第一篇章数学阶层

数学世界观的发展与变化以及最初与最终之旅！

数学阶层起点表现链接：　　　　

零、个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆、十兆、百兆、千兆、京、十京、百京、千京、垓、十垓、百垓、千垓、秭、十秭、百秭、千秭、壤、十壤、百壤、千壤、沟、十沟、百沟、千沟、涧、十涧、百涧、千涧、正、十正、百正、千正、载、十载、百载、千载、极、十极、百极、千极、恒河沙、十恒河沙、百恒河沙、千恒河沙、阿憎祇、十阿憎祇、百阿憎祇、千阿僧祇、那由他、十那由他、百那由他、千那由他、不可思议、十不可思议、百不可思议、千不可思议、无量、十无量、百无量、千无量、大数、十大数、百大数、千大数、全仕祥、十全仕祥、百全仕祥、千全仕祥、古戋尔、十古戋尔、百古戋尔、千古戋尔、葛立恒数、葛立恒数（葛立恒数（葛立恒数……（葛立恒数）））、TREE（3）、

　　TREE3（TREE3（TREE3……（TREE3））））、SCG3、SCG3（SCG3（SCG3……（SCG3）））SSCG3、Rayo’snumber、Rayo'snumber（Rayo’snumber（Rayo’snumber……（Rayo’snumber）））、Fishnumber7、Fishnumber7（Fishnumber7（Fishnumber7……（Fishnumber7）））、BigFooT、BigFooT（BigFooT（BigFooT……（BigFooT）））、LittleBigeddon、LittleBigeddon（LittleBigeddon……（LittleBigeddon）））、

　　Sasquatch、Sasquatch（Sasquatch（Sasquatch……（Sasquatch）））……

　　以上都小于阿列夫零，阿列夫零=ω=א0。

　　不可计算函数：

　　多维数

　　非递归序数

　　用符号ω_1^CK表示，是可以递归计算的序数的上限！随便说一句，busy一be**er函数的增长率有时会表示为f_ω_1^CK（x），但是对于ω_1^CK这个基本列怎么办，似乎没有太多共识。

　　我的理解是这样的，下面是如何制作一个ω_1^CK的基础列。

　　如果把F[ω_1^CK]应用到FGH上，你可能会想到，你也可以从FGH的定义中得到F[ω_1^CK+1]。

　　可计算函数的世界是危险的，因为它不直观……

　　f_{ω_1^CK+1}（n）=f^n_{ω_1^CK}（n）

　　当然这取决于如何取ω_1^CK基本列。就个人而言，我也怀疑是否存在ω_1^CK的自然碱基序列，使得严格意义上的f_{ω_1^CK}（n）└ ┐BB（n）。

　　﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

　　“维度层级”数量

　　我想到了层数的概念。感觉就像序数专门用于层次结构。在破坏了序数的数学美和顺序之后，我们获得了计算的准确性。

　　＿＿＿＿＿特征＿＿＿＿＿

　　·以下与限制没有区别。

　　-只有一个基本列。

　　·1+ω≠ω。

　　-基本列也可以是有层数的列。

　　-可用于有序层次结构，例如怏速增长的层次结构。

　　如果用这个，比如用ω_α^CK和对应的层数，就可以准确轻松地完成一个f[ω_α^CK]（n）左右的函数。

　　我做了一个简单的可计算函数。

　　＿＿＿＿＿超限编号＿＿＿＿＿

　　令f为任意函数，x为任意自然数，n为任意＞＞分层数，如上所述（尽管尚未明确定义）。

　　变换S定义如下。

　　当Sf（n）[x]=m_x时，序列m如下。

　　当1，x＜3

　　m_x=f^x（n）

　　2，如果将n从m_0一个一个更改为m_n并准确地重复x是什么，三遍，

　　让函数g（n）被重复，其中n是重复次数。

　　m_（x+1）、m_（x+2）和m_（x+3）分别变为g（x）、g（g（g（n）））。

　　此时设w（n）=n+1，使用急增功能。

　　f_（S^2（w））（ω）+1）（Googol）

　　让我们成为超限号。

　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　　f_（S（w）（ω））（n）≈f_（ω_1^CK）（n）

