翻译版（玄宇宙计划原文）超宇宙计划

注：翻译篇章总共分为两部分篇章内容到（2/2）结束，后续发布第三篇章翻译章节作品。

注：本章现状（1/2）。

ASL

超宇宙计划

HYPERUIVERS计划

塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-大卫·弗里德曼

摘要：Hopenaniwrae程序是一种新的集论真理的方法，它基于可分割原理，AZD独立于ZFC解决了许多问题。本文的目的就是提出这一方案。说明它的数学内容和含义，并讨论它的哲学假设。

AB)

1美元。介绍。本文的目的是讨论和说明超宇宙计划(以及内部模型假说(IMH)及其变体，作为实现它的建议)，第二作者(sce[7])提出的一种方法，其灵感来自于对已知独立于公理系统ZFC¹.的问题的研究

近年来，不同的研究项目，在独立的激励下

现象已在集合论中被表述出来。哥德尔在[9]中宣布的新公理计划，为他们中的大多数人奠定了基础，当时连续统假说独立于ZFC只能(正确地)推测。[9]及其修订和扩充[10]在集合论基础的争论中起到了基础性的作用。为了捍卫他们的观点，哥德尔引用了对数学本质的哲学思考，逻辑数学概念的分析，以及纯数学性质的技术论证。类似的成分可以在大多数

随后提出的克服独立性的建议结果。

哥德尔的程序值得仔细研究一下。作为一种根本动机

通过添加新的公理来扩展ZFC的程序。在[9]中表达了信念，即有可能给出最终答案

Reoeived，2012年1月31日。

关键词和短语。独立、大枢机、多元宇宙、柏拉图主义与反柏拉图主义、集合论真理。

两位作者都得到了奥地利科学基金(FWF)P22430-N13项目的支持。第一作者还得到了欧洲科学基金会在ESF活动“Infinky的新前沿：数学”框架内的交换基金的支持。哲学与计算展望。

我们所说的独立疑问句子 ф 是指ZFC一阶语言的句子，这样ZFC既不能证明ф也不能证明￢ф。　　

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关于连续体的基数问题，尽管它可能独立于ZFC。这一信念显然是建立在柏拉图式的数学观之上的，根据柏拉图式的数学观，集合论概念和定理描述了一些确定无疑的现实，"其中康托的猜想必须是对的或错的，它不能从今天所知的公理中判断出来，这只能说明这些公理不能包含对这个现实的完整描述"，([9].第181页)。

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在讨论新公理的建议时，[9]中指出，新公理的候选应该是合理的，表现出对激励原则的一致性，比候选人本身更明显、更有说服力。集合的概念被用于这个目的，其中的观点是，集合是可以通过迭代应用操作“集合的”([9])从整数(或一些其他定义良好的对象)获得的东西。第180页)。特别强调了这一概念的最大含义，大意是公理“说明运算集的进一步迭代的存在性”，如“小”大基数假设。被认为是新集合论公理的完全合法的候选者²。

[9].但是，不排除在集合概念之外，可能还有其他动机成功地指示了扩展ZFC的合理策略的可能性。事实上，人们推测，“除了普通公理[...]之外，可能存在集合论的其他(迄今未知的)公理，对逻辑和数学基础概念的更深刻理解将使我们能够认识到这些概念所隐含的含义”([9])。第182页)。在[10]中还提出了这样的建议，即集合系统的某些最大性质可以被设计出来，而集合的概念并不直接暗示这种最大性质。然而，它可以作为集合论的一个合理的新公理(“[...]从某种意义上与此相反的公理[V=L]，也许可以推导出康托猜想的否定。我在想一个公理，它将说明所有集合的系统[.]的某种最大性质"。第478页)。

它是通过调用成功的标准，作为对一个集合论公理的候选者的真理的决定的贡献，在

＿＿＿＿＿＿.

