补丁（2）集合论十大公理篇章序列论文

集合论的公理----ZFC

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）[策梅罗-弗兰克尔集合论]。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

集合论十大公理

1.存在公理 Exi

存在一个集合，

∀ x ( x = x ) . \forall x(x=x). ∀x(x=x).集合论的逻辑有一个本体论的承诺：我们所谈论的对象不能是虚无的，至少存在着一个集合。事实上，这个存在的集合就是无限集合。

2.外延公理 Ext

（Axiom of extensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。

∀ X ∀ Y ∀ z ( z ∈ X ⇔ z ∈ Y ) ⇒ X = Y . \forall X \forall Y \forall z(z \in X \Leftrightarrow z \in Y) \Rightarrow X=Y. ∀X∀Y∀z(z∈X⇔z∈Y)⇒X=Y.又，若x和y有相同的元素，则它们属于同一个集合：

∀ X ∀ Y ∀ Z ( Z ∈ X ⇔ Z ∈ Y ) ⇒ ∀ Z ( X ∈ Z ⇔ Y ∈ Z ) . \forall X \forall Y \forall Z(Z \in X \Leftrightarrow Z \in Y) \Rightarrow \forall Z( X \in Z \Leftrightarrow Y \in Z). ∀X∀Y∀Z(Z∈X⇔Z∈Y)⇒∀Z(X∈Z⇔Y∈Z).

这个公理表明，集合是由其元素决定的。

在集合论中，集合的元素也是集合。

3.分离公理模式 Sep

（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或称子集公理、概括公理、分离公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。

令 p ( u ) {p(u)} p(u) 为一公式，对任意集合 X X X，存在一个集合 Y = { u ∈ X ∣ p ( u ) } Y=\{u \in X| p(u) \} Y={u∈X∣p(u)}：

∀ X ∃ Y ∀ u ( u ∈ Y ⇔ u ∈ X ∧ p ( u ) ) . \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \Leftrightarrow u \in X \wedge p(u)) . ∀X∃Y∀u(u∈Y⇔u∈X∧p(u)).它实际上代表着无穷多条公理，对每一公式 p p p ，都存在对应的一个分离公理。它是对概括原则( ∀ p ( x ) , ∃ Y = { x ∣ p ( x ) } \forall p(x), \exists Y=\{x | p(x)\} ∀p(x),∃Y={x∣p(x)} )的限制。

分离公理还可以定义空集：

w 是 一 个 已 存 在 的 集 合 ， ∅ = { u ∈ w ∣ ¬ ( u = u ) } . w是一个已存在的集合， \varnothing = \{ u \in w\mid \lnot (u=u)\}. w是一个已存在的集合，∅={u∈w∣¬(u=u)}.由外延公理还可证明空集是唯一的。

由分离公理，我们可以断定任意两个集合的交和差仍是集合。

X ∩ Y = { u ∣ u ∈ X ∧ u ∈ Y } . X \cap Y = \{u| u \in X \wedge u \in Y \}. X∩Y={u∣u∈X∧u∈Y}. X − Y = { u ∣ u ∈ X ∧ u ∉ Y } . X - Y = \{u| u \in X \wedge u \notin Y \}. X−Y={u∣u∈X∧u∈/​Y}.

分离公理排除了“所有集合的集合”，避免了罗素悖论，还进一步引出了"类"、"真类"的概念。

4.对集公理 Pai

（Axiom of pairing）对任意集合a,b，存在一个集合c只以a,b为元素。

∀ a ∀ b ∃ c ∀ x ( x ∈ c ⇔ x = a ∨ x = b ) . \forall a \forall b \exists c \forall x(x \in c \Leftrightarrow x=a \vee x=b). ∀a∀b∃c∀x(x∈c⇔x=a∨x=b).记 c = { a , b } c=\{a,b\} c={a,b}，由对集公理知，单点集 { a } = { a , a } \{ a \} = \{a,a\} {a}={a,a}是集合。

5.并集公理 Uni

（Axiom of union）每一个集合有一个并集。也就是说，对于每一个集合X，总存在着另一个集合Y，满足Y的元素是且只是X的元素的元素。

∀ X ∃ Y ∀ u ( u ∈ Y ⇔ ∃ z ( z ∈ X ∧ u ∈ z ) ) . \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \Leftrightarrow \exists z (z \in X \wedge u \in z)). ∀X∃Y∀u(u∈Y⇔∃z(z∈X∧u∈z)).这样的Y是唯一的，称为X的并，记为 ∪ X \cup X ∪X，特别的， X ∪ Y = ∪ { X , Y } X \cup Y = \cup \{ X,Y \} X∪Y=∪{X,Y}是集合。

6.幂集公理 Pow

（Axiom of power set）对于任何集合X，存在着一个集合Y，使得Y的元素是且只是X的子集。

∀ X ∃ Y ∀ u ( u ∈ Y ⇔ u ⊆ X ) . \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \Leftrightarrow u \subseteq X). ∀X∃Y∀u(u∈Y⇔u⊆X).这样的Y是唯一的，称为X的幂集，记为 P ( X ) {\mathcal {P}}(X) P(X)。

幂集公理允许定义两个集合X、Y的笛卡儿积：

X × Y = { ( x , y ) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } ⊆ P ( P ( X ∪ Y ) ) . X \times Y = \{(x,y):x \in X \land y \in Y\} \subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}} (X \cup Y)). X×Y={(x,y):x∈X∧y∈Y}⊆P(P(X∪Y)).