　　f_（S（w）^2（ω））（n）≈f_（ω_2^CK）（n）

　　f_（S（w）^ω（ω））（n）≈f_（ω_ω^CK）（n）

　　f_（S（S（w））（ω））（n）≈f_（ω_不能用符号^CK递归表示的最小序数）（n）

　　就像那样。

　　【多块阿克曼函数】

　　如果您在分隔符上使用整数标签定义多重恢复Ackermann函数

　　如果将多重列表视为一个块，并将分隔符的整数扩展到一个块，它就变成了一个双块阿克曼函数。

　　双块如果你阻塞了阿克曼函数的分隔符，它将是一个三块，一个四块，等等。

　　可以定义多个块Ackermann函数

　　双块阿克曼函数的大小不是ψ（ε_（Ω+1））=Ψ（Ω_2）吗？

　　n重块Ackermann函数的大小为Ψ（Ω_n）

　　【多级阿克曼函数的大小】

　　－普通阿克曼函数（一级阿克曼函数）的极限值为ω^2。

　　－多变量阿克曼函数（二级阿克曼函数）的极限值为ω^ω

　　－多重恢复阿克曼函数（第3层阿克曼函数）的极限值为ε_0。

　　－多块阿克曼函数（第4层阿克曼函数）的极限值为Ψ（Ω_ω）。

　　第一层ω↑2=ω×ω=ω^2

　　第二层ω↑↑2=ω↑ω=ω^ω

　　第三层ω↑↑↑2=ω↑↑ω=ε_0

　　第四层ω↑↑↑↑2=ω↑↑↑ω=Ψ（Ω_ω）

　　第N层ω↑^[n]2=ω↑^[n-1]ω

　　多层的极限值为ω↑^[ω]2=ω↑^[ω]ω=ω_0^CK

　　ω↑^[ω]无论进行什么加法、乘法、幂计算、超运算、递归运算，ω都不会改变。

　　换句话说，无法计算………………

　　用无限大（阿列夫0）作为基数，无论如何也都绝对变不成阿列夫1

　　注：ω=阿列夫0

　　阿列夫零和阿列夫一之间，在加以定义的情况下（不加以定义的话，阿列夫一就是阿列夫零之后的「最小」无穷基数。由此可见，阿列夫零和阿列夫一之间的差距是十分巨大的），有着无穷多个无穷基数（注意，是基数，而不是序数『重点』）。阿列夫零和阿列夫一之间的无穷基数的数量。而阿列夫一和阿列夫二之间的无穷基数的数量远超阿列夫一，往后更甚！

　　在阿列夫1往后，任何的数字都不是由下而上抵达，不可达基数便是大基数的守门人，它掌管着一切大基数以下的，绝对不可达，就算穷进无尽的时间进行无穷的代送、无穷的迭代、无穷的嵌套、无数的叠加、无数的堆叠，也还是远远不可抵达！！！甚至永远都无法抵达，就算是以任何各种不同类型的方式与方法去无限的接近那几乎也是绝对不可能（也只能靠具体的相关构造和证明才能完全抵达），形象的来说，就像是真现实和虚构叙事的差距

　　阿列夫零：这一概念来自于格奥尔格康托尔的绝对无限，他定义了势，并认识到无限集合是可以有不同的势。

　　阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限（∞）不同。

　　阿列夫（aleph），是希伯来文字母表的第一个阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限（∞）不同。

　　阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另－些阿列夫数，而无限只是无限而已。

　　构适性定义：阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题：

　　8o定义从前，它是一个良序集N的序数；

　　考虑良序集按照某种同构关系划出的等价

　　如上定义的等价类有一个特点：可比较，设g已定义且是一良序集的基数，考虑：

　　由于8a是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；一定还有其他基数为Na的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不－－定）。所有这些等价类将做成－集，记为Z（8a）。

　　Z（Na）也是良序数。

　　定义Xa+1：=card（Z（8a）），它是以一个良序集的基数

　　阿列夫1，81是所有可数序数集合的势，称为w1或有时为0。这个w1本身是一－个比所有可数序数更大的序数，因此它为——个不可数集。

　　如何理解阿列夫零

　　在了解阿列夫零前，先看－个关于无穷大悖论的故事

　　基塔：“无穷饭店”是我们银河系中心的－-家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些定间通过黑洞伸展到更高级的空间领域。房间号从1开始，无限制的排下去。

　　一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一个飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一－移到高一号的房间。

　　于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。第二天又来了五对夫妇渡蜜月无穷饭店能不能接持他们，老板只不过把每个客人都移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。