²小而大的红雀”是指大而大的红雀，它们的存在与可建构性公理V=L相一致。哥德尔在其中一条上说，说明不可接近基数存在的公理，如下所示：

这些“无限强公理”中最简单的一个断言了Inae的存在。可消除的数(以及更强意义上不可接近的数)＞ℵ₀。后一条公理，粗略地说。仅表示通过专有地使用在其它公理中表示的集合的形成过程而获得的集合的全部再次形成集合(并因此为这些过程的进一步应用提供了新的基础)。([9]，第182页)

哥德尔在写到[10]的时候，就知道了可测量基数存在的Gödel公理，以及它与可建构性公理的不相容性。然而，Gödel显然并不认为集合概念暗示了这一公理(见[10]，脚注16)。

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[9]将纯数学性质的考虑纳入关于新公理的建议的讨论。公理的成功在于它在结果上的成果，它“照亮了整个学科”，它产生了“解决特定问题的有力方法”([9])。第183页)。数学结果(“在康托尔的时代还不知道”的事实)也被用来解释预测康托尔的猜想将被证明是错误的。因此，[9]的寓意是，在制定集合论的候选公理时，人们不仅致力于寻找能证明它们合理性的一般激励原则，但是，我们也必须考虑到已经存在的和被接受的数学结果的语料库，新的公理应该在此基础上阐明，或者至少不是不可调和的矛盾。

我们在这里提出的方法与哥德尔的新公理程序有许多共同的特点，尽管不是全部。让我们简单地说明一下。超uni-verse程序试图阐明在V中哪些一阶集合论陈述(超越ZFC及其含义)被认为是真的，通过创建一个上下文，在其中可以比较集合论宇宙的不同图片。这个上下文是超反转，定义为ZFC的所有可数传递模型的集合³。这些模型的比较引发了一些原则(最大限度原则和全知原则，我们将列举其中的两个)，这些原则提出了在合理的基础上偏好某些集合的宇宙而不是其他集合的标准。”从首选宇宙的标准开始。我们应用了这样一个原理，即在所有优先宇宙中都成立的一阶陈述(希望包括独立问题的解)也成立于V(一个部分基于向下Lowenheim-Skolem定理的假设)，并将这些陈述作为集合论的新公理。

简而言之，这就是超宇宙计划，人们清楚地看到，它与哥德尔计划的基本目标相同，即通过“对逻辑和数学基础上的基本概念有了更深刻的理解”而产生的新的集合论公理来扩展ZFC。事实上，在超universe程序中，一个人制定了优先宇宙的原则和标准，这些原则和标准是由超宇宙的逻辑数学分析提出的。此外，Godel建议考虑“所有集合的系统的最大性质”来扩展ZFC，该程序也解决了这一问题。事实上，最大值作为一个原则很好地启发了首选宇宙的标准。此外，在哥德尔的计划和超宇宙计划中，人们都想以一种可能被认为是终极的、不可修改的方式来寻找独立问题的解决方案，因此在V，所有集合的宇宙中可以被认为是确定的或真的。

为首选宇宙制定标准并不是一件容易的事。特别是，不能从一开始就排除将相互冲突的需求强加于偏好的集合世界的可能性。

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³因此，对超宇宙计划至关重要的是努力将期望的标准组合成连贯的假设；这将在下面详细解释。

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然而，必须明确指出的是，在制定超宇宙计划时，柏拉图主义无处可援，无论是关于V还是超宇宙。相反，它的一些特点鲜明地表达了一种反柏拉图主义的态度，这使该节目从根本上不同于哥德尔的。在超宇宙计划中，没有明确的实相被要求为寻找独立问题解决方案的合法性辩护。相反，人们认为，尽管集合论中获得了大量的独立性结果，没有先验的理由来反对寻找问题的最终答案的目标，如CH。这就把举证责任转移到那些声称有这样的理由的人身上⁴。此外，在制定超宇宙计划时，“在V中真实”的表述并不被用来反映一种本体论的状态，这种状态是关于所有集合的宇宙的，它是一种存在可以独立于学科-核心实践的现实。相反，“在V中真实”的意思是一个facon de parler，它只传达关于集合论者的显现态度的信息，作为对某些陈述在设定理论家眼中所具有或预期具有的地位的描述。句子“在V中为真”是指那些被定势论者认为是或应该被认为是决定性句子，

即，最终且不可修改。在超宇宙计划中，有两种声明符合这一地位。第一类是那些学科中心的陈述，由于它们在集合论的实践中所起的作用。更一般地说，对于数学来说，不应该被任何可能被认为是最终的且不可修正的集合论陈述的进一步候选物所反驳。让我们把这些陈述称为“事实上的”集理性真理。ZFC公理和ZFC+大基数公理的一致性就是这些真理的例子。但是第二，在超宇宙计划中，人们已经准备好在V陈述中认为是真的，除了不与事实上的集合论真理相矛盾之外，遵守在开始时明确建立的真理条件。让我们把这些“法律上的”集合论真理称为真理。它们服从的条件是，它们是超宇宙中所有首选宇宙中都适用的句子。后者，反过来，不意味着作为一个独立的，确定的现实，而是作为一个数学结构，产生与发展的集合论和程序。因此，在超宇宙计划中，柏拉图主义既不涉及V，也不涉及超宇宙。事实上，正如程序所预期的那样，在法律上形成集合论真理是一个自主调节的过程。在参与其中时，不会强加“外部”约束，例如一个人必须忠实于的已经存在的现实。相反，在寻找法律上的集合论真理时，人们只期望遵循正当的程序。不能完全排除在某个时候会出现需要