幂集公理是说，一个集合的所有子集组成其幂集。

7.无穷公理 Inf

（Axiom of infinity）存在着一个集合X，空集 ∅ \varnothing ∅为其元素之一，且对于任何X中的元素x， S ( x ) = x ∪ { x } S(x)=x \cup \{x\} S(x)=x∪{x}也是X的元素。

∃ X [ ∅ ∈ X ∧ ∀ x ( x ∈ X ⇒ S ( x ) ∈ X ) ] . \exists X \left[ \varnothing \in X \land \forall x(x \in X \Rightarrow S(x) \in X) \right]. ∃X[∅∈X∧∀x(x∈X⇒S(x)∈X)].

这个定理是说：存在一个无限集合。

特别的，如果令：

0 = ∅ 0=\varnothing 0=∅,

1 = { ∅ } = 0 ∪ { 0 } 1=\{\varnothing \} = 0 \cup \{0\} 1={∅}=0∪{0},

2 = { ∅ , { ∅ } } = 1 ∪ { 1 } 2= \{ \varnothing , \{\varnothing \}\} =1 \cup \{1\} 2={∅,{∅}}=1∪{1}，

3 = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } = 2 ∪ { 2 } 3= \{ \varnothing , \{\varnothing \} ,\{ \varnothing , \{\varnothing \}\}\} =2 \cup \{2\} 3={∅,{∅},{∅,{∅}}}=2∪{2},

…

n + 1 = n ∪ { n } n+1= n \cup \{n\} n+1=n∪{n}，

则记 N = { 0 , 1 , 2 , . . . } N=\{0,1,2,... \} N={0,1,2,...}为自然数集合(冯诺伊曼序数)，它是满足无穷公理的最小集合。

8.正则公理 Fnd

（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。

∀ x [ x ≠ ∅ ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅ ) ] . \forall x[x \neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x \land x \cap y = \varnothing )]. ∀x[x​=∅⇒∃y(y∈x∧x∩y=∅)].它的一个直接推论是：

任何集合x都不属于自身。

正则公理还确保不存在无穷下降链。

9.替换公理模式 Rep

（Axiom schema of replacement）给定公式f(x,y)，对任意x，都有唯一的y，使得f(x,y)成立。

∀ A ∀ x ∈ A ∃ ! y f ( x , y ) ⇒ ∃ B ∀ x ∈ A ∃ y ∈ B f ( x , y ) . \forall A \forall x \in A \exists !y f(x,y) \Rightarrow \exists B \forall x \in A \exists y \in B f(x,y) . ∀A∀x∈A∃!yf(x,y)⇒∃B∀x∈A∃y∈Bf(x,y).替换公理是说，

任何集合在一个函数下的像仍是一个集合。

10.选择公理 AC

（Axiom of choice，Zermelo’s version）令X为一非空集合，则存在一从X映射至X内成员的并集的函数f（称为“选择函数”），可使得对所有的Y ∈ X都会有f(Y) ∈ Y。

上述可表示为：

∀ X [ ∅ ∉ X    ⟹    ∃ f : X → ∪ X ∀ A ∈ X ( f ( A ) ∈ A ) ] . \forall X \left[ \varnothing\notin X \implies \exists f : X\rightarrow \cup X\quad \forall A \in X (f(A) \in A) \right] . ∀X[∅∈/​X⟹∃f:X→∪X∀A∈X(f(A)∈A)].

又表述为，给定由相互不交的非空集合组成的任何集合，存在着至少一个集合，它与每个非空集合恰好有一个公共元素。

良序原理、佐恩引理都被证明与选择公理等价。

首先定义几个概念：

集族：指由非空集合组成的集合。

选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族 X X X中的集合 s s s， f ( s ) f(s) f(s)是 s s s的一个元素。

那么，选择公理表示：

对于所有的集族，均存在选择函数。

集族上的任意笛卡尔积总是非空的。

所有集合有一个选择函数。

对于任何集合A有一个函数使得对于A的任何非空子集B， f ( B ) ∈ B f(B) \in B f(B)∈B。

选择公理是相当复杂的，并且它只断言了选择集(选择函数)的存在，却并没有给出具体构造它的方法。

补充说明：

事实上，这里对集公理、并集公理、幂集公理都可以替换成较弱的形式，然后用分离公理模式证明出来。

(弱对集公理)对任意a和b，存在一个集合Y满足 a ∈ Y ∧ b ∈ Y a \in Y \wedge b \in Y a∈Y∧b∈Y。

(弱并集公理)对任意集合X，存在集合Y满足如果存在 z ∈ X z \in X z∈X，使得 u ∈ z u \in z u∈z，则 u ∈ Y u \in Y u∈Y 。

(弱幂集公理)对任意集合X，存在集合Y满足如果存在 u ⊆ X u \subseteq X u⊆X，则 u ∈ Y u \in Y u∈Y 。

以上10大定理组成的公理系统称为ZFC，由策梅罗在1908年提出。实际上，ZFC有无穷多个公理，因为替换公理和分离公理实际上是公理模式。ZFC集合论二者都不能用有限数目个公理来公式化，这最先由Richard Montague证实。冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起（ZFC）同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理，即是不使用公理模式。

依据哥德尔第二不完备定理，ZFC的一致性不能在ZFC自身之内证明。

ZFC的广延等同于普通数学，所以ZFC的相容性不能在普通数学中证明。但是几乎没有人怀疑ZFC有什么未被发觉的矛盾；如果ZFC是不自洽的，早就该被发掘出来。这是确定无疑的：ZFC免除了朴素集合论的三大悖论，罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。

同样广为人知的连续统假设，也不能在ZFC自身之内证明。

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