　　赫尔曼：“我能够理解无穷饭店可以怎样挤售有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？

　　基塔：“很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。”

　　赫尔曼：“对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！”

　　关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低－－级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！

　　德国数学家乔治：康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之－。

　　如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立对应的关系。对于无集这一点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，－个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一对应的集。

　　无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治康托称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的－一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

　　还有一个办法可以使这一-减法形象化，想多有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，艳”两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延深到无穷远，所有数都——对应：0-0、1-1、2-2等等。想象把一根棒向右移动n厘米。

　　移动以后，那根棒.上的所有数仍与不动的棒上的数一－对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0-3、1-4、2-5、……椤动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

　　饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一对应，则余下的是－个由全部奇数所构成的阿列夫零集。由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康托称之为阿列夫1。康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”，它说的是阿1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一-对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点——对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的占－对立。阿列夫1又称为“连续统的势”21。

　　阿列夫2是一切可能的数学函数连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一-张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一中=无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。

　　阿列夫2。康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1——对应。

　　当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一对应。

　　因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

　　在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？

　　康托确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。

　　1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致性的。1963年，保罗样恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论予盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

　　科恩的研究结果是：集合论分为康托型和非康托型的。康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康托型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。

　　尽管这样大的序数无法“自下而上地叠加出来”，也就是没有直接的表现力，但它们可以通过更小的数之间的抽像的结构来间接地表现出其强度。此法也就是OCF（=ordinalcollapsingfunction）。

　　比如定义

　　C（α，β，0）=β

　　C（α，β，n+1）={γ+δ，Ψ_ν（ξ）lγ，δ，ξ∈C（a，β，n）且ξ＜α且ν＜ω+1}

　　C（α，β）=∪{C（α，β，n）ln＜ω）

　　Ψ_ν（α）=min{βlβ∉C（α，Ω_ν）}（其中Ω_0=1，对于α＞1则Ω_α=阿列夫α）

　　那么Ψ_0（Ω_1）=ε0，Ψ_0（Ω_1^2）=ζ0，

　　Ψ_0（Ω_1^Ω_1）=Γ0，Ψ_0（Ω_1^Ω_1^ω）=

　　SVO，而ε0、ζ0、Γ0、SVO之类都是由ω通过非常复杂的运算得到的结果，现在用阿列夫1的简单运算（比如乘法、乘方）就表示出来了。

　　这种复杂体现在序数函数不动点上。ω的乘方是加法的不动点，ε就是ω的乘方的不动点，ζ数又是ε数的不动点，ф（3，α）又是ζ数的不动点，

　　ф（4，α）又是ф（3，α）的不动点，……，Γ数又是ф（α，0）的不动点，……每一个层次都是前述层次无法企及的。当这些层次越来越多，就用Ψ_0把它归结为阿列夫1的简单运算；反过来，阿列夫1只要做一点点简单的运算，不放到ω的运算上，那都是非常高阶的层次。就好比某些设定里面，上界的一丝空气，放到下界就能变成一块大陆。

　　而这个Ψ函数还可以继续迭代。用阿列夫1的简单运算来表达ω的复杂运算；用阿列夫2的简单运算来表达阿列夫1的复杂运算，从而表达ω的更复杂运算；用阿列夫3的简单运算来表达阿列夫2的复杂运算，放到ω的运算上又变得更加更加复杂……

　　总之，OCF、大序数、大无穷的简单结构，来表达小序数，小无穷的复杂结构。

　　不过，上面那种方法并没有真正把阿列夫1的巨大体现出来，Ψ函数用到阿列夫一实际上是虚大了，其实用admissible序数就足以。

　　admissible序数是让L_a满足KP集合论的序数α。

　　admissible序数列举起来有“空洞”。比如前ω个admissible序数的尽头，它不是admissible序数。前（第1个admissible序数）个admissible序数的尽头，也不是admissible序数。α是前个α个admissible序数的尽头，这样的序数α还不是admissible序数。有一种非常非常巨大的admissible序数，大到不论怎么数都数不出来，甚至用上“下一个admissible序数”“这一系列数的尽头”也数不出来，它叫递归不可达序数，既是admissible序数，又是一个系列admissible序数的尽头。