⁴这一假设似乎是Shelah在[18]中的考虑的背后。[19]以及Hamkins在[11]中提出的多重vtew。对前者的批判性评价载于[1].

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修改所采用的程序，以便将其与其他同样合理的程序结合起来⁵。

简而言之，制定法律上的集合论真理，这是超宇宙计划的核心，可以被理解为一个非柏拉图主义头脑的数学家的积极反应，他认为在事实上的集合论真理之外寻找新的真理是有意义的。这与任何形式的怀疑论都形成了鲜明的对比，无论怀疑论的动机是假设这样的搜索是没有希望的，还是出于信心，可能是基于柏拉图主义，即无论V的明确特征是什么，它们都会在某种程度上表现出来，而不需要我们自己的任何努力。等效地，人们可以将超宇宙计划描述为一种动态的方法来实现集合论真理，不受外部约束(尽管内部调节)，与任何柏拉图式的静态观点相反，柏拉图式的观点认为，关于SCTS的真理只限于一种固定的事物状态，它必须是“忠实的”。

Hypcruniversc计划的倡导者对现有集合论发展的立场既复杂又令人惊讶。当然，后者明确地加入到程序中，只要一次的目的是获得偏好的宇宙，除了符合某些标准和不与现有的事实上的集合-核心真理相矛盾，成功地记录了独立问题。此外，建立首选宇宙的cxistencc所需的技术是由集合论中现有的发展或由扩展现有发展的程序所启发的新发展提供的。然而，Hyperuni-verse程序显式地调用集合论的发展还有另一个原因，尽管是以一种消极的方式。在宣布打算延长ZFC以解决独立问题时，一个人还要求他在解决这些问题的方式上尽可能不带偏见，在他应该为偏爱的宇宙制定哪些原则和标准上尽可能不带偏见。特别是，不能在一开始就选择后者，以便能够独立于ZFC解决问题，或满足现有集合论实践的某些特定领域的需要。在制定这些原则和标准时，也不应援引具体的数学假设(例如，大基数公理或强迫公理)。不偏不倚的基本原理有两个方面。一方面，对于ZFC之外的集合论发展属于事实上的集合论真理的领域，我们需要尽可能谨慎。赞同这种态度意味着公正地对待这样一个事实，即在这个问题上，固定的主流社会内部已经提出了不同的观点。”第二，我们的目标是从

＿＿＿＿＿＿

⁵这方面的一个例子将在第3节中给出，其中对幂集最大值准则进行了修改，以便与序数最大值准则兼容。

⁶例如，参见[22]和[19]对于大基数公理或确定性公理在当代集合论中AD˪[ʀ]的地位的不同立场。

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对超宇宙的分析，只专注于它最普遍的特征。因此，所选择的原则和从这些原则导出的标准被期望产生对首选宇宙的合理选择，其唯一的基础是Onc对集合thcory的最基本方面的了解。

令人惊讶的是，尽管没有偏见。超宇宙计划导致的结果强烈影响我们对现有集合论发展的语料库的理解。这是一种情况，例如，如果采用[7]中表述的内部模型假说(IMH)作为首选宇宙的标准，提供对ZFC的可数传递模型为最大值(固定序数)的含义的适当描述。这一假设解决了许多独立于ZFC的问题，但也对集合论团体有时毫无疑问地假设的内容具有修正性的含义：虽然IMH与非常大的基数的内部一致性相容(即，它们在内部模型中的存在)，但它与它们作为一个整体在宇宙V中的存在相矛盾。这可能被认为是破坏性的，提供了相反而不是支持假设的证据。然而，通过认真对待它，人们可能会得出意想不到的结论，即IMH毕竟并不与集合论的实践相矛盾，由于在内部模型中存在大基数，而不是在V中，这在集合论中获得了一个最终的、不可修改的假设的地位，在提出新的公理时，我们不能自相矛盾。换句话说，人们认识到大红雀的内在一致性，而不是它们在宇宙中的实际存在，是事实上的集合论真理。一个关于射影决定性(PD)的类似现象：IMH与PD相矛盾，但与无实参数可序定义的实集的决定性是一致的。因此，IMH违反了一致性原则，该原则主张自然射影陈述相对于实参数，并且人们认识到没有实参数的顺序可定义确定性，与PD相反，作为事实上的集合论真理。关于IMH对现有集合-核心发展的影响的讨论也适用于超宇宙计划中出现的偏好宇宙的其他标准。

