补丁（4）格罗滕迪克论文部分篇章论文。

容易引起莫名争议的问题是全域( unverse),也经常被称为Grothendieck(格罗滕迪克)全域1.⁾在ZFC的基础上，全域是一个不可数的传递集合U，使得(∪，∈)以最好的方式满足ZFC公理：它包含每个元素的幂集( powerset)，且对于任何从 ∪ 的一个元素到 ∪ 的函数，其值域仍是 ∪ 的一个元素.这就比仅仅说(∪，∈)满足ZFC公理强得多我们不是仅说当所有量词( quantifier)为相对U时幂集公理“每个集合有幂集”为真.而是要求“对每个集合x ∈ ∪，x的幂集仍在U中 ”，在这里x的幂集的定义中没有一个量词是相对于 ∪ 的.看起来像 x 在 ∪ 内部的幂集的东西必须是在更大的集合环境中看起来是x的幂集.类似地，关于函数的像集的条件也比(U，∈)满足相对于 ∪ 的替代公理范式( replacement axiom scheme)更强.这一条件说任何从 ∪ 的一个元素到 ∪ 的函数,如果在更大的集合环境领域中存在，则它本身是 ∪ 的一个元素.这个附加的强度保证了应用于 ∪ 中的集合的任何集合论构造，无论它是在 ∪ 的内部还是在更大的集合论域中，都将＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

译自： The Bulletin of Symbolic Logic， Vol 16 (2010)，No.3, p.359-377， What does it take to prove Fermat's last theorem? Grothendieck and the logic of Number theory，Colin Mclarty. Copyright Ⓒ2010 the Association for Symbolic Logic. Reprinted with permission. All rightseserved.符号逻辑学会与作者授予译文出版许可.

Colin Mclarty是美国 Case Western Reserve大学的哲学系和数学系教授.他的邮箱地址是colin. mclartycase

[1]参阅 Grothendieck[1971]以及更完整的叙述 Artin et al.[1972,vol.I1p.185-217].我们把这些书分别简写为SGA1和SGA 4.─原注

第二方案：格罗滕迪克宇宙的定义

ZFC宇宙v的子类u是格罗滕迪克宇宙：

　　1.如果x∈u，y∈x，则y∈u（关于∈的推移性）

　　2.如果x，y∈U，则{x，y}∈U（关于配对的结构是闭合的）

　　3.如果x∈U，则Pow（x）∈u（关于幂集合是闭的）

　　4.l∈U，f：l→U，则∪（f）∈U（关于族的合并是封闭的）

　　5.U∈V（V的元素）

　　6.ω∈U（具有无穷集）∪（f）是∪i∈lf（i）的缩写。

　　ω是集个自然数的集合。

　　如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。

　　但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。

　　low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。

　　空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子）。

　　也可以制作只包含有限集合的预宇宙。

也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。

不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在 (即一个无限基数 κ 会使得Vκ⊨ZFC.它可以断言 Con(ZFC)

Grothendieck宇宙其实就是在 ZF 运算下封闭的一个类，其实质就是 Vκ，其中 κ 是一个强不可达基数。

不过比较有趣的是Grothendieck作出如下假设：对于任意集合 X，都存在宇宙 U 满足

X∈U。

这个假设等价于“对于每个序数都有比这个序数大的强不可达基数”，或者“存在无界多的强不可达基数”。

Grothendieck宇宙中不一定有不可达基数，而是说Grothendieck宇宙本身的高度和宽度是不可达基数。

比如说如果k是最小的不可达基数，那么Vk是Grothendieck宇宙，并且其中没有任何不可达基数Grothendieck宇宙的封闭性质使得它强于单纯的传递模型，例如说对幂集封闭导致了它必然是不可数的，而传递模型可以是可数的。

考虑到大部分数学命题涉及的集合不会超过

Vω+ω，（这里的两个欧米伽加欧米伽，应为小写右下角)Grothendieck宇宙是一个相当大的框架（不得不感慨集合论与其它数学分支相比是走得太偏又太远了）。

所有集合的全域可以如下递归地的定义：V0=ф，ф 是空集（φ=Φ，这里是格式错误）

Vα+1=P(Vα)，α 是任意序数

Vα＝∪α≺βVβ，α 是极限序数。

最后令V=Uα ∈ ONVα，ON是所有序数的类。

在 ZF 里可以证明 V 就是所有集合的全域。对任意集合 x，可以定义x在全域V中的秩，rank(x)=min{α：x ∈ Vα+1}，可以证明对每一

序数α，Vα就是那些所有秩小于 α 的集合构成的集合，即Vα={x：rank(x)≺α}

直观的说，每个集合都是由幂集算子“沿着序数不断迭代产生的，每个集合都在V的某个序数前段中被创造出来。

而类可能无法属于任何一个序数前段（即

Vα），真类与集合全域V一样“高”。

设 κ 是一个强不可达基数，那么Vκ 就是一个Grothendieck宇宙。

并且，我们可以证明Vκ是 ZF 的一个传递模型。

在假设选择公理的情况下，Vκ 也是 ZFC 的一个传递模型。

反过来，假设 U 是一个Grothendieck宇宙，那么它的基数|U|是强不可达的并且

U=Vκ，其中κ=|U|。

因此，存在Grothendieck宇宙与存在强不可达基数是等价的。

Vκ 虽然也是V的一个序数前段，但是 κ 对于它之下的那些序数是“不可达的”。

对于 κ 之下的那些序数来说，κ 就像所有序数的类ON一样，而Vκ 对于那些属于 Vκ 的集合（即秩小于 κ 的集合）就像所有集合的全域V一样。

所以，在范畴论里将某个宇宙U元素称为“集合”无非就是指那些秩小于某个强不可达基数的集合而已。

通过假设存在Grothendick宇宙U，我们可以自由地谈论那些（相对于ZFC的）“大范畴”。

通常，我们会添加Tarski-Gronthendieck公理：

对任意集合x，都存在一个宇宙U，使得

x∈U。

即每个集合属于某一个强不可达基数前段Vκ。由简单的绝对性论证可知，对一个强不可达基数 κ0，在一个比 κ0 更高的强不可达基数前段 Vκ1 中仍然被 Vκ1 认为是强不可达基数。

对任意一个宇宙U，定义U-small集合就是U中元素，U-large集合就是U的子集（相对于U的类），但是U-larqe集合在某个比U更大的宇宙里又是“小集合”了。

类似的可以定义U-small范畴和U-large范畴。

这样在使用范畴论的时候，我们总可以在一个足够大的Grothendieck宇宙中工作，从而避免在ZFC中无法直接操作大范畴的困难。

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