　　递归不可达序数列举起来也有“空洞”。前ω个递归不可达序数尽头，它不是递归不可达序数，甚至不是admissible序数。前（第1个递归不可达序数）个递归不可达序数的尽头，也不是递归不可达序数。α是前α个递归不可达序数的尽头，这样的序数α还不是递归不可达序数。有一种非常非常巨大的递归不可达序数，大到不论怎么数都数不出来，甚至用上“下一个递归不可达序数”“这一系列数的尽头”也数不出来，它叫2-递归不可达序数，既是admissible序数，又是一系列递归不可达序数的尽头。

　　2-递归不可达序数还可以如法炮制。更普遍来看，可以对任何序数α定义α-递归不可达序数，它既是admissible序数，又（对任意β＜α）是一系列β-递归不可达序数的尽头。高级的α-递归不可达序数，对于低级而言，那是怎么数都数不出来，甚至用上“下一个（不足α-级的）β-递归不可达序数”“这一系列数的尽头”也数不出来。

　　这还不算完。α-递归不可达序数同样存在“空洞”。比如首个1-递归不可达序数、2-递归不可达序数、3-递归不可达序数、…的尽头，它不是ω-递归不可达序数，甚至不是admissible序数。α之下有任何（不足α-级的）β-递归不可达序数，这样的α也不是admissible序数。这么看来，α是α-递归不可达序数，这样的序数α就显得无比巨大，它叫超-递归不可达序数，或者记作（1，0）-递归不可达序数。

　　如法炮制。（1，1）-递归不可达序数，既是admissible序数，又是一序列（1，0）-递归不可达序数的尽头；由于（1，0）-递归不可达序数有很多“空洞”，（1，1）-递归不可达序数就显得很大。更普遍来看，（α，β）-递归不可达序数ρ，既（对任意ν＜α）是（γ，ρ）-递归不可达序数的尽头。每一个层级对于更低的层级而言总是无比巨大。在此之上还有（1，0，0）-递归不可达序数、（α，β，γ）-递归不可达序数、（α，β，γ，δ）-递归不可达序数等等，像ф函数那样具有超级复杂的结构，而每一个层次的序数的简单运算都可以作为放进OCF里面输出低层次的复杂结构。

　　那么递归不可达序数这一系列的层次本身，这样复杂的结构，应当能用某个更加无比巨大的序数，放进OCF里，输出得到。这个“更加无比巨大的序数”是递归Mahlo序数

　　递归Mahlo序数同样有“空洞”，所以“既是admissible序数，又是一系列递归Mahlo序数的尽头”的序数就显得更为巨大。“既是admissible序数，又是XX的尽头”可以反复操作下去，就像递归不可达序数的层次那样。在这些反复操作之上，则是“既是递归Mahlo序数，又是一系列递归Mahlo序数的尽头”的序数。在此基础上继续应用“既是admissible序数，又是XX的尽头”，所有层次之上，则又嵌套了一层“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”。如果反复用“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”的操作得到“超级层次”，那么所有这些超级层次的尽头，则是2-递归Mahlo序数。

　　α-递归Mahlo序数、（α，β）-递归Mahlo序数、（α，β，γ）-递归Mahlo序数、（α，β，γ，δ）-递归Mahlo序数等等也可以定义出来。2-递归Mahlo序数与3-递归Mahlo序数之间要有“既是admissible序数，又是XX的尽头”“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”“既是2-递归Mahlo序数，又是XX的尽头”共3种不同等级的层次。而α-递归Mahlo序数与（α+1）-递归Mahlo序数之间则有1+α种。

　　所有这些复杂等级结构之上，能用某个更加无比巨大的序数，放进OCF里，输出得到。这个“更加无比巨大的序数”是Π_3-反射序数。如果说递归不可达序数靠“层次”，递归Mahlo序数靠“等级”输出“层次”，那么Π_3-反射序数就要靠第3个概念来输出“等级”。Π_3-反射序数之上有Π_4-反射序数，要4个概念来推进。Π_n-反射序数则要n个概念来推进。

　　所有Π_n-反射序数之上，则是一大类全新的序数概念───稳定序数。

　　α是β-稳定序数，既是L_α是L_β的Σ_1-初等子结构。

　　最低价的稳定是（+1）-稳定序数，即α是（α+1）-稳定序数。

　　再往上，（+2）-稳定序数、（+3）-稳定序数、……每一层都新增ω个“概念”。

　　稳定序数并不止步于“α是（α+α）-稳定序数”，而是可以无限延伸。“α是（α+α）-稳定序数”也即“α是（α·2）-稳定序数”。继续往上，可以在稳定序数的级别上用乘法、乘方、ε数、ζ数、ф函数、Γ数等等来表达，甚至──