本文的方案如下。在第二节中，我们描述了超单律，并考虑了它与V的关系。在第三节中，我们引入了基于最大值和全知原理的首选宇宙的标准。超宇宙计划的现状在第四节中进行了总结，而最后的附录则致力于更广泛地讨论最大值，以及大基数和射影确定性在集合论实践中的作用。

§2美元。超宇宙。在当代集合论中，有许多方法可以用来创造新的宇宙，即ZFC模型，从给定的方法开始：集强制。阶级压迫。超类强制(i.c.，强制）

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HyperunTVERSE计划

条件是类)和模型-核心技术⁷，结果，集合论者可以得到许多不同的宇宙⁸。这种无处不在的ZFC模型最近导致了多元宇宙作为一种新的集合论概念的引入，以及关于多元宇宙是否可以代表在集合论中解决有关真理问题的适当起点的相关讨论。根据人们对ZFC模型应进入其中的观点，文献中对多元宇宙提出了完全不同的看法。人们表达了不同的观点，也表达了多元宇宙如何作为一个适当的框架来表达集合论真理。在这一节中，我们将回顾现有的关于多元宇宙的al-tative提议，并提出超宇宙作为多元宇宙概念的最佳实现。

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Woodin和第二作者都使用术语“多元宇宙”来表示通过操纵一个或多个ZFC初始模型获得的宇宙集合。特别地，在[23]中，Woodin从ZFC的可数传递模型M开始，并围绕多元宇宙展开研究

M是集合-泛型扩展和集合-泛型基础模型下通过闭合生成的集合(这就是Woodin所称的集合-泛型

从M)产生的多重宇宙⁹。Woodin也认为V是这样的，所以一个(集合的)一般的多元宇宙可以从它产生。为此目的，我们考虑(集)泛型扩展作为布尔值模型，即模型具有

形式Vᴮ，其中B是一个完整的布尔代数。与Woodin事实上将“泛型扩展”和“集合泛型扩展”视为同义词的工作相反，本文第二作者的较佳工作导致了围绕L的类泛多元宇宙的引入，通过在类-强制和类-泛型基础模型下，以及类-泛型扩展的内部模型(不一定是

它们本身是类泛的(sce[5])¹⁰。10集泛多元宇宙和类泛多元宇宙是完全不同的：前者保留了大的基数概念，并没有超越集强制，而后者可以摧毁大基数，并导致模型不能直接获得类

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⁷参见[6]。

⁸看，例如。[14].正是通过这些方法操纵集合的宇宙，才能给集合论句子赋予互斥真值，从而证明它们独立于ZFC，

ZFC对可数传递模型的限制是由于在ZFC中可以证明此类模型的强迫扩张的存在性。

Woodin明确拒绝考虑建立在阶级强迫基础上的多元宇宙的可能性，“没有合理的候选者来定义扩展版本的宇宙。”集泛多元宇宙，它允许类强制扩展，但却在宇宙中保持了大基数的存在”([23].p.107)。Woodin的立场有困难。集合论中的类强制和超类强制与集强制具有相同的地位。此外，通过限制集强制和保证大烛台的存在，人为地避免了对新的集论公理的任何无偏搜索的真正困难，那就是处理可能破坏大的基本公理的合理原则。

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强迫。此外，哈姆金斯最近提出了一种多元宇宙的观点，显然与伍德和第二作者都是分离的。什么在[11]被称为多元宇宙，事实上，不是ZFC模型的集合，可以通过在特定程序下闭合从初始宇宙产生。更确切地说，多元宇宙被描述为由所有集合论宇宙组成的群体，这些集合论宇宙目前已经被构建出来，并且可能在未来产生，可能包括非有据模型和除ZFC以外的系统模型。其结果是异质的开放的多个，不能给出其整体的统一描述。

