = "V = Ultimate-L "。

　　

终极L猜想意味着没有一般化

　　

斯科特定理到公理V =终极-L。

　　

我通过普遍性定理。

　　

终极L猜想是一个存在数论声明。

　　

如果它是不可判定的，那么它一定是假的。

　　

要求

　　

终极L猜想要么是真的，要么是假的，它不可能毫无意义。

　　

集合论面临两种未来之一

　　

终极L猜想简化了整个后科恩

　　

关于集合论真理的争论只涉及一个问题

　　

我必须有一个答案。

　　

未来1:终极-L猜想成立。

　　

那么公理V = Ultimate-L很可能是丢失的密钥

　　

v的公理。

　　

这个公理没有斯科特定理的推广

　　

V =终极-L。

　　

所有被证明无法解决的问题

　　

Cohen方法是模大基数公理分解的。

　　

未来2:终极-L猜想是假的。

　　

然后，我编写程序，通过归纳

　　

成功理解Vω+1和投射集失败。

　　

简化版

　　

可构造宇宙L

　　

定义Def()为一个包含所有X子集的集合。

　　

一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑​公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X

　　

使得x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]

　　

然后：

　　

L₀=∅

L₁=Def(L1)={∅}=1

Ln+1=Def(Ln)=n　

Lω=∪＿k＜ω Lω

Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinalג是极限序数

L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。