　　“α是（α之后的下一个admissible序数）-稳定序数”，它放进OCF里可以输出“α是（关于α的复杂表达式）-稳定序数”，这是一个全新的、无可比拟的水平。

　　甚至还可以继续往上，“α是（α之后的下2个admissible序数）-稳定序数”“α是（α之后的下ω个admissible序数）-稳定序数”“α是（α之后的下一个递归不可达序数）-稳定序数”等等。最后，“α是（α之后的下一个（+1）-稳定序数）-稳定序数”代表L_（β+1）的Σ_1-初等子结构，而L_β又是L_（β+1）的Σ_1-初等子结构。三个结构通过Σ_1-初等子结构环环相扣，形成了长度为2的稳定链。

　　稳定链可以继续加长。比如长度为ω的稳定链，其顶端称作nonprojectable序数。甚至可以从α出发，形成长度为α的稳定链；从α0出发，经过长度为α0的稳定链，到达α1，又经过长度α1的稳定链，到达α2；从某个序数出发，形成长度为α的稳定链，到达α自身。

　　稳定链的一种特殊形态，是其顶端α在{β＜αlβ是α-稳定序数}上具有某种反射或者稳定序数的性质。当它往原本的反射或者稳定序数的性质上“迭代序数自身那么多遍”的时候，稳定序数的层级也真正耗尽了。

　　而以上所有的层级，全部小于真正的稳定序数──α是稳定序数，即L_α是L的Σ_1-初等子结构。真正的稳定序数，只需一个，它的简单运算，就能在OCF里输出各式各样的稳定序数、稳定链。

　　这里是当今序数分析的最高水平，在此之上则是无人能及的领域。

　　β-稳定序数和稳定序数都有不止Σ_1的版本，比如Σ_2、Σ_3等等。在所有Σ_n之上，要用到初等嵌入j：L_（α+η）和

　　j：L_（α+η）→L_（ω_1+η），η每进一步就相当于Σ_n的ω个层级。

　　ω_1即阿列夫1，在OCF里，大概会输出这些复杂的初等嵌入。

　　从ω_1出发，可以做同样的操作（从ε数之类，到admissible序数，到稳定链，最后到这些复杂的初等嵌入），然后进入ω_2为准的层级。

　　需要指出的是，这是的阿列夫1之类并非真正的阿列夫1，而是（阿列夫1）^L──将公式中的量词全部约束到L内所得的定义，即“L中的阿列夫1”。在L里，GCH成立，aleph即beth。

　　α=beth_α，这种α叫做beth不动点。beth不动点也可以计数，得到beth不动点的不动点。若像ф函数那样延伸，则需要一个很大的基数，来在OCF里输出这些东西。这个基数就是poweradmissible序数。它就像admissible序数的V版本一般，同样具有许多“空洞”。

　　这样一来，还可以继续power不可达序数、powerMahlo序数、power反射序数（可以理解为弱化的、不含“任意谓词”的不可描述基数）、Power稳定序数等等。后两者不是简单地将L_α改成V_α，而是需要添加一个新谓词Card，表示“是不是L中的基数”，即模型＜V_α，∈，Card＞。当这些东西到达“powerΣ_n稳定”之上时，就到达ZFC的极限；当这些东西到达“power阿列夫1”时，也就是到达了那个常常被人们浅显地描述、低估的──不可达基数。

　　不可达基数之上的路，楼主的图便是一个缩影。这个路到达0#，或者初等嵌入j：L→L的时候，出现一个转析。

　　前面所说的那些基数，都是“L中的基数”。L中可以容纳的基数，最多只到j：L→L，便到了尽头。若是从“外界”看，它们仍然是可数的，小于阿列夫1。

　　因此，

　　真正的阿列夫1，可以在这些“L中的基数”之上！真正的阿列夫1，若是放进OCF里，出来的则是L中从ω的简单运算到j：L→L这么一大堆东西的层次。这才是阿列夫1的真正大小。