对于是否以及如何将多元宇宙视为确定真理问题的背景，集合论者之间也没有达成共识。例如，Hamkins提出的异质开放多元宇宙，伴随着双重的邀请，即放弃“CH的梦想解决方案模板”，据此，CH的真值必须由集合论的一些新公理来决定，并考虑CH是否成立的问题已经确定，作为我们对不同真值的认识的结果，它可能在多元宇宙的不同宇宙中被假定。相反，在[23]中，引入集合-一般多元宇宙，以考察集合-一般多元宇宙的真理概念。根据后者，用集合论语言表述的句子，如果它在由V生成的多元宇宙中绝对成立，即如果它在属于该多元宇宙的cach宇宙中成立，则它是成立的。如果一个人采用集合-通用多元宇宙的真理概念，他应该声明像CH这样的句子缺乏真理价值。然而，这并不是Woodin的结论。事实上，他认为集泛多元宇宙的真理概念是站不住脚的，因为它违背了他认为对集论宇宙的任何真理概念都至关重要的原则(见[23])。

然而，请注意，尽管Woodin和Hamkins对多元宇宙有不同的数学理解，他们对独立于ZFC的句子的地位也有不同的立场，在某一点上，他们对多元宇宙的看法比一开始看起来更相似。在考虑通过调用多元宇宙是否可以为集合论句子引入一个合适的真理概念时，Woodin和Hamkins都心照不宣地从一个假设开始，即人们应该把多元宇宙看作是无法超越的终极多个ZFC模型，I.C...被简化成一些更基本的东西。结果，它们都被引导到集合论真理概念的候选者，集合论真理的概念是高度不完全的，允许集合论的句子既不是真的也不是假的。Woodin和Hamkins的这一假设值得强调，因为超宇宙计划明确拒绝了这一假设(见下面的Desideratum 2)，这是我们现在提出的一种独特的方法，利用多元宇宙的概念来研究集合论真理。

超宇宙计划可以被理解为从多元宇宙的图景出发，试图达到新的法律上的科学理论真理

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它忠实地总结了在当代集合论中可以得到的大量结果。当使用这种方法时，集中在有充分根据的ZFC模型上，就等于表达了双重信念，即ZFC的公理是事实上的集-核心真理，并且只有这个理论的有充分根据的模型才能提供集论宇宙的似是而非的图画。因此，超宇宙计划一开始就断言，多元宇宙应该满足一个最大值和一个定义明确的标准，只有ZFC的所有可数传递模型的集合才能满足这个标准。更准确地说：

需要1.多元宇宙应该是尽可能丰富的，但它不应该是一个定义不清或无限制的多样性。

在陈述这一点时，one有两个目的。首先，one的动机是，在当代学科理论中，创造有充分基础的宇宙的方法远远超出了集强制或类强制(因此，多元宇宙应该包括更多的集合或类通用扩展和基础模型)。自超宇宙以来，ZFC的所有可数传递模的收集。在所有可能的宇宙创造方法下都是封闭的，人们就会用它来识别多元宇宙。第二，在《需求1》中，多元宇宙被赋予一个精确数学公式，这使得人们能够把它投入工作，以达到丰富集合-核心真理领域目的。这是在超宇宙计划中完成的，通过制定超宇宙某些成员相对于其他成员的合理偏好，从而获得首选宇宙的选择。多元宇宙被明确定义的要求是这一选择过程得以实现的必要条件，如果多元宇宙被明确定义或者是开放的，情况就不会是这样。

需要量2.超宇宙不是终极的多元性。人们可以根据基于合理原则的标准来表达对其某些成员的偏好。

超宇宙计划的另一个关键点是，一阶性质在超宇宙的偏好宇宙中是真实的，在V中也是真实的。

需要3.V的任何一阶性质都反映在ZFC的可数传递模型中，ZFC是超宇宙的首选成员。

《需求3》的一个重要结论是，尽管超宇宙计划中制定的首选宇宙的标准可能不是一级的(实际上，我们将在第3节介绍的标准不是--它们在整个超宇宙中量化)，尽管如此，在超宇宙计划中，我们得到了集合论的一阶公理，这些是首选宇宙共享的一阶真理。

在论证Desideratum3的合理性时，人们可以引用向下的Lowenheim-Skolem定理，然而，该定理本身只是暗示一定存在V一阶反射到的超宇宙成员。它们可能被选为超宇宙的首选元素只是一种假设

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