　　ω_1（即阿列夫1对应的序数）是“正规”序数，即你不可能用小于阿列夫1个集合“叠”出ω_1。

　　同时我们考虑什么是“数量”。我们知道没法将ω（即阿列夫0）个“东西”——对应到ω_1（即阿列夫1）个东西上。形如ω+1，ω2等等序数都是可数的，它们并不比ω要多，它们只是排在ω后面。例如ω往后数1个序数是ω+1，ω往后数ω个序数是ω2，以此类推。

　　啥叫“无法从下往上叠到“？这我可不可以理解为不能从任何“基础”一点的运算达到？如果是的话，幂集属不属于“基础“运算，毕竟这算是集合论里的几个最基础的运算了。

　　那我取ω的幂集得到贝斯1（在GCH下等于阿列夫1，细节不讲）不就直接到达阿列夫1了吗？所以你可以扩充一下定义，“无法从下往上叠到”要求：首先κ不能通过“数”小于κ个集合达到，其次你不能通过幂集达到。

　　这就是不可达基数。

　　现在回顾一下hypcos所说的。

　　他用ω_1（又写作Ω或Ω_1）来“折叠”出更大的可数序数。在已知Ω正规不可数的情况下，我们很明确的知道这种方式弄出来的可能序数往往有较良好的规律。你可以想象这个Ω其实只是个占位符，它”标记”了你数到多大的可数序数。再看看他提到的admissible。我们常用的理论叫ZFC，我们再引入一个弱的新理论叫KP。

　　L_α“满足”KP的意思其实就是：假如你在KP“创造”的宇宙里，那你叠α步盒子得到的东西很有可能就是所有你能达到的东西。也就是说你绝不可能证明这个α真的存在（除非你事先假设好α存在），后面还有些细节这里就不说了（可构造宇宙，V和L之类）。

　　我们发现：ω_1^CK是最小的admissible，它可数而且恰好是最小的非递归序数（非递归是啥意思略）我们能说它不能被叠出来吗？这就看你自己的决定了。

　　数学其实最终只是给你提供的工具。它有什么用我们是不管的，只要你肯接受他就是有用的。

　　最后再列举一些大序数或基数：【注意：不按大小顺序排列】

　　ω_1^CK：不可计算，而且满足KP

　　l^CK：我们称为递归不可达，hypcos介绍过了

　　l：真正的不可达基数，上面讲过了

　　M^CK：递归马洛。

　　M：真正的马洛基数。定义是：无论你怎么叠盒子都有个小于M的正规基数你叠不到。

　　pi_3反射序数：略

　　K：弱紧致基数（参考楼主的图），它是不可描述的。从某种角度上来说如果你描述了它，那你一定描述了某些更小的东西。如果K有某些什么性质，那一定有很多比他小的东西也有相同的性质。

　　pi^1_2不可描述：同上，只是“更难描述”

　　+1稳定：是可数序数。如果你叠α层盒子得到的东西和叠α+1层盒子得到的东西差不多，那α是+1稳定的。

　　世界基数（worldlycardinal）：在ZFC里，V_（这个）可能是整个宇宙。即：ZFC证明不了它的存在。

　　（注意到V_l满足替换公理，解释略，因此l是世界基数）

　　nonprojectible序数：还是可数序数，L_α满足某个比KP强一点的理论。

　　ω-Erdös基数：小于它总有无穷多个无法通过任何方式分辨的序数

　　拉姆塞（拉姆齐？）基数：小于κ总有κ个无法通过任何方式分辨的序数

　　“缝隙”序数（gapordinal）：是可数序数。我们发现序数α会从L_α到L_（a+1）竟然没有创造新的自然数集合（即，叠α层盒子之后再叠一层竟然叠不出一个新的自然数的集合）

　　Σ_2正确基数：V_（这玩意）和真·整个集合论宇宙V“差不多“，而且是非常非常差不多L_α满足ZFC：这里有点意思。它是可数序数，也就是叠可数层盒子之后满是ZFC…可是ZFC明明能证明不可数序数的存在。那也就是说某个不可数序数在这里是可数的，而某个可数序数是不可数的。

　　（啥？）

　　已经有人证明，有个比这小的序数真的不存在与ω的双射，然而我们知道它是可数的…

　　莱因哈德特基数：V和它自己的复制体有点相似，又有点不同，相似在所有在前者正确的事情在后者里都是正确的，不同在某个基数变成了别的东西。变成别的东西的那个基数叫来因哈德特基